Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $\binom{n}{r} = \frac{_nP_r}{r!}$.
दिया गया है $_nP_r = 30240$ और $\binom{n}{r} = 252$.
अतः,$r! = \frac{30240}{252} = 120$.
चूंकि $120 = 5!$,इसलिए $r = 5$.
अब,$\binom{n}{5} = 252$.
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!} = 252$.
$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 252 \times 120 = 30240$.
मानों की जाँच करने पर,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$.
इस प्रकार,$n = 10$.
अतः,$(n, r) = (10, 5)$.

(B) $3$ पत्रों को $4$ लेटर बॉक्स में डालने के कुल तरीके $= 4^3 = 64$ हैं।
ऐसे $4$ तरीके हैं जिनमें सभी $3$ पत्र एक ही लेटर बॉक्स में डाले जाते हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें सभी पत्र एक ही लेटर बॉक्स में न डाले जाएं $= 64 - 4 = 60$ है।

(A) छात्रवृत्ति में से एक को प्रदान करने के तरीकों की संख्या प्रत्येक विषय के आवेदकों की संख्या का योग है।
योग के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल तरीके $= 3 + 5 + 4 = 12$.

(B) $6$ में से $4$ उपन्यासों को चुनने के तरीके $\binom{6}{4} = 15$ हैं।
$3$ में से $1$ शब्दकोश को चुनने के तरीके $\binom{3}{1} = 3$ हैं।
इन $5$ वस्तुओं ($4$ उपन्यास और $1$ शब्दकोश) को इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे,हम शब्दकोश को बीच के स्थान पर $1$ तरीके से रखते हैं।
शेष $4$ उपन्यासों को शेष $4$ स्थानों पर $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल व्यवस्थाएं $= \binom{6}{4} \times \binom{3}{1} \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.
चूंकि $1080 \geq 1000$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) $p$ और $q$ का $LCM$ $r^2t^4s^2$ दिया गया है।
किसी अभाज्य गुणनखंड $p_i^n$ के लिए,यदि $p = p_i^{a}$ और $q = p_i^{b}$ है,तो $\max(a, b) = n$ होगा। संभावित युग्म $(a, b)$ की संख्या $(0, n), (1, n), \dots, (n, n)$ और $(n, 0), (n, 1), \dots, (n, n-1)$ है।
इस प्रकार,प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए कुल $(n+1) + n = 2n+1$ संभावनाएँ मिलती हैं।
$r^2$ के लिए,युग्मों की संख्या $2(2)+1 = 5$ है।
$t^4$ के लिए,युग्मों की संख्या $2(4)+1 = 9$ है।
$s^2$ के लिए,युग्मों की संख्या $2(2)+1 = 5$ है।
चूंकि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए चयन स्वतंत्र है,इसलिए कुल क्रमित युग्मों $(p, q)$ की संख्या $5 \times 9 \times 5 = 225$ है।

(D) $ASSASSIN$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $A(2), S(4), I(2), N(1)$.
सबसे पहले,$S$ को छोड़कर अन्य अक्षरों $A, A, I, I, N$ को व्यवस्थित करें। इन $5$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ हैं।
ये $5$ अक्षर $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं: $\_ A \_ A \_ I \_ I \_ N \_$.
हमें इन $6$ स्थानों में से $4$ स्थानों पर $S$ को रखना है ताकि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों। $6$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $30 \times 15 = 450$.

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए सभी अंकों का योग $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ है। चूँकि हमें $5$ अंकों की संख्या बनानी है,हमें एक अंक को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटा दें। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
स्थिति $2$: $3$ को हटा दें। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याएँ $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ हैं (उन स्थितियों को घटाकर जहाँ $0$ पहले स्थान पर है)।
कुल संख्याएँ = $120 + 96 = 216$.

(A) मान लीजिए कि तीन बक्सों में गेंदों की संख्या $(n_1, n_2, n_3)$ है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $n_i \ge 1$ है।
$5$ को $3$ भागों में विभाजित करने की संभावनाएँ $(3, 1, 1)$ और $(2, 2, 1)$ हैं।
स्थिति $1$: विभाजन $(3, 1, 1)$.
गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{3!1!1!} \times \frac{3!}{2!} = 20 \times 3 = 60$ है।
स्थिति $2$: विभाजन $(2, 2, 1)$.
गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!2!1!} \times \frac{3!}{2!} = 30 \times 3 = 90$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $60 + 90 = 150$ है।

(D) किसी संख्या के $4$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ से संभव जोड़े $(xy)$ हैं: $12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64, 72$।
ऐसे $10$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,पहले दो अंकों को $7 \times 7 = 49$ तरीकों से भरा जा सकता है (क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है)।
कुल संख्याएँ = $10 \times 49 = 490$।
कथन-$1$ में $200$ संख्याएँ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
कथन-$2$ भी गलत है क्योंकि $4$ की विभाज्यता का नियम अंतिम दो अंकों पर निर्भर करता है,न कि केवल इकाई अंक पर।
अतः,दोनों कथन असत्य हैं।

(C) पहला अंक $0$ नहीं हो सकता।
$5$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90,000$ हैं।
वे $5$ अंकों की संख्याएँ जिनमें कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है:
पहले स्थान के लिए $9$ विकल्प $(1-9)$।
दूसरे स्थान के लिए $9$ विकल्प ($0-9$ में से पहला अंक छोड़कर)।
तीसरे स्थान के लिए $8$ विकल्प।
चौथे स्थान के लिए $7$ विकल्प।
पाँचवें स्थान के लिए $6$ विकल्प।
बिना पुनरावृत्ति वाली कुल संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 27,216$।
कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति वाली संख्याएँ $= 90,000 - 27,216 = 62,784$।

(C) हमें $S = \sum_{n=1}^{100} (n!)^2$ को $100$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$(1!)^2 = 1^2 = 1$
$(2!)^2 = 2^2 = 4$
$(3!)^2 = 6^2 = 36$
$(4!)^2 = 24^2 = 576 \equiv 76 \pmod{100}$
$(5!)^2 = 120^2 = 14400 \equiv 0 \pmod{100}$
सभी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ में $5$ के कम से कम दो गुणनखंड और $2$ के दो गुणनखंड होते हैं,इसलिए $n!$ संख्या $10$ का गुणज है। अतः,$(n!)^2$ संख्या $100$ का गुणज है।
इसलिए,योग $S \equiv 1 + 4 + 36 + 76 \pmod{100}$
$S \equiv 117 \pmod{100}$
$S \equiv 17 \pmod{100}$
शेषफल $17$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $_n{P_4} = 720 \binom{n}{r}$.
सूत्र: $_n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ और $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
मान रखने पर: $\frac{n!}{(n-4)!} = 720 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
चूंकि $720 = 6!$,समीकरण $r! = 6!$ में बदल जाता है।
अतः,$r = 6$.

(D) गेंदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो समान रंग की गेंदें आसन्न न हों,हमें रंगों को एकांतर (alternate) करना होगा।
शुरुआत करने के लिए दो संभावनाएं हैं: सफेद या काली।
स्थिति $1$: सफेद गेंद से शुरुआत करना।
हम $(n + 1)$ सफेद गेंदों को $(n + 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
इन सफेद गेंदों द्वारा $(n + 1)$ स्थान बनते हैं,और हमारे पास $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,इसलिए उन्हें एकांतर क्रम में रखने का केवल एक ही तरीका है: $W B W B ... W B$।
अतः,सफेद गेंद से शुरुआत करके व्यवस्था के कुल तरीके = $(n + 1)! \times (n + 1)! = {(n + 1)!}^2$।
स्थिति $2$: काली गेंद से शुरुआत करना।
इसी प्रकार,काली गेंद से शुरुआत करके व्यवस्था के कुल तरीके = $(n + 1)! \times (n + 1)! = {(n + 1)!}^2$।
व्यवस्था के कुल तरीके = ${(n + 1)!}^2 + {(n + 1)!}^2 = 2{(n + 1)!}^2$।

(D) $3n$ भिन्न वस्तुओं को $3$ समूहों में,प्रत्येक समूह में $n$ वस्तुएं हों,इस प्रकार विभाजित करने के तरीके: $\frac{(3n)!}{n! n! n!} = \frac{(3n)!}{(n!)^3}$.
चूंकि $3$ व्यक्ति भिन्न हैं,इसलिए इन समूहों को $3$ व्यक्तियों को आवंटित करने के लिए हमें $3!$ से गुणा करना होगा.
अतः,कुल तरीके = $\frac{(3n)!}{(n!)^3} \times 3!$.

(C) माना अंक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ हैं ताकि $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$ हो।
माना $n_1, n_2, n_3$ क्रमशः $1, 2,$ और $3$ के आने की संख्या है।
हमारे पास $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ और $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 10$ है।
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर: $n_2 + 2n_3 = 3$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $n_3 = 1$ है,तो $n_2 = 1$ और $n_1 = 5$ होगा। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{5!1!1!} = 42$ है।
स्थिति $2$: यदि $n_3 = 0$ है,तो $n_2 = 3$ और $n_1 = 4$ होगा। क्रमचयों की संख्या $\frac{7!}{4!3!0!} = 35$ है।
कुल संख्याएँ = $42 + 35 = 77$।

(B) दिया गया है $P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} = 1680$ $(i)$ और $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} = 70$ $(ii)$.
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{P(n, r)}{C(n, r)} = r! = \frac{1680}{70} = 24$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r! = 24$,इसलिए $r = 4$ है।
$r = 4$ को $P(n, 4) = 1680$ में रखने पर,$n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = 1680$ प्राप्त होता है।
चूंकि $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$,इसलिए $n = 8$ है।
अब,$69n + r! = 69(8) + 4! = 552 + 24 = 576$।

(B) यह समस्या $5$ तत्वों के एक सेट से $3$ तत्वों के सेट पर आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $3^5 - \binom{3}{1} \times 2^5 + \binom{3}{2} \times 1^5$ द्वारा दी जाती है।
मानों की गणना करने पर: $3^5 = 243$,$2^5 = 32$,और $1^5 = 1$ है।
तरीकों की संख्या = $243 - 3 \times 32 + 3 \times 1$ है।
तरीकों की संख्या = $243 - 96 + 3 = 150$ है।

(C) माना $S = \sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}}$.
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$S = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{n-r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{r}}$.
$S$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2S = \sum_{r=0}^n \frac{r}{\binom{n}{r}} + \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{\binom{n}{r}} = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{\binom{n}{r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{\binom{n}{r}}$.
$2S = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{\binom{n}{r}} = n a_n$.
अतः,$S = \frac{n}{2} a_n$.

(B) दिया गया समीकरण: $_n{P_4} = 24 \times \binom{n}{5}$
$_n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ और $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 24 \times \frac{n!}{5!(n-5)!}$
$\frac{n!}{(n-4)(n-5)!} = 24 \times \frac{n!}{120(n-5)!}$
दोनों पक्षों से $n!$ और $(n-5)!$ को हटाने पर:
$\frac{1}{n-4} = \frac{24}{120}$
$\frac{1}{n-4} = \frac{1}{5}$
$n - 4 = 5$
$n = 9$

(C) $n$ अलग-अलग पुरस्कारों को $n$ लड़कों के बीच वितरित करने के कुल तरीके $n^n$ हैं,क्योंकि प्रत्येक पुरस्कार किसी भी $n$ लड़के को दिया जा सकता है।
यहाँ $n$ स्थितियाँ ऐसी हैं जिनमें एक ही लड़के को सभी $n$ पुरस्कार मिल जाते हैं (जैसे लड़का $1$ को सभी मिले,लड़का $2$ को सभी मिले,आदि)।
इसलिए,उन तरीकों की संख्या जिनमें किसी भी लड़के को सभी पुरस्कार न मिलें,कुल तरीकों में से उन $n$ स्थितियों को घटाने पर प्राप्त होती है।
परिणाम $= n^n - n$.

(A) $INTERMEDIATE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I(2), N(1), T(2), E(3), R(1), M(1), D(1), A(1)$.
कुल व्यवस्था $= \frac{12!}{2! \times 2! \times 3!}$.
इस प्रायिकता को ज्ञात करने के लिए कि तीनों $E$ एक साथ न आएं,हम पहले शेष $9$ अक्षरों को व्यवस्थित करते हैं: $I, I, N, T, T, R, M, D, A$. इन अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{9!}{2! \times 2!}$ हैं।
इन $9$ अक्षरों द्वारा $10$ रिक्त स्थान बनते हैं। हम $3$ $E$ को इन $10$ स्थानों में $^{10}C_3$ तरीकों से रख सकते हैं।
अनुकूल व्यवस्था $= \frac{9!}{2! \times 2!} \times ^{10}C_3$.
प्रायिकता $= \frac{\frac{9!}{2! \times 2!} \times ^{10}C_3}{\frac{12!}{2! \times 2! \times 3!}} = \frac{9! \times 120 \times 3!}{12!} = \frac{120 \times 6}{12 \times 11 \times 10} = \frac{720}{1320} = \frac{6}{11}$.

(C) $ATTEMPT$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, T, T, E, M, P, T$।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $n(S) = \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ सभी $T$ एक साथ आते हैं,$(TTT)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $(TTT), A, E, M, P$।
इन्हें $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$n(E) = 5! = 120$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{120}{840} = \frac{1}{7}$।

(B) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों,हम पहले शेष $7$ अक्षरों $M, I, I, I, I, P, P$ को व्यवस्थित करते हैं।
इन $7$ अक्षरों के विन्यास की संख्या $\frac{7!}{4!2!} = 105$ है।
इन $7$ अक्षरों द्वारा $8$ रिक्त स्थान बनते हैं,जिनमें $4$ $S$ रखे जा सकते हैं।
$8$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
कुल शब्दों की संख्या $105 \times 70 = 7350$ है।

(C) चरण $1$: $6$ अलग-अलग उपन्यासों में से $4$ उपन्यासों का चयन $^6C_4$ तरीकों से किया जाता है।
$^6C_4 = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $1$ शब्दकोश का चयन $^3C_1$ तरीकों से किया जाता है।
$^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चयनित उपन्यासों और $1$ शब्दकोश को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे।
चूंकि शब्दकोश बीच में स्थिर है,हमें केवल शेष $4$ स्थानों में $4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करना है।
$4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(D) $n_1$ समान वस्तुओं,$n_2$ समान वस्तुओं और $n_3$ समान वस्तुओं में से चयन करने के तरीकों की संख्या $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1)$ होती है।
यहाँ,$n_1 = 10$ (सफेद),$n_2 = 9$ (हरी),और $n_3 = 7$ (काली)।
कोई भी गेंद न चुने जाने वाले मामले सहित कुल तरीके $= (10 + 1) \times (9 + 1) \times (7 + 1) = 11 \times 10 \times 8 = 880$।
चूंकि हमें एक या अधिक गेंदें चुननी हैं,इसलिए हम उस मामले को घटा देंगे जिसमें कोई गेंद नहीं चुनी जाती है (अर्थात $1$ घटाएं)।
तरीकों की संख्या $= 880 - 1 = 879$।

(C) $6000$ से बड़ी संख्याएँ बनाने के लिए हम ${3, 5, 6, 7, 8}$ अंकों का उपयोग करेंगे।
स्थिति $1$: $5$ अंकों की संख्याएँ।
सभी $5$ अंक उपलब्ध हैं,इसलिए कुल संख्याएँ $5! = 120$ होंगी।
स्थिति $2$: $4$ अंकों की संख्याएँ।
$4$ अंकों की संख्या $6000$ से बड़ी होने के लिए,पहला अंक $6, 7,$ या $8$ होना चाहिए।
पहले अंक के लिए $3$ विकल्प हैं।
शेष $3$ स्थानों के लिए $4$ अंकों में से चयन करना है,जो $P(4, 3) = 24$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल $4$ अंकों की संख्याएँ $= 3 \times 24 = 72$।
कुल संख्याएँ $= 120 + 72 = 192$।

(B) $X$ के पास $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। $Y$ के पास $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं।
हमें कुल $3$ महिलाएँ और $3$ पुरुष चुनने हैं,ताकि $X$ के समूह से $3$ और $Y$ के समूह से $3$ मित्र चुने जाएँ।
मान लीजिए $X$ ने $l_1$ महिलाएँ और $m_1$ पुरुष चुने,और $Y$ ने $l_2$ महिलाएँ और $m_2$ पुरुष चुने।
शर्तें: $l_1 + m_1 = 3$,$l_2 + m_2 = 3$,$l_1 + l_2 = 3$,$m_1 + m_2 = 3$.
संभावित स्थितियाँ:
$1. (l_1, m_1) = (3, 0) \implies (l_2, m_2) = (0, 3)$. तरीके: $\binom{4}{3}\binom{3}{0} \times \binom{3}{0}\binom{4}{3} = 16$.
$2. (l_1, m_1) = (2, 1) \implies (l_2, m_2) = (1, 2)$. तरीके: $\binom{4}{2}\binom{3}{1} \times \binom{3}{1}\binom{4}{2} = 324$.
$3. (l_1, m_1) = (1, 2) \implies (l_2, m_2) = (2, 1)$. तरीके: $\binom{4}{1}\binom{3}{2} \times \binom{3}{2}\binom{4}{1} = 144$.
$4. (l_1, m_1) = (0, 3) \implies (l_2, m_2) = (3, 0)$. तरीके: $\binom{4}{0}\binom{3}{3} \times \binom{3}{3}\binom{4}{0} = 1$.
कुल तरीके = $16 + 324 + 144 + 1 = 485$.

(B) मान लीजिए कि सात अंकों की संख्या $x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7$ है।
पहला अंक $x_1$,$\{1, 2, 3, ..., 9\}$ में से कोई भी मान ले सकता है ($9$ विकल्प)।
अंक $x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ प्रत्येक $\{0, 1, 2, ..., 9\}$ में से कोई भी मान ले सकते हैं ($10$ विकल्प प्रत्येक)।
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ के किसी भी निश्चित मान के लिए,योग $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6$ या तो सम या विषम होता है।
हमें कुल योग $S + x_7$ को सम बनाना है।
यदि $S$ सम है,तो $x_7$ को सम होना चाहिए (अर्थात $x_7 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$),जो $5$ विकल्प देता है।
यदि $S$ विषम है,तो $x_7$ को विषम होना चाहिए (अर्थात $x_7 \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$),जो भी $5$ विकल्प देता है।
इस प्रकार,पहले छह अंकों के किसी भी संयोजन के लिए,कुल योग को सम बनाने के लिए $x_7$ के लिए ठीक $5$ विकल्प हैं।
ऐसी सात अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 5 = 4500000$ है।

(C) दिया गया है $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$.
माना $b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$b_n = \frac{0}{^nC_0} + \frac{1}{^nC_1} + \frac{2}{^nC_2} + \dots + \frac{n}{^nC_n}$.
साथ ही,$b_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2b_n = \sum_{r=0}^n \frac{r + (n-r)}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} = na_n$.
अतः,$b_n = \frac{1}{2}na_n$.

(B) हम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए असमिका $n! < {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$ की जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $1! < {\left( {\frac{1 + 1}{2}} \right)^1} \Rightarrow 1 < 1$,जो असत्य है।
$n = 2$ के लिए: $2! < {\left( {\frac{2 + 1}{2}} \right)^2}$ $\Rightarrow 2 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}$ $\Rightarrow 2 < 2.25$,जो सत्य है।
चूँकि हम सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ ढूँढ रहे हैं,और $n=1$ के लिए यह असत्य है जबकि $n=2$ के लिए सत्य है,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $2$ है।

(A) $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$(i)$ संचय $^{16-x}C_{2x-1}$ के लिए:
$16-x \ge 2x-1 \ge 0$ और $16-x, 2x-1$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
$16-x \ge 2x-1 \Rightarrow 3x \le 17 \Rightarrow x \le 5.66$
$2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0.5$
(ii) क्रमचय $^{20-3x}P_{4x-5}$ के लिए:
$20-3x \ge 4x-5 \ge 0$ और $20-3x, 4x-5$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
$20-3x \ge 4x-5 \Rightarrow 7x \le 25 \Rightarrow x \le 3.57$
$4x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.25$
(iii) सभी असमिकाओं को संयोजित करने पर:
$x \ge 0.5$,$x \le 5.66$,$x \ge 1.25$,$x \le 3.57$.
अतः,$1.25 \le x \le 3.57$.
(iv) चूंकि द्विपद गुणांक और क्रमचय को परिभाषित करने के लिए $x$ को एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $2$ और $3$ हैं।
अतः,प्रांत ${2, 3}$ है।

(A) दिया गया है $P_m = ^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$.
सामान्य पद $T_m = m \cdot P_m = m \cdot \frac{n!}{(n-m)!}$ है।
योग $\sum_{m=1}^{n} m \cdot ^nP_m$ की गणना करने पर,हमें $(n+1)! - 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $E = (2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$.
अंश और हर को $(2n + 2) (2n + 4) \dots (4n)$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{(4n)!}{2^n (n + 1) (n + 2) \dots (2n)}$
हर को सरल बनाने के लिए $n!$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = \frac{(4n)! n!}{2^n (2n)!}$

(A) हमें $S_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ और $T_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ दिया गया है।
$r$ को $n-r$ से प्रतिस्थापित करके $T_n$ के व्यंजक पर विचार करें:
$T_n = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_{n-r}} = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{^nC_r} = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r} - \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$.
इसका अर्थ है कि $T_n = n S_n - T_n$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2T_n = n S_n$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_n}{S_n} = \frac{n}{2}$.

(B) $1$ से $10^{10}$ के बीच ऐसी संख्याओं की संख्या जिनमें कम से कम एक अंक $1$ हो:
$0$ से $10^{10}-1$ तक कुल $10^{10}$ संख्याएँ हैं।
प्रत्येक संख्या को $10$ अंकों की स्ट्रिंग के रूप में दर्शाएं।
ऐसी कुल $10^{10}$ स्ट्रिंग हैं।
जिन स्ट्रिंग में अंक $1$ नहीं है,वे ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकती हैं।
प्रत्येक $10$ स्थान के लिए $9$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसी $9^{10}$ स्ट्रिंग हैं।
अतः,कम से कम एक $1$ वाली स्ट्रिंग की संख्या $10^{10} - 9^{10}$ है।
ये स्ट्रिंग $0$ से $10^{10}-1$ तक की संख्याएँ दर्शाती हैं। $0000000000$ का अर्थ $0$ है,जिसमें $1$ नहीं है। $10^{10}$ में $1$ शामिल है।
इसलिए,$1$ से $10^{10}$ के बीच की संख्याओं के लिए,कुल संख्या $10^{10} - 9^{10} + 1$ होगी।

(A) शब्द $'GANGARAM'$ में $8$ अक्षर हैं: $G, G, N, R, M$ (व्यंजन) और $A, A, A$ (स्वर)।
हमें ठीक दो स्वरों को एक साथ रखना है। इसके लिए $3$ में से $2$ स्वरों का चयन करें ($^3C_2 = 3$ तरीके) और उन्हें एक इकाई के रूप में मानें। शेष स्वर को इस युग्म से अलग होना चाहिए।
गणना के अनुसार,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $1320$ है।

(A) कम से कम एक पुनरावृत्ति और कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न होने वाले $4$ अक्षरों के शब्द दो मामलों में बनाए जा सकते हैं:
मामला $1$: दो अक्षर समान और दो अलग (जैसे,$AABC$ प्रकार)।
दोहराए जाने वाले $1$ अक्षर को चुनने के तरीके: $^6C_1 = 6$।
शेष $5$ में से $2$ अन्य अक्षरों को चुनने के तरीके: $^5C_2 = 10$।
$AABC$ को इस तरह व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों: $6$।
कुल $6 \times 10 \times 6 = 360$।
मामला $2$: समान अक्षरों के दो जोड़े (जैसे,$AABB$ प्रकार)।
$6$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके: $^6C_2 = 15$।
$AABB$ को इस तरह व्यवस्थित करने के तरीके कि कोई भी दो समान अक्षर एक साथ न हों: $2$ $(ABAB, BABA)$।
कुल $15 \times 2 = 30$।
शब्दों की कुल संख्या = $360 + 30 = 390$।

(A) $1$ से $100$ के बीच अंक $5$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम इकाई के स्थान और दहाई के स्थान में आने वाले अंकों की अलग-अलग गणना करते हैं।
$1$. इकाई के स्थान में: संख्याएँ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95$ हैं। ऐसी कुल $10$ संख्याएँ हैं।
$2$. दहाई के स्थान में: संख्याएँ $50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59$ हैं। ऐसी कुल $10$ संख्याएँ हैं।
ध्यान दें कि संख्या $55$ दोनों सूचियों में गिनी गई है (एक बार इकाई के स्थान के लिए और एक बार दहाई के स्थान के लिए),जो सही है क्योंकि $55$ में अंक $5$ दो बार आता है।
कुल गणना = $10 + 10 = 20$.

(C) सबसे पहले,"ned needs nineteen nets" वाक्यांश में प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति गिनें:
$n: 6$
$e: 7$
$d: 2$
$s: 2$
$t: 2$
$i: 1$
चयन की संख्या प्रत्येक अलग अक्षर के लिए (आवृत्ति + $1$) का गुणनफल लेकर और उसमें से $1$ घटाकर (उस स्थिति को हटाने के लिए जहाँ कोई अक्षर नहीं चुना गया है) प्राप्त की जाती है:
चयन की संख्या $= (6+1) \times (7+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (2+1) \times (1+1) - 1$
$= 7 \times 8 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 - 1$
$= 3024 - 1$
$= 3023$

(D) एक अभाज्य संख्या $p$,$n!$ को कितनी बार विभाजित करती है,यह लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$^{80}C_{40} = \frac{80!}{40!40!}$ के लिए,अभाज्य $p$ का घातांक $E_p(80!) - 2E_p(40!)$ है।
$(a)$ $p=7$ के लिए: $E_7(80!) = 12$ और $E_7(40!) = 5$. घातांक $= 12 - 2(5) = 2$. $7$ से विभाज्य है।
$(b)$ $p=23$ के लिए: $E_{23}(80!) = 3$ और $E_{23}(40!) = 1$. घातांक $= 3 - 2(1) = 1$. $23$ से विभाज्य है।
$(c)$ $p=11$ के लिए: $E_{11}(80!) = 7$ और $E_{11}(40!) = 3$. घातांक $= 7 - 2(3) = 1$. $11$ से विभाज्य है।
$(d)$ $p=29$ के लिए: $E_{29}(80!) = 2$ और $E_{29}(40!) = 1$. घातांक $= 2 - 2(1) = 0$. अतः $29$ से विभाज्य नहीं है।

(C) हमें उन युग्मों $(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $1 \le xy < 100$ हो।
चूंकि $xy > 0$,इसलिए $x$ और $y$ दोनों के चिह्न समान होने चाहिए।
स्थिति $1$: $x, y > 0$.
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है जो $1 \le y < \frac{100}{x}$ को संतुष्ट करता हो।
कुल संख्या $\sum_{x=1}^{99} \lfloor \frac{99}{x} \rfloor = 473$ है।
स्थिति $2$: $x, y < 0$.
मान लीजिए $x = -a$ और $y = -b$ जहाँ $a, b > 0$ है। तब $xy = ab < 100$। यह स्थिति $1$ के समान है,इसलिए इसमें भी $473$ युग्म होंगे।
कुल युग्मों की संख्या $= 473 + 473 = 946$।

(A) $APPLICATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, P, P, L, I, C, A, T, I, O, N$.
स्वर $A, I, A, I, O$ ($5$ स्वर) हैं और व्यंजन $P, P, L, C, T, N$ ($6$ व्यंजन) हैं।
पहले,$6$ व्यंजनों को व्यवस्थित करें: $\frac{6!}{2!} = 360$ तरीके।
$6$ व्यंजनों द्वारा $7$ स्थान बनते हैं जहाँ $5$ स्वरों को इस प्रकार रखा जा सकता है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं।
$7$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^7C_5 = 21$ हैं।
$5$ स्वरों $(A, A, I, I, O)$ को इन $5$ स्थानों में $\frac{5!}{2!2!} = 30$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्द $= 360 \times 21 \times 30 = 226800 = (45)7!$।

(A) कुल अक्षर $8$ हैं ($4$ $A$,$3$ $B$,$1$ $C$)।
माना $P$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जहाँ सभी $4$ $A$ एक साथ आते हैं। $AAAA$ को एक इकाई मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं $(AAAA, B, B, B, C)$। क्रमचयों की संख्या $n(P) = \frac{5!}{3!} = 20$ है।
माना $Q$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जहाँ सभी $3$ $B$ एक साथ आते हैं। $BBB$ को एक इकाई मानने पर,हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं $(A, A, A, A, BBB, C)$। क्रमचयों की संख्या $n(Q) = \frac{6!}{4!} = 30$ है।
$P \cap Q$ उन क्रमचयों का समुच्चय है जहाँ $AAAA$ और $BBB$ दोनों एक साथ आते हैं। $3$ इकाइयों $(AAAA, BBB, C)$ को व्यवस्थित करने पर,$n(P \cap Q) = 3! = 6$ प्राप्त होता है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,$n(P \cup Q) = 20 + 30 - 6 = 44$।

(C) $90$ का अभाज्य गुणनखंडन $90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1$ है।
माना $x = 2^{x_1} 3^{y_1} 5^{z_1}$,$y = 2^{x_2} 3^{y_2} 5^{z_2}$,और $z = 2^{x_3} 3^{y_3} 5^{z_3}$,जहाँ $x_i, y_i, z_i \ge 0$ है।
चूँकि $xyz = 90$,हमारे पास है:
$x_1 + x_2 + x_3 = 1$
$y_1 + y_2 + y_3 = 2$
$z_1 + z_2 + z_3 = 1$
स्टार्स और बार्स सूत्र $\binom{n+k-1}{k-1}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक चर के लिए हलों की संख्या:
$x$ के लिए: $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$
$y$ के लिए: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$
$z$ के लिए: $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$
कुल हलों की संख्या = $3 \times 6 \times 3 = 54$.

(B) $1, 2, 3, 4,$ और $5$ अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली चार अंकों की कुल संख्याएँ $5^4 = 625$ हैं।
सभी अंक भिन्न हों ऐसी चार अंकों की संख्याएँ $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ हैं।
कम से कम दो अंक समान होने वाली संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,कुल संख्याओं में से सभी भिन्न अंकों वाली संख्याएँ घटाने पर:
अभीष्ट संख्या $= 625 - 120 = 505$.

(C) $'SAHARANPUR'$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $S: 1, A: 3, H: 1, R: 2, N: 1, P: 1, U: 1$.
हमें $3$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: तीनों अक्षर समान हों।
हमारे पास केवल एक अक्षर '$A$' है जो $3$ बार आता है। तरीकों की संख्या = $\binom{1}{1} \times \frac{3!}{3!} = 1$.
स्थिति $2$: तीनों अक्षर अलग-अलग हों।
यहाँ $7$ अलग-अलग अक्षर उपलब्ध हैं $(S, A, H, R, N, P, U)$। तरीकों की संख्या = $\binom{7}{3} \times 3! = 210$.
स्थिति $3$: $2$ अक्षर समान और $1$ अलग हो।
$2$ अक्षर ऐसे हैं जो दो या अधिक बार आते हैं ($A$ और $R$)।
यदि हम '$A$' को जोड़े के रूप में चुनें: $\binom{1}{1} \times \binom{6}{1} \times \frac{3!}{2!} = 18$.
यदि हम '$R$' को जोड़े के रूप में चुनें: $\binom{1}{1} \times \binom{6}{1} \times \frac{3!}{2!} = 18$.
इस स्थिति के लिए कुल = $18 + 18 = 36$.
शब्दों की कुल संख्या = $1 + 210 + 36 = 247$.

(C) माना प्रतियोगियों की संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,एक मतदाता अधिकतम $n-1$ उम्मीदवारों के लिए वोट कर सकता है।
मतदाता के वोट करने के कुल तरीके $n$ प्रतियोगियों में से $1, 2, \dots, (n-1)$ उम्मीदवारों को चुनने के संयोजनों का योग है।
यह दिया गया है: $^{n}C_{1} + ^{n}C_{2} + \dots + ^{n}C_{n-1} = 62$.
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {^{n}C_{k}} = 2^{n}$ होता है।
इसलिए,$^{n}C_{0} + ^{n}C_{1} + \dots + ^{n}C_{n-1} + ^{n}C_{n} = 2^{n}$.
ज्ञात मान रखने पर: $1 + (62) + 1 = 2^{n}$.
$64 = 2^{n}$.
$2^{6} = 2^{n}$,जिसका अर्थ है कि $n = 6$.