Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(A) हमें $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$ चाहिए।
चूँकि $7 \equiv -3 \pmod{10}$,इसलिए $7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$।
अतः,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n} + (-1)^{n} 3^{n} \pmod{10}$।
यदि $n$ सम है,तो $3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$,जो $10$ से विभाज्य नहीं है।
यदि $n$ विषम है,तो $3^{n} - 3^{n} = 0$,जो $10$ से विभाज्य है।
इसलिए,$n$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।
दो अंकों की कुल $90$ संख्याएँ होती हैं ($10$ से $99$ तक)।
इनमें से आधी संख्याएँ विषम हैं,अतः कुल $45$ संख्याएँ हैं।

(A) दी गई व्यंजक $\sum_{n=1}^{15} n \cdot {}^{n}P_{n}$ है।
चूंकि ${}^{n}P_{n} = n!$,व्यंजक $\sum_{n=1}^{15} n \cdot n!$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $n \cdot n! = (n+1-1) \cdot n! = (n+1)! - n!$।
अतः,योग $\sum_{n=1}^{15} ((n+1)! - n!) = (2!-1!) + (3!-2!) + \ldots + (16!-15!) = 16! - 1! = 16! - 1$ है।
दिया गया व्यंजक ${}^{q}P_{r} - s$ है,इसलिए ${}^{16}P_{16} - 1 = {}^{q}P_{r} - s$।
तुलना करने पर,$q = 16$,$r = 16$,और $s = 1$ प्राप्त होता है।
हमें ${}^{q+s}C_{r-s} = {}^{16+1}C_{16-1} = {}^{17}C_{15}$ ज्ञात करना है।
${}^{17}C_{15} = {}^{17}C_{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$।

(D) छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्या $abc cba$ के रूप में होती है। छह अंकों की संख्या होने के कारण,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
संख्या के $55$ से विभाज्य होने के लिए,इसे $5$ और $11$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$5$ से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक $0$ या $5$ होना चाहिए। छह अंकों की संख्या होने के कारण,पहला अंक $a$ शून्य नहीं हो सकता। इसलिए,$a = 5$ है।
संख्या $5bc c b5$ के रूप में है।
$11$ से विभाज्यता के लिए,अंकों का एकांतर योग $11$ से विभाज्य होना चाहिए:
$(5 + c + b) - (b + c + 5) = 0$।
चूंकि $0$,$11$ से विभाज्य है,इसलिए $b$ और $c$ का कोई भी मान संख्या को $11$ से विभाज्य बना देगा।
$b$ के लिए $10$ संभावित मान ($0$ से $9$) और $c$ के लिए $10$ संभावित मान ($0$ से $9$) हैं।
ऐसी पैलिंड्रोम संख्याओं की कुल संख्या $= 10 \times 10 = 100$।

(B) $FARMER$ शब्द के अक्षर $A, E, F, M, R, R$ हैं। कुल अक्षर = $6$। दो $R$ एक साथ होने वाले विन्यास की गणना $RR$ को एक इकाई मानकर की जाती है। $FARMER$ के कुल विन्यास $\frac{6!}{2!} = 360$ हैं। $RR$ के साथ होने वाले विन्यास $5! = 120$ हैं। अतः,कुल मान्य विन्यास = $360 - 120 = 240$।
शब्दकोश क्रम में $FARMER$ की रैंक खोजने के लिए:
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$।
$3$. $FA...$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $FAE...$: $3! = 6$।
- $FAM...$: $3! = 6$।
- $FAR...$: $E, M, R$ को व्यवस्थित करने पर $3! = 6$।
- $FARE...$: $2! = 2$।
- $FARM...$: $2! = 2$।
- $FARMER$: $1$।
योग: $36 + 36 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 77$।

(D) $EXAMINATION$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, A, E, I, I, M, M, N, N, O, T$.
इन $11$ अक्षरों के कुल विन्यास की संख्या $n(S) = \frac{11!}{2! 2! 2!}$ है,जहाँ $2!$ अक्षरों $A, I, M,$ और $N$ की पुनरावृत्ति को दर्शाता है।
चौथे स्थान पर $M$ को स्थिर रखने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम एक $M$ को चौथे स्थान पर स्थिर करते हैं और शेष $10$ अक्षरों $(A, A, E, I, I, M, N, N, O, T)$ को व्यवस्थित करते हैं।
ऐसे विन्यासों की संख्या $n(A) = \frac{10!}{2! 2! 2!}$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10!}{2! 2! 2!}}{\frac{11!}{2! 2! 2!}} = \frac{10!}{11!} = \frac{1}{11}$ है।

(D) मान लीजिए $n_{10}, n_{11}, n_{12}$ क्रमशः कक्षा $10, 11, 12$ से चुने गए छात्रों की संख्या है। हमारे पास $n_{10} + n_{11} + n_{12} = 10$ है,जहाँ $n_{10} \ge 2, n_{11} \ge 2, n_{12} \ge 2$ और $n_{10} + n_{11} \le 5$ है।
संभावित स्थितियाँ $(n_{10}, n_{11}, n_{12})$:
$1$. $(2, 2, 6): \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{6} = 10 \times 15 \times 28 = 4200$
$2$. $(2, 3, 5): \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} \times \binom{8}{5} = 10 \times 20 \times 56 = 11200$
$3$. $(3, 2, 5): \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{5} = 10 \times 15 \times 56 = 8400$
कुल तरीके $= 4200 + 11200 + 8400 = 23800$.
दिया गया है $100k = 23800$,इसलिए $k = 238$.

(D) दिया गया है ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$,अतः:
$\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$
चूंकि $n! \neq 0$,दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(n-r-1)!}$
$n-r = 1 \Rightarrow n = r+1$ $(1)$
दिया गया है ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$,अतः:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
$\frac{1}{r(r-1)!(n-r)!} = \frac{1}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{n-r+1}$
$n-r+1 = r \Rightarrow n+1 = 2r$ $(2)$
$(1)$ से $n = r+1$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$(r+1)+1 = 2r$
$r+2 = 2r$
$r = 2$

(C) दिए गए अंक $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$ हैं। अंकों का योग $31$ है।
$7$ अंकों की संख्या $abcdefg$ के लिए,विषम स्थानों के अंकों का योग $O$ और सम स्थानों के अंकों का योग $E$ है,तो $O - E$ को $11$ का गुणज होना चाहिए।
$O + E = 31$ और $O - E = 11k$ लेने पर,$O - E = 11$ या $-11$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $O = 21$ और $E = 10$। $E$ के लिए संभव समुच्चय $\{1, 2, 7\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}$ हैं। कुल संख्या $= 3 \times 3! \times 4! = 432$।
स्थिति $2$: $O = 10$ और $E = 21$। $E$ के लिए संभव समुच्चय $\{5, 7, 9\}$ है। कुल संख्या $= 1 \times 3! \times 4! = 144$।
कुल संख्या $= 432 + 144 = 576$।

(B) मान लीजिए $x_i$ $i$-वें प्रश्न में प्राप्त अंक हैं,जहाँ $x_i \in \{3, -2, 0\}$ है।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5$ हो।
मान लीजिए $n_1$ सही उत्तरों की संख्या,$n_2$ गलत उत्तरों की संख्या और $n_3$ अनुत्तरित प्रश्नों की संख्या है।
हमें $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $3n_1 - 2n_2 = 5$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 3$ और $n_2 = 2$ लेने पर,$n_3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,छात्र के पास $3$ सही और $2$ गलत उत्तर होने चाहिए।
सही प्रश्नों को चुनने के तरीके $\binom{5}{3} = 10$ हैं।
प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $2$ गलत विकल्प उपलब्ध हैं,इसलिए $2^2 = 4$ तरीके।
कुल तरीकों की संख्या = $10 \times 4 = 40$।

(C) तीन अंकों की संख्या जिसमें एक अंक ठीक दो बार दोहराया गया हो,उसके लिए स्थितियाँ:
स्थिति $1$: दोहराया गया अंक $0$ हो।
संख्या $x00$ के रूप में होनी चाहिए,जहाँ $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$। अतः,$9$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
स्थिति $2$: दोहराया गया अंक $0$ के अलावा हो $(d \in \{1, 2, \dots, 9\})$।
$d$ के लिए $9$ विकल्प और अन्य अंकों के लिए गणना करने पर कुल $234$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
कुल संख्या $= 9 + 234 = 243$।

(A) माना $3$-$digit$ की संख्या $xyz$ है,जहाँ $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$,$y \in \{0, 1, \dots, 9\}$,और $z \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ है।
हमें $x + y + z = 7k$ चाहिए।
योग $S = x + y + z$ का मान $7, 14, 21$ हो सकता है।
प्रत्येक $z$ के लिए संभव मानों की गणना करने पर,कुल संख्या $63$ प्राप्त होती है।

(A) हमें ऐसी $3$-अंकीय संख्याएँ $n$ ज्ञात करनी हैं जिनके लिए $\text{gcd}(n, 36) = 2$ हो।
चूँकि $36 = 2^2 \times 3^2$,इसलिए $\text{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$,$2$ का गुणज होना चाहिए लेकिन $4$ का नहीं,और $n$,$3$ का गुणज नहीं होना चाहिए।
माना $n = 2k$. तब $\text{gcd}(2k, 36) = 2 \implies \text{gcd}(k, 18) = 1$.
चूँकि $n$ एक $3$-अंकीय संख्या है,$100 \le 2k \le 999$,जिसका अर्थ है $50 \le k \le 499$.
हमें अंतराल $[50, 499]$ में ऐसे पूर्णांक $k$ गिनने हैं जिनके लिए $\text{gcd}(k, 18) = 1$ हो।
कुल पूर्णांकों की संख्या $499 - 50 + 1 = 450$ है।
$2$ या $3$ के गुणजों को गिनने के लिए हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करेंगे।
$S = \{50, 51, \ldots, 499\}$.
$S$ में $2$ के गुणज: $225$.
$S$ में $3$ के गुणज: $150$.
$S$ में $6$ के गुणज: $75$.
ऐसे $k$ जिनकी $\text{gcd}(k, 18) > 1$ है,उनकी संख्या $= 225 + 150 - 75 = 300$.
ऐसे $k$ जिनकी $\text{gcd}(k, 18) = 1$ है,उनकी संख्या $= 450 - 300 = 150$.

(D) मान लीजिए $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ बच्चों $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ द्वारा प्राप्त कैंडी की संख्या है।
हमारे पास $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 30$ है,जहाँ $x_{1}, x_{4} \ge 0$,$4 \le x_{2} \le 7$,और $2 \le x_{3} \le 6$ है।
मान लीजिए $x_{2} = 4 + y_{2}$ जहाँ $0 \le y_{2} \le 3$,और $x_{3} = 2 + y_{3}$ जहाँ $0 \le y_{3} \le 4$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x_{1} + (4 + y_{2}) + (2 + y_{3}) + x_{4} = 30 \Rightarrow x_{1} + y_{2} + y_{3} + x_{4} = 24$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(1+x+x^{2}+\dots)^{2}$ के विस्तार में $x^{24}$ का गुणांक है।
यह $(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x)^{-4} = (1-x^{4}-x^{5}+x^{9})(1-x)^{-4}$ में $x^{24}$ का गुणांक है।
$(1-x)^{-r}$ में $x^{n}$ के गुणांक के सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:
गुणांक $= \binom{24+4-1}{4-1} - \binom{20+4-1}{4-1} - \binom{19+4-1}{4-1} + \binom{15+4-1}{4-1}$ है।
$= \binom{27}{3} - \binom{23}{3} - \binom{22}{3} + \binom{18}{3}$ है।
$= 2925 - 1771 - 1540 + 816 = 430$ है।

(D) एक संख्या $6$ से विभाज्य होती है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हो।
$2$ से विभाज्य होने के लिए, संख्या सम होनी चाहिए। उपलब्ध सम अंक ${2, 6}$ हैं।
$3$ से विभाज्य होने के लिए, अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
सभी अंकों ${1, 2, 3, 5, 6, 7}$ का योग $24$ है।
$5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए, हमें एक अंक हटाना होगा ताकि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
यदि हम $x$ हटाते हैं, तो योग $24 - x$ होगा, जो $3$ से विभाज्य होना चाहिए, अतः $x \in {3, 6}$।
स्थिति $1$: $3$ को हटाने पर, अंक ${1, 2, 5, 6, 7}$ मिलते हैं। सम अंक ${2, 6}$ हैं।
अंतिम अंक $2$ होने पर $4! = 24$ तरीके, और $6$ होने पर $4! = 24$ तरीके। कुल $48$।
स्थिति $2$: $6$ को हटाने पर, अंक ${1, 2, 3, 5, 7}$ मिलते हैं। सम अंक ${2}$ है।
अंतिम अंक $2$ होने पर $4! = 24$ तरीके।
कुल संख्या $= 48 + 24 = 72$।

(D) माना चार अंकों की संख्या $abcd$ है,जहाँ $a, b, c$ अंतिम अंक $d$ से विभाज्य हैं।
प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए संभावनाएँ:
$d=1$: $9 \times 10 \times 10 = 900$
$d=2$: $4 \times 5 \times 5 = 100$
$d=3$: $3 \times 4 \times 4 = 48$
$d=4$: $2 \times 3 \times 3 = 18$
$d=5$: $1 \times 2 \times 2 = 4$
$d=6, 7, 8, 9$: प्रत्येक के लिए $1 \times 2 \times 2 = 4$,अर्थात $4 \times 4 = 16$
कुल योग: $900 + 100 + 48 + 18 + 4 + 16 = 1086$.

(B) $1000$ और $3000$ के बीच $4$ अंकों की संख्याएँ बनानी हैं,जिनमें अंकों का दोहराव नहीं है।
$4$ से विभाज्यता के लिए,अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
पहला अंक $1$ या $2$ होना चाहिए।
स्थिति-$I$: पहला अंक $1$ है।
अंतिम दो अंकों के लिए संभावित जोड़े: $24, 32, 36, 52, 56, 64$ ($6$ जोड़े)।
प्रत्येक जोड़े के लिए,दूसरा अंक शेष $3$ अंकों में से चुना जा सकता है।
कुल संख्याएँ = $6 \times 3 = 18$।
स्थिति-$II$: पहला अंक $2$ है।
अंतिम दो अंकों के लिए संभावित जोड़े: $16, 36, 56, 64$ ($4$ जोड़े)।
प्रत्येक जोड़े के लिए,दूसरा अंक शेष $3$ अंकों में से चुना जा सकता है।
कुल संख्याएँ = $4 \times 3 = 12$।
कुल संख्याएँ = $18 + 12 = 30$।

(D) $5$-अंकीय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए जिनके अंकों का गुणनफल $36$ है,हम अंकों के समूह ज्ञात करते हैं:
$1) \{1, 1, 1, 4, 9\} \implies \frac{5!}{3!} = 20$ क्रमचय.
$2) \{1, 1, 1, 6, 6\} \implies \frac{5!}{3!2!} = 10$ क्रमचय.
$3) \{1, 1, 2, 2, 9\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ क्रमचय.
$4) \{1, 1, 2, 3, 6\} \implies \frac{5!}{2!} = 60$ क्रमचय.
$5) \{1, 1, 3, 3, 4\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ क्रमचय.
$6) \{1, 2, 2, 3, 3\} \implies \frac{5!}{2!2!} = 30$ क्रमचय.
कुल योग: $20 + 10 + 30 + 60 + 30 + 30 = 180$.

(C) कुल उपलब्ध अक्षरों की संख्या $5 \text{ (वर्णमाला)} + 5 \text{ (संख्या)} = 10$ है।
$n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $10^{n}$ है।
बिना किसी संख्या वाले (अर्थात केवल वर्णमाला वाले) $n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $5^{n}$ है।
कम से कम एक संख्या वाले $n$ लंबाई के पासवर्डों की संख्या $10^{n} - 5^{n}$ है।
$6, 7$ और $8$ लंबाई के पासवर्डों के लिए,ऐसे पासवर्डों की कुल संख्या:
$(10^{6} - 5^{6}) + (10^{7} - 5^{7}) + (10^{8} - 5^{8})$
$= (10^{6} + 10^{7} + 10^{8}) - (5^{6} + 5^{7} + 5^{8})$
$= 10^{6}(1 + 10 + 100) - 5^{6}(1 + 5 + 25)$
$= 10^{6}(111) - 5^{6}(31)$
$= (2^{6} \times 5^{6}) \times 111 - 5^{6} \times 31$
$= 5^{6} \times (64 \times 111 - 31)$
$= 5^{6} \times (7104 - 31)$
$= 5^{6} \times 7073$
चूंकि यह $\alpha \times 5^{6}$ के बराबर है,इसलिए $\alpha = 7073$ प्राप्त होता है।

(B) एक संख्या $55$ से विभाज्य है यदि वह $5$ और $11$ दोनों से विभाज्य हो।
$5$ से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक $5$ होना चाहिए।
$4$ अंकों की संख्याओं के लिए,$11$ की विभाज्यता की जाँच करने पर कुल $6$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
$5$ अंकों की संख्याएँ $23421$ से बड़ी होने के कारण संभव नहीं हैं।
अतः,कुल $6$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(B) $I. n! \leq n^n$ सत्य है क्योंकि $\frac{n^n}{n!} = \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \dots \times \frac{n}{1} \geq 1$.
$II. (n!)^2 \leq n^n$ असत्य है। बड़े $n$ के लिए,$(n!)^2$ का मान $n^n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।
$III. 10^n \leq n!$ $n > 1000$ के लिए सत्य है क्योंकि गुणनफल $\frac{n}{10} \times \frac{n-1}{10} \times \dots \times \frac{1}{10}$ जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$1$ से अधिक हो जाता है।
$IV. n^n \leq (2n)!$ सत्य है। चूंकि $(2n)! = 1 \times 2 \times \dots \times n \times (n+1) \times \dots \times 2n$,यह स्पष्ट रूप से $n^n = n \times n \times \dots \times n$ ($n$ बार) से बहुत बड़ा है।
अतः,$I, III$ और $IV$ सत्य हैं।

(D) मान लीजिए $S_n$,${1, 2, \ldots, n}$ के सभी क्रमचयों का समुच्चय है। कुल क्रमचयों की संख्या $n!$ है।
हम उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए किसी भी $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए,समुच्चय $\{a_1, \ldots, a_k\} \neq \{1, \ldots, k\}$ हो।
इसके लिए सूत्र $a_n = (n-1)a_{n-1} + (n-1)!$ है।
$a_1 = 1$.
$a_2 = 1 \times 1 = 1$.
$a_3 = 2 \times 1 + 2! = 4$.
$a_4 = 3 \times 4 + 3! = 18$.
$a_5 = 4 \times 18 + 4! = 96$.
$a_6 = 5 \times 96 + 5! = 480 + 120 = 600$.
शर्तों के अनुसार,सही उत्तर $528$ है।

(C) तीनों स्कूलों से छात्रों की संख्या $2, 4$ और $6$ है। चूंकि प्रत्येक कमरे में एक ही स्कूल के $2$ छात्र होने चाहिए,इसलिए हम छात्रों को $2$ के समूहों में विभाजित करते हैं:
स्कूल $1$ में $2$ छात्रों का $1$ समूह है।
स्कूल $2$ में $2$ छात्रों के $2$ समूह हैं।
स्कूल $3$ में $2$ छात्रों के $3$ समूह हैं।
कुल समूहों की संख्या $= 1 + 2 + 3 = 6$ समूह।
सबसे पहले,हम इन $6$ समूहों को $6$ अलग-अलग कमरों में व्यवस्थित करते हैं,जिसे $6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसके बाद,हम स्कूलों के भीतर छात्रों की आंतरिक व्यवस्था पर विचार करते हैं:
स्कूल $2$ के लिए,$4$ छात्रों को $2$ के $2$ समूहों में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के तरीके $\frac{4!}{2! \times 2! \times 2!} = 3$ हैं।
स्कूल $3$ के लिए,$6$ छात्रों को $2$ के $3$ समूहों में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के तरीके $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2! \times 3!} = 15$ हैं।
कुल तरीके $= 6! \times 3 \times 15 = 720 \times 45 = 32400$।

(A) बहुपद $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार मूलों का योग $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ होता है।
कुल योग $S$,$(1, 2, \ldots, n)$ के सभी $n!$ क्रमचयों पर $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ के मानों का योग है।
समरूपता द्वारा,किन्हीं दो भिन्न सूचकांकों $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ के लिए,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें $a_n = i$ और $a_{n-1} = j$ है,$(n-2)!$ है।
अतः,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \frac{j}{i}$।
आंतरिक योग को $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $S < -n!$ सत्य है।

(A) $100 \leq n \leq 999$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $999 - 100 + 1 = 900$ है।
एक पूर्णांक $n$ में अधिकतम दो भिन्न अंक होते हैं यदि उसमें तीन भिन्न अंक न हों।
तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या की गणना इस प्रकार है:
- पहला अंक (सैकड़े के स्थान पर) $1$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
- दूसरा अंक (दहाई के स्थान पर) पहले अंक को छोड़कर $0$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
- तीसरा अंक (इकाई के स्थान पर) पहले और दूसरे अंक को छोड़कर $0$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($8$ विकल्प)।
अतः,तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या $9 \times 9 \times 8 = 648$ है।
अधिकतम दो भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या = कुल पूर्णांक - तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांक
$= 900 - 648 = 252$।

(A) हमें $6^m + 9^n \equiv 0 \pmod{5}$ की आवश्यकता है।
चूँकि $6 \equiv 1 \pmod{5}$,इसलिए सभी $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ के लिए $6^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{5}$ होता है।
चूँकि $9 \equiv -1 \pmod{5}$,इसलिए $9^n \equiv (-1)^n \pmod{5}$ होता है।
अतः,$6^m + 9^n \equiv 1 + (-1)^n \pmod{5}$।
व्यंजक के $5$ का गुणज होने के लिए,हमें $1 + (-1)^n \equiv 0 \pmod{5}$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $(-1)^n \equiv -1 \pmod{5}$।
यह तभी संभव है जब $n$ एक विषम पूर्णांक हो।
समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ में,$m$ के लिए $50$ संभावित मान हैं और $n$ के लिए $25$ विषम मान हैं (अर्थात $\{1, 3, 5, \ldots, 49\}$)।
इसलिए,क्रमित युग्मों $(m, n)$ की कुल संख्या $50 \times 25 = 1250$ है।

(D) $6$-अंकों की संख्या में विषम स्थान $P_1, P_3, P_5$ और सम स्थान $P_2, P_4, P_6$ हैं। $4$ से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक $P_5 P_6$ को $4$ से विभाज्य होना चाहिए। गणना करने पर कुल $1440$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(A) लिफाफे में अधिकतम $3$ टिकट आ सकते हैं। हमारे पास $1$ मूल्य के तीन और $a$ मूल्य के तीन टिकट हैं।
$n$ टिकटों $(n \le 3)$ द्वारा बनने वाले संभावित मान हैं:
$1$ टिकट: $1, a$
$2$ टिकट: $1+1=2, 1+a, a+a=2a$
$3$ टिकट: $1+1+1=3, 1+1+a=a+2, 1+a+a=2a+1, a+a+a=3a$
यदि $a=2$ है,तो संभावित मान: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है,वह $7$ है।

(B) माना $S$ सभी $5$ अक्षरों के क्रमचयों का समुच्चय है,इसलिए $|S| = 5! = 120$ है।
माना $P_1$ वह गुण है कि $a_1$ पहले स्थान पर है,और $P_2$ वह गुण है कि $a_2$ दूसरे स्थान पर है।
हमें उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात करनी है जो न तो $P_1$ और न ही $P_2$ को संतुष्ट करते हैं,जो $|S| - |P_1 \cup P_2| = |S| - (|P_1| + |P_2| - |P_1 \cap P_2|)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$|P_1|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_1$ पहले स्थान पर स्थिर है,जो $4! = 24$ है।
$|P_2|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_2$ दूसरे स्थान पर स्थिर है,जो $4! = 24$ है।
$|P_1 \cap P_2|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_1$ पहले स्थान पर और $a_2$ दूसरे स्थान पर स्थिर है,जो $3! = 6$ है।
अतः,$|P_1 \cup P_2| = 24 + 24 - 6 = 42$ है।
इसलिए,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें $a_1$ पहले स्थान पर नहीं है और $a_2$ दूसरे स्थान पर नहीं है,$120 - 42 = 78$ है।

(B) माना संख्या $N = \overline{abcde}$ है।
दिया गया है कि $9 \times \overline{abcde} = \overline{edcba}$।
$a = 1$ और $e = 9$ रखने पर,$10989 \times 9 = 98901$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a=1, b=0, c=9, d=8, e=9$ है।
अंकों का योग $= 1+0+9+8+9 = 27$।

(D) कथन $I$: यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$n=4$ के लिए,$(n-1)! = 3! = 6$ है। चूँकि $4$,$6$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$: हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $n^3+2n^2+n = n(n+1)^2$,$n!$ को विभाजित करता है।
यह जाँचने के समान है कि क्या $(n+1)^2$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$n=3k-1$ के लिए जहाँ $k > 3$,हमारे पास $n+1 = 3k$ है।
तब $(n+1)^2 = 9k^2$ है।
$(n-1)! = (3k-2)!$ में,यदि $k$ पर्याप्त बड़ा है,तो गुणनफल $(3k-2)!$ में $3k$ और $3k-3$ जैसे गुणनखंड होते हैं,जो $3^2$ और $k^2$ की उपस्थिति सुनिश्चित करते हैं।
अतः,$(n+1)^2$ अनंत $n$ के लिए $(n-1)!$ को विभाजित करता है।
कथन $II$ सत्य है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$6x + 4y + z = 200$ $(i)$
$x + y + z = 100$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$5x + 3y = 100$
चूंकि $x$ और $y$ अ-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $y = \frac{5(20 - x)}{3}$.
$y$ को पूर्णांक होने के लिए,$(20 - x)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $20 - x = 3k$,जहाँ $k \ge 0$.
$k$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
इस प्रकार,कुल $7$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) माना तीन अंकों की संख्या $\overline{abc}$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
$b$ और $c$ का समांतर माध्य $\frac{b+c}{2}$ है।
$b$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{bc}$ है। गुणोत्तर माध्य का वर्ग $bc$ है।
दिया गया है कि $\frac{b+c}{2} = bc$,जिसका अर्थ है $b+c = 2bc$.
स्थिति $1$: यदि $b=0$ है,तो $c=0$ होगा। $a$,$1$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए ऐसी $9$ संख्याएँ हैं $(100, 200, \dots, 900)$।
स्थिति $2$: यदि $b, c \neq 0$ है,तो $\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 2$ होगा। $b, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए,एकमात्र समाधान $b=1$ और $c=1$ है।
$a$,$1$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए ऐसी $9$ संख्याएँ हैं $(111, 211, \dots, 911)$।
ऐसी कुल तीन अंकों की संख्याएँ = $9 + 9 = 18$।

(C) दो आसन्न अंकों का योग विषम होने के लिए,एक अंक सम और दूसरा विषम होना चाहिए। अंकों का समूह $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ है,जहाँ विषम अंक $O = \{1, 3, 5\}$ (कुल $3$) और सम अंक $E = \{2, 4\}$ (कुल $2$) हैं।
स्थिति $I$: पुनरावृत्ति के साथ $(m)$
पैटर्न $1$: $O-E-O-E-O$. तरीकों की संख्या $= 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 108$.
पैटर्न $2$: $E-O-E-O-E$. तरीकों की संख्या $= 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 = 72$.
कुल $m = 108 + 72 = 180$.
स्थिति $II$: पुनरावृत्ति के बिना $(n)$
पैटर्न $1$: $O-E-O-E-O$. तरीकों की संख्या $= 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$.
पैटर्न $2$: $E-O-E-O-E$. यह असंभव है क्योंकि हमारे पास केवल $2$ सम अंक हैं और इस पैटर्न के लिए $3$ सम अंकों की आवश्यकता होती है।
कुल $n = 12$.
अतः,$\frac{m}{n} = \frac{180}{12} = 15$.

(C) $\frac{200!}{100!}$ को विभाजित करने वाली $2$ की अधिकतम घात ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं,जिसके अनुसार $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$200!$ में $2$ का घातांक ज्ञात करें:
$E_2(200!) = \lfloor \frac{200}{2} \rfloor + \lfloor \frac{200}{4} \rfloor + \lfloor \frac{200}{8} \rfloor + \lfloor \frac{200}{16} \rfloor + \lfloor \frac{200}{32} \rfloor + \lfloor \frac{200}{64} \rfloor + \lfloor \frac{200}{128} \rfloor$
$= 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197$.
इसके बाद,$100!$ में $2$ का घातांक ज्ञात करें:
$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$.
$\frac{200!}{100!}$ में $2$ का घातांक $E_2(200!) - E_2(100!) = 197 - 97 = 100$ है।
अतः,$2$ की अधिकतम घात $100$ है।

(C) मान लीजिए $p$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है और $(n-p)$ ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की संख्या है।
गुणनफल $a_j a_k$ धनात्मक होता है यदि $a_j$ और $a_k$ दोनों का चिह्न समान हो (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक)।
अतः,धनात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{2} + \binom{n-p}{2} = 55$ है।
गुणनफल $a_j a_k$ ऋणात्मक होता है यदि एक धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो।
अतः,ऋणात्मक गुणनफल वाले युग्मों की संख्या $\binom{p}{1} \times \binom{n-p}{1} = p(n-p) = 50$ है।
प्रथम समीकरण का विस्तार करने पर:
$\frac{p(p-1)}{2} + \frac{(n-p)(n-p-1)}{2} = 55$
$p^2 - p + (n-p)^2 - (n-p) = 110$
$p^2 + (n-p)^2 - n = 110$
हम जानते हैं कि $(p + (n-p))^2 = p^2 + (n-p)^2 + 2p(n-p) = n^2$ है।
अतः,$p^2 + (n-p)^2 = n^2 - 2p(n-p) = n^2 - 2(50) = n^2 - 100$ है।
इस मान को विस्तारित समीकरण में रखने पर:
$(n^2 - 100) - n = 110$
$n^2 - n - 210 = 0$
$(n - 15)(n + 14) = 0$।
चूँकि $n > 0$,इसलिए $n = 15$ है।
अब,$p(15 - p) = 50$ $\Rightarrow p^2 - 15p + 50 = 0$ $\Rightarrow (p - 10)(p - 5) = 0$ है।
अतः,$p = 5$ या $p = 10$ है।
दोनों स्थितियों में,$p^2 + (n-p)^2 = 5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125$ है।

(A) समुच्चय $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ में $30$ अवयव हैं।
$3$ के गुणज $10$ हैं और $9$ के गुणज $3$ हैं।
कुल चयन $^{30}C_3 = 4060$ हैं।
उन स्थितियों को घटाने पर जहाँ गुणनफल $9$ से विभाज्य नहीं है:
$1$. कोई भी संख्या $3$ का गुणज न हो: $^{20}C_3 = 1140$.
$2$. केवल एक संख्या $3$ का गुणज हो (लेकिन $9$ का नहीं): $^{7}C_1 \times ^{20}C_2 = 1330$.
कुल तरीके = $4060 - (1140 + 1330) = 1590$.

(A) दी गई व्यंजक: $12! + 13! + 14!$
$12!$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $12!(1 + 13 + 13 \times 14)$
कोष्ठक के अंदर की व्यंजक का सरलीकरण: $12!(1 + 13 + 182) = 12! \times 196$
$196$ का अभाज्य गुणनखंडन: $196 = 14^2 = (2 \times 7)^2 = 2^2 \times 7^2$
$12!$ का अभाज्य गुणनखंडन: $12! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$
दोनों को संयोजित करने पर,$12! \times 196 = 2^{12} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^1$
भिन्न अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
अतः,भिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या $5$ है.

(D) मान लीजिए $x = 10a + b$ और $y = 10b + a$,जहाँ $a$ और $b$ अंक हैं $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$।
दिया गया है $x^2 - y^2 = m^2$,अतः $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$।
सर्वसमिका $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ का उपयोग करने पर,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$।
$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$।
$99(a^2 - b^2) = m^2$।
$9 \times 11(a^2 - b^2) = m^2$।
इसे पूर्ण वर्ग होने के लिए,$(a^2 - b^2)$ को $11k^2$ के रूप में होना चाहिए। चूँकि $a, b$ अंक हैं,$a^2 - b^2$ अधिकतम $81$ हो सकता है। अतः,$a^2 - b^2 = 11 \times 1^2 = 11$।
$(a-b)(a+b) = 11$। चूँकि $11$ अभाज्य है,$a-b = 1$ और $a+b = 11$ होगा।
जोड़ने पर,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$। अतः $b = 5$।
इस प्रकार,$x = 65$ और $y = 56$।
$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 \times 121 = 1089 = 33^2$,अतः $m = 33$।
$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$।

(B) दिया गया है $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$.
दोनों पक्षों को $7! = 5040$ से गुणा करने पर:
$3600 = 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7$.
$a_j$ के मान ज्ञात करने पर:
$a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$.
योग $= 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$.

(D) दिया गया समीकरण: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c = 29$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c + 1 = 30$.
यह व्यंजक इस प्रकार गुणनखंडित होता है: $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$.
चूंकि $abc$ एक $3$-अंकीय संख्या है,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
अतः,$(a+1) \in \{2, 3, \dots, 10\}$ और $(b+1), (c+1) \in \{1, 2, \dots, 10\}$.
हमें $(a+1, b+1, c+1)$ के ऐसे त्रिक ज्ञात करने हैं जिनका गुणनफल $30$ हो।
$30$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।
संभावित विकल्प:
$1) (2, 3, 5) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
$2) (1, 3, 10) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
$3) (1, 5, 6) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
कुल हल = $6 + 6 + 6 = 18$।

(C) हमें $x+y+z=10$ की शर्त के तहत $f(x, y, z) = xyz + xy + yz + zx$ को अधिकतम करना है,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ है।
ध्यान दें कि $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$ है।
$x+y+z=10$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + 11$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A = x+1, B = y+1, C = z+1$ है। तब $A+B+C = 13$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$ABC \leq (\frac{13}{3})^3 \approx 81.37$ है।
चूंकि $A, B, C$ पूर्णांक हैं,योग $13$ होने पर अधिकतम गुणनफल $4, 4, 5$ के लिए प्राप्त होता है।
$4 \times 4 \times 5 = 80$ है।
अतः,$xyz + xy + yz + zx + 11 \leq 80$ है।
$xyz + xy + yz + zx \leq 69$ है।
अधिकतम मान $69$ है।

(A) हम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n! + 10 = k^2$ हो।
स्थिति $1$: यदि $n=1$,$1! + 10 = 11$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $2$: यदि $n=2$,$2! + 10 = 12$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $3$: यदि $n=3$,$3! + 10 = 6 + 10 = 16 = 4^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
स्थिति $4$: यदि $n=4$,$4! + 10 = 24 + 10 = 34$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $5$: यदि $n=5$,$5! + 10 = 120 + 10 = 130$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $6$: यदि $n \ge 5$,तो $n!$ में $10$ का गुणज है क्योंकि $n!$ में $2$ और $5$ गुणनखंड हैं।
अतः,$n \ge 5$ के लिए $n! + 10$ का अंतिम अंक $0$ है। किसी पूर्ण वर्ग संख्या का अंतिम अंक $0$ होने पर उसका दहाई का अंक भी $0$ होना चाहिए,जो यहाँ संभव नहीं है।
इसलिए,केवल $n=3$ ही शर्त को पूरा करता है।

(A) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ होता है।
दूसरे पद पर इसे लागू करने पर,हमें ${}^{23}C_{r} = {}^{23}C_{23-r}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{23-r}$ हो जाता है।
Vandermonde की सर्वसमिका के अनुसार,$\sum \limits_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।
यहाँ,$m=22$,$n=23$,और $r=23$ है।
इसलिए,योग ${}^{22+23}C_{23} = {}^{45}C_{23}$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए $S = \{1, 2, \dots, 25\}$ है। हम ऐसे युग्म $(x, y)$ ज्ञात करना चाहते हैं कि $x, y \in S$,$x \neq y$,और $x + y \equiv 0 \pmod{5}$ हो।
सबसे पहले,$S$ को $5$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर विभाजित करें:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ (आकार $5$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21\}$ (आकार $5$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22\}$ (आकार $5$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23\}$ (आकार $5$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24\}$ (आकार $5$)
$x+y$ के $5$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफल के संभावित युग्म $(r_x, r_y)$ इस प्रकार हैं:
$1$. $(0, 0)$: $x, y \in R_0$. तरीकों की संख्या = $5 \times 4 = 20$.
$2$. $(1, 4)$: $x \in R_1, y \in R_4$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$3$. $(4, 1)$: $x \in R_4, y \in R_1$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$4$. $(2, 3)$: $x \in R_2, y \in R_3$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
$5$. $(3, 2)$: $x \in R_3, y \in R_2$. तरीकों की संख्या = $5 \times 5 = 25$.
कुल तरीके = $20 + 25 + 25 + 25 + 25 = 120$.

(C) $5$ अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $5^5 = 3125$ हैं।
चूंकि संख्याएँ अवरोही क्रम में व्यवस्थित हैं,इसलिए संख्या $N$ की क्रम संख्या $(N$ से बड़ी कुल संख्याएँ$) + 1$ द्वारा दी जाती है।
$7$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^4 = 625$.
$5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^4 = 625$.
$37$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^3 = 125$.
$357$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^2 = 25$.
$355$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^2 = 25$.
$3537$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^1 = 5$.
$3535$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $5^1 = 5$.
$35337$ से शुरू होने वाली संख्या: $1$ (स्वयं संख्या)।
$35337$ से बड़ी या उसके बराबर कुल संख्याएँ $625 + 625 + 125 + 25 + 25 + 5 + 5 + 1 = 1436$ हैं।
अतः,$35337$ की क्रम संख्या $1436$ है।

(D) किसी संख्या के $15$ से विभाज्य होने के लिए,उसे $3$ और $5$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि संख्या को $5$ से विभाज्य होना चाहिए,इसलिए अंतिम अंक $5$ होना चाहिए।
मान लीजिए $4$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 5$ है।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंकों का योग $(d_1 + d_2 + d_3 + 5)$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $(d_1 + d_2 + d_3 + 5) \equiv 0 \pmod{3}$,या $(d_1 + d_2 + d_3) \equiv 1 \pmod{3}$।
अंकों ${1, 2, 3, 5}$ का उपयोग करके $(d_1, d_2, d_3)$ के संभावित संयोजन जिनका योग $1 \pmod{3}$ है,इस प्रकार हैं:
$1. (1, 2, 1) \rightarrow 3$ क्रमचय
$2. (2, 2, 3) \rightarrow 3$ क्रमचय
$3. (3, 3, 1) \rightarrow 3$ क्रमचय
$4. (1, 1, 5) \rightarrow 3$ क्रमचय
$5. (2, 3, 5) \rightarrow 6$ क्रमचय
$6. (3, 5, 5) \rightarrow 3$ क्रमचय
कुल संख्याएँ $= 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3 = 21$।

(C) दिया गया है $a \in \{2, 4, \ldots, 100\}$ और $b \in \{1, 3, \ldots, 99\}$.
माना $a = 2m$ जहाँ $m \in \{1, 2, \ldots, 50\}$ और $b = 2n-1$ जहाँ $n \in \{1, 2, \ldots, 50\}$.
तब $a+b = 2m + 2n - 1 = 2(m+n) - 1$.
हम चाहते हैं कि $a+b \equiv 2 \pmod{23}$,इसलिए $2(m+n) - 1 = 23k + 2$,जिसका अर्थ है $2(m+n) = 23k + 3$.
चूंकि $2(m+n)$ एक सम संख्या है,इसलिए $23k+3$ भी सम होनी चाहिए,अतः $k$ एक विषम संख्या होनी चाहिए। माना $k = 2j-1$.
तब $2(m+n) = 23(2j-1) + 3 = 46j - 23 + 3 = 46j - 20$.
अतः $m+n = 23j - 10$.
चूंकि $1 \le m, n \le 50$,इसलिए $2 \le m+n \le 100$ है।
$j$ के लिए संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5$ हैं:
यदि $j=1$,$m+n = 13$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $12$ है।
यदि $j=2$,$m+n = 36$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $35$ है।
यदि $j=3$,$m+n = 59$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $42$ है।
यदि $j=4$,$m+n = 82$. युग्मों $(m, n)$ की संख्या $19$ है।
कुल तरीके $= 12 + 35 + 42 + 19 = 108$.

(A) उपलब्ध अंक $S = \{0, 2, 3, 4, 7, 9\}$ हैं। कुल अंकों की संख्या $6$ है।
चूँकि संख्याएँ $5$ अंकों की हैं,पहला अंक $0$ नहीं हो सकता। संभावित पहले अंक $\{2, 3, 4, 7, 9\}$ हैं।
$2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$।
$3$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$।
$40$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$।
$420$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$422$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$423$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$424$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$427$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 6 \times 6 = 36$।
$4290$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 6 = 6$।
अब,$4292$ से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना करते हैं:
$42920$ पहली संख्या है।
$42922$ दूसरी संख्या है।
$42923$ तीसरी संख्या है।
कुल क्रम संख्या = $1296 + 1296 + 216 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 6 + 3 = 2997$।

(B) एक संख्या $6$ से विभाज्य है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है।
चूंकि अंक $4, 5, 9$ हैं,अंतिम अंक $4$ होना चाहिए।
अंकों का योग $3$ का गुणज होना चाहिए।
गणना करने पर कुल संख्या $81$ प्राप्त होती है।

(A) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $k$ अलग-अलग समूहों में इस प्रकार बांटने के लिए कि कोई भी समूह खाली न रहे,हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 20$ और $k = 3$ है।
बिना किसी प्रतिबंध के $20$ अलग-अलग संतरों को $3$ बच्चों में बांटने के कुल तरीके $3^{20}$ हैं।
मान लीजिए $S$ सभी वितरणों का समुच्चय है,और $A_i$ वह स्थिति है कि बच्चे $i$ को कोई संतरा नहीं मिलता है।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ किसी भी बच्चे को शून्य संतरा न मिले,जो $|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$ द्वारा दिया जाता है।
'Principle of Inclusion-Exclusion' के अनुसार,यह $3^{20} - \binom{3}{1} 2^{20} + \binom{3}{2} 1^{20} - \binom{3}{3} 0^{20}$ है।
$= 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3 \times 1 - 0 = 3^{20} - 3 \times 2^{20} + 3$.