જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય અને $^nC_r$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય,તો $r = $

$15$ છોકરાઓ અને $8$ છોકરીઓના જૂથમાંથી એક છોકરી અને એક છોકરાને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

જો $4$ પરિણીત યુગલોમાંથી મિક્સ્ડ ડબલ્સ ટેનિસ ગેમ રમવા માટે $4$ વ્યક્તિઓની ટીમ પસંદ કરવાની હોય,તો એવી ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે જેમાં કોઈ પણ પરિણીત યુગલ ન હોય?

એક ચૂંટણીમાં $8$ ઉમેદવારો છે,જેમાંથી $5$ ની પસંદગી કરવાની છે. જો મતદાર કોઈપણ સંખ્યામાં ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે પરંતુ પસંદ કરવાના ઉમેદવારોની સંખ્યાથી વધુ નહીં,તો મતદાર કેટલી રીતે મત આપી શકે?

$7$ સમાન સફેદ દડા અને $3$ સમાન કાળા દડા છે. બધા દડાઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય.

જો $n > 2023$ માટે $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2)$ હોય,તો જ્યારે $n = 2024$ હોય ત્યારે ${}^{N}C_{N-1}$ ની કિંમત શોધો.