f(x) = |x - 1| + |2x - 1| + |3x - 1| + dots + | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ द्वारा दिया गया है।हम इसे $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\sum_{k

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$\frac{1}{84}$

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(A) फलन $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ द्वारा दिया गया है।हम इसे $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ के रूप में लिख सकते हैं।यह $\sum_{k=1}^{n} c_k |x - a_k|$ के रूप का योग है,जहाँ $c_k = k$ और $a_k = \frac{1}{k}$ है।फलन $f(x)$ अपना न्यूनतम मान $a_k = \frac{1}{k}$ के भारित माध्यिका (weighted median) पर प्राप्त करता है,जहाँ भार $c_k = k$ है।$a_k$ के मान $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{119}$ हैं,जो घटते क्रम में हैं: $1 > \frac{1}{2} > \dots > \frac{1}{119}$।भार $c_1=1, c_2=2, \dots, c_{119}=119$ हैं।कुल भार $S = \sum_{k=1}^{119} k = \frac{119 	imes 120}{2} = 7140$ है।माध्यिका तब प्राप्त होती है जब संचयी भार $\frac{S}{2} = \frac{7140}{2} = 3570$ तक पहुँच जाता है।हम वह $m$ ढूँढते हैं जिसके लिए $\sum_{k=1}^{m} k \ge 3570$ हो।सूत्र $\frac{m(m+1)}{2} \ge 3570$ का उपयोग करने पर,हमें $m(m+1) \ge 7140$ प्राप्त होता है।चूँकि $84 	imes 85 = 7140$,संचयी भार $m = 84$ पर ठीक $3570$ हो जाता है।अतः,न्यूनतम मान $x = a_{84} = \frac{1}{84}$ पर प्राप्त होता है।

$f(x) = |x - 1| + |2x - 1| + |3x - 1| + \dots + |119x - 1|$ का न्यूनतम मान $x$ पर प्राप्त होता है। तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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