એક માણસને $7$ મિત્રો છે. તે તેમાંથી એક અથવા વધુ મિત્રોને ચાની પાર્ટી માટે કેટલી રીતે આમંત્રિત કરી શકે?

$16$ સમાન નારંગીઓને $4$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક નારંગી મળે:

$9$ પ્રશ્નપત્રોની પરીક્ષામાં,એક ઉમેદવાર ત્યારે જ સફળ થાય છે જો તે નાપાસ થયેલા પ્રશ્નપત્રો કરતાં વધુ પ્રશ્નપત્રોમાં પાસ થાય. ઉમેદવાર કેટલી રીતે અસફળ થઈ શકે?

બે પાત્રો (urns) છે. પાત્ર $A$ માં $3$ અલગ-અલગ લાલ દડા છે અને પાત્ર $B$ માં $9$ અલગ-અલગ વાદળી દડા છે. દરેક પાત્રમાંથી યાદચ્છિક રીતે બે દડા બહાર કાઢીને બીજા પાત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા કેટલી રીતે કરી શકાય?

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ ને સંતોષતી $r$ ની કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો ${ }^{2n}C_3 : { }^{n}C_3 = 12 : 1$ હોય,તો $n =$