Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) ચાલો વિધાન $\sim (p \rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ.
$1$. $p = T, q = T$ માટે: $\sim (T$ $\rightarrow T) \Leftrightarrow (\sim T \vee \sim T) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (F \vee F) \implies F \Leftrightarrow F$,જે $T$ છે.
$2$. $p = T, q = F$ માટે: $\sim (T$ $\rightarrow F) \Leftrightarrow (\sim T \vee \sim F) \implies \sim (F) \Leftrightarrow (F \vee T) \implies T \Leftrightarrow T$,જે $T$ છે.
$3$. $p = F, q = T$ માટે: $\sim (F$ $\rightarrow T) \Leftrightarrow (\sim F \vee \sim T) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (T \vee F) \implies F \Leftrightarrow T$,જે $F$ છે.
$4$. $p = F, q = F$ માટે: $\sim (F$ $\rightarrow F) \Leftrightarrow (\sim F \vee \sim F) \implies \sim (T) \Leftrightarrow (T \vee T) \implies F \Leftrightarrow T$,જે $F$ છે.
આમ,વિધાનના સત્યતા મૂલ્યો બધા $T$ નથી (પુનરાવૃતિ નથી) અને બધા $F$ નથી (વિરોધાભાસ નથી),તેથી તે પુનરાવૃતિ કે વિરોધાભાસ નથી.

(B) ધારો કે $p$ એ "હું શિક્ષક બનું" વિધાન છે અને $q$ એ "હું શાળા ખોલીશ" વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \implies q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$p$ એટલે "હું શિક્ષક બનીશ" અને $\sim q$ એટલે "હું શાળા નહીં ખોલું".
તેથી,નિષેધ "હું શિક્ષક બનીશ અને હું શાળા નહીં ખોલું" થાય છે.

(B) દ' મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $\sim p \wedge (\sim q \vee q)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv t$ (નિત્યસત્ય),પદાવલિ $\sim p \wedge t$ બને છે.
એકરૂપતાના નિયમ દ્વારા,$\sim p \wedge t \equiv \sim p$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$.
આપેલ પદાવલિ માટે:
$(p$ $\rightarrow \sim p) \wedge (\sim p$ $\rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim p) \wedge (p \vee p)$.
આઈડેમપોટન્ટ નિયમ $(p \vee p \equiv p)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (\sim p) \wedge (p)$.
કારણ કે $p \wedge \sim p \equiv c$ (જ્યાં $c$ એ વિરોધાભાસ છે),તેથી આ વિધાન વિરોધાભાસ છે.

(A) ધારો કે $S = (p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = [(p \wedge \sim q) \wedge \sim p] \vee [(p \wedge \sim q) \wedge q]$
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = [(p \wedge \sim p) \wedge \sim q] \vee [p \wedge (\sim q \wedge q)]$
અહીં $(p \wedge \sim p) = c$ અને $(\sim q \wedge q) = c$ હોવાથી:
$S = (c \wedge \sim q) \vee (p \wedge c)$
$S = c \vee c = c$
આમ,આપેલ વિધાન નિત્ય મિથ્યા છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રત્યય $p \rightarrow q$ એ $\sim p \vee q$ ને સમતુલ્ય છે.
આ નિયમ $\sim (p \rightarrow \sim q)$ પદાવલિ પર લાગુ પાડતા:
$\sim (p \rightarrow \sim q) \equiv \sim (\sim p \vee \sim q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (\sim p \vee \sim q) \equiv (\sim \sim p \wedge \sim \sim q) \equiv (p \wedge q)$.
તેથી,પદાવલિ $\sim (p \rightarrow \sim q)$ એ $(p \wedge q)$ ને તાર્કિક રીતે સમતુલ્ય છે.

(D) તર્કશાસ્ત્રમાં વિધાન એ એક એવું ઘોષણાત્મક વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$ 'દરવાજો ખોલો' એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય છે.
$(b)$ 'તમારું ગૃહકાર્ય કરો' એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય છે.
$(c)$ 'અરે! અમે મેચ જીતી ગયા' એ ઉદ્ગારવાચક વાક્ય છે.
$(d)$ 'બે અને બે નો સરવાળો પાંચ છે' એ એક ઘોષણાત્મક વાક્ય છે જે અસત્ય છે. તેનું સત્યતા મૂલ્ય નિશ્ચિત (અસત્ય) હોવાથી,તે એક ગાણિતિક વિધાન છે.

(A) શરતી વિધાન $p \rightarrow S$ ત્યારે જ ખોટું હોય જો $p$ એ $T$ હોય અને $S$ એ $F$ હોય.
અહીં,$p \rightarrow (q \vee r)$ ખોટું છે.
આનો અર્થ એ છે કે $p$ એ $T$ છે અને $(q \vee r)$ એ $F$ છે.
વિકલ્પ $(q \vee r)$ ખોટું હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
તેથી,સત્યાર્થતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = F$ છે.

(A) વિધાન-$1$: $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ એ $p \Leftrightarrow q$ ને સમતુલ્ય છે.
વિધાન-$2$: $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ એ પુનરાવૃતિ છે.

$p$	$q$	$\sim q$	$(p \Leftrightarrow q)$	$(p \Leftrightarrow \sim q)$	$\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$

સત્યતા કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે $\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ નો સ્તંભ $(p \Leftrightarrow q)$ ના સ્તંભ જેવો જ છે,તેથી વિધાન-$1$ સાચું છે.
જો કે,$\sim (p \Leftrightarrow \sim q)$ ના સ્તંભમાં $T$ અને $F$ બંને કિંમતો છે,તેથી તે પુનરાવૃતિ નથી. આમ,વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે:
$p \vee (\sim p) = t$
$p \wedge (\sim p) = c$
$p \wedge p = p$
$p \vee p = p$
આથી,$p \vee p = p$ એ સત્ય છે.

(A) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "$12$ એ $3$ નો ગુણક છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "$12$ એ $4$ નો ગુણક છે".
આપેલ વિધાન $p \wedge q$ છે.
$p \wedge q$ નું નિષેધ $\sim (p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$ થાય (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ).
તેથી,નિષેધ છે: "$12$ એ $3$ નો ગુણક નથી અથવા $12$ એ $4$ નો ગુણક નથી".

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow (q \vee r)$ માત્ર ત્યારે જ ખોટું હોય જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $(q \vee r)$ અસત્ય હોય.
$(q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$p, q, r$ ના સત્યાર્થતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T, F, F$ છે.

(D) $[p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$ એ નિત્ય સત્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$1$. ગર્ભિતાર્થનો નિયમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ વાપરો:
$[p \wedge (\sim p \vee q)] \rightarrow q$
$2$. વિભાજનનો નિયમ વાપરો:
$[(p \wedge \sim p) \vee (p \wedge q)] \rightarrow q$
$3$. કારણ કે $p \wedge \sim p \equiv F$ (વ્યાઘાત):
$[F \vee (p \wedge q)] \rightarrow q$
$4$. તાદાત્મ્ય નિયમ $F \vee r \equiv r$ વાપરીને સાદું રૂપ આપો:
$(p \wedge q) \rightarrow q$
$5$. ફરીથી ગર્ભિતાર્થનો નિયમ વાપરો:
$\sim (p \wedge q) \vee q$
$6$. ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરો:
$(\sim p \vee \sim q) \vee q$
$7$. સહચારી નિયમ વાપરો:
$\sim p \vee (\sim q \vee q)$
$8$. કારણ કે $\sim q \vee q \equiv T$ (નિત્ય સત્ય):
$\sim p \vee T \equiv T$
પરિણામ $T$ હોવાથી,આ વિધાન નિત્ય સત્ય છે.

(B) આપણે વિધાન $p$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$ નું સત્યતા મૂલ્ય ચકાસીએ:
$p$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p) \equiv \sim p \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$
$\equiv (\sim p \vee p) \vee \sim q$
$\equiv T \vee \sim q \equiv T$
હવે,આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ:
વિકલ્પ $B$ માટે: $p \Rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee p) \vee q$
$\equiv T \vee q \equiv T$
આમ,આપેલ વિધાન અને વિકલ્પ $B$ બંને નિત્યસત્ય (tautology) હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.

(A) જો કોઈ વિધાનનું સત્યાર્થતા મૂલ્ય તેના ઘટકોના તમામ શક્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા ખોટું (false) હોય,તો તે વિધાનને વિરોધાભાસ કહેવાય.
ચાલો $(p \wedge q) \wedge (\sim (p \vee q))$ પદાવલિનું મૂલ્યાંકન કરીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ બને છે.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમ મુજબ,આ $(p \wedge \sim p) \wedge (q \wedge \sim q)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $(p \wedge \sim p)$ હંમેશા ખોટું $(F)$ છે અને $(q \wedge \sim q)$ હંમેશા ખોટું $(F)$ છે,તેથી આખી પદાવલિ $F \wedge F$ થાય છે,જે હંમેશા $F$ છે.
તેથી,$(p \wedge q) \wedge (\sim (p \vee q))$ એ વિરોધાભાસ છે.

(A) આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow p$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $(A \rightarrow B) \equiv (\neg A \vee B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\neg (p \wedge q) \vee p$
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$(\neg p \vee \neg q) \vee p$
ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ વાપરતા:
$(\neg p \vee p) \vee \neg q$
કારણ કે $(\neg p \vee p) \equiv T$ (પુનરાવૃતિ):
$T \vee \neg q \equiv T$
તેથી,આ વિધાન એક પુનરાવૃતિ છે.

(C) ધારો કે $p$ અને $q$ નીચે મુજબના વિધાનો છે:
$p$: ચતુષ્કોણ એ ચોરસ છે.
$q$: ચતુષ્કોણ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નિષેધ છે: "ચતુષ્કોણ એ ચોરસ છે અને તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી."

(A) વિધાન $p$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $x \in S$ એ એવી સંમેય સંખ્યા છે જેથી $x > 0$ થાય.
$x > 0$ શરત ધરાવતા વિધાનનું નિષેધ $x \leq 0$ થાય.
તેથી,નિષેધ $\sim p$ એ છે: $x \in S$ એ એવી સંમેય સંખ્યા છે જેથી $x \leq 0$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $(p \vee \sim r) \rightarrow (q \wedge r)$ ખોટું છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ ખોટું હોય જ્યારે $A$ સાચું હોય અને $B$ ખોટું હોય.
તેથી,$(p \vee \sim r)$ સાચું છે અને $(q \wedge r)$ ખોટું છે.
અહીં $(q \wedge r)$ ખોટું છે અને $q$ સાચું છે,તેથી $r$ ખોટું હોવું જોઈએ.
હવે,$r = \text{False}$ ને $(p \vee \sim r) = \text{True}$ માં મૂકતા.
$(p \vee \sim \text{False}) = \text{True} \Rightarrow (p \vee \text{True}) = \text{True}$.
કારણ કે $(p \vee \text{True})$ હંમેશા સાચું જ હોય છે,$p$ સાચું અથવા ખોટું હોઈ શકે છે.

(D) કોઈ વિધાનનું દ્વંદ્વ વિધાન $\wedge$ ને $\vee$ વડે,$\vee$ ને $\wedge$ વડે,$c$ ને $t$ વડે અને $t$ ને $c$ વડે એકસાથે બદલવાથી મળે છે.
આપેલ વિધાન $p \wedge (\sim p) = c$ નું દ્વંદ્વ વિધાન $p \vee (\sim p) = t$ મળે છે.

(C) સંયુક્ત વિધાનનું દ્વૈત વિધાન મેળવવા માટે 'અને' $(land)$ ને 'અથવા' $(lor)$ વડે અને 'અથવા' $(lor)$ ને 'અને' $(land)$ વડે બદલવામાં આવે છે.
આપેલ વિધાન: $p \land q$,જ્યાં $p$ એ "રિના તંદુરસ્ત છે" અને $q$ એ "મિના સુંદર છે".
તેથી,તેનું દ્વૈત વિધાન $p \lor q$ થાય.
આમ,દ્વૈત વિધાન "રિના તંદુરસ્ત છે અથવા મિના સુંદર છે" થાય.

(B) $p \Rightarrow q$ નું પ્રતિપ $q \Rightarrow p$ છે.
$q \Rightarrow p$ નું સમાનાર્થીં (contrapositive) $\sim p \Rightarrow \sim q$ છે.
તેથી,$p \Rightarrow q$ ના પ્રતિપનું સમાનાર્થીં $\sim p \Rightarrow \sim q$ છે.

(D) તર્કમાં વિધાન એ એક એવું ઘોષણાત્મક વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$ 'દરેક ગણ અનંત ગણ છે' એ એક અસત્ય વિધાન છે.
$(b)$ 'દરેક ચોરસ એ લંબચોરસ છે' એ એક સત્ય વિધાન છે.
$(c)$ 'સૂર્ય તારો છે' એ એક સત્ય વિધાન છે.
$(d)$ 'બારી બંધ કરો' એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય છે,જેને સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય નહીં.
તેથી,તે વિધાન નથી.

(A) પદ $(\sim p \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ ધ્યાનમાં લો.
તર્કશાસ્ત્રના જૂથના નિયમ (associative law) અને ક્રમના નિયમ (commutative law) નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee \sim q)$
$\equiv t \vee \sim q$
અહીં $t \vee \text{કોઈપણ} \equiv t$ થાય છે,જ્યાં $t$ એ માત્ર પુનરાવૃતિ (tautology) છે:
$\equiv t$
તેથી,$(\sim p \vee \vee \sim q) \vee (p \vee \sim q)$ એ માત્ર પુનરાવૃતિ છે.

(D) ધારો કે આપેલ વિધાનો $p$,$q$ અને $r$ છે.
"સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક છે" વિધાનને $(p \wedge \sim r)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
"સુમન ધનવાન હોય તો અને તો જ સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક હોય" વિધાનને $q \Leftrightarrow (p \wedge \sim r)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
કોઈપણ વિધાન $S$ નું નિષેધ $\sim S$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનું નિષેધ $\sim (q \Leftrightarrow (p \wedge \sim r))$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $S(p, q, r) = \sim p \wedge [\sim (q \vee r)]$.
$S^*(p, q, r)$ એ $S(p, q, r)$ નું દ્વૈત હોવાથી,આપણે $\wedge$ ને $\vee$ માં અને $\vee$ ને $\wedge$ માં બદલીએ છીએ:
$S^*(p, q, r) = \sim p \vee [\sim (q \wedge r)]$.
હવે,$S^*(\sim p, \sim q, \sim r)$ શોધવા માટે,$p, q, r$ ની જગ્યાએ $\sim p, \sim q, \sim r$ મૂકતા:
$S^*(\sim p, \sim q, \sim r) = \sim (\sim p) \vee [\sim (\sim q \wedge \sim r)] = p \vee (q \vee r)$.
બીજી તરફ,$\sim S(p, q, r) = \sim (\sim p \wedge [\sim (q \vee r)]) = \sim (\sim p) \vee \sim [\sim (q \vee r)] = p \vee (q \vee r)$.
તેથી,$S^*(\sim p, \sim q, \sim r) \equiv \sim S(p, q, r)$.

(B) આપેલ વિધાન: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim p \vee q \equiv \sim (p \wedge \sim q)$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$.
ધારો કે $X = (p \wedge \sim q)$. તો પદાવલિ $X \wedge \sim X$ બને છે.
વિરોધાભાસના નિયમ મુજબ,$X \wedge \sim X \equiv c$,જ્યાં $c$ એ વિરોધાભાસ છે.

(D) જો કોઈ વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તેના ઘટકોના તમામ શક્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા $T$ (સત્ય) હોય,તો તેને નિત્ય સત્ય વિધાન કહેવાય.
$1$. $(p$ $\Rightarrow q) \wedge p$ $\Rightarrow q$ માટે:
$(\sim p \vee q) \wedge p$ $\Rightarrow q = ((\sim p \wedge p) \vee (q \wedge p))$ $\Rightarrow q = (F \vee (p \wedge q))$ $\Rightarrow q = (p \wedge q)$ $\Rightarrow q = \sim (p \wedge q) \vee q = \sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$.
$2$. $(p \vee q) \wedge (\sim p) \Rightarrow q$ માટે:
$((p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p))$ $\Rightarrow q = (F \vee (q \wedge \sim p))$ $\Rightarrow q = (q \wedge \sim p)$ $\Rightarrow q = \sim (q \wedge \sim p) \vee q = \sim q \vee p \vee q = T \vee p = T$.
$3$. $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow r)$ માટે:
આ હાઈપોથેટિકલ સિલોજિઝમનો પ્રમાણિત નિયમ છે,જે નિત્ય સત્ય છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો નિત્ય સત્ય હોવાથી,સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી એકપણ નહીં' છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $p \Leftrightarrow q$ એ $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim (p \Leftrightarrow q) = \sim ((p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$,આપણને મળે છે:
$\sim (p$ $\Rightarrow q) \vee \sim (q$ $\Rightarrow p)$.
કારણ કે $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$.

(A) બુલીય બીજગણિતમાં,વિભાજન (સરવાળા) ની ક્રિયાને $\vee$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ તાર્કિક વિધાન $p$ માટે,વિભાજન માટેનો એકમ ઘટક $c$ એ $p \vee c = p$ નું પાલન કરતું હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \vee F = p$ (જ્યાં $F$ એ અસત્ય વિધાન છે),તેથી વિભાજન માટેનો એકમ ઘટક અસત્ય વિધાન $F$ છે.
બુલીય બીજગણિતના સંદર્ભમાં,અસત્ય વિધાનને $c$ અથવા $\sim t$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે (જ્યાં $t$ એ નિત્યસત્ય વિધાન છે).
તેથી,એકમ ઘટક $\sim t$ છે.

(C) ધારો કે $p: x \in A$,$q: x \in B$,અને $r: x \in A \cup B$.
આપેલ વિધાન $p \vee q \Rightarrow r$ છે.
$P \Rightarrow Q$ નું સમાનાર્થી પ્રેરણ $\sim Q \Rightarrow \sim P$ થાય.
અહીં,સમાનાર્થી પ્રેરણ $\sim r \Rightarrow \sim (p \vee q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$.
તેથી,સમાનાર્થી પ્રેરણ છે: જો $x \notin A \cup B$,તો $x \notin A$ અને $x \notin B$.

(A) તાર્કિક વિધાનોના બુલીય બીજગણિતમાં,સંયોજન ક્રિયાને $\wedge$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વિધાન $p$ માટે,$p \wedge t = p = t \wedge p$,જ્યાં $t$ એ નિત્યસત્ય (tautology) દર્શાવે છે.
તેથી,$t$ એ સંયોજન ક્રિયા માટેનો એકમ ઘટક છે.
કારણ કે $t = \sim c$ (જ્યાં $c$ એ વ્યાઘાત છે),તેથી એકમ ઘટક $\sim c$ છે.

(C) ગાણિતિક વિધાન એ એક એવું વિધાન છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$1$. "હું સિંહ છું" એ વિધાન નથી કારણ કે તેનું સત્ય મૂલ્ય બોલનાર પર આધાર રાખે છે.
$2$. "તર્કશાસ્ત્ર એક રસપ્રદ વિષય છે" એ વિધાન નથી કારણ કે "રસપ્રદ" એ વ્યક્તિલક્ષી છે.
$3$. "ત્રિકોણ એ વર્તુળ છે અને $10$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે" એ બે ઘટકો દ્વારા બનેલું સંયુક્ત વિધાન છે. બંને ઘટકો અસત્ય હોવાથી (ત્રિકોણ વર્તુળ નથી અને $10$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી),આ સંયુક્ત વિધાન અસત્ય છે. તેથી,તે એક માન્ય ગાણિતિક વિધાન છે.

(D) $1$. $p \wedge q$ માત્ર ત્યારે જ સાચું હોય જ્યારે $p$ અને $q$ બંને સાચાં હોય. તેથી વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. $p \rightarrow q$ માત્ર ત્યારે જ ખોટું હોય જ્યારે $p$ સાચું અને $q$ ખોટું હોય. તેથી વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. $p \Leftrightarrow q$ ત્યારે સાચું હોય જ્યારે $p$ અને $q$ બંને સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવતા હોય (બંને સાચાં અથવા બંને ખોટાં). તેથી વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$4$. $\sim (p \vee q)$ માત્ર ત્યારે જ સાચું હોય જ્યારે $(p \vee q)$ ખોટું હોય,જે ત્યારે જ થાય જ્યારે $p$ અને $q$ બંને ખોટાં હોય. તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \vee (q \wedge r)$ છે.
વિભાજનના નિયમ મુજબ,આ $(q \wedge (p \vee r))$ ને સમાન છે.
આ વિધાન સાચું હોવા માટે,$q$ સાચું હોવું જોઈએ અને $(p \vee r)$ પણ સાચું હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $q$ સાચું છે,અને $p$ અથવા $r$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક સાચું છે.
વિકલ્પો જોતા,જો $q$ અને $r$ સાચા હોય અને $p$ ખોટું હોય,તો $(p \vee r)$ સાચું થાય,તેથી $(q \wedge (p \vee r))$ સાચું બને.
આમ,વિકલ્પ $D$ એ વિધાન સાચું હોવા માટેની એક માન્ય શરત છે.

(D) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim (p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow (q \wedge r)$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\sim (p \rightarrow (q \wedge r)) \equiv p \wedge \sim (q \wedge r)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (q \wedge r) \equiv \sim q \vee \sim r$.
તેથી,નિષેધ $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ છે.

(B) આપેલ વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ છે.
તાર્કિક સમકક્ષતા $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$.
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમો દ્વારા,આ $(\sim p \vee p) \vee \sim q$ ને સમકક્ષ છે,જે $T \vee \sim q = T$ (નિત્યસત્ય) માં પરિણમે છે.
હવે,વિકલ્પ $B$ તપાસીએ: $p \rightarrow (q \vee p) \equiv \sim p \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q = T$.
બંને પદાવલિઓ નિત્યસત્ય હોવાથી,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એ $p \rightarrow (q \vee p)$ ને સમકક્ષ છે.

(D) વિધાન $-1$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ.
યાદ રાખો કે $(p \leftrightarrow \sim q)$ ત્યારે સાચું હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $q$ વિરુદ્ધ સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,$(p \leftrightarrow \sim q)$ એ $\sim (p \leftrightarrow q)$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ $\sim (\sim (p \leftrightarrow q))$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $(p \leftrightarrow q)$ થાય છે.
આથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,આપણે તપાસીએ કે શું $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ નિત્યસત્ય છે.
કારણ કે $\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv (p \leftrightarrow q)$,અને $(p \leftrightarrow q)$ એ $p$ અને $q$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સાચું નથી (જ્યારે $p$ અને $q$ અલગ સત્યતા મૂલ્યો ધરાવે છે ત્યારે તે ખોટું હોય છે),તેથી આ પદાવલિ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે આપેલા વિધાનો છે:
$P :$ સુમન તેજસ્વી છે
$Q :$ સુમન શ્રીમંત છે
$R :$ સુમન પ્રમાણિક છે
"સુમન તેજસ્વી અને બેઈમાન છે" વિધાનને $(P \wedge \sim R)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
"સુમન તેજસ્વી અને બેઈમાન છે જો અને માત્ર જો સુમન શ્રીમંત હોય" વિધાનને $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
દ્વિ-શરતી કારક ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી આ $Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ ને સમાન છે.
કોઈ વિધાન $S$ ના નિષેધને $\sim S$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલા વિધાનનું નિષેધ $\sim (Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R))$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ "હું શિક્ષક બનીશ" વિધાન છે અને $q$ એ "હું શાળા ખોલીશ" વિધાન છે.
આપેલ વિધાન ગર્ભિત સ્વરૂપમાં છે: $p \implies q$.
$p \implies q$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ "હું શિક્ષક બનીશ" છે અને $\sim q$ એ "હું શાળા નહીં ખોલું" છે.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન "હું શિક્ષક બનીશ અને હું શાળા નહીં ખોલું" છે.

(D) વિધાન-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
કારણ કે $(\sim q \rightarrow \sim p)$ એ $(p \rightarrow q)$ નો પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) છે,તેથી તેઓ સમાન સત્ય મૂલ્યો ધરાવે છે.
આમ,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ હંમેશા સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે તે નિત્યસત્ય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
સાહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
પરિણામ હંમેશા ખોટું હોવાથી,તે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
બંને વિધાનો સાચા છે,અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સમજૂતી નથી.

(C) વિધાન $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
$1$. દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow \sim q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ ના સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોય.
$2$. નિષેધ $\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p \leftrightarrow \sim q$ અસત્ય હોય.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,$\sim(p \leftrightarrow \sim q)$ ના સત્યતા મૂલ્યો $(p \leftrightarrow q)$ ના મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,આ વિધાન $(p \leftrightarrow q)$ ને સમાન છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = \sim s \vee (\sim r \wedge s)$ છે.
આપણે તેનું નિષેધ $\sim P = \sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s))$ શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
ડી મોર્ગનનો નિયમ ફરીથી લાગુ પાડતા,આ $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ માં સરળ બને છે.
તેથી,$\sim P = s \wedge (r \vee \sim s)$.
વિભાજનના નિયમ $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim P = (s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $(s \wedge \sim s)$ એ વિરોધાભાસ (False) છે,તેથી:
$\sim P = (s \wedge r) \vee F = s \wedge r$.

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \wedge \sim q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),તેથી $(p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$E \equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$.
ફરીથી વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(p \vee q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$.
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$,તેથી $(T \vee q) \wedge (p \vee q)$.
કારણ કે $(T \vee q) \equiv T$,તેથી $T \wedge (p \vee q) \equiv p \vee q$.
આમ,પદાવલિ $p \vee q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $(p \to q) \to [(\sim p \to q) \to q]$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)
છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ (સત્ય) હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય):
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "પરીક્ષા અઘરી છે".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "હું પાસ થઈશ".
ધારો કે $r$ એ વિધાન છે: "હું સખત અભ્યાસ કરું છું".
આપેલ વિધાન છે: $p \Rightarrow (r \Rightarrow q)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિત વિધાન $A \Rightarrow B$ નું નિષેધ $A \wedge \sim B$ છે.
તેથી,$\sim(p \Rightarrow (r \Rightarrow q)) \equiv p \wedge \sim(r \Rightarrow q)$.
કારણ કે $\sim(r \Rightarrow q) \equiv r \wedge \sim q$,તેથી નિષેધ $p \wedge (r \wedge \sim q)$ થાય છે.
આનું ભાષાંતર છે: "પરીક્ષા અઘરી છે અને હું સખત અભ્યાસ કરું છું પણ હું પાસ થઈશ નહીં."

(C) શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ માત્ર એક જ કિસ્સામાં અસત્ય હોય છે.
શરતી વિધાનના સત્યતા કોષ્ટક મુજબ:
- જો $p$ સત્ય હોય અને $q$ સત્ય હોય,તો $p \Rightarrow q$ સત્ય છે.
- જો $p$ સત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય,તો $p \Rightarrow q$ અસત્ય છે.
- જો $p$ અસત્ય હોય અને $q$ સત્ય હોય,તો $p \Rightarrow q$ સત્ય છે.
- જો $p$ અસત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય,તો $p \Rightarrow q$ સત્ય છે.
તેથી,$p \Rightarrow q$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય.

(C) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \Leftrightarrow \sim q$ ત્યારે જ સત્ય હોય જો $p$ અને $\sim q$ બંનેના સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોય.
કિસ્સો $1$: $p$ સત્ય છે અને $\sim q$ સત્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે $p$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે.
કિસ્સો $2$: $p$ અસત્ય છે અને $\sim q$ અસત્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે $p$ અસત્ય છે અને $q$ સત્ય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ ($p$ અસત્ય છે અને $q$ સત્ય છે) વિધાનને સત્ય બનાવે છે.