જો $^{10}C_r = ^{10}C_{r+2}$ હોય,તો $^5C_r$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ગણ $A$ અને $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા અનુક્રમે $5$ અને $2$ છે. તો $A \times B$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો હોય:

એક મહિલા $6$ મહેમાનો માટે ડિનર પાર્ટી આપે છે. જો $10$ મિત્રોમાંથી $2$ મિત્રો સાથે પાર્ટીમાં ન આવે,તો તેમને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક રૂમમાં દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે. કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા $45$ છે. તો રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?

એક દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
$\text{વિધાન}-1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા $^{10}C_5$ છે.
$\text{વિધાન}-2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા એ હરોળમાં $6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાના વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા જેટલી છે.

રૂમમાં દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે. હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $66$ છે. તો રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા કેટલી હશે?