Mathematical logic Questions in Gujarati

(D) વિધાન $p \Rightarrow \sim (p \wedge \sim q)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$\sim q$	$p \wedge \sim q$	$\sim (p \wedge \sim q)$	$p \Rightarrow \sim (p \wedge \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,આ વિધાન ન તો સ્વયંસત્ય છે કે ન તો વિરોધાભાસ. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) બુલિયન પદાવલિનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$1$ ને $0$ સાથે અને $0$ ને $1$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $(x \vee y) \wedge (x \vee 1) = x \vee (x \wedge y) \vee y$
નિયમો લાગુ કરતાં:
$1$. $\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $\wedge$ ને $\vee$ સાથે બદલો.
$2$. $1$ ને $0$ સાથે બદલો.
દ્વૈત પદાવલિ: $(x \wedge y) \vee (x \wedge 0) = x \wedge (x \vee y) \wedge y$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,તે વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) વિધાન-$I$ માટે: $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv \sim ((p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p))$
$\equiv \sim (p$ $\rightarrow q) \vee \sim (q$ $\rightarrow p)$
$\equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$.
આમ,વિધાન-$I$ સત્ય છે.
વિધાન-$II$ માટે: $p$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q) \equiv \sim p \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee q \equiv \sim p \vee q$.
આ નિત્યસત્ય નથી (તે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે).
આમ,વિધાન-$II$ અસત્ય છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન '$96$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે' અને $q$ એ વિધાન '$96$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે'.
આપેલ વિધાન $p \land q$ છે.
સંયોજન $p \land q$ નો નિષેધ $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$ છે.
અહીં,$\sim p$ એ '$96$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી' અને $\sim q$ એ '$96$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી'.
તેથી,નિષેધ '$96$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા $96$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી' થાય છે.

(B) શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge (\sim q)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ '$5$ એ $2$ કરતા મોટું નથી' છે અને $q$ એ '$\text{જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની છે}$' છે.
તેથી,$\sim q$ એ '$\text{જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની નથી}$' થશે.
નિષેધ $p \wedge (\sim q)$ છે,જે '$5$ એ $2$ કરતા મોટું નથી અને $\text{જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની નથી}$' થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) દરેક જોડીને તાર્કિક સમકક્ષતા માટે તપાસીએ:
$A$. $\sim (\sim p) \equiv p$ (ડબલ નેગેશનનો નિયમ). આ સમકક્ષ છે.
$B$. $p \vee (p \wedge q) \equiv p$ (એબ્સોર્પ્શનનો નિયમ). કારણ કે $p \not\equiv q$,તેથી આ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ નથી.
$C$. $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ (ડી મોર્ગનનો નિયમ). આ સમકક્ષ છે.
$D$. $\sim (\sim p \wedge q) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$ (ડી મોર્ગનનો નિયમ). આ સમકક્ષ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલી જોડી તાર્કિક રીતે સમકક્ષ નથી.

(C) $p \to (p \leftrightarrow q)$ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
$p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ | $p \to (p \leftrightarrow q)$
$T$ | $T$ | $T$ | $T$
$T$ | $F$ | $F$ | $F$
$F$ | $T$ | $F$ | $T$
$F$ | $F$ | $T$ | $T$
હવે,વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $(q \to p) \to (p \to q)$
$p$ | $q$ | $q \to p$ | $p \to q$ | $(q \to p) \to (p \to q)$
$T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$
$T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$
$F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$
$F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
આમ,$p$ અને $q$ ના તમામ સંયોજનો માટે સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોવાથી,વિધાન $p \to (p \leftrightarrow q)$ એ $(q \to p) \to (p \to q)$ ને તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p$ એ "$2 \times 4 = 8$" છે,જે સત્ય છે,તેથી $p = T$.
વિધાન $q$ એ "$4$ એ $7$ ને ભાગે છે" છે,જે અસત્ય છે,તેથી $q = F$.
હવે,આપણે દરેક દ્વિ-શરતી વિધાન માટે સત્યતા મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:
$(i)$ $p \leftrightarrow q$ એ $T \leftrightarrow F$ છે,જે $F$ છે.
$(ii)$ $\sim p \leftrightarrow q$ એ $\sim T \leftrightarrow F$ છે,જે $F \leftrightarrow F$ છે,તેથી તે $T$ છે.
$(iii)$ $\sim q \leftrightarrow p$ એ $\sim F \leftrightarrow T$ છે,જે $T \leftrightarrow T$ છે,તેથી તે $T$ છે.
$(iv)$ $\sim p \leftrightarrow \sim q$ એ $\sim T \leftrightarrow \sim F$ છે,જે $F \leftrightarrow T$ છે,તેથી તે $F$ છે.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $F, T, T, F$ છે.

(D) "જો $P$,તો $Q$" સ્વરૂપના શરતી વિધાનનું પ્રતિવિધાન "જો $Q$,તો $P$" થાય છે.
અહીં,વિધાન "જો $p < q$,તો $p - x < q - x$" છે.
ધારો કે $P$ એ $p < q$ છે અને $Q$ એ $p - x < q - x$ છે.
તેથી,પ્રતિવિધાન "જો $Q$,તો $P$" એટલે કે "જો $p - x < q - x$,તો $p < q$" થશે.

(B) આપણે $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$.
$\sim (p \wedge (\sim q \vee \sim r)) = \sim p \vee \sim (\sim q \vee \sim r)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા,$\sim (\sim q \vee \sim r) = (\sim \sim q \wedge \sim \sim r) = (q \wedge r)$.
તેથી,પદ $\sim p \vee (q \wedge r)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$.
તેથી,$\sim p \vee (q \wedge r) = (\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee r)$.

(A) આ વિધાનનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$(p \wedge \sim q)$	$(\sim p \vee q)$	$(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$

કારણ કે અંતિમ સ્તંભમાં $p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે માત્ર $F$ (અસત્ય) છે,તેથી આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(D) વિધાન $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow r)$ અસત્ય હોવા માટે,પૂર્વગ $(p \rightarrow q)$ સત્ય હોવું જોઈએ અને ઉત્તરગ $(q \rightarrow r)$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
$(q \rightarrow r)$ અસત્ય હોવા માટે,$q$ સત્ય $(T)$ અને $r$ અસત્ય $(F)$ હોવું જોઈએ.
$q = T$ ને પૂર્વગ $(p \rightarrow q)$ માં મૂકતા,આપણને $(p \rightarrow T)$ મળે છે,જે $p$ ના કોઈપણ સત્યતા મૂલ્ય માટે હંમેશા સત્ય છે.
આમ,$p$ સત્ય અથવા અસત્ય હોઈ શકે છે,$q$ સત્ય હોવું જોઈએ,અને $r$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,$(p, q, r) = (F, T, F)$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) સત્યતા મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે,આપણે $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ ની તાર્કિક સમાનતાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p \leftrightarrow \sim q)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ સમાન સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $q$ વિરુદ્ધ સત્યતા મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ,$(p \leftrightarrow \sim q)$ એ $\sim (p \leftrightarrow q)$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv \sim (\sim (p \leftrightarrow q)) \equiv (p \leftrightarrow q)$.
આથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "હું કોલેજ જઈશ".
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "હું એન્જિનિયર બનીશ".
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \rightarrow q$ નું નકારાત્મક વિધાન $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન છે: "હું કોલેજ જઈશ અને હું એન્જિનિયર નહીં બનું."

(D) $1$. $p$ નું વિશ્લેષણ: વિધેય $f(x) = x$ એ અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = -x = -f(x)$. તેથી,$p$ અસત્ય છે ($\sim p$ સત્ય છે).
$2$. $q$ નું વિશ્લેષણ: દ્વિપદી સહગુણક ${}^nC_m$ એ $n$ માંથી $m$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતો દર્શાવે છે,જે હંમેશા અઋણ પૂર્ણાંક હોય છે. તેથી,$q$ સત્ય છે.
$3$. $r$ નું વિશ્લેષણ: જો $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$ હોય,તો $\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b} = 0$. શૂન્ય સદિશ માટે અશૂન્ય સુરેખ સંયોજન અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી સદિશો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ સુરેખ રીતે આધારિત છે. તેથી,$r$ સત્ય છે.
$4$. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
- $A: (p \wedge q) = (F \wedge T) = F$
- $B: (p \vee q) \wedge \sim r = (F \vee T) \wedge F = T \wedge F = F$
- $C: \sim (q \wedge r) \vee p = \sim (T \wedge T) \vee F = \sim T \vee F = F \vee F = F$
- $D: \sim p \vee (q \wedge r) = \sim F \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(D) શરતી વિધાન $p \rightarrow r$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $r$ અસત્ય હોય.
અહીં,વિધાન $p \rightarrow \sim q$ છે.
આ વિધાન અસત્ય થવા માટે,$p$ સત્ય હોવું જોઈએ અને $\sim q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
જો $\sim q$ અસત્ય હોય,તો $q$ સત્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,વિધાન $p \rightarrow \sim q$ ત્યારે અસત્ય બને જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $q$ સત્ય હોય.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \wedge \sim q \wedge \sim r) \vee (\sim p \wedge q \wedge \sim r) \vee (\sim p \wedge \sim q \wedge r)$ છે.
આ પદાવલિ એવી સ્થિતિ દર્શાવે છે જ્યાં ત્રણ વિધાનો $p, q, r$ માંથી બરાબર એક વિધાન સત્ય હોય.
પદાવલિ $(p \vee q \vee r) \wedge \sim ((p \wedge q) \vee (q \wedge r) \vee (r \wedge p))$ ને ધ્યાનમાં લો.
$(p \vee q \vee r)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p, q, r$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક સત્ય હોય.
$((p \wedge q) \vee (q \wedge r) \vee (r \wedge p))$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p, q, r$ માંથી ઓછામાં ઓછા બે સત્ય હોય.
તેથી,તેમનો સંયોગ ત્યારે જ સત્ય હોય છે જ્યારે $p, q, r$ માંથી બરાબર એક સત્ય હોય.
આ આપેલ પદાવલિ $S$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) નિત્યસત્ય એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
ધારો કે પદ $S = p \wedge ((q \vee t) \wedge p)$ છે.
અહીં $q \vee t$ એ નિત્યસત્ય છે,તેથી $q \vee t \equiv t$.
આથી,$S = p \wedge (t \wedge p) = p \wedge p = p$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $[p \to (q \vee r) \wedge (p \vee t)] \leftrightarrow [\sim(q \vee r) \to \sim p]$.
ડાબી બાજુ $p \to (q \vee r)$ થાય છે અને જમણી બાજુ પણ $(q \vee r) \vee \sim p$ થાય છે,જે સમાન છે. તેથી તે નિત્યસત્ય છે.

(A) પ્રથમ,આપેલ વિધાનનું વિશ્લેષણ કરો: $(p \to \sim p) \to (p \to q)$.
$A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sim (p \to \sim p) \lor (\sim p \lor q)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim (p \to \sim p) \equiv \sim (\sim p \lor \sim p) \equiv \sim (\sim p) \equiv p$,તેથી પદાવલિ $p \lor \sim p \lor q$ માં સરળ બને છે,જે એક નિત્યસત્ય $(T)$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $(p \to p) \to (p \to \sim p) \equiv T \to (\sim p \lor \sim p) \equiv \sim p \lor \sim p \equiv \sim p$. આ નિત્યસત્ય નથી.
વિકલ્પ $B$: $q \to (p \to q) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor \sim p \equiv T \lor \sim p \equiv T$.
વિકલ્પ $C$: $(q \to \sim p) \to (q \to p) \equiv \sim (\sim q \lor \sim p) \lor (\sim q \lor p) \equiv (q \land p) \lor \sim q \lor p \equiv (q \lor \sim q) \land (p \lor \sim q) \lor p \equiv T \land (p \lor \sim q \lor p) \equiv p \lor \sim q$. આ નિત્યસત્ય નથી.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "$3^2 = 10$" છે અને $q$ એ વિધાન "મને બીજું ઇનામ મળે" છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિત વિધાનની તાર્કિક સમકક્ષતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ છે.
અહીં,$\sim p$ એ "$3^2 \neq 10$" છે અને $q$ એ "મને બીજું ઇનામ મળે" છે.
તેથી,આ વિધાન "$3^2 \neq 10$ અથવા મને બીજું ઇનામ મળે" ને સમકક્ષ છે.

(C) આપેલા વિધાનો:
$A$: કમળ ગુલાબી છે
$B$: પૃથ્વી એક ગ્રહ છે
નકાર $\sim A$ છે: કમળ ગુલાબી નથી
તાર્કિક પદ $(\sim A) \vee B$ એ વિકલ્પ દર્શાવે છે: $(\sim A) \text{ અથવા } B$
વિધાનો મૂકતા:
$(\sim A) \vee B$: કમળ ગુલાબી નથી અથવા પૃથ્વી એક ગ્રહ છે.

(C) આપેલ વિધાન $P$ એ "દરેક $x$ માટે,$Q(x)$ અથવા $R(x)$" સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Q(x)$ એ $x > 5$ છે અને $R(x)$ એ $x < 5$ છે.
સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર ("દરેક માટે") ધરાવતા વિધાનનો નિષેધ કરવા માટે,આપણે ક્વોન્ટિફાયરને અસ્તિત્વવાચક ક્વોન્ટિફાયર ("અસ્તિત્વ ધરાવે છે") માં બદલીએ છીએ અને અંદરના વિધાનનો નિષેધ કરીએ છીએ.
"દરેક $x$ માટે,$Q(x)$ અથવા $R(x)$" નો નિષેધ "એવો $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $\sim(Q(x) \lor R(x))$" થાય છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(Q(x) \lor R(x))$ એ $\sim Q(x) \land \sim R(x)$ ને સમાન છે.
અહીં,$\sim(x > 5)$ એ $x \leq 5$ છે અને $\sim(x < 5)$ એ $x \geq 5$ છે.
આમ,નિષેધ એ છે: "એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $x \leq 5$ અને $x \geq 5$ હોય".
આનો અર્થ એ થાય કે: "એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેના માટે $x > 5$ પણ નથી અને $x < 5$ પણ નથી" (જે $x = 5$ માટે સાચું છે).
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વિધાન $(p \to q) \leftrightarrow (q \vee \sim p)$ નું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

$p$	$q$	$\sim p$	$p \to q$	$q \vee \sim p$	$(p \to q) \leftrightarrow (q \vee \sim p)$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં માત્ર $T$ (સત્ય) કિંમતો હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (Tautology) છે.

(A) વિધાન $q \wedge (\sim p \vee \sim r)$ નો નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે વિધાન $S = q \wedge (\sim p \vee \sim r)$ છે.
તેનો નિષેધ $\sim S = \sim (q \wedge (\sim p \vee \sim r))$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$ મુજબ:
$\sim S = \sim q \vee \sim (\sim p \vee \sim r)$.
હવે,$\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim S = \sim q \vee (\sim (\sim p) \wedge \sim (\sim r))$.
$\sim (\sim p) = p$ અને $\sim (\sim r) = r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sim S = \sim q \vee (p \wedge r)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિધાન $p \to (\sim q \wedge \sim r)$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim p \to \sim(\sim q \wedge \sim r)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આ $\sim p \to (q \vee r)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
શરતી વિધાન ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
તેથી,$\sim p \equiv T$ અને $(q \vee r) \equiv F$.
$\sim p \equiv T$ પરથી,આપણને $p \equiv F$ મળે છે.
$(q \vee r) \equiv F$ પરથી,$q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ,તેથી $q \equiv F$ અને $r \equiv F$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p \equiv F, q \equiv F, r \equiv F$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ 'જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની છે' અને $q$ એ 'જયપુર ભારતમાં છે' તેવું વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \to q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \to q$ નું પ્રતિ-વિધાન $(\sim q) \to (\sim p)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે 'જયપુર ભારતમાં નથી' અને $\sim p$ એટલે 'જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની નથી'.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન 'જો જયપુર ભારતમાં નથી,તો જયપુર રાજસ્થાનની રાજધાની નથી' થાય છે.

(B) વિધાનના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \rightarrow p$	$\sim q$	$q \wedge \sim q$	$[(p \wedge q)$ $\rightarrow p]$ $\rightarrow (q \wedge \sim q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$

કારણ કે અંતિમ સ્તંભમાં $p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે માત્ર $F$ (ખોટું) છે,તેથી આ વિધાન એક વ્યાઘાત (contradiction) છે.

(B) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "ભારત મેચ જીતે છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "ભારત ફાઇનલમાં પહોંચશે".
આપેલ વિધાન શરતી વિધાન $p \implies q$ ના સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ "ભારત મેચ જીતે છે" છે અને $\sim q$ એ "ભારત ફાઇનલમાં નહીં પહોંચે" છે.
તેથી,નિષેધ છે: "ભારત મેચ જીતે છે અને ભારત ફાઇનલમાં નહીં પહોંચે".

(A) આપેલ તાર્કિક વિધાન $(p \wedge \sim q) \wedge r \to \sim r = F$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
તેથી,$(p \wedge \sim q) \wedge r = T$ અને $\sim r = F$.
$\sim r = F$ પરથી,આપણને $r = T$ મળે છે.
પ્રથમ ભાગ તપાસતા: જો $r = T$ હોય,તો $(p \wedge \sim q) \wedge T = T$,જેનો અર્થ છે કે $(p \wedge \sim q) = T$.
આ ત્યારે શક્ય છે જો $p = T$ અને $q = F$ હોય.
આમ,$r$ નું સત્યતા મૂલ્ય $T$ છે.

(A) વિધાન $(p \wedge q) \Rightarrow p$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \Rightarrow p$
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

અહીં $(p \wedge q) \Rightarrow p$ નું સત્યતા મૂલ્ય $p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યો માટે $T$ છે,તેથી તે એક નિત્યસત્ય છે.

(B) તાર્કિક સમકક્ષતાની વ્યાખ્યા મુજબ,દ્વિ-શરતી વિધાન $p \Leftrightarrow q$ ને બે શરતી વિધાનો $p \Rightarrow q$ અને $q \Rightarrow p$ ના સંયોજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(A) વિધાન $\sim p \vee (p \vee (\sim q))$ નું નિષેધ $\sim (\sim p \vee (p \vee \sim q))$ દ્વારા મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$,આપણને મળે છે:
$p \wedge \sim (p \vee \sim q)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$.
આમ,પદાવલિ $p \wedge (\sim p \wedge q)$ બને છે.
જૂથના નિયમ મુજબ,આ $(\sim p \wedge p) \wedge q$ ને સમાન છે,જે $F \wedge q = F$ થાય છે.

(B) વિધાન $(p \wedge q) \to (p \vee q)$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$(p \wedge q) \to (p \vee q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં તમામ સત્યતા મૂલ્યો $T$ (સત્ય) હોવાથી,આ વિધાન નિત્યસત્ય (tautology) છે.

(B) શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg q \Rightarrow \neg p$ છે. પ્રતિ-વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય મૂળ વિધાનના સત્યતા મૂલ્ય સમાન હોય છે.
વિધાન $P: p \Rightarrow q$ માટે,જ્યાં $p$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય) અને $q$ એ '$7$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે' (અસત્ય).
$T \Rightarrow F$ એ $F$ હોવાથી,સત્યતા મૂલ્ય $V_1 = F$ મળે.
વિધાન $Q: p \Rightarrow q$ માટે,જ્યાં $p$ એ '$7$ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે' (સત્ય) અને $q$ એ '$7$ એક એકી સંખ્યા છે' (સત્ય).
$T \Rightarrow T$ એ $T$ હોવાથી,સત્યતા મૂલ્ય $V_2 = T$ મળે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(V_1, V_2) = (F, T)$ થાય.

(C) શરતી વિધાન $p \to q$ નું પ્રતિવિધાન $\sim q \to \sim p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: "ચોરસની બાજુ બમણી થાય છે."
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: "તેનું ક્ષેત્રફળ ચાર ગણું વધે છે."
તેથી પ્રતિવિધાન $\sim q \to \sim p$ એ છે: "જો ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચાર ગણું ન વધે,તો તેની બાજુ બમણી થતી નથી."
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(D) વિધાન "જો $P$,તો $Q$" નું પ્રતિ-વિધાન "જો $Q$ નથી,તો $P$ નથી" તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન: "જો વરસાદ પડી રહ્યો છે $(P)$,તો હું નહીં આવું $(Q)$".
અહીં,$P$ એટલે "વરસાદ પડી રહ્યો છે" અને $Q$ એટલે "હું નહીં આવું".
તેથી,"$Q$ નથી" એટલે "હું આવીશ" અને "$P$ નથી" એટલે "વરસાદ પડી રહ્યો નથી".
આમ,પ્રતિ-વિધાન "જો હું આવીશ,તો વરસાદ પડી રહ્યો નથી" છે.

(D) ધારો કે વિધાનો $P$,$Q$,અને $R$ છે.
"સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક છે" ને $P \wedge \sim R$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
"સુમન શ્રીમંત છે" ને $Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
"સુમન તેજસ્વી અને અપ્રમાણિક છે જો અને માત્ર જો સુમન શ્રીમંત હોય" વિધાનને $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \leftrightarrow B$ નો નિષેધ $\sim A \leftrightarrow B$ અથવા $A \leftrightarrow \sim B$ થાય છે.
તેથી,$(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ નો નિષેધ $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow \sim Q$ થાય,જે $\sim Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ વિધાન "જો વરસાદ ન પડે,તો હું શાળાએ જાઉં છું" છે.
ધારો કે $p$ એ "વરસાદ પડતો નથી" અને $q$ એ "હું શાળાએ જાઉં છું" વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે.
$p \Rightarrow q$ નો પ્રતિ-ધન $\sim q \Rightarrow \sim p$ છે.
અહીં,$\sim q$ એટલે "હું શાળાએ જતો નથી" અને $\sim p$ એટલે "વરસાદ પડે છે".
તેથી,પ્રતિ-ધન "જો હું શાળાએ ન જાઉં,તો વરસાદ પડે છે" થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sim (p \vee \sim q) \vee \sim (p \vee q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$.
તેથી,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$ અને $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\sim p$ સામાન્ય લઈએ છીએ:
$\sim p \wedge (q \vee \sim q)$.
કારણ કે $(q \vee \sim q)$ એ નિત્યસત્ય $(T)$ છે,
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) આપેલ વિધાન $p \Rightarrow (q \vee r)$ છે.
તાર્કિક સમાનતા $A$ $\Rightarrow (B \vee C) \equiv (A$ $\Rightarrow B) \vee (A$ $\Rightarrow C)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આમ,$p \Rightarrow (q \vee r)$ એ $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $p$ એટલે "હું સારું અનુભવતો નથી" અને $q$ એટલે "હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ".
$p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\neg q \Rightarrow \neg p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\neg q$ એટલે "હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ નહીં" અને $\neg p$ એટલે "હું સારું અનુભવું છું".
તેથી,પ્રતિ-વિધાન "જો હું ડૉક્ટર પાસે જઈશ નહીં,તો હું સારું અનુભવું છું" છે.

(C) વિધાન $-1$ માટે:
$A \to (B \to A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A) \equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B \equiv T \vee \sim B \equiv T$.
$A \to (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
બંને $T$ (નિત્યસત્ય) ને સમતુલ્ય હોવાથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે:
ધારો કે $P = (A \wedge B) \to (\sim A \vee B)$.
જો $A=T, B=T$ હોય,તો $P = (T \wedge T) \to (F \vee T) = T \to T = T$.
તેથી $\sim P = \sim T = F$.
આ વિધાન તમામ સત્યતા મૂલ્યો માટે સાચું ન હોવાથી,તે નિત્યસત્ય નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(B) આપણે આપેલ વિધાન અને વિકલ્પો માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. વિધાન $p \to (q \to p)$ એ $\neg p \vee (\neg q \vee p)$ ને સમકક્ષ છે,જેનું સાદું રૂપ $(\neg p \vee p) \vee \neg q$ થાય છે,જે $T \vee \neg q = T$ (નિત્યસત્ય) છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $p \to (p \vee q)$ એ $\neg p \vee (p \vee q)$ ને સમકક્ષ છે,જેનું સાદું રૂપ $(\neg p \vee p) \vee q$ થાય છે,જે $T \vee q = T$ (નિત્યસત્ય) છે.
બંને વિધાનો નિત્યસત્ય હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.

(A) દરેક વિકલ્પ માટે ઉદાહરણો ચકાસતા:
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$Q \to P$: ધારો કે $m = 8$ અને $n = 4$. $n^2 = 16$. $8$ એ $16$ ને ભાગે છે,તેથી $Q$ સત્ય છે. પરંતુ $8$ એ $4$ ને ભાગતું નથી,તેથી $P$ અસત્ય છે. આમ,$Q \to P$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$Q \to R$: ધારો કે $m = 12$ અને $n = 6$. $n^2 = 36$. $12$ એ $36$ ને ભાગે છે,તેથી $Q$ સત્ય છે. પરંતુ $12$ અવિભાજ્ય નથી,તેથી $R$ અસત્ય છે. આમ,$Q \to R$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$P \wedge Q \to R$: ધારો કે $m = 4$ અને $n = 8$. $P$ સત્ય છે ($4$ એ $8$ ને ભાગે છે) અને $Q$ સત્ય છે ($4$ એ $64$ ને ભાગે છે). પરંતુ $m = 4$ અવિભાજ્ય નથી,તેથી $R$ અસત્ય છે. આમ,$P \wedge Q \to R$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$Q \wedge R \to P$: જો $m$ અવિભાજ્ય હોય $(R)$ અને $m$ એ $n^2$ ને ભાગતું હોય $(Q)$,તો યુક્લિડના પ્રમેય મુજબ,$m$ એ $n$ ને ભાગશે જ $(P)$. તેથી,$Q \wedge R \to P$ સત્ય છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $r: p \to (\sim p \vee q)$ નું સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય $(F)$ હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
તેથી,$p$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(\sim p \vee q)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય $(F)$ હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $\sim p$ એ $F$ છે,તેનો અર્થ એ કે $p$ એ $T$ છે.
આમ,$p$ એ $T$ છે અને $q$ એ $F$ છે.

(A) વિકલ્પ $(A)$ માટે: $p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \Rightarrow \sim p$ છે. અહીં $p$ એ $3x + 2 = 8$ છે અને $q$ એ $x = 2$ છે. તેથી,$\sim q \Rightarrow \sim p$ એ $x \neq 2 \Rightarrow 3x + 2 \neq 8$ થાય. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $p \Rightarrow q$ નું પ્રતીપ વિધાન $q \Rightarrow p$ છે. $\tan x = 0 \Rightarrow x = 0$ નું પ્રતીપ વિધાન $x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$ થાય. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $p \Rightarrow q$ એ $\sim p \vee q$ ને સમાન છે,$p \vee \sim q$ ને નહીં. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $p \vee q$ (અથવા) અને $p \wedge q$ (અને) ના સત્યતા કોષ્ટક અલગ હોય છે. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,દ્વિ-શરતી વિધાન $p \Leftrightarrow q$ એ બે શરતી વિધાનો $p \Rightarrow q$ અને $q \Rightarrow p$ ના સંયોજન (conjunction) ને તાર્કિક રીતે સમકક્ષ છે.
તેથી,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(B) શરતી વિધાન $p \to q$ એ સત્યતા કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જ્યાં તે ફક્ત ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય.
આ તાર્કિક રીતે $p$ ના નકાર અને $q$ ના વિયોજન (disjunction) ને સમાન છે.
તેથી,$p \to q \equiv \sim p \vee q$.

(C) ધારો કે $p$: સૂર્ય પ્રકાશિત છે.
ધારો કે $q$: હું બપોરે ટેનિસ રમીશ.
આપેલ વિધાન $p \to q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $p \to q$ નું નકાર $\sim(p \to q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નકાર "સૂર્ય પ્રકાશિત છે અને હું બપોરે ટેનિસ રમીશ નહીં" થાય,જે $p \wedge \sim q$ ને અનુરૂપ છે.

(C) અમે $(\oplus, \Theta)$ માટે શક્ય સંયોજનો ચકાસીએ છીએ જ્યાં $\oplus, \Theta \in \{\wedge, \vee\}$.
કિસ્સો $1$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \vee)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge q)$
$\equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge q) \equiv F \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q$.
આ આપેલી પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \wedge)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge q \equiv F \wedge q \equiv F$.
કિસ્સો $3$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \vee)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee q \equiv F \vee q \equiv q$.
કિસ્સો $4$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \wedge)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (q \wedge \sim p \wedge q) \equiv F \vee (q \wedge \sim p) \equiv q \wedge \sim p$.
આમ,સાચી ક્રમયુક્ત જોડ $(\wedge, \vee)$ છે.