Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(C) $SUCCESS$ शब्द में अक्षर हैं: $S, S, S, U, C, C, E$.
कुल अक्षर: $7$ $(S:3, C:2, U:1, E:1)$.
हमें इन्हें इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि दोनों $C$ एक साथ हों और कोई भी दो $S$ एक साथ न हों।
$(CC)$ को एक इकाई मानिए। शेष अक्षर $U, E$ हैं।
$3$ इकाइयों $(CC), U, E$ को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ये $3$ इकाइयाँ $4$ रिक्त स्थान बनाती हैं: $\_ (CC) \_ U \_ E \_$.
हमारे पास $3$ $S$ हैं जिन्हें इन $4$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों। यह $^4C_3$ तरीकों से किया जा सकता है।
शब्दों की कुल संख्या $= 3! \times ^4C_3 = 6 \times 4 = 24$.

(A) हमें $a + b + c = 50$ की शर्त के तहत $f(a, b, c) = ab^2c$ को अधिकतम करना है,जहाँ $a, b, c$ अऋणात्मक सम पूर्णांक हैं।
माना $a = 2x, b = 2y, c = 2z$ है। तब $2x + 2y + 2z = 50$,जिसका अर्थ है $x + y + z = 25$ है।
व्यंजक $f = (2x)(2y)^2(2z) = 16xy^2z$ हो जाता है।
$x + y + z = 25$ की शर्त के तहत $xy^2z$ को अधिकतम करने के लिए,हम $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हैं।
हम $xy^2z = 4 \times x \times (\frac{y}{2}) \times (\frac{y}{2}) \times z$ लिख सकते हैं।
इन पदों का योग $x + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z = x + y + z = 25$ है।
$AM$-$GM$ के अनुसार,गुणनफल तब अधिकतम होता है जब $x = \frac{y}{2} = z$ हो।
योग में इन मानों को रखने पर: $x + 2x + x = 25 \implies 4x = 25 \implies x = 6.25$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ सम पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $x, y, z$ पूर्णांक होने चाहिए।
हम $x = 6.25$ और $y = 12.5$ के निकटतम मानों की जाँच करते हैं।
यदि $b = 26$ लें,तो $a + c = 24$ होगा। यदि $a = c = 12$ लें,तो $ab^2c = 12 \times 26^2 \times 12 = 97344$ होगा।
अतः,अधिकतम मान $97344$ है।

(A) $'UNIVERSITY'$ शब्द में $10$ अक्षर हैं। स्वर $E, I, I, U$ हैं और व्यंजन $N, V, R, S, T, Y$ हैं।
स्वर वर्णमाला के क्रम में होने चाहिए।
शर्त के अनुसार शब्द स्वर से शुरू या समाप्त नहीं होता है।
इस गणना का परिणाम ${}^8{C_4} \times 6!$ प्राप्त होता है।

(D) कुल $8$ अंकों की संख्याएँ $= 3780$.
विषम संख्या के लिए,इकाई का अंक $1$ या $3$ होना चाहिए।
इकाई का अंक $3$ वाली संख्याएँ $= 450$.
इकाई का अंक $1$ वाली संख्याएँ $= 1080$.
कुल विषम संख्याएँ $= 1530$.
प्रायिकता $= \frac{1530}{3780} = \frac{5}{14}$.

(B) $MAYANK$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, A, Y, A, N, K$। इसमें $M, Y, N, K$ अलग हैं और दो $A$ हैं।
दोनों $A$ को शामिल करते हुए $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने के लिए,शेष $4$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनने होंगे।
चयन के तरीके $= ^4C_2 = 6$।
कुल व्यवस्था $= 6 \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$।
जब दोनों $A$ एक साथ हों,तो व्यवस्था $= 6 \times 3! = 6 \times 6 = 36$।
जब दोनों $A$ एक साथ न हों,तो व्यवस्था $= 72 - 36 = 36$।

(A) फलन $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ द्वारा दिया गया है।
हम इसे $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $\sum_{k=1}^{n} c_k |x - a_k|$ के रूप का योग है,जहाँ $c_k = k$ और $a_k = \frac{1}{k}$ है।
फलन $f(x)$ अपना न्यूनतम मान $a_k = \frac{1}{k}$ के भारित माध्यिका (weighted median) पर प्राप्त करता है,जहाँ भार $c_k = k$ है।
$a_k$ के मान $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{119}$ हैं,जो घटते क्रम में हैं: $1 > \frac{1}{2} > \dots > \frac{1}{119}$।
भार $c_1=1, c_2=2, \dots, c_{119}=119$ हैं।
कुल भार $S = \sum_{k=1}^{119} k = \frac{119 \times 120}{2} = 7140$ है।
माध्यिका तब प्राप्त होती है जब संचयी भार $\frac{S}{2} = \frac{7140}{2} = 3570$ तक पहुँच जाता है।
हम वह $m$ ढूँढते हैं जिसके लिए $\sum_{k=1}^{m} k \ge 3570$ हो।
सूत्र $\frac{m(m+1)}{2} \ge 3570$ का उपयोग करने पर,हमें $m(m+1) \ge 7140$ प्राप्त होता है।
चूँकि $84 \times 85 = 7140$,संचयी भार $m = 84$ पर ठीक $3570$ हो जाता है।
अतः,न्यूनतम मान $x = a_{84} = \frac{1}{84}$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना $S$ उन सभी $5$ अंकों की संख्याओं का समुच्चय है जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ अंकों से बनी हैं। कुल संख्याएँ $6^5$ हैं।
माना $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें $1$ नहीं है,और $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें $2$ नहीं है।
हमें उन $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $1$ और $2$ दोनों शामिल हैं। यह है: कुल - (वे संख्याएँ जिनमें $1$ नहीं है या जिनमें $2$ नहीं है)।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) के अनुसार,$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
$|A| = 5^5$ (${2, 3, 4, 5, 6}$ का उपयोग करके)।
$|B| = 5^5$ (${1, 3, 4, 5, 6}$ का उपयोग करके)।
$|A \cap B| = 4^5$ (${3, 4, 5, 6}$ का उपयोग करके)।
अतः,$|A \cup B| = 5^5 + 5^5 - 4^5 = 2 \times 5^5 - 4^5$.
$1$ और $2$ दोनों को शामिल करने वाली $5$ अंकों की संख्याएँ = $6^5 - (2 \times 5^5 - 4^5) = 6^5 - 2 \times 5^5 + 4^5$.

(D) हमें $2015! + 3^{2015}$ के अंतिम दो अंक ज्ञात करने हैं।
चूंकि $2015!$ में $100$ का गुणनखंड होता है,इसलिए इसके अंतिम दो अंक $00$ हैं।
अब,$3^{2015} \pmod{100}$ ज्ञात करते हैं।
$3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$ के उपयोग से,
$3^{2015} \equiv 3^{15} \pmod{100}$.
गणना करने पर $3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम दो अंक $07$ हैं।

(C) माना चार अंकों की संख्या $N = d_1 d_2 d_3 d_4$ है।
$N$ के $11$ से विभाज्य होने के लिए,विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर $11$ का गुणज होना चाहिए।
अर्थात,$(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4) = 11k$,जहाँ $k \in \{0, 1, -1\}$ है।
चूँकि $d_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है,न्यूनतम योग $1+1=2$ और अधिकतम योग $4+4=8$ है।
अतः,अंतर $(d_1 + d_3) - (d_2 + d_4)$ केवल $0$ हो सकता है।
इसलिए,$d_1 + d_3 = d_2 + d_4$।
$S = d_1 + d_3 = d_2 + d_4$ के लिए संभावित मान और उन्हें बनाने के तरीके:
यदि $S=2$: $(1,1) \rightarrow 1$ तरीका। कुल $= 1 \times 1 = 1$।
यदि $S=3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow 2$ तरीके। कुल $= 2 \times 2 = 4$।
यदि $S=4$: $(1,3), (2,2), (3,1) \rightarrow 3$ तरीके। कुल $= 3 \times 3 = 9$।
यदि $S=5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ तरीके। कुल $= 4 \times 4 = 16$।
यदि $S=6$: $(2,4), (3,3), (4,2) \rightarrow 3$ तरीके। कुल $= 3 \times 3 = 9$।
यदि $S=7$: $(3,4), (4,3) \rightarrow 2$ तरीके। कुल $= 2 \times 2 = 4$।
यदि $S=8$: $(4,4) \rightarrow 1$ तरीका। कुल $= 1 \times 1 = 1$।
कुल योग: $1 + 4 + 9 + 16 + 9 + 4 + 1 = 44$।

(A) ठीक दो भिन्न अंकों वाली चार अंकों की संख्या बनाने के लिए,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: अंक $0$ शामिल नहीं है।
हम $9$ गैर-शून्य अंकों $(1-9)$ में से $2$ अंकों को $^9C_2$ तरीकों से चुनते हैं।
प्रत्येक चयन के लिए,हम $2^4 - 2$ संख्याएँ बना सकते हैं।
तरीकों की संख्या $= ^9C_2 \times (2^4 - 2) = 36 \times 14 = 504$।
स्थिति $2$: अंक $0$ शामिल है।
हम $9$ में से $1$ गैर-शून्य अंक को $^9C_1$ तरीकों से चुनते हैं।
संख्या गैर-शून्य अंक से शुरू होनी चाहिए। शेष $3$ स्थानों को चुने गए गैर-शून्य अंक और $0$ से इस प्रकार भरा जा सकता है कि कम से कम एक $0$ मौजूद हो।
यह $2^3 - 1 = 7$ तरीकों से संभव है।
तरीकों की संख्या $= ^9C_1 \times 7 = 9 \times 7 = 63$।
कुल संख्याएँ $= 504 + 63 = 567$।

(C) $9$ अंकों की संख्या $1$ से शुरू होनी चाहिए (क्योंकि यह $0$ से शुरू नहीं हो सकती)।
संख्या सम है,इसलिए अंतिम अंक $0$ होना चाहिए।
माना संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9$ है।
यहाँ $d_1 = 1$ और $d_9 = 0$ है।
चूंकि कोई भी दो लगातार अंक $0$ नहीं हैं,इसलिए $d_8 = 1$ होना चाहिए।
शेष $6$ स्थानों ($d_2$ से $d_7$) के लिए,हमें $0$ और $1$ को इस प्रकार भरना है कि कोई भी दो $0$ एक साथ न आएं।
इसके लिए पुनरावृत्ति संबंध $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ का उपयोग करने पर,
$n=6$ के लिए कुल $21$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।

(C) हमारे पास $15$ क्रमिक टिकट हैं। हमें $10$ टिकट इस तरह चुनने हैं कि वे $5, 3$ और $2$ के $3$ क्रमिक ब्लॉक बनाएं।
$15$ वस्तुओं में से $5$ ब्लॉक और $3$ रिक्त स्थानों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{8!}{5!3!} = ^8C_5$ हैं।
चूंकि $3$ बच्चे अलग-अलग हैं,इसलिए $3$ ब्लॉकों को उनके बीच $3!$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
इसके अतिरिक्त,बच्चों के सापेक्ष ब्लॉकों की आंतरिक व्यवस्था $3!$ है।
अतः,कुल तरीके $^8C_5 \times (3!)^2$ हैं।

(A) $x_1 + x_2 = 100$ के कुल प्राकृतिक संख्या हलों की संख्या $\binom{100-1}{2-1} = 99$ है।
माना $A$ उन हलों का समुच्चय है जहाँ $x_1$,$5$ का गुणज है और $B$ उन हलों का समुच्चय है जहाँ $x_2$,$5$ का गुणज है।
$x_1$ के लिए $19$ मान संभव हैं $(5, 10, \dots, 95)$।
प्रत्येक स्थिति में $x_2 = 100 - x_1$ भी $5$ का गुणज होगा।
अतः $|A| = 19$,$|B| = 19$ और $|A \cap B| = 19$ है।
$A \cup B$ में अवयवों की संख्या $19 + 19 - 19 = 19$ है।
अभीष्ट हलों की संख्या $99 - 19 = 80$ है।

(A) गैर-शून्य अंक जो पूर्ण वर्ग हैं,वे $1, 4,$ और $9$ हैं।
ऐसे कुल $3$ अंक हैं।
इन अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली तीन अंकों की कुल संख्याएँ $3 \times 3 \times 3 = 27$ हैं।
प्रत्येक अंक $1, 4,$ और $9$ इकाई,दहाई और सैकड़े के स्थान पर ठीक $9$ बार आता है।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $9 \times (1 + 4 + 9) = 9 \times 14 = 126$ है।
ऐसी सभी संख्याओं का योग $126 \times 100 + 126 \times 10 + 126 \times 1 = 126 \times 111 = 13986$ है।

(C) $15$ टिकटों में से $10$ टिकटों को $5, 3$ और $2$ के ब्लॉक में चुनने के लिए,हम $3$ ब्लॉक और $5$ खाली स्थानों को व्यवस्थित करते हैं।
कुल व्यवस्थाएँ $\frac{8!}{5!} = 336$ हैं।
चूंकि $3$ बच्चों को ये $3$ ब्लॉक $3!$ तरीकों से दिए जा सकते हैं,कुल तरीके $\frac{8!}{5!} \times 3! = 2016$ हैं।
यह मान $^8C_5 \times (3!)^2 = 56 \times 36 = 2016$ के बराबर है।

(B) $3000$ का अभाज्य गुणनखंडन $3000 = 3^1 \times 2^3 \times 5^3$ है।
हमें अभाज्य गुणनखंडों को $x, y,$ और $z$ में वितरित करने की आवश्यकता है।
अभाज्य गुणनखंड $3^1$ के लिए,इसे $3$ चरों में वितरित करने के तरीकों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=1$ और $r=3$ है। यह $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
अभाज्य गुणनखंड $2^3$ के लिए,इसे $3$ चरों में वितरित करने के तरीकों की संख्या $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ है।
अभाज्य गुणनखंड $5^3$ के लिए,इसे $3$ चरों में वितरित करने के तरीकों की संख्या $\binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ है।
अतः,कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $3 \times 10 \times 10 = 300$ है।

(B) सबसे पहले,$xyz = 24$ के लिए धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करें।
$24$ को $2^3 \times 3^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$x = 2^{a_1} 3^{b_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2}$,$z = 2^{a_3} 3^{b_3}$ के लिए,$a_1+a_2+a_3 = 3$ और $b_1+b_2+b_3 = 1$ है।
$a_i$ के लिए हलों की संख्या $\binom{5}{2} = 10$ है।
$b_i$ के लिए हलों की संख्या $\binom{3}{2} = 3$ है।
कुल धनात्मक पूर्णांक हल $= 10 \times 3 = 30$।
चूंकि गुणनफल $xyz = 24$ धनात्मक है,इसलिए $(x, y, z)$ के लिए चिह्नों के संभावित संयोजन $(+, +, +)$,$(+, -, -)$,$(-, +, -)$,और $(-, -, +)$ हैं।
प्रत्येक स्थिति में $30$ हल हैं।
कुल पूर्णांक हल $= 4 \times 30 = 120$।

(A) हम सर्वसमिका ${}^{n}{C_r} = {}^{n}{C_{n-r}}$ का उपयोग करते हैं।
व्यंजक $\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r} \right)}$ है।
${}^{20}{C_r} = {}^{20}{C_{20-r}}$ और ${}^{25}{C_r} = {}^{25}{C_{25-r}}$ का उपयोग करके पदों को फिर से लिखने पर:
$= {}^{40}{C_{15}} \sum\limits_{r = 0}^{15} {({}^{15}{C_r} \cdot {}^{20}{C_{20-r}})} - {}^{35}{C_{15}} \sum\limits_{r = 0}^{15} {({}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_{25-r}})}$.
वेंडरमोंड सर्वसमिका के अनुसार,$\sum\limits_{k=0}^{r} {}^{m}{C_k} \cdot {}^{n}{C_{r-k}} = {}^{m+n}{C_r}$:
$= {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{35}{C_{20}} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{40}{C_{25}}$.
चूंकि ${}^{35}{C_{20}} = {}^{35}{C_{15}}$ और ${}^{40}{C_{25}} = {}^{40}{C_{15}}$:
$= {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{35}{C_{15}} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{40}{C_{15}} = 0$.

(D) $BARRACK$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, B, C, K$। भिन्न अक्षर ${A, R, B, C, K}$ हैं।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: ${A, R, B, C, K}$ में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके $= ^5C_4 = 5$। प्रत्येक को व्यवस्थित करने के तरीके $= 4! = 24$। कुल $= 5 \times 24 = 120$।
(ii) $2$ समान अक्षरों के जोड़े: जोड़े ${A, A}$ और ${R, R}$ हैं। दोनों जोड़े चुनने के तरीके $= ^2C_2 = 1$। व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!2!} = 6$।
(iii) $2$ समान और $2$ भिन्न अक्षर: ${A, A}$ या ${R, R}$ में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $= ^2C_1 = 2$। शेष $4$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $= ^4C_2 = 6$। प्रत्येक चयन के लिए व्यवस्था के तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$। कुल $= 2 \times 6 \times 12 = 144$।
कुल $4$ अक्षरों वाले शब्द $= 120 + 6 + 144 = 270$।

(D) हमारे पास व्यंजक $\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ है।
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$.
योग में मान रखने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{16-r}{r} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {r(16-r)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {(16r - r^2)}$.
यह $16 \sum\limits_{r = 1}^{15} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2$ के बराबर है।
$n=15$ के लिए $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$16 \left( \frac{15 \times 16}{2} \right) - \left( \frac{15 \times 16 \times 31}{6} \right)$.
$= 16 \times 120 - 5 \times 8 \times 31 = 1920 - 1240 = 680$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{{}^{n + 2}C_6}{{}^{n - 2}P_2} = 11$
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ और ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}{720}}{(n-2)(n-3)} = 11$
$(n+2)(n+1)n(n-1) = 11 \times 720 = 7920$
$n=9$ रखने पर:
$(11)(10)(9)(8) = 7920$
अतः,$n=9$ हल है।
विकल्प $C$ के लिए जाँच:
$n^2 + 3n - 108 = (9)^2 + 3(9) - 108 = 81 + 27 - 108 = 0$.

(B) $15$ पुरुषों और $15$ महिलाओं में से $15$ टीमें बनाने के लिए,जिनमें प्रत्येक में एक पुरुष और एक महिला हो,हम इस प्रकार आगे बढ़ते हैं:
$1$. पहली टीम के लिए,$15$ पुरुषों में से $1$ पुरुष को $15$ तरीकों से और $15$ महिलाओं में से $1$ महिला को $15$ तरीकों से चुना जा सकता है। कुल तरीके = $15 \times 15$.
$2$. दूसरी टीम के लिए,शेष $14$ पुरुषों में से $1$ और शेष $14$ महिलाओं में से $1$ महिला को चुना जा सकता है। कुल तरीके = $14 \times 14$.
$3$. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,टीमें बनाने के कुल तरीके प्रत्येक टीम को बनाने के तरीकों का गुणनफल है:
कुल तरीके = $(15 \times 15) \times (14 \times 14) \times \dots \times (1 \times 1)$
कुल तरीके = $(15 \times 14 \times \dots \times 1) \times (15 \times 14 \times \dots \times 1)$
कुल तरीके = $(15!)^2$.

(D) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $9$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $9$ से विभाज्य होती है। $0$ से $9$ तक के अंकों का योग $45$ है। $8$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें दो अंकों को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $8$ अंकों का योग $9$ का गुणज हो। हटाए गए दो अंकों का योग $9$ होना चाहिए,जिनकी जोड़ियाँ $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5)$ हैं। यदि $0$ को हटाया जाता है,तो $8!$ तरीके हैं। यदि $0$ को नहीं हटाया जाता है,तो $8! - 7! = 7 \times 7!$ तरीके हैं। कुल तरीके $= 8! + 4(7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(A) दिया गया है $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
हमें $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$n = \frac{m(m-1)}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2-m-2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2-m-2)}{8}$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= \frac{3 \times (m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 3(^{m+1}C_4)$.

(D) हम जानते हैं कि $^{n}C_{r} \cdot ^{n-r}C_{k-r} = ^{n}C_{k} \cdot ^{k}C_{r}$ होता है।
दिए गए योग के लिए:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_{25} \cdot ^{25}C_r}$.
$= ^{50}C_{25} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r}$.
चूंकि $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$,इसलिए $\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r} = 2^{25}$.
अतः,व्यंजक $^{50}C_{25} \cdot 2^{25}$ हो जाता है।
$K\left( {^{50}C_{25}} \right)$ के साथ तुलना करने पर,$K = 2^{25}$ प्राप्त होता है।

(B) $6$ अंकों की संख्या $abcdef$ मानिए। $11$ से विभाज्यता के लिए $|(a+c+e) - (b+d+f)|$ का मान $11$ का गुणज होना चाहिए।
सभी अंकों का योग $0+1+2+5+7+9 = 24$ है। मान लीजिए $S_1 = a+c+e$ और $S_2 = b+d+f$। अतः $S_1 + S_2 = 24$ और $S_1 - S_2 = 11k$।
$k=0$ के लिए,$S_1 = S_2 = 12$।
${a, c, e}$ और ${b, d, f}$ के लिए संभव समुच्चय:
स्थिति $I$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ और ${b, d, f} = {7, 5, 0}$।
कुल तरीके $= 3! \times 3! = 36$।
स्थिति $II$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ और ${b, d, f} = {9, 2, 1}$।
यहाँ $a \neq 0$। $a$ के लिए $2$ विकल्प हैं,शेष $2$ स्थानों के लिए $2!$ तरीके और ${b, d, f}$ के लिए $3!$ तरीके।
कुल $= 2 \times 2! \times 6 = 24$।
कुल संख्या $= 36 + 24 = 60$।

(D) कुल विद्यार्थी = $5 + n$.
हमें $3$ विद्यार्थी इस प्रकार चुनने हैं कि कम से कम एक लड़का और एक लड़की हो।
संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $1$: $1$ लड़का और $2$ लड़कियाँ: $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
स्थिति $2$: $2$ लड़के और $1$ लड़की: $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
कुल तरीके = $\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
$2$ से गुणा करने पर: $5n(n-1) + 20n = 3500$.
$5$ से भाग देने पर: $n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700 \Rightarrow n^2 + 3n - 700 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 28)(n - 25) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$.

(D) $'EXAMINATION'$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$।
भिन्न अक्षर $A, I, N, E, X, M, T, O$ ($8$ भिन्न अक्षर) हैं।
पुनरावृत्त अक्षर $A, I, N$ हैं (प्रत्येक $2$ बार)।
हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. दो एक प्रकार के समान और दो दूसरे प्रकार के समान:
चयन: $^3C_2 = 3$ तरीके।
व्यवस्था: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$ तरीके।
$2$. दो समान और दो भिन्न:
चयन: $^3C_1 \times ^7C_2 = 63$ तरीके।
व्यवस्था: $63 \times \frac{4!}{2!} = 756$ तरीके।
$3$. चारों भिन्न:
चयन: $^8C_4 = 70$ तरीके।
व्यवस्था: $70 \times 4! = 1680$ तरीके।
कुल शब्दों की संख्या = $18 + 756 + 1680 = 2454$।

(C) एक संकेत में $2, 3, 4,$ या $5$ झंडे हो सकते हैं।
गुणन सिद्धांत का उपयोग करके हम प्रत्येक स्थिति के लिए संकेतों की संख्या की गणना करते हैं:
- $2$ झंडों के लिए: $5 \times 4 = 20$ संकेत।
- $3$ झंडों के लिए: $5 \times 4 \times 3 = 60$ संकेत।
- $4$ झंडों के लिए: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ संकेत।
- $5$ झंडों के लिए: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ संकेत।
संकेतों की कुल संख्या $= 20 + 60 + 120 + 120 = 320.$

(A) हमारे पास $\frac{1}{8!} + \frac{1}{9 \times 8!} = \frac{x}{10 \times 9 \times 8!}$ है।
दोनों पक्षों को $\frac{1}{8!}$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + \frac{1}{9} = \frac{x}{90}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{9+1}{9} = \frac{x}{90}$ में सरल हो जाता है,
$\frac{10}{9} = \frac{x}{90}.$
दोनों पक्षों को $90$ से गुणा करने पर,हमें $x = \frac{10 \times 90}{9} = 100$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!}$
फैक्टोरियल को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{1}{6!} + \frac{1}{7 \times 6!} = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}$
बाईं ओर से $\frac{1}{6!}$ कॉमन लेने पर: $\frac{1}{6!} \left(1 + \frac{1}{7}\right) = \frac{x}{8 \times 7 \times 6!}$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{6!}$ को हटाने पर: $1 + \frac{1}{7} = \frac{x}{8 \times 7}$
बाईं ओर को सरल करने पर: $\frac{8}{7} = \frac{x}{56}$
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{8 \times 56}{7} = 8 \times 8 = 64$
अतः,$x = 64$.

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल तरीके $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
ताश की गड्डी में $4$ सूट होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं। एक ही सूट के $4$ पत्ते चुनने के लिए,हमें $4$ सूट में से एक सूट चुनना होगा और फिर उस सूट के $13$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने होंगे।
एक ही सूट के $4$ पत्ते चुनने के तरीके $= 4 \times ^{13}C_{4} = 4 \times \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times 715 = 2860$.

(C) टीम $A$ और टीम $B$ के लड़कों के बीच मैचों की संख्या:
$7 \times 4 = 28$
टीम $A$ और टीम $B$ की लड़कियों के बीच मैचों की संख्या:
$n \times 6 = 6n$
कुल मैचों की संख्या:
$28 + 6n = 52$
दोनों पक्षों से $28$ घटाने पर:
$6n = 52 - 28$
$6n = 24$
$6$ से भाग देने पर:
$n = 4$

(B) $4$ शहरों का दौरा करने के कुल तरीके $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ हैं।
मान लीजिए कि $S$,${A, B, C, D}$ के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों का प्रतिदर्श समष्टि है।
$n(S) = 24$।
मान लीजिए कि $H$ वह घटना है जिसमें वह $A$ का दौरा या तो पहले या दूसरे स्थान पर करती है।
यदि $A$ का दौरा पहले किया जाता है,तो शेष $3$ शहरों का दौरा $3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
यदि $A$ का दौरा दूसरे स्थान पर किया जाता है,तो शेष $3$ शहरों का दौरा $3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(H) = 6 + 6 = 12$ है।
प्रायिकता $P(H)$ इस प्रकार है:
$P(H) = \frac{n(H)}{n(S)} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(B) $4$ शहरों का दौरा करने के कुल तरीके $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ हैं।
मान लीजिए कि घटना $I$ यह है कि वह $B$ से ठीक पहले $A$ का दौरा करती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $(AB)$ को एक इकाई के रूप में मान सकते हैं।
अब,हमारे पास $3$ इकाइयाँ हैं: $(AB), C, D$।
इन $3$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ हैं।
अनुकूल परिणाम हैं:
$ABCD, ABDC, CABD, CDAB, DABC, DCAB$।
अतः,$n(I) = 6$।
प्रायिकता $P(I) = \frac{n(I)}{n(S)} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$।

(A) पाँच में से पहली तीन टीमों को चुनने और व्यवस्थित करने के कुल तरीके क्रमचय सूत्र $^{5}P_{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{5}P_{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
इनमें से प्रत्येक $60$ परिणाम समान रूप से संभावित हैं,इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{60}$ है।
यह घटना कि $A, B$ और $C$ पहले तीन स्थानों पर समाप्त करते हैं,का अर्थ है कि ये तीन टीमें पहले तीन स्थानों पर किसी भी क्रम में आती हैं।
$A, B$ और $C$ को पहले तीन स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{3!}{^{5}P_{3}} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ है।

(B) अंकों का समूह $S = \{0, 1, 3, 5, 7\}$ है। हमें पुनरावृत्ति के बिना $5,000$ से बड़ी $4$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
हजार के स्थान को $5$ या $7$ से भरा जा सकता है ($2$ विकल्प)।
शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों से $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5,000$ से बड़ी कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 2 \times 24 = 48$ हैं।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर $0$ या $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: हजार के स्थान पर $5$ है।
इकाई के स्थान पर $0$ होना चाहिए ($1$ विकल्प)। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों से $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: हजार के स्थान पर $7$ है।
इकाई के स्थान पर $0$ या $5$ हो सकता है ($2$ विकल्प)। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों से $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 2 \times 6 = 12$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम $= 6 + 12 = 18$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{18}{48} = \frac{3}{8}$।

(C) माना $S = S_{1} + S_{2}$,जहाँ $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) \cdot {}^{n}P_{n-1}$ और $S_{2} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} n!$ है।
चूँकि ${}^{n}P_{n-1} = n!$,इसलिए $S_{1} = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1) n! = \sum_{n=1}^{51} (-1)^{n-1} (n+1)!$।
$S_{1}$ का विस्तार $2! - 3! + 4! - \dots + 52!$ है।
$S_{2}$ का विस्तार $1! - 2! + 3! - 4! + \dots + (51)!$ है।
$S_{1}$ और $S_{2}$ को जोड़ने पर,पद कट जाते हैं:
$S = 1! + 52! = 1 + 52!$।

(B) हमें योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{50-r}C_{6} = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{30}C_{6}$ का मूल्यांकन करना है।
सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करके,हम योग को फिर से लिख सकते हैं।
ध्यान दें कि ${}^{30}C_{6} = {}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ है।
अतः,$S = {}^{50}C_{6} + {}^{49}C_{6} + \dots + {}^{31}C_{6} + ({}^{31}C_{7} - {}^{30}C_{7})$ है।
इस सर्वसमिका का बार-बार उपयोग करने पर: ${}^{n}C_{r} + {}^{n+1}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$,हमें प्राप्त होता है:
${}^{31}C_{6} + {}^{31}C_{7} = {}^{32}C_{7}$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,योग ${}^{51}C_{7} - {}^{30}C_{7}$ में बदल जाता है।

(D) मान लीजिए कि खंड $A, B,$ और $C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $n_1, n_2,$ और $n_3$ है,ताकि $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $n_i \ge 1$ हो।
संभावित वितरण $(n_1, n_2, n_3)$ हैं:
$1. (1, 2, 2)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
$2. (1, 1, 3)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ (कुल $3$ तरीके)।
स्थिति $(1, 2, 2)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 \times 10 = 500$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 500 = 1500$।
स्थिति $(1, 1, 3)$ के लिए तरीकों की संख्या $= \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 5 \times 10 = 250$।
चूंकि ऐसे $3$ क्रमपरिवर्तन हैं,इसलिए कुल तरीके $= 3 \times 250 = 750$।
कुल तरीके $= 1500 + 750 = 2250$।

(C) मान लीजिए कि $11$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $n, n+1, n+2, \dots, n+10$ हैं।
$11$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए,उन्हें $a + c = 2b$ को संतुष्ट करना होगा। इसका अर्थ है कि $a + c$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$a + c$ सम होता है यदि $a$ और $c$ दोनों सम हों या $a$ और $c$ दोनों विषम हों।
स्थिति $1$: $11$ क्रमागत संख्याओं में $6$ सम और $5$ विषम संख्याएँ होती हैं।
$2$ सम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{6}C_{2} = 15$ हैं।
$2$ विषम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{5}C_{2} = 10$ हैं।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 15 + 10 = 25$ हैं।
स्थिति $2$: $11$ क्रमागत संख्याओं में $5$ सम और $6$ विषम संख्याएँ होती हैं।
$2$ सम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{5}C_{2} = 10$ हैं।
$2$ विषम संख्याएँ चुनने के तरीके ${}^{6}C_{2} = 15$ हैं।
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 10 + 15 = 25$ हैं।
दोनों स्थितियों में,अनुकूल परिणामों की संख्या $25$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{25}{165} = \frac{5}{33}$ है।

(B) $1$ से $1000$ तक की संख्याओं में अंक $3$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम सभी संख्याओं को $3$-अंकीय संख्याओं के रूप में मानते हैं ($1$ से $999$ को $001$ से $999$ के रूप में और $1000$ को अलग से).
किसी भी स्थान (इकाई,दहाई या सैकड़ा) के लिए,यदि हम अंक $3$ को निश्चित करते हैं,तो अन्य दो स्थानों को $10$ अंकों $(0-9)$ में से किसी से भी भरा जा सकता है.
इकाई के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
दहाई के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
सैकड़े के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
कुल संख्या = $100 + 100 + 100 = 300$.
संख्या $1000$ में अंक $3$ नहीं है,इसलिए कुल गणना $300$ ही रहती है.

(D) $24$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^{3} \times 3^{1}$ है।
माना $x = 2^{\alpha_{1}} \times 3^{\beta_{1}}$,$y = 2^{\alpha_{2}} \times 3^{\beta_{2}}$,और $z = 2^{\alpha_{3}} \times 3^{\beta_{3}}$,जहाँ $\alpha_{i}, \beta_{i} \ge 0$ है।
चूँकि $xyz = 2^{3} \times 3^{1}$,इसलिए $\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ और $\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ है।
$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{5}{2} = 10$ है।
$\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ के लिए अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{3}{2} = 3$ है।
अतः,कुल धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $10 \times 3 = 30$ है।

(A) हमें $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों का उपयोग करके $3$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं।
$1$. $3$ से विभाज्यता: अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए। संभव त्रिक: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)$। प्रत्येक के $3! = 6$ प्रकार,कुल $24$ संख्याएँ।
$2$. $5$ से विभाज्यता: अंतिम अंक $5$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों के लिए $4 \times 3 = 12$ संख्याएँ।
$3$. $3$ और $5$ दोनों से विभाज्यता: अंतिम अंक $5$ हो और योग $3$ का गुणज हो। ऐसी संख्याएँ $135, 315, 345, 435$ हैं (कुल $4$)।
$4$. कुल संख्याएँ $= 24 + 12 - 4 = 32$।

(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ और $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$ है।
स्थिति $I$: अंक $1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ हैं।
योग $= 1+1+1+1+1+2+3 = 10$ है।
क्रमचयों की संख्या $= \frac{7!}{5!1!1!} = 42$ है।
स्थिति $II$: अंक $1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ हैं।
योग $= 1+1+1+1+2+2+2 = 10$ है।
क्रमचयों की संख्या $= \frac{7!}{4!3!} = 35$ है।
कुल संख्या $= 42 + 35 = 77$ है।

(A) वेंडरमोंड की पहचान का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर:
$\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} = \binom{10+15}{k} = \binom{25}{k}$।
इसी प्रकार,$\sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i} = \binom{12+13}{k+1} = \binom{25}{k+1}$।
कुल योग $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1}$ है।
पास्कल की पहचान का उपयोग करते हुए,$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$,हमें $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1} = \binom{26}{k+1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\binom{n}{r}$ सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $n$ और $r$ के लिए परिभाषित है,इसलिए अभिव्यक्ति $\binom{26}{k+1}$ किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $k$ के लिए मौजूद है। अतः,$k$ का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(D) मान लीजिए $n(C)$ समूह $C$ में छात्रों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक समूह में कम से कम एक छात्र होना चाहिए,शेष $10 - n(C)$ छात्रों को समूहों $A$ और $B$ में इस प्रकार वितरित किया जाना चाहिए कि $A$ और $B$ दोनों में कम से कम एक छात्र हो।
समूह $C$ में $n(C)$ छात्रों के एक निश्चित सेट के लिए,शेष $10 - n(C)$ छात्रों को समूहों $A$ और $B$ में वितरित करने के तरीकों की संख्या $2^{10-n(C)} - 2$ है।
स्थिति $1$: $n(C) = 1$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{1} \times (2^{9} - 2) = 10 \times 510 = 5100$.
स्थिति $2$: $n(C) = 2$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{2} \times (2^{8} - 2) = 45 \times 254 = 11430$.
स्थिति $3$: $n(C) = 3$.
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{3} \times (2^{7} - 2) = 120 \times 126 = 15120$.
कुल संभावनाओं की संख्या $= 5100 + 11430 + 15120 = 31650$.