समीकरण $x_1 + x_2 = 100$ के कितने प्राकृतिक संख्या हल हैं,जहाँ $x_1$ और $x_2$ दोनों $5$ के गुणज नहीं हैं?

$24$ अक्षरों में से $8$ अक्षरों के चयन के तरीकों की संख्या,जिनमें से $8$ अक्षर $a$ हैं,$8$ अक्षर $b$ हैं और शेष $8$ अलग-अलग हैं,वह है:

यदि $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$ है,तो $r$ का मान क्या है?

एक प्रवेश परीक्षा में $15$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए,एक या एक से अधिक उत्तर सही हो सकते हैं। यदि कोई छात्र सभी $15$ प्रश्नों का प्रयास करता है और यादृच्छिक रूप से उत्तरों को चिह्नित करता है,तो वह छात्र कितने अलग-अलग तरीकों से प्रश्न पत्र का उत्तर दे सकता है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(i)$ समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक एकैकी फलनों (one-one functions) की संख्या,जहाँ $O(A) = m$ और $O(B) = n$ $(m \leq n)$ है,${}^n P_m$ द्वारा दी जाती है।
(ii) $n$ लोगों को एक वृत्ताकार मेज पर व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ है।
(iii) दी गई $n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम एक वस्तु चुनने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
(iv) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग डिब्बों में वितरित करने के तरीकों की संख्या ${}^n C_{k-1}$ है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

विभिन्न रंगों की पाँच गेंदों को तीन अलग-अलग आकार के बक्सों में रखा जाना है,जहाँ प्रत्येक बक्सा सभी पाँच गेंदों को रख सकता है। गेंदों को कितनी तरह से रखा जा सकता है कि कोई भी बक्सा खाली न रहे?