Set Based probability Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $P(A)$ એ એથ્લેટ $A$ જીતે તેની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ એથ્લેટ $B$ જીતે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{5}$ અને $P(B) = \frac{1}{4}$.
$A$ ન જીતે તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
$B$ ન જીતે તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈ પણ ન જીતે તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B')$ છે.
$P(A' \cap B') = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$.

(B) ત્રણ સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$ છે.
વારાફરતી છાપ અને કાંટો મળે તેવા પરિણામો $HTH$ અને $THT$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ થાય.

(A) ચોક્કસ ઘટના એ એવી ઘટના છે જે બનવાની જ છે,તેથી $P(A) = 1$.
પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ,$P(\text{not } A) = 1 - P(A)$.
કિંમત મૂકતા,$P(\text{not } A) = 1 - 1 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પ્રથમ દસ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 10$.
આ ગણમાં એકી અને પૂર્ણ વર્ગ હોય તેવી સંખ્યાઓ $\{1, 9\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ પાસા પર $5$ આવે તેવા કુલ પરિણામો $6$ છે. આ પરિણામો $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં અંકોનો સરવાળો $8$ અથવા તેનાથી વધુ હોય.
આપેલ પરિણામો માટે સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$(5, 1) \rightarrow 6$
$(5, 2) \rightarrow 7$
$(5, 3) \rightarrow 8$
$(5, 4) \rightarrow 9$
$(5, 5) \rightarrow 10$
$(5, 6) \rightarrow 11$
સાનુકૂળ પરિણામો $(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ છે,જે કુલ $4$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.

(A) પત્તાના પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
એક્કાની સંખ્યા $= 4$.
રાજાની સંખ્યા $= 4$.
એક્કો અથવા રાજા હોય તેવા કુલ પત્તા $= 4 + 4 = 8$.
એક્કો કે રાજા ન હોય તેવા પત્તાની સંખ્યા $= 52 - 8 = 44$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{44}{52} = \frac{11}{13}$.

(C) ઘટના $A$ પોતાની જાતથી સ્વતંત્ર છે જો અને માત્ર જો $P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$ થાય.
કારણ કે $A \cap A = A$,તેથી શરત $P(A) = P(A)^2$ બને છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P(A)^2 - P(A) = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા $P(A)(P(A) - 1) = 0$ મળે છે.
તેથી,$P(A) = 0$ અથવા $P(A) = 1$.

(A) પેકમાં કુલ પત્તાની સંખ્યા = $52$.
ડેકમાં લાલનો $2$ અને ચોકટનો $2$ એમ માત્ર એક-એક પત્તું હોય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $1 + 1 = 2$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(B) ધારો કે $H$ એ પતિની પસંદગી થવાની ઘટના છે અને $W$ એ પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(H) = \frac{1}{7}$ અને $P(W) = \frac{1}{5}$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
માત્ર પતિની પસંદગી થાય તેની સંભાવના $P(H \cap W') = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$ છે.
માત્ર પત્નીની પસંદગી થાય તેની સંભાવના $P(W \cap H') = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$ છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,માત્ર એક જ વ્યક્તિની પસંદગી થાય તેની સંભાવના $P(H \cap W') + P(W \cap H') = \frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ થાય.

(B) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{2}{7}, P(C) = \frac{3}{8}$.
તેથી સમસ્યા ન ઉકેલવાની સંભાવના $P(A') = \frac{2}{3}, P(B') = \frac{5}{7},$ અને $P(C') = \frac{5}{8}$ છે.
બરાબર એક વ્યક્તિ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $= P(A)P(B')P(C') + P(A')P(B)P(C') + P(A')P(B')P(C)$
$= (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$
$= \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168} = \frac{75}{168} = \frac{25}{56}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$7$ નો સરવાળો આપતા પરિણામો: $\{(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)\}$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
$9$ નો સરવાળો આપતા પરિણામો: $\{(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)\}$ છે. આવા $4$ પરિણામો છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 + 4 = 10$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ છે.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,અને $P(C) = \frac{1}{4}$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવનાઓ છે.
તેથી,લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,અને $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
માત્ર એક જ વ્યક્તિ લક્ષ્યને વીંધે તેની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$P = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$P = \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $3 + 3 + 2 = 8$.
ધારો કે $R_3$ એ ઘટના છે કે ત્રીજો દડો લાલ છે.
સંભાવનામાં સમપ્રમાણતાના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ ક્રમમાં (પ્રથમ,દ્વિતીય કે તૃતીય) લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના શરૂઆતમાં રહેલા લાલ દડાના પ્રમાણ જેટલી જ હોય છે.
$P(R_3) = \frac{\text{લાલ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$8$ નો સરવાળો આપતા પરિણામો છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $5$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{36}$ છે.

(B) કોઈપણ ઘટના $A$ માટે,ઘટના $\bar{A}$ એ $A$ ની પૂરક ઘટના દર્શાવે છે.
ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,તેથી $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કુલ કાર્ડની સંખ્યા = $100$.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચેના પૂર્ણ વર્ગ નીચે મુજબ છે: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $10$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.

(C) ઘટના $A_i$ ન બને તેની સંભાવના $P(A_i^c) = 1 - P(A_i) = 1 - \frac{1}{i + 1} = \frac{i}{i + 1}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના એ તેમની વ્યક્તિગત ન બનવાની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P(\text{એક પણ નહીં}) = P(A_1^c) \times P(A_2^c) \times \dots \times P(A_n^c)$
$= \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right) \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \dots \times \left( \frac{n}{n + 1} \right)$
$= \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n}{2 \times 3 \times 4 \times \dots \times (n + 1)}$
$= \frac{1}{n + 1}$.

(D) ધારો કે $P(T)$ એ વર્ગમાં ટેસ્ટ થવાની સંભાવના છે,જ્યાં $P(T) = 1/5$. ટેસ્ટ ન થવાની સંભાવના $P(T') = 1 - 1/5 = 4/5$ છે.
વિદ્યાર્થી $2$ વર્ગ માટે ગેરહાજર છે. ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા વર્ગમાં ટેસ્ટ થવાની ઘટનાઓ છે.
વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછી એક ટેસ્ટ ગુમાવે છે જો પ્રથમ વર્ગમાં,બીજા વર્ગમાં અથવા બંનેમાં ટેસ્ટ લેવાય.
આ ઘટના એ ઘટનાની પૂરક ઘટના છે કે જેમાં બંને વર્ગમાંથી એક પણ ટેસ્ટ લેવાતી નથી.
બંને વર્ગમાં ટેસ્ટ ન લેવાય તેની સંભાવના $P(\text{No test}) = P(T_1') \times P(T_2') = (4/5) \times (4/5) = 16/25$.
ઓછામાં ઓછી એક ટેસ્ટ ગુમાવવાની સંભાવના $= 1 - P(\text{No test}) = 1 - 16/25 = 9/25$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$3$ નો સરવાળો મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 2), (2, 1)$ (કુલ $2$ કિસ્સા).
$5$ નો સરવાળો મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (કુલ $4$ કિસ્સા).
$11$ નો સરવાળો મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામો: $(5, 6), (6, 5)$ (કુલ $2$ કિસ્સા).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 2 + 4 + 2 = 8$.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(B) પત્તાંની કેટમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
રાજાની સંખ્યા $= 4$.
રાણીની સંખ્યા $= 4$.
ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,રાજા અથવા રાણી મળવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(\text{રાજા}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$P(\text{રાણી}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$P(\text{રાજા અથવા રાણી}) = P(\text{રાજા}) + P(\text{રાણી}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ અનુક્રમે $I, II$ અને $III$ ડિવિઝન મેળવવાની ઘટનાઓ છે,અને $D$ એ પરીક્ષામાં નાપાસ થવાની ઘટના છે.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય.
$P(A) = \frac{1}{10}, P(B) = \frac{3}{5}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$
$\frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} + P(D) = 1$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે $10, 5, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $20$ છે.
$\frac{2}{20} + \frac{12}{20} + \frac{5}{20} + P(D) = 1$
$\frac{19}{20} + P(D) = 1$
$P(D) = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}$.
આમ,સાચો જવાબ $D$ (આમાંથી કોઈ નહીં) છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $6$ આવે.
ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $6$ આવે તેવા પરિણામો: $(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $11$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{11}{36}$.

(A) દરેક સિક્કાનો ઉછાળ એ સ્વતંત્ર ઘટના છે.
પાંચમા ઉછાળમાં હેડ (head) આવવાની ઘટના પ્રથમ ચાર ઉછાળના પરિણામો પર આધારિત નથી.
તેથી,પાંચમા ઉછાળમાં હેડ આવવાની સંભાવના $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ છે.

(B) વર્ગનો છેલ્લો અંક ફક્ત પૂર્ણાંકના છેલ્લા અંક પર આધાર રાખે છે.
ધારો કે પૂર્ણાંકનો છેલ્લો અંક $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
આ અંકોના વર્ગનો છેલ્લો અંક નીચે મુજબ છે:
$0^2 \to 0, 1^2 \to 1, 2^2 \to 4, 3^2 \to 9, 4^2 \to 6, 5^2 \to 5, 6^2 \to 6, 7^2 \to 9, 8^2 \to 4, 9^2 \to 1$.
જો પૂર્ણાંકનો છેલ્લો અંક $1$ અથવા $9$ હોય તો વર્ગનો છેલ્લો અંક $1$ મળે છે.
જો પૂર્ણાંકનો છેલ્લો અંક $5$ હોય તો વર્ગનો છેલ્લો અંક $5$ મળે છે.
આમ,$10$ શક્ય અંકોમાંથી $3$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{3}{10}$.

(B) ધારો કે બે પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે. દરેક પૂર્ણાંક બેકી $(E)$ અથવા એકી $(O)$ હોઈ શકે છે.
જોડી $(x, y)$ માટે $4$ શક્ય પરિણામો છે: $(E, E), (E, O), (O, E), (O, O)$.
દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે.
$1$. જો બંને બેકી હોય $(E, E)$,તો ગુણાકાર બેકી થાય.
$2$. જો એક બેકી અને એક એકી હોય $(E, O)$ અથવા $(O, E)$,તો ગુણાકાર બેકી થાય.
$3$. જો બંને એકી હોય $(O, O)$,તો ગુણાકાર એકી થાય.
બેકી ગુણાકાર આપતા પરિણામો $(E, E), (E, O), (O, E)$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{3}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $P(K)$ એ $K$ અંક મળવાની સંભાવના છે. $P(K) \propto K$ હોવાથી,$P(K) = cK$ થાય,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{K=1}^{6} cK = 1$.
$c(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 \implies 21c = 1 \implies c = \frac{1}{21}$.
બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6$ છે.
બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(2) + P(4) + P(6) = c(2 + 4 + 6) = 12c$ છે.
$c = \frac{1}{21}$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ મળે છે.

(C) પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$.
પાસા પરની બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(D) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ એ એક પણ છાપ ન મળવાની ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે બધા કાંટા (tails) મળે.
$E' = \{TTT\}$,તેથી $n(E') = 1$.
એક પણ છાપ ન મળવાની સંભાવના $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.

(C) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
પ્રથમ પાસા પર $1$ આવે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.

(C) ગુણાકારનો છેલ્લો અંક ફક્ત વ્યક્તિગત સંખ્યાઓના છેલ્લા અંકો પર આધાર રાખે છે.
કોઈપણ એક સંખ્યા માટે,શક્ય છેલ્લા અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે,તેથી $10$ શક્યતાઓ છે.
ચાર સંખ્યાઓના ગુણાકારનો છેલ્લો અંક $1, 3, 5$ અથવા $7$ મળે તે માટે,ચારેય સંખ્યાઓનો છેલ્લો અંક $\{1, 3, 5, 7\}$ ગણમાંથી હોવો જરૂરી છે.
એક સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $\{1, 3, 5, 7\}$ માં હોય તેની સંભાવના $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
ચાર સંખ્યાઓ સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,ચારેય સંખ્યાઓનો છેલ્લો અંક $\{1, 3, 5, 7\}$ માં હોય તેની સંભાવના $\left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625}$ થાય.

(A) ધારો કે $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા દાખલો ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$A$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$B$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$C$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
કોઈના દ્વારા પણ દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ છે.
દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) $2$ પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જ્યારે બંને પાસા પર સમાન અંક આવે ત્યારે તેને ડબલેટ કહેવાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) $2$ પાસા ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે,જે $6$ પરિણામો છે.
સરવાળો $12$ મળે તેવું સાનુકૂળ પરિણામ માત્ર $(6, 6)$ છે,જે $1$ પરિણામ છે.
આથી,કુલ સંભાવના $\frac{6}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7}{36}$ થાય.

(B) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો બરાબર છે.
$52$ અઠવાડિયામાં નિશ્ચિતપણે $52$ રવિવાર હોય છે.
બાકીના $2$ દિવસો માટે શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ રવિવાર અને સોમવાર,$(ii)$ સોમવાર અને મંગળવાર,$(iii)$ મંગળવાર અને બુધવાર,$(iv)$ બુધવાર અને ગુરુવાર,$(v)$ ગુરુવાર અને શુક્રવાર,$(vi)$ શુક્રવાર અને શનિવાર,$(vii)$ શનિવાર અને રવિવાર.
બાકીના $2$ દિવસો માટે કુલ $7$ શક્ય પરિણામો છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,બાકીના બે દિવસોમાંથી એક રવિવાર હોવો જોઈએ.
આ $2$ કિસ્સાઓમાં શક્ય છે: $(i)$ રવિવાર અને સોમવાર,અને $(vii)$ શનિવાર અને રવિવાર.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{7}$ છે.

(C) પ્રથમ પેટીમાં પેનની કુલ સંખ્યા = $4 + 2 = 6$.
બીજી પેટીમાં પેનની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 = 8$.
પ્રથમ પેટીમાંથી સફેદ પેન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
બીજી પેટીમાંથી સફેદ પેન પસંદ કરવાની સંભાવના = $\frac{3}{8}$.
બંને ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને પેન સફેદ હોવાની સંભાવના = $\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $A$ પ્રથમ થેલી છે અને $B$ બીજી થેલી છે.
થેલી $A$ માટે: $P(\text{લાલ}) = \frac{3}{8}$,$P(\text{કાળો}) = \frac{5}{8}$.
થેલી $B$ માટે: $P(\text{લાલ}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(\text{કાળો}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
એક દડો લાલ અને બીજો કાળો હોય તે ઘટના બે રીતે બની શકે છે:
$1$. થેલી $A$ માંથી લાલ અને થેલી $B$ માંથી કાળો.
$2$. થેલી $A$ માંથી કાળો અને થેલી $B$ માંથી લાલ.
જરૂરી સંભાવના $= (P(\text{લાલ}_A) \times P(\text{કાળો}_B)) + (P(\text{કાળો}_A) \times P(\text{લાલ}_B))$
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) જ્યારે ચાર સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^4 = 16$ થાય છે.
'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' મળવાની ઘટના એ 'એક પણ છાપ ન મળે' તેવી ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
એક પણ છાપ ન મળે (એટલે કે બધા કાંટા મળે) તેની સંભાવના $P(\text{no head}) = (1/2)^4 = 1/16$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $1 - P(\text{no head}) = 1 - 1/16 = 15/16$ થાય.

(C) ધારો કે $P(X)$ એ $X$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે અને $P(Y)$ એ $Y$ સાચું બોલે તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(X) = 60\% = \frac{3}{5}$ અને $P(Y) = 50\% = \frac{1}{2}$.
તેથી $P(\bar{X}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ અને $P(\bar{Y}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેઓ એકબીજાનો વિરોધાભાસ ત્યારે કરે જ્યારે એક સાચું બોલે અને બીજું જૂઠું બોલે.
જરૂરી સંભાવના $= P(X) \cdot P(\bar{Y}) + P(\bar{X}) \cdot P(Y)$
$= (\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઘટનાઓ છે કે સમસ્યા અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉકેલાય છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$.
સમસ્યા કોઈ પણ વિદ્યાર્થી દ્વારા ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ છે.
$P(A^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$P(B^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
સમસ્યા ઉકેલાવાની સંભાવના $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.

(D) થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 7 = 10$ છે.
ધારો કે $E$ એ સફેદ અથવા લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલીમાં રહેલા તમામ દડા કાં તો સફેદ છે અથવા લાલ,તેથી આ એક ચોક્કસ ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 3 + 7 = 10$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 10$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) સફેદ દડાની કુલ સંખ્યા = $3$.
કાળા દડાની કુલ સંખ્યા = $5$.
દડાની કુલ સંખ્યા = $3 + 5 = 8$.
કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના એ કાળા દડાની સંખ્યા અને કુલ દડાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{\text{કાળા દડાની સંખ્યા}}{\text{દડાની કુલ સંખ્યા}} = \frac{5}{8}$.

(A) પેન્સિલની કુલ સંખ્યા $= 12 + 6 + 2 = 20$.
સારી (ખામી રહિત) પેન્સિલની સંખ્યા $= 12$.
પસંદ કરેલી પેન્સિલ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના એ સારી પેન્સિલની સંખ્યા અને કુલ પેન્સિલની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
જરૂરી સંભાવના $= \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(A) આપેલ છે $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$,અને $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}$.
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સરવાળાના પ્રમેય મુજબ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
હવે,નિરપેક્ષતા માટે તપાસો: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $A$ ને બે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
$P(A \cap \bar{B})$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cap \bar{B}) = 0.25 - 0.15 = 0.1$.

(B) ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $A$ અને $B$ ના સંમિત તફાવત $P(A \Delta B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ બને અને $B$ ન બને,અથવા $B$ બને અને $A$ ન બને:
$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ અને $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B))$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$ અને $P(B) = 1 - P(\bar{B})$ હોવાથી,આપણે તેને સરવાળાના પ્રમેયમાં મૂકી શકીએ:
$P(A \cup B) = (1 - P(\bar{A})) + (1 - P(\bar{B})) - P(A \cap B)$
$0.6 = 2 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B})) - 0.2$
$0.6 = 1.8 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B}))$
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 1.8 - 0.6 = 1.2$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ગણિતમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે.
$P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
તેથી,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.28 \times 100 = 28\%$.

(B) ધારો કે $A$ મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(A) = p$ છે,તેથી $A$ જીવિત હોય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - p$ છે.
ધારો કે $B$ મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(B) = q$ છે,તેથી $B$ જીવિત હોય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - q$ છે.
આપણે વર્ષના અંતે તે બંનેમાંથી માત્ર એક જ જીવિત હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો ($A$ જીવિત હોય અને $B$ મૃત્યુ પામે) અથવા ($B$ જીવિત હોય અને $A$ મૃત્યુ પામે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A' \cap B) + P(B' \cap A)$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(A')P(B) + P(B')P(A)$ બરાબર થાય.
$= (1 - p)q + (1 - q)p$
$= q - pq + p - pq$
$= p + q - 2pq$.

(C) ધારો કે $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ એ એથ્લેટ $A, B,$ અને $C$ ના જીતવાની સંભાવનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(A) = 2P(C)$ અને $P(B) = 2P(C)$.
બધા પરસ્પર નિવારક પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
કિંમતો મૂકતા:
$2P(C) + 2P(C) + P(C) = 1$
$5P(C) = 1 \Rightarrow P(C) = \frac{1}{5}$
આમ,$P(A) = \frac{2}{5}$ અને $P(B) = \frac{2}{5}$.
રેસ $A$ અથવા $B$ દ્વારા જીતવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ છે.
$P(A \cup B) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$.
$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.
$12$ નો સામાન્ય છેદ લેતા: $P(A \cup B) = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
તેથી,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.