Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(D) $7$ भिन्न अंकों के कुल क्रमचय $7! = 5040$ हैं।
मान लीजिए $A$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $153$ स्ट्रिंग है। $153$ को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ वस्तुएं हैं: ${153, 2, 4, 6, 7}$। अतः,$n(A) = 5! = 120$।
मान लीजिए $B$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $2467$ स्ट्रिंग है। $2467$ को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ वस्तुएं हैं: ${2467, 1, 3, 5}$। अतः,$n(B) = 4! = 24$।
मान लीजिए $A \cap B$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जिनमें $153$ और $2467$ दोनों स्ट्रिंग हैं। इन दो ब्लॉकों को लेने पर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $2$ वस्तुएं हैं: ${153, 2467}$। अतः,$n(A \cap B) = 2! = 2$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कम से कम एक स्ट्रिंग वाले क्रमचयों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 120 + 24 - 2 = 142$ है।
किसी भी स्ट्रिंग को न रखने वाले क्रमचयों की संख्या $Total - n(A \cup B) = 5040 - 142 = 4898$ है।

(C) दिए गए अंक $1, 2, 2, 3$ हैं। कुल चार अंकों की संख्याएँ जो बनाई जा सकती हैं,वे $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर अंकों का योग ज्ञात करने के लिए:
किसी भी विशिष्ट स्थान के लिए,प्रत्येक अंक की आवृत्ति:
- अंक $1$: $3$ बार।
- अंक $2$: $6$ बार।
- अंक $3$: $3$ बार।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 24$.
सभी ऐसी संख्याओं का योग $= 24 \times 1000 + 24 \times 100 + 24 \times 10 + 24 \times 1 = 24 \times 1111 = 26664$.

(B) $x+y+z=15$ के कुल अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2} = 136$ है।
उन हलों की संख्या ज्ञात करें जहाँ कम से कम दो चर समान हैं:
यदि $x=y$,तो $2x+z=15$। $x$ के लिए $0$ से $7$ तक $8$ मान संभव हैं।
इसी प्रकार $y=z$ और $x=z$ के लिए भी $8-8$ हल हैं।
कुल हल जहाँ कम से कम दो चर समान हैं = $8+8+8 - 2(1) = 22$ (क्योंकि $(5,5,5)$ तीनों स्थितियों में गिना गया है)।
भिन्न हलों की संख्या = $136 - 22 = 114$।

(D) अंकों $a, a, a, b, b, b, c, c, c$ के विन्यासों की कुल संख्या $\frac{9!}{3!3!3!} = 1680$ है।
हमें उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ कम से कम एक लगातार त्रिक $A.P.$ बनाता है।
चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A.P.$ में संभावित त्रिक $(a, b, c)$ और $(c, b, a)$ हैं।
ऐसी नौ अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $1260$ है।

(C) मान लीजिए कि सात अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं,जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 1$,जहाँ $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
$x_i = y_i + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ हो जाता है।
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ है।
हालाँकि,हमें $x_i \le 4$ की शर्त को पूरा करना होगा,जिसका अर्थ है $y_i \le 3$।
हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करके उन मामलों को घटाएंगे जहाँ कम से कम एक $y_i \ge 4$ है।
यदि एक $y_i \ge 4$ है,तो $y_i = z_i + 4$ लें। तब $z_i + 4 + \sum_{j \neq i} y_j = 5$,अर्थात $z_i + \sum_{j \neq i} y_j = 1$।
एक निश्चित $i$ के लिए हलों की संख्या $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ है।
चूँकि $i$ के लिए $7$ विकल्प हैं,हम $7 \times 7 = 49$ घटाएंगे।
अतः,कुल मान्य पूर्णांक संख्याएँ $462 - 49 = 413$ हैं।

(B) एक संख्या $6$ से विभाज्य है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हो।
संख्या को $2$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए इकाई का अंक $2$ या $4$ होना चाहिए।
संख्या को $3$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए इसके अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का अंक $2$ है। पहले दो अंकों का योग $3k - 2$ होना चाहिए।
इकाई का अंक $2$ वाली संख्याएँ: $132, 312, 222, 252, 522, 342, 432, 552$। (कुल $8$ संख्याएँ)।
स्थिति $2$: इकाई का अंक $4$ है। पहले दो अंकों का योग $3k - 4$ होना चाहिए।
इकाई का अंक $4$ वाली संख्याएँ: $114, 144, 414, 234, 324, 444, 534, 354$। (कुल $8$ संख्याएँ)।
कुल संख्याएँ = $8 + 8 = 16$।

(A) तीन अंकों की एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
माना अंक $d_1, d_2, d_3 \in \{1, 3, 5, 8\}$ हैं।
योग $S = d_1 + d_2 + d_3$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
अंकों को $3$ से विभाजित करने पर शेषफल: $1 \equiv 1, 3 \equiv 0, 5 \equiv 2, 8 \equiv 2$ है।
इस प्रकार,ऐसी कुल $22$ संख्याएँ संभव हैं।

(A) माना कि $4-$अंकीय कोड $d_1 d_2 d_3 d_4$ है। सभी अंक भिन्न हैं,$d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$,और $\max(d_i) = 7$ है। साथ ही,$d_1 + d_2 = d_3 + d_4 = \alpha$ है।
हम योग $\alpha$ के आधार पर मामलों का विश्लेषण करते हैं:
स्थिति $I$: $\alpha = 7$ है। अंकों $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ का उपयोग करके $7$ योग देने वाले जोड़े $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4)$ हैं।
कुल प्रयासों की संख्या $24 + 16 + 16 + 8 + 8 = 72$ है।

(D) दी गई असमिका: ${ }^6 C_{m} + 2({ }^6 C_{m+1}) + { }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$।
सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r+1} = { }^{n+1} C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$({ }^6 C_{m} + { }^6 C_{m+1}) + ({ }^6 C_{m+1} + { }^6 C_{m+2}) > { }^8 C_3$
${ }^7 C_{m+1} + { }^7 C_{m+2} > { }^8 C_3$
${ }^8 C_{m+2} > { }^8 C_3$।
यहाँ ${ }^8 C_3 = 56$,इसलिए ${ }^8 C_{m+2} > 56$।
$m=2$ रखने पर,${ }^8 C_4 = 70 > 56$। अतः,$m=2$।
अब,अनुपात: ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$।
$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n} = \frac{1}{8} \implies n=8$।
अंत में,${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m = { }^8 P_3 + { }^9 C_2$ की गणना करने पर:
${ }^8 P_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$।
${ }^9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$।
योग $= 336 + 36 = 372$।

(C) यह प्रश्न $5$ अलग-अलग वस्तुओं को $4$ अविभेद्य बक्सों में वितरित करने के तरीकों की संख्या पूछता है,जहाँ बक्से खाली हो सकते हैं। यह दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं $S(5, k)$ का योग है,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4$ है।
$S(5, 1) = 1$ (सभी $5$ एक कार्यालय में)
$S(5, 2) = 15$ ($5$ को $2$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $4+1$ या $3+2$)
$S(5, 3) = 25$ ($5$ को $3$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $3+1+1$ या $2+2+1$)
$S(5, 4) = 10$ ($5$ को $4$ गैर-रिक्त सेटों में विभाजित करना: $2+1+1+1$)
कुल तरीके $n = S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) = 1 + 15 + 25 + 10 = 51$.

(B) कुल $4$ पुरुषों और $4$ महिलाओं का चयन करने के लिए,हम समूह $A$ और समूह $B$ से चयन की संभावनाओं पर विचार करते हैं।

समूह $A$ से चयन	समूह $B$ से चयन	चयन के तरीके
$4M, 0W$	$0M, 4W$	${}^4C_4 \times {}^4C_4 = 1$
$3M, 1W$	$1M, 3W$	${}^4C_3 \times {}^5C_1 \times {}^5C_1 \times {}^4C_3 = 400$
$2M, 2W$	$2M, 2W$	${}^4C_2 \times {}^5C_2 \times {}^5C_2 \times {}^4C_2 = 3600$
$1M, 3W$	$3M, 1W$	${}^4C_1 \times {}^5C_3 \times {}^5C_3 \times {}^4C_1 = 1600$
$0M, 4W$	$4M, 0W$	${}^5C_4 \times {}^5C_4 = 25$

कुल तरीके = $1 + 400 + 3600 + 1600 + 25 = 5626$.

(D) $4$ पासों के साथ $16$ का योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4$ के विस्तार में $x^{16}$ का गुणांक है।
यह $[x(1-x^6)(1-x)^{-1}]^4 = x^4(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ में $x^{16}$ के गुणांक के बराबर है।
हमें $(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1-x^6)^4 = 1 - 4x^6 + 6x^{12} - \dots$
$(1-x)^{-4} = 1 + \binom{4}{1}x + \binom{5}{2}x^2 + \dots + \binom{n+3}{3}x^n + \dots$
$x^{12}$ का गुणांक इस प्रकार है:
$1 \cdot \binom{15}{3} - 4 \cdot \binom{9}{3} + 6 \cdot \binom{3}{3}$
$= 455 - 4 \times 84 + 6$
$= 455 - 336 + 6 = 125$.

(C) दिया गया अनुपात ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ है।
सबसे पहले,अनुपात $\frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{{ }^{n} C_{r}} = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}$ लें।
सूत्र ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!} \times \frac{r!(n-r)!}{n!} = \frac{n+1}{r+1} = \frac{11}{7}$.
$7n + 7 = 11r + 11 \implies 7n - 11r = 4$ $(1)$.
अब,अनुपात $\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n-1} C_{r-1}} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$ लें।
$\frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r)!}{(n-1)!} = \frac{n}{r} = \frac{5}{3}$.
$3n = 5r \implies n = \frac{5r}{3}$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$7(\frac{5r}{3}) - 11r = 4$.
$\frac{35r - 33r}{3} = 4 \implies 2r = 12 \implies r = 6$.
अतः $n = \frac{5(6)}{3} = 10$.
अंत में,$2n + 5r = 2(10) + 5(6) = 20 + 30 = 50$।

(D) दिए गए अंक $S = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ हैं। बिना पुनरावृत्ति के बनने वाली $3$-अंकीय कुल संख्याएँ $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ हैं।
यदि अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
$3$ से विभाज्य होने वाले $3$ अंकों के समूह: $\{2, 3, 4\}, \{2, 3, 7\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 5, 7\}$।
प्रत्येक समूह $3! = 6$ संख्याएँ बना सकता है।
$3$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 4 \times 6 = 24$।
$3$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 60 - 24 = 36$।

(A) $ENDEANOEL$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $E, E, E, N, N, D, A, O, L$।
$(A)$ $ENDEA$ को एक ब्लॉक के रूप में मानने पर,हमारे पास $(ENDEA)$ ब्लॉक और शेष अक्षर $N, O, E, L$ हैं। कुल वस्तुएं $= 5$। क्रमचयों की संख्या $= 5! = 120$ है। यह $(p)$ से मेल खाता है।
$(B)$ कुल अक्षर $= 9$ हैं। $E$ तीन बार आता है। यदि $E$ पहले और अंतिम स्थान पर है,तो हमारे पास $E, N, N, D, A, O, L$ भरने के लिए $7$ स्थान शेष हैं। तरीकों की संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520 = 21 \times 120 = 21 \times 5!$ है। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(C)$ अंतिम $5$ स्थानों में $D, L, N$ का न होना मतलब $D, L, N$ को पहले $4$ स्थानों में होना चाहिए। अक्षर $E, E, E, N, N, D, A, O, L$ हैं। पहले $4$ स्थानों में $D, L, N$ और एक $E$ होना चाहिए। तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$। अंतिम $5$ स्थानों में शेष $E, E, A, O$ होने चाहिए। तरीके $= \frac{5!}{3!} = 20$। कुल $= 12 \times 20 = 240 = 2 \times 120 = 2 \times 5!$ है। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(D)$ $A, E, O$ केवल विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7, 9)$ पर आते हैं। कुल $5$ विषम स्थान हैं। हमारे पास $3$ $E$,$1$ $A$,$1$ $O$ हैं। कुल $5$ अक्षर। इन्हें $5$ विषम स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{5!}{3!} = 20$ हैं। शेष $4$ अक्षरों $(N, N, D, L)$ को $4$ सम स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{4!}{2!} = 12$ हैं। कुल $= 20 \times 12 = 240 = 2 \times 5!$ है। यह $(q)$ से मेल खाता है।

(C) मान लीजिए सात अंक $x_1, x_2, \dots, x_7$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3\}$ है।
हमें $x_1 + x_2 + \dots + x_7 = 10$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह $(x + x^2 + x^3)^7$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है।
$(x + x^2 + x^3)^7 = x^7(1 + x + x^2)^7 = x^7 \left(\frac{1 - x^3}{1 - x}\right)^7 = x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$.
हमें $x^7(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^{10}$ का गुणांक ज्ञात करना है,जो $(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7}$ में $x^3$ का गुणांक है।
$(1 - x^3)^7(1 - x)^{-7} = (1 - 7x^3 + \dots)(1 + 7x + \frac{7 \times 8}{2}x^2 + \frac{7 \times 8 \times 9}{6}x^3 + \dots)$.
$x^3$ का गुणांक $1 \times \binom{7+3-1}{3} - 7 \times 1 = \binom{9}{3} - 7 = 84 - 7 = 77$ है।
वैकल्पिक रूप से,अंकों के संभावित सेट:
$1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{5!} = 42$.
$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ (योग $= 10$): व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
कुल $= 42 + 35 = 77$.

(A) स्थिति $1$: $0$ लड़के शामिल हैं।
$6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन ${}^6C_4 = 15$ प्रकार से होता है।
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ प्रकार से होता है।
स्थिति $1$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $2$: $1$ लड़का शामिल है।
$6$ लड़कियों में से $3$ और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ प्रकार से होता है।
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ प्रकार से होता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
कुल तरीके $= 60 + 320 = 380$.

(B) $5$ अलग-अलग गेंदों को $3$ व्यक्तियों के बीच वितरित करने के लिए,ताकि प्रत्येक को कम से कम एक गेंद मिले,हम समूहों $(3, 1, 1)$ और $(2, 2, 1)$ का उपयोग करते हैं।
स्थिति $1$: समूह का आकार $(3, 1, 1)$.
$5$ गेंदों को $(3, 1, 1)$ के समूहों में विभाजित करने के तरीके $\frac{5!}{3!1!1! \cdot 2!} = 10$ हैं।
चूंकि व्यक्ति अलग-अलग हैं,$3!$ से गुणा करने पर: $10 \times 6 = 60$.
स्थिति $2$: समूह का आकार $(2, 2, 1)$.
$5$ गेंदों को $(2, 2, 1)$ के समूहों में विभाजित करने के तरीके $\frac{5!}{2!2!1! \cdot 2!} = 15$ हैं।
चूंकि व्यक्ति अलग-अलग हैं,$3!$ से गुणा करने पर: $15 \times 6 = 90$.
कुल तरीके $= 60 + 90 = 150$.

(C) $(i)$ $\alpha_1 = {^6C_3} \times {^5C_2} = 20 \times 10 = 200$. अतः,$P \rightarrow 4$.
$(ii)$ $\alpha_2 = \sum_{k=1}^{5} {^6C_k} \times {^5C_k} = ({^6C_1} \times {^5C_1}) + ({^6C_2} \times {^5C_2}) + ({^6C_3} \times {^5C_3}) + ({^6C_4} \times {^5C_4}) + ({^6C_5} \times {^5C_5}) = 30 + 150 + 200 + 75 + 6 = 461$. अतः,$Q \rightarrow 6$.
$(iii)$ $\alpha_3 = \text{कुल तरीके} - (0 \text{ लड़कियाँ} + 1 \text{ लड़की}) = {^{11}C_5} - ({^5C_0} \times {^6C_5} + {^5C_1} \times {^6C_4}) = 462 - (6 + 75) = 381$. अतः,$R \rightarrow 5$.
$(iv)$ $\alpha_4 = \text{कम से कम } 2 \text{ } \text{लड़कियों वाले कुल तरीके} - M_1, G_1 \text{ } \text{दोनों के उपस्थित होने वाले तरीके} = 215 - 26 = 189$. अतः,$S \rightarrow 2$.

(C) माना चार कमरों में व्यक्तियों की संख्या $n_1, n_2, n_3, n_4$ है। चूंकि प्रत्येक कमरे में कम से कम $1$ और अधिक से अधिक $2$ व्यक्ति हैं,और कुल व्यक्तियों की संख्या $6$ है,इसलिए $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 6$ जहाँ $1 \le n_i \le 2$.
इसका अर्थ है कि दो कमरों में $2$ व्यक्ति और दो कमरों में $1$ व्यक्ति होने चाहिए (क्योंकि $2+2+1+1 = 6$).
$6$ अलग-अलग व्यक्तियों को इन समूहों में वितरित करने के तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!2!1!1!}$ है।
चूंकि कमरे अलग-अलग हैं,हमें इन समूह आकारों को $4$ कमरों में असाइन करने के तरीकों की संख्या से गुणा करना होगा,जो $\frac{4!}{2!2!} = 6$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times 6 = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ है।

(C) $n_1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
$(B)$ शर्त $1 \leq i < j + 2 \leq 10$ है,जिसका अर्थ है $i < j + 2$ और $j \leq 8$। चूँकि $i \geq 1$,प्रत्येक $j \in \{1, 2, \ldots, 8\}$ के लिए,$i$ का मान $1$ से $j+1$ तक हो सकता है।
योग: $\sum_{j=1}^{8} (j+1) = 2 + 3 + \ldots + 9 = 44$। अतः,$n_2 = 44$.
$(C)$ $n_3$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे $10$ में से $4$ भिन्न अवयव इस प्रकार चुने जाएँ कि $i < j < k < l$,जो $\binom{10}{4} = 210$ है। अतः,$n_3 = 210 \neq 220$.
$(D)$ $n_4$ $10$ में से $4$ भिन्न अवयवों के क्रमचय (permutations) की संख्या है,जो $P(10, 4) = 5040$ है।
अतः $\frac{n_4}{12} = \frac{5040}{12} = 420$।
इस प्रकार,कथन $(A), (B), (D)$ सत्य हैं।

(A) माना हटाए गए कार्ड $k$ और $k+1$ हैं।
$1$ से $n$ तक के सभी कार्डों का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है।
शेष कार्डों का योग $1224$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{n(n+1)}{2} - (k + k + 1) = 1224$
$n^2 + n - 2(2k + 1) = 2448$
$n^2 + n - 4k - 2 = 2448$
$n^2 + n - 2450 = 4k$
$(n + 50)(n - 49) = 4k$
चूँकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$(n+50)(n-49)$ को $4$ का गुणज होना चाहिए और $k < n$ होना चाहिए।
$n = 50$ के लिए:
$(50 + 50)(50 - 49) = 100 \times 1 = 100 = 4k \Rightarrow k = 25$.
चूँकि $k < n$ $(25 < 50)$,यह एक मान्य समाधान है।
अतः $k - 20 = 25 - 20 = 5$.

(D) हमें दिया गया है $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ जहाँ $n_i \in \mathbb{Z}^+$ और $\sum_{i=1}^5 n_i = 20$ है।
$20$ को $5$ भिन्न धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के सभी संभव तरीके इस प्रकार हैं:
$(1, 2, 3, 4, 10), (1, 2, 3, 5, 9), (1, 2, 3, 6, 8), (1, 2, 4, 5, 8), (1, 2, 4, 6, 7), (1, 3, 4, 5, 7), (2, 3, 4, 5, 6)$.
कुल $7$ ऐसी व्यवस्थाएं संभव हैं।

(A) $n$ के लिए: $5$ लड़कियों को एक ब्लॉक के रूप में मानें। हमारे पास $5$ लड़के और $1$ लड़कियों का ब्लॉक है,कुल $6$ इकाइयाँ। इन्हें $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $5$ लड़कियाँ आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं। अतः,$n = 6! \times 5!$.
$m$ के लिए: हम चाहते हैं कि ठीक $4$ लड़कियाँ लगातार खड़ी हों।
पहले,$5$ में से $4$ लड़कियों को $^5C_4 = 5$ तरीकों से चुनें।
इन $4$ लड़कियों को एक ब्लॉक के रूप में मानें। अब हमारे पास $5$ लड़के,$1$ ब्लॉक और $1$ शेष लड़की है,कुल $7$ इकाइयाँ।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि ठीक $4$ लड़कियाँ साथ हों,हम $7$ इकाइयों को $7!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं और उन मामलों को घटाते हैं जहाँ $5$वीं लड़की $4$ लड़कियों के ब्लॉक के बगल में हो। ये मामले $(7! - 2 \times 6!)$ हैं।
अंत में,$4$ लड़कियों की आंतरिक व्यवस्था $(4!)$ और उनके चयन के तरीकों $(5)$ से गुणा करने पर: $m = 5 \times (7! - 2 \times 6!) \times 4! = 25 \times 6! \times 4!$.
$\frac{m}{n} = \frac{25 \times 6! \times 4!}{6! \times 5!} = 5$.

(B) हमें अंतराल $[2022, 4482]$ में ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ अंकों का उपयोग करके $4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है।
स्थिति $(1)$: $202...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
संख्याएँ $2022, 2023, 2024, 2026, 2027$ हैं। कुल = $5$।
स्थिति $(2)$: $203..., 204..., 206..., 207...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $2$,दूसरा $0$,तीसरा ${3, 4, 6, 7}$ ($4$ विकल्प),चौथा ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ ($6$ विकल्प)।
कुल = $4 \times 6 = 24$।
स्थिति $(3)$: $22..., 23..., 24..., 26..., 27...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $2$,दूसरा ${2, 3, 4, 6, 7}$ ($5$ विकल्प),तीसरा और चौथा कोई भी ($6$ विकल्प)।
कुल = $5 \times 6 \times 6 = 180$।
स्थिति $(4)$: $3...$ से शुरू होने वाली संख्याएँ
पहला अंक $3$,बाकी तीन स्थानों के लिए $6$ विकल्प।
कुल = $6 \times 6 \times 6 = 216$।
स्थिति $(5)$: $40..., 42..., 43..., 44...$ से $4482$ तक की संख्याएँ।
$40..., 42..., 43...$ के लिए: $3 \times 6 \times 6 = 108$।
$440..., 442..., 443...$ के लिए: $3 \times 6 = 18$।
$4440, 4442, 4443, 4444, 4446, 4447$: $6$ संख्याएँ।
$4460, 4462, 4463, 4464, 4466, 4467$: $6$ संख्याएँ।
$4470, 4472, 4473, 4474, 4476, 4477$: $6$ संख्याएँ।
स्थिति $(5)$ के लिए योग = $108 + 18 + 6 + 6 + 6 = 144$।
कुल = $5 + 24 + 180 + 216 + 144 = 569$।

(A) मान लें कि $n_i$ बक्से $i$ से चुनी गई गेंदों की संख्या है,जहाँ $n_i \ge 2$ और $\sum_{i=1}^4 n_i = 10$ है।
चूँकि प्रत्येक बक्से में कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद होनी चाहिए,$(n_1, n_2, n_3, n_4)$ के संभावित वितरण $(4, 2, 2, 2)$ और $(3, 3, 2, 2)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
स्थिति $I$: वितरण $(4, 2, 2, 2)$।
एक बक्से से $4$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{5}{4} - \binom{3}{4} - \binom{2}{4} = 5$।
एक बक्से से $2$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 6$।
इस स्थिति के लिए कुल तरीके: $\binom{4}{1} \times 5 \times 6^3 = 4320$।
स्थिति $II$: वितरण $(3, 3, 2, 2)$।
एक बक्से से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ताकि कम से कम एक लाल और एक नीली गेंद चुनी जाए: $\binom{5}{3} - \binom{3}{3} - \binom{2}{3} = 9$।
इस स्थिति के लिए कुल तरीके: $\binom{4}{2} \times 9^2 \times 6^2 = 17496$।
कुल तरीके = $4320 + 17496 = 21816$।

(A) चरण $1$: $3$ लड़कियों के समूह को एक इकाई और $4$ लड़कों के समूह को एक इकाई के रूप में मानें। इन $2$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $2! = 2$ हैं।
चरण $2$: लड़कियों की इकाई के भीतर,$3$ लड़कियों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
चरण $3$: लड़कों की इकाई के भीतर,$4$ लड़कों को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। सभी लड़कियों के एक साथ और सभी लड़कों के एक साथ होने की कुल व्यवस्था $2 \times 6 \times 24 = 288$ है।
चरण $4$: अब,उन व्यवस्थाओं की गणना करें जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न (adjacent) हैं। $(B_1, B_2)$ को एक इकाई के रूप में मानें। $4$ लड़कों को $3! \times 2! = 12$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। लड़कियों के एक साथ,लड़कों के एक साथ और $B_1, B_2$ के आसन्न होने की कुल व्यवस्था $2 \times 6 \times 12 = 144$ है।
चरण $5$: उन तरीकों की संख्या जहाँ $B_1$ और $B_2$ आसन्न नहीं हैं,$288 - 144 = 144$ है।

(A) स्थिति $1$: सभी $5$ लड़के एक साथ बैठें। $5$ लड़कों को $1$ इकाई मान लें। हमारे पास $1$ लड़कों की इकाई और $4$ लड़कियाँ हैं,कुल $5$ इकाइयाँ। इन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $5$ लड़के आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं। कुल तरीके $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
स्थिति $2$: कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें। पहले,$4$ लड़कियों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित करें। यह $5$ रिक्त स्थान बनाता है (सिरों सहित) जहाँ $5$ लड़के बैठ सकते हैं: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ लड़कों को $5$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $P(5, 5) = 5!$ हैं। कुल तरीके $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.
चूंकि ये दोनों स्थितियाँ परस्पर अपवर्जी हैं,कुल तरीके $= 14400 + 2880 = 17280$.

(C) हमें कुल $4$ लड़कों और $4$ लड़कियों का चयन करना है,ताकि $5$ विद्यार्थी समूह $A$ से और $3$ विद्यार्थी समूह $B$ से हों।
मान लीजिए $x_1, y_1$ समूह $A$ से चुने गए लड़कों और लड़कियों की संख्या है,और $x_2, y_2$ समूह $B$ से चुने गए लड़कों और लड़कियों की संख्या है।
हमें प्राप्त होता है $x_1 + y_1 = 5$ और $x_2 + y_2 = 3$,जहाँ $x_1 + x_2 = 4$ और $y_1 + y_2 = 4$.
संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $I$: $x_1=2, y_1=3$ (समूह $A$ से) और $x_2=2, y_2=1$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{2} \binom{3}{3} \times \binom{6}{2} \binom{5}{1} = 21 \times 1 \times 15 \times 5 = 1575$.
स्थिति $II$: $x_1=3, y_1=2$ (समूह $A$ से) और $x_2=1, y_2=2$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{3} \binom{3}{2} \times \binom{6}{1} \binom{5}{2} = 35 \times 3 \times 6 \times 10 = 6300$.
स्थिति $III$: $x_1=4, y_1=1$ (समूह $A$ से) और $x_2=0, y_2=3$ (समूह $B$ से): $\binom{7}{4} \binom{3}{1} \times \binom{6}{0} \binom{5}{3} = 35 \times 3 \times 1 \times 10 = 1050$.
कुल तरीके $= 1575 + 6300 + 1050 = 8925$.

(D) $5$-अंकीय संख्या को $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ मानें। चूँकि संख्या $> 50000$ है,$d_1 \in \{5, 6, 7\}$।
दिया है $d_1 + d_5 \le 8$।
स्थिति $1$: $d_1 = 5$। तब $5 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2, 3\}$। $d_5$ के लिए $4$ विकल्प हैं।
$d_2, d_3, d_4$ के लिए $8$ विकल्प हैं। अतः,$4 \times 8^3 = 2048$।
स्थिति $2$: $d_1 = 6$। तब $6 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1, 2\}$। $d_5$ के लिए $3$ विकल्प हैं। कुल $= 3 \times 512 = 1536$।
स्थिति $3$: $d_1 = 7$। तब $7 + d_5 \le 8 \implies d_5 \in \{0, 1\}$। $d_5$ के लिए $2$ विकल्प हैं। कुल $= 2 \times 512 = 1024$।
योग: $2048 + 1536 + 1024 = 4608$।
चूँकि संख्या $50000$ से बड़ी होनी चाहिए,$50000$ को घटाने पर,कुल संख्या $4608 - 1 = 4607$ होगी।

(A) दिया है ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,और ${}^nC_{r+1} = 70$।
गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$।
इसी प्रकार,$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{70}{56} = \frac{5}{4}$।
$4(n-r) = 5(r+1)$ $\Rightarrow 4n - 4r = 5r + 5$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5$ (ii)।
$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $4(3r-1) = 9r+5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः $n = 3(3)-1 = 8$।
$C$ के निर्देशांक $(3(3)-8, 3^2-8-1) = (1, 0)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{4 \cos t + 2 \sin t + 1}{3} \Rightarrow 3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$।
$y = \frac{4 \sin t - 2 \cos t + 0}{3} \Rightarrow 3y = 4 \sin t - 2 \cos t$।
वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x-1)^2 + (3y)^2 = (4 \cos t + 2 \sin t)^2 + (4 \sin t - 2 \cos t)^2$।
$= 16 \cos^2 t + 4 \sin^2 t + 16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 20(\cos^2 t + \sin^2 t) = 20$।
अतः $\alpha = 20$।

(A) माना तीन अंकों की संख्या $xyz$ है,जहाँ $x, y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}$ और $x \in \{2, 3, \dots, 9\}$ है। हमें $x+y+z=15$ की आवश्यकता है। चूँकि संख्या $212$ और $999$ के बीच है,हम $x$ के लिए स्थितियों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $x=2$,तो $y+z=13$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4)$. कुल = $6$.
$2$. यदि $x=3$,तो $y+z=12$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(3,9), (4,8), (5,7), (6,6), (7,5), (8,4), (9,3)$. कुल = $7$.
$3$. यदि $x=4$,तो $y+z=11$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(2,9), (3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3), (9,2)$. कुल = $8$.
$4$. यदि $x=5$,तो $y+z=10$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)$. कुल = $9$.
$5$. यदि $x=6$,तो $y+z=9$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)$. कुल = $10$.
$6$. यदि $x=7$,तो $y+z=8$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)$. कुल = $9$.
$7$. यदि $x=8$,तो $y+z=7$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)$. कुल = $8$.
$8$. यदि $x=9$,तो $y+z=6$. संभावित जोड़े $(y, z)$ हैं: $(0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)$. कुल = $7$.
योग: $6+7+8+9+10+9+8+7 = 64$.

(D) शब्द $\text{MATHS}$ में $5$ भिन्न अक्षर हैं: $\{M, A, T, H, S\}$. हमें $6$-अक्षरों वाला शब्द बनाना है जिसमें प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।
स्थिति $1$: $3$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,प्रत्येक दो बार आए।
$5$ में से $3$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_3 = 10$.
$6$ अक्षरों की व्यवस्था जहाँ प्रत्येक दो बार आए $= \frac{6!}{2!2!2!} = 90$.
कुल शब्द $= 10 \times 90 = 900$.
स्थिति $2$: $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,एक $4$ बार और एक $2$ बार आए।
$5$ में से $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_2 = 10$.
व्यवस्था की संख्या $= \frac{6!}{4!2!} \times 2 = 15 \times 2 = 30$.
कुल शब्द $= 10 \times 30 = 300$.
स्थिति $3$: $2$ भिन्न अक्षरों का उपयोग,प्रत्येक $3$ बार आए।
$5$ में से $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $= ^5C_2 = 10$.
व्यवस्था की संख्या $= \frac{6!}{3!3!} = 20$.
कुल शब्द $= 10 \times 20 = 200$.
कुल शब्दों की संख्या $= 900 + 300 + 200 = 1400$.

(A) माना $P(W_{1}) = x$ है।
कुल शब्दों की संख्या $5! = 120$ है,इसलिए प्रायिकताओं का योग $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $x + 2x + 2^{2}x + \dots + 2^{119}x = 1$।
$\frac{x(2^{120}-1)}{2-1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2^{120}-1}$।
अब,शब्द $CDBEA$ का क्रम ज्ञात करते हैं:
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$B$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$।
$CA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$CB$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$।
$CDA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$।
$CDBAE$: $1$।
$CDBEA$: $1$।
कुल क्रम $n = 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 + 1 = 64$।
अतः,$P(W_{64}) = 2^{63} P(W_{1}) = \frac{2^{63}}{2^{120}-1}$।
$\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 63$ और $\beta = 120$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta = 63 + 120 = 183$।

(D) $7$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 9,000,000$ हैं।
किसी भी $7$ अंकीय संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7$ के लिए,पहले $6$ अंकों का योग $S$ सम या विषम हो सकता है।
यदि $S$ सम है,तो $d_7$ को सम $(0, 2, 4, 6, 8)$ होना चाहिए ($5$ विकल्प)।
यदि $S$ विषम है,तो $d_7$ को विषम $(1, 3, 5, 7, 9)$ होना चाहिए ($5$ विकल्प)।
अतः,अंकों का योग सम होने वाली $7$ अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $= \frac{9,000,000}{2} = 4,500,000$ है।
यह मान $m \cdot n \cdot 10^n = 9 \cdot 5 \cdot 10^5$ के रूप में है।
अतः $m=9$ और $n=5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m+n = 9+5 = 14$।

(D) मान लीजिए $m = 6a$ और $n = 6b$ है। चूँकि $m < n$,इसलिए $a < b$ है।
चूँकि $m$ और $n$ $2$-अंकीय संख्याएँ हैं,$10 \leq 6a \leq 99$ और $10 \leq 6b \leq 99$,जिसका अर्थ है $2 \leq a < b \leq 16$।
साथ ही,$\operatorname{gcd}(m, n) = 6$ का अर्थ है $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$।
हम उन युग्मों $(a, b)$ की गणना करते हैं जहाँ $2 \leq a < b \leq 16$ और $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ है:
युग्मों की कुल संख्या = $7 + 9 + 6 + 9 + 3 + 8 + 4 + 5 + 2 + 5 + 1 + 3 + 1 + 1 = 64$।

(B) चुने जाने वाले कुल खिलाड़ी = $10$.
दिया गया है: $1$ बल्लेबाज (कप्तान) और $1$ गेंदबाज (उप-कप्तान) पहले से ही चुने जा चुके हैं।
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी = $10 - 2 = 8$.
शेष समूह: $6$ बल्लेबाज और $5$ गेंदबाज।
शर्तें: कुल कम से कम $4$ बल्लेबाज और $4$ गेंदबाज।
चूंकि $1$ बल्लेबाज और $1$ गेंदबाज पहले से ही शामिल हैं,हमें शेष $8$ स्थानों के लिए कम से कम $3$ और बल्लेबाज और $3$ और गेंदबाजों की आवश्यकता है।
$6$ बल्लेबाजों और $5$ गेंदबाजों में से $8$ खिलाड़ियों को चुनने के संभावित मामले:
मामला $1$: $5$ बल्लेबाज और $3$ गेंदबाज: ${}^6C_5 \times {}^5C_3 = 6 \times 10 = 60$.
मामला $2$: $4$ बल्लेबाज और $4$ गेंदबाज: ${}^6C_4 \times {}^5C_4 = 15 \times 5 = 75$.
मामला $3$: $3$ बल्लेबाज और $5$ गेंदबाज: ${}^6C_3 \times {}^5C_5 = 20 \times 1 = 20$.
कुल तरीके = $60 + 75 + 20 = 155$.

(A) $\{1, 2, \ldots, n\}$ के $r$ अवयवों वाले उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कोई भी दो अवयव क्रमागत न हों,सूत्र $\binom{n-r+1}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$n=5$ के लिए,प्रत्येक संभावित आकार $r$ के लिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या इस प्रकार है:
- $r=0$ (रिक्त समुच्चय) के लिए: $\binom{5-0+1}{0} = \binom{6}{0} = 1$.
- $r=1$ के लिए: $\binom{5-1+1}{1} = \binom{5}{1} = 5$.
- $r=2$ के लिए: $\binom{5-2+1}{2} = \binom{4}{2} = 6$.
- $r=3$ के लिए: $\binom{5-3+1}{3} = \binom{3}{3} = 1$.
उपसमुच्चयों की कुल संख्या $n(S_5) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13$।

(D) मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $0$ ठीक दो बार आता है। मान लीजिए $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जिनमें अंक $1$ ठीक दो बार आता है। हम $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ ज्ञात करना चाहते हैं।
$1$. $n(A)$ की गणना:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। इसलिए,हम शेष $6$ स्थानों में से $0$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $5$ स्थानों को $1$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। अतः,$n(A) = \binom{6}{2} \times 2^5 = 15 \times 32 = 480$.
$2$. $n(B)$ की गणना:
स्थिति $I$: $1$ पहले स्थान पर है। हमें शेष $6$ स्थानों में एक और $1$ की आवश्यकता है,जिसे $\binom{6}{1}$ तरीकों से रखा जा सकता है। शेष $5$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^5$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 6 \times 32 = 192$.
स्थिति $II$: $1$ पहले स्थान पर नहीं है। पहला स्थान $2$ हो सकता है (केवल $1$ विकल्प,क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता)। हम शेष $6$ स्थानों में से $1$ के लिए $2$ स्थान $\binom{6}{2}$ तरीकों से चुनते हैं। शेष $4$ स्थानों को $0$ या $2$ द्वारा $2^4$ तरीकों से भरा जा सकता है। तरीकों की संख्या $= 15 \times 16 = 240$.
अतः,$n(B) = 192 + 240 = 432$.
$3$. $n(A \cap B)$ की गणना:
हमें ठीक दो $0$ और ठीक दो $1$ की आवश्यकता है। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
यदि पहला अंक $1$ है,तो हमें $\binom{6}{1}$ तरीकों से एक और $1$ और $\binom{5}{2}$ तरीकों से दो $0$ की आवश्यकता है। शेष $3$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 6 \times 10 = 60$.
यदि पहला अंक $2$ है,तो हमें $\binom{6}{2}$ तरीकों से दो $0$ और $\binom{4}{2}$ तरीकों से दो $1$ की आवश्यकता है। शेष $2$ स्थानों को $2$ द्वारा $1$ तरीके से भरा जा सकता है। तरीके $= 15 \times 6 = 90$.
अतः,$n(A \cap B) = 60 + 90 = 150$.
$4$. अंतिम परिणाम:
$n(A \cup B) = 480 + 432 - 150 = 762$.

(A) हम सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = {}^{47}C_4 + ({}^{51}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{48}C_3 + {}^{47}C_3)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$S = ({}^{47}C_4 + {}^{47}C_3) + {}^{48}C_3 + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
सर्वसमिका ${}^{47}C_4 + {}^{47}C_3 = {}^{48}C_4$ का उपयोग करने पर:
$S = ({}^{48}C_4 + {}^{48}C_3) + {}^{49}C_3 + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
सर्वसमिका ${}^{48}C_4 + {}^{48}C_3 = {}^{49}C_4$ का उपयोग करने पर:
$S = ({}^{49}C_4 + {}^{49}C_3) + {}^{50}C_3 + {}^{51}C_3$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 = {}^{51}C_4 + {}^{51}C_3 = {}^{52}C_4$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) '$UNIVERSITY$' शब्द में $10$ अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, I, T, Y$। '$I$' अक्षर $2$ बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{10!}{2!}$।
दोनों '$I$' के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,दो '$I$' को एक इकाई $(II)$ मान लें।
अब हमारे पास $9$ इकाइयाँ हैं: $(II), U, N, V, E, R, S, T, Y$।
'$I$' के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या = $9!$।
'$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता = $\frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$।
'$I$' के एक साथ न आने की प्रायिकता = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।

(C) अक्षरों का समूह $\{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\}$ है,जिसमें $10$ अलग-अलग अक्षर हैं।
$x$ के लिए,हम सभी $10$ अक्षरों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $10$ लंबाई के शब्द बनाते हैं,इसलिए $x = 10!$।
$y$ के लिए,हम $10$ उपलब्ध अक्षरों में से दो बार दोहराए जाने वाले $2$ अक्षरों को ${}^{10}C_2$ तरीकों से चुनते हैं।
शब्द के शेष $6$ स्थानों को शेष $8$ अक्षरों में से $6$ अलग-अलग अक्षरों को चुनकर भरा जा सकता है,जिसे ${}^{8}C_6$ तरीकों से किया जा सकता है।
इन $10$ अक्षरों के लिए कुल व्यवस्था (जहाँ $2$ अक्षर दो बार और $6$ अक्षर एक बार आते हैं) $\frac{10!}{2! \times 2!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$y = {}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}$।
अनुपात $\frac{y}{x}$ की गणना करने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6 \times \frac{10!}{2! \times 2!}}{10!} = \frac{{}^{10}C_2 \times {}^{8}C_6}{4} = \frac{45 \times 28}{4} = 45 \times 7 = 315$.

(B) मान लीजिए $P$ अपने मित्रों में से $l_1$ महिलाओं और $m_1$ पुरुषों को आमंत्रित करता है,और $Q$ अपनी सहेलियों में से $l_2$ महिलाओं और $m_2$ पुरुषों को आमंत्रित करती है।
दिया गया है कि $P$ $3$ मित्रों को आमंत्रित करता है,इसलिए $l_1 + m_1 = 3$ है।
दिया गया है कि $Q$ $3$ मित्रों को आमंत्रित करती है,इसलिए $l_2 + m_2 = 3$ है।
आमंत्रित महिलाओं की कुल संख्या $l_1 + l_2 = 3$ है।
आमंत्रित पुरुषों की कुल संख्या $m_1 + m_2 = 3$ है।
हमारे पास निम्नलिखित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $l_1=3, m_1=0$ और $l_2=0, m_2=3$. तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^3C_0 \times ^3C_0 \times ^4C_3 = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
स्थिति $2$: $l_1=2, m_1=1$ और $l_2=1, m_2=2$. तरीकों की संख्या = $^4C_2 \times ^3C_1 \times ^3C_1 \times ^4C_2 = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
स्थिति $3$: $l_1=1, m_1=2$ और $l_2=2, m_2=1$. तरीकों की संख्या = $^4C_1 \times ^3C_2 \times ^3C_2 \times ^4C_1 = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
स्थिति $4$: $l_1=0, m_1=3$ और $l_2=3, m_2=0$. तरीकों की संख्या = $^4C_0 \times ^3C_3 \times ^3C_3 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
कुल तरीकों की संख्या = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(B) $5$ प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर $2$ तरीकों से दिया जा सकता है (सत्य या असत्य)।
$5$ प्रश्नों के लिए उत्तरों के कुल संभावित क्रम $= 2^5 = 32$ हैं।
चूंकि किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,इसलिए हम उस $1$ क्रम को बाहर कर देते हैं जो सभी सही उत्तरों को दर्शाता है।
अतः,छात्रों की अधिकतम संख्या $= 32 - 1 = 31$ है।

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। सभी दिए गए अंकों का योग $0+1+2+3+4+5 = 15$ है। चूँकि हमें $5$ अंकों की संख्या बनानी है,हमें एक अंक को हटाना होगा ताकि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटाएँ। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के तरीके $5! = 120$ हैं।
स्थिति $2$: $3$ को हटाएँ। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के तरीके $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं।
कुल तरीके $= 120 + 96 = 216$.

(D) स्थिति $I$: कोई लड़का शामिल नहीं है।
$6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन $= {}^{6}C_{4} = 15$.
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ नेता का चयन $= {}^{4}C_{1} = 4$.
स्थिति $I$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $II$: ठीक एक लड़का शामिल है।
$6$ लड़कियों में से $3$ लड़कियाँ और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन $= {}^{6}C_{3} \times {}^{4}C_{1} = 20 \times 4 = 80$.
चुने गए $4$ सदस्यों में से $1$ नेता का चयन $= {}^{4}C_{1} = 4$.
स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $= 60 + 320 = 380$.

(C) $HULULULU$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $H(1), U(4), L(3)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $n(S) = \frac{8!}{4!3!} = 280$.
जब तीनों $L$ एक साथ हों,तो हम $(LLL)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं: $(LLL), H, U, U, U, U$.
व्यवस्थाओं की संख्या $n(A) = \frac{6!}{4!1!} = 30$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{30}{280} = \frac{3}{28}$.

(A) $7^{171} + (177)!$ के इकाई अंक को ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,$7^{171}$ पर विचार करें। $7$ की घातें $4$ के चक्र में चलती हैं: $7^1 = 7$,$7^2 = 49$ (इकाई अंक $9$),$7^3 = 343$ (इकाई अंक $3$),$7^4 = 2401$ (इकाई अंक $1$)।
घातांक $171$ को $4$ से विभाजित करने पर: $171 = 4 \times 42 + 3$।
अतः,$7^{171}$ का इकाई अंक $7^3$ के इकाई अंक के समान यानी $3$ है।
दूसरा,$(177)!$ पर विचार करें। किसी भी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ का इकाई अंक $0$ होता है क्योंकि इसमें $2$ और $5$ गुणनखंड के रूप में होते हैं।
अतः,$(177)!$ का इकाई अंक $0$ है।
इसलिए,$7^{171} + (177)!$ का इकाई अंक $3 + 0 = 3$ है।

(D) दिया गया है,$(49^{2}-4)(49^{3}-49)$
$= [(49)^{2}-(2)^{2}][49(49^{2}-1)]$
$= (49+2)(49-2) \cdot 49(49+1)(49-1)$
$= 51 \cdot 47 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 48$
$= 47 \cdot 48 \cdot 49 \cdot 50 \cdot 51$
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो सदैव $5!$ से विभाज्य होता है।

(D) $2009!$ के इकाई के स्थान पर अंक $0$ है क्योंकि $2009!$ में $2$ और $5$ गुणनखंड हैं,जो इसे $10$ का गुणज बनाते हैं।
अब,$3$ की घातों पर विचार करें:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
इकाई के अंक $4$ के चक्र में दोहराते हैं: $(3, 9, 7, 1)$।
हम घातांक $7886$ को $4$ से विभाजित करते हैं:
$7886 = 4 \times 1971 + 2$।
अतः,$3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $3^2$ के इकाई के अंक के समान है,जो $9$ है।
इसलिए,$2009! + 3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $0 + 9 = 9$ है।