Mathematical logic Questions in Gujarati

(D) વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$,$(b)$,અને $(c)$ એ આજ્ઞાર્થ વાક્યો છે,જે વિધાન નથી.
$(d)$ $2 + 2 = 4$ એ એક સત્ય વિધાન છે,તેથી તે એક વિધાન છે.

(C) તર્કમાં વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$ $May \text{ you live long!}$ એ ઈચ્છાવાચક વાક્ય છે.
$(b)$ $May \text{ God bless you!}$ એ ઈચ્છાવાચક વાક્ય છે.
$(c)$ $The \text{ sun is a star.}$ એ એક વિધાન છે કારણ કે તે સત્ય છે.
$(d)$ $Hurrah! \text{ We have won the match.}$ એ ઉદ્ગારવાચક વાક્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) તર્કમાં વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$ $Roses \text{ are red}$ એ એક વિધાન છે.
$(b)$ $New \text{ Delhi is in India}$ એ એક વિધાન છે.
$(c)$ $Every \text{ square is a rectangle}$ એ એક વિધાન છે.
$(d)$ $Alas! I have failed$ એ ઉદ્ગારવાચક વાક્ય છે,જે લાગણી વ્યક્ત કરે છે અને તેને સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાતું નથી. તેથી,તે વિધાન નથી.

(C) વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(a)$ "દરેક ગણ એ શાંત ગણ છે" એ એક અસત્ય વિધાન છે.
$(b)$ "$8$ એ $6$ કરતા નાનું છે" એ એક અસત્ય વિધાન છે.
$(c)$ "તમે ક્યાં જઈ રહ્યા છો?" એ પ્રશ્નાર્થ વાક્ય છે,વિધાન નથી.
$(d)$ "ત્રિકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે" એ એક સત્ય વિધાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(A)$ "મહેરબાની કરીને મને મદદ કરો" એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય (વિનંતી) છે,જેને સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાતું નથી. તેથી,તે વિધાન નથી.
$(B)$ "$2$ એ બેકી પૂર્ણાંક છે" એ સત્ય વિધાન છે.
$(C)$ "$2 + 1 = 3$" એ સત્ય વિધાન છે.
$(D)$ "$17$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે" એ સત્ય વિધાન છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં વિધાન એ એક એવું વિધાન છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(A)$ "મને એક ગ્લાસ પાણી આપો" એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય (વિનંતી) છે,વિધાન નથી.
$(B)$ "એશિયા એક ખંડ છે" એ સત્ય વિધાન છે.
$(C)$ "પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ ફરે છે" એ સત્ય વિધાન છે.
$(D)$ "$6$ સંખ્યાના બે અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ છે" એ સત્ય વિધાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ખુલ્લું વિધાન એ એક એવું વિધાન છે જેમાં એક અથવા વધુ ચલ હોય છે,જેનું સત્યતા મૂલ્ય ચલને આપવામાં આવતી કિંમતો પર આધાર રાખે છે.
$(a)$ "$x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે" એ એક ખુલ્લું વિધાન છે કારણ કે તેનું સત્યતા મૂલ્ય $x$ ની કિંમત પર આધારિત છે.
$(b)$,$(c)$,અને $(d)$ એ આજ્ઞાર્થ અથવા ઉદ્ગારવાચક વાક્યો છે,જે ગાણિતિક તર્કમાં વિધાન ગણાતા નથી.

(B) ધારો કે $p$ : પેરિસ ફ્રાન્સમાં છે.
ધારો કે $q$ : લંડન ઇંગ્લેન્ડમાં છે.
આપેલ વિધાન $p \wedge q$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,નિષેધ $\sim (p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$ થાય.
અહીં,$\sim p$ એટલે "પેરિસ ફ્રાન્સમાં નથી" અને $\sim q$ એટલે "લંડન ઇંગ્લેન્ડમાં નથી".
તેથી,નિષેધ "પેરિસ ફ્રાન્સમાં નથી અથવા લંડન ઇંગ્લેન્ડમાં નથી" થાય.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "$2 + 3 = 5$" છે અને $q$ એ વિધાન "$8 < 10$" છે.
આપેલ સંયુક્ત વિધાન $p \wedge q$ છે.
સંયોજનનો નિષેધ ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sim(p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$.
અહીં,$\sim p$ એ "$2 + 3 \neq 5$" છે અને $\sim q$ એ "$8 \nless 10$" છે.
તેથી,નિષેધ "$2 + 3 \neq 5$ અથવા $8 \nless 10$" છે.

(D) ધારો કે $p$: રામ $X$ ધોરણમાં છે.
ધારો કે $q$: રશ્મિ $XII$ ધોરણમાં છે.
આપેલ વિધાન $p \vee q$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,નકારાત્મક વિધાન $\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$ થાય.
તેથી,નકારાત્મક વિધાન છે: "રામ $X$ ધોરણમાં નથી અને રશ્મિ $XII$ ધોરણમાં નથી".
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A$,$B$,કે $C$ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિધાન $(p \wedge q) \implies p$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \implies p$
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં તમામ શક્યતાઓ માટે $T$ (સત્ય) મૂલ્યો હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(A) જો કોઈ વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે $F$ (અસત્ય) હોય,તો તે વિધાનને વિરોધાભાસ કહેવાય છે.
ચાલો $(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:

$p, q$	$(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$
$T, T$	$F$
$T, F$	$F$
$F, T$	$F$
$F, F$	$F$

છેલ્લી કોલમમાં માત્ર $F$ હોવાથી,$(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$ એ એક વિરોધાભાસ છે.

(A) ગાણિતિક તર્કમાં ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,સંયોજનનું નકારાત્મક એ નકારાત્મકનું વિયોજન છે.
તેથી,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.

(B) દ્વિ-નિષેધના નિયમ (Law of Double Negation) મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim (\sim p) \equiv p$.
તેથી,આપેલ પદાવલિ $(\sim (\sim p)) \wedge q$ એ $p \wedge q$ માં સરળ બને છે.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee r) \equiv \sim p \wedge \sim r$.
આપેલ પદાવલિ પર આ લાગુ કરતા:
$\sim (p \vee (\sim q)) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q)$.
કારણ કે $\sim (\sim q) \equiv q$,તેથી પદાવલિ આ મુજબ સરળ બને છે:
$\sim p \wedge q$.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \wedge B) \equiv (\sim A) \vee (\sim B)$.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ કરતા:
$\sim ((\sim p) \wedge q) \equiv \sim (\sim p) \vee (\sim q)$.
કારણ કે $\sim (\sim p) \equiv p$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$p \vee (\sim q)$.

(C) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \Leftrightarrow q$ ને $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,તેથી $p \Leftrightarrow q \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p)$ થાય.
તેનું નિષેધ લેતા: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv \sim ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee \sim (\sim q \vee p)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ મળે છે.

(B) તાર્કિક ગર્ભિતાર્થ $p \Rightarrow q$ એ વિયોજન $\sim p \vee q$ ને સમતુલ્ય છે.
આ એક પ્રમાણિત તાર્કિક સમતુલ્યતા છે જ્યાં શરતી વિધાન ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $p$ સત્ય હોય અને $q$ અસત્ય હોય,જે $\sim p \vee q$ ના સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ સત્યતા મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$.
પ્રથમ,$\sim p$ ની ગણતરી કરો: $\sim T = F$.
ત્યારબાદ,$\sim r$ ની ગણતરી કરો: $\sim T = F$.
હવે,$(\sim p \vee q)$ ની ગણતરી કરો: $F \vee F = F$.
પછી,$(\sim p \vee q) \wedge \sim r$ ની ગણતરી કરો: $F \wedge F = F$.
છેલ્લે,$[(\sim p \vee q) \wedge \sim r] \Rightarrow p$ ગર્ભિતાર્થની ગણતરી કરો: $F \Rightarrow T$.
કારણ કે $F \Rightarrow T$ એ $True$ છે,તેથી અંતિમ સત્યતા મૂલ્ય $True$ છે.

(A) શરતી વિધાન $(p \wedge \sim r) \Rightarrow (q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $(p \wedge \sim r)$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(q \vee r)$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $q$ અને $r$ બંને અસત્ય છે,તેથી ઉત્તરગ $(q \vee r)$ એ $(F \vee F) = F$ થાય,જે શરતી વિધાન અસત્ય હોવાની શરત સાથે સુસંગત છે.
પૂર્વગ $(p \wedge \sim r)$ સત્ય હોવા માટે,$p$ અને $\sim r$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ.
કારણ કે $r$ અસત્ય છે,તેથી $\sim r$ સત્ય છે.
તેથી,$p \wedge T = T$ સૂચવે છે કે $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.

(B) આપેલ તાર્કિક પદાવલિ $(p \wedge q) \wedge (q \wedge r) = T$ છે.
બે વિધાનોના સંયોજન (conjunction) ને સત્ય થવા માટે,બંને ઘટકો સત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$(p \wedge q) = T$ અને $(q \wedge r) = T$.
$(p \wedge q) = T$ માટે,$p$ અને $q$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ.
$(q \wedge r) = T$ માટે,$q$ અને $r$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$p, q, r$ ત્રણેય સત્ય છે.

(C) આપેલ વિધાન $\sim (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow \sim p \vee \sim q$ છે.
તર્કશાસ્ત્રના નિયમો મુજબ,$\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$.
આમ,પદાવલિ $(p \wedge \sim q) \Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ બને છે.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,અંતિમ સ્તંભમાં $T$ અને $F$ બંને હોવાથી,આ વિધાન નિત્યસત્ય પણ નથી અને વ્યાઘાત પણ નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ છે.
સત્યતા કોષ્ટક દ્વારા આપણે તેનું મૂલ્યાંકન કરીએ:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$p \wedge \sim q$	$\sim p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$

છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $F$ (ખોટું) હોવાથી,આ વિધાન એક વિરોધાભાસ છે.

(B) ધારો કે $P$ એ "સંખ્યા વાસ્તવિક છે" તેવું વિધાન છે અને $Q$ એ "સંખ્યા સંમેય અથવા અસંમેય છે" તેવું વિધાન છે.
આપેલ વિધાન $P \implies Q$ છે.
$P \implies Q$ નું પ્રતિ-વિધાન (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ છે.
અહીં,$\neg Q$ એટલે "સંખ્યા સંમેય પણ નથી અને અસંમેય પણ નથી" અને $\neg P$ એટલે "સંખ્યા વાસ્તવિક નથી".
આમ,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો કોઈ સંખ્યા સંમેય પણ નથી અને અસંમેય પણ નથી,તો તે વાસ્તવિક નથી".
વિકલ્પ $D$ એ મૂળ વિધાન $P \implies Q$ છે.
વિકલ્પ $C$ એ પ્રતિ-વિધાન $\neg Q \implies \neg P$ છે.
વિકલ્પ $A$ પણ પ્રતિ-વિધાનને સમકક્ષ છે.
વિકલ્પ $B$ જણાવે છે: "જો કોઈ સંખ્યા સંમેય નથી અથવા અસંમેય નથી,તો તે વાસ્તવિક નથી". આ તાર્કિક રીતે ખોટું છે કારણ કે એક સંખ્યા અસંમેય (સંમેય નથી) હોવા છતાં વાસ્તવિક હોઈ શકે છે,અથવા સંમેય (અસંમેય નથી) હોવા છતાં વાસ્તવિક હોઈ શકે છે. તેથી,$B$ તાર્કિક રીતે સમકક્ષ નથી.

(A) આપેલ વિધાનો:
$p$: આજે વરસાદ પડે છે
$q$: હું શાળાએ જાઉં છું
$r$: હું મારા મિત્રને મળીશ
$s$: હું મૂવી જોવા જઈશ
વિધાન છે: "જો વરસાદ ન પડે અથવા જો હું શાળાએ ન જાઉં,તો હું મારા મિત્રને મળીશ અને મૂવી જોવા જઈશ."
"વરસાદ ન પડે" એટલે $\sim p$.
"હું શાળાએ ન જાઉં" એટલે $\sim q$.
"વરસાદ ન પડે અથવા હું શાળાએ ન જાઉં" એટલે $(\sim p \vee \sim q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$(\sim p \vee \sim q) \equiv \sim (p \wedge q)$.
"હું મારા મિત્રને મળીશ અને મૂવી જોવા જઈશ" એટલે $(r \wedge s)$.
આમ,વિધાન $\sim (p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge s)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિધાન $S = p \vee (\sim p \vee q)$ છે.
આપણે નિષેધ $\sim S = \sim [p \vee (\sim p \vee q)]$ શોધવાની જરૂર છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$,આપણને મળે છે:
$\sim S \equiv \sim p \wedge \sim (\sim p \vee q)$.
બીજા ભાગ પર ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા,$\sim (\sim p \vee q) \equiv \sim (\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
તેથી,$\sim S \equiv \sim p \wedge (p \wedge \sim q)$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આના સમકક્ષ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિત વિધાનનું નિષેધ $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $C$ માં આપેલ પદાવલિ માટે આ લાગુ કરતા:
$\sim (\sim p \Rightarrow \sim q) \equiv (\sim p) \wedge \sim (\sim q)$
$\equiv \sim p \wedge q$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આપણે $\sim p$ ને સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય),
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,સ્વીચ $p$ એ બે $q$ લેબલવાળી સ્વીચોના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ આખું જોડાણ સ્વીચ $r$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે,પરિપથ પૂર્ણ હોવો જોઈએ.
આ માટે સ્વીચ $p$ બંધ હોવી જોઈએ,ઓછામાં ઓછી એક $q$ સ્વીચ બંધ હોવી જોઈએ,અને સ્વીચ $r$ બંધ હોવી જોઈએ.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવાની શરત $p \land (q \lor q) \land r$ છે,જેનું સાદું રૂપ $p \land q \land r$ થાય છે.
આમ,$p, q,$ અને $r$ ત્રણેય બંધ હોવા જોઈએ.

(B) $q \vee \sim (p \wedge r)$ વિધાનનું નકારાત્મક શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$।
આ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે: $\sim (q \vee \sim (p \wedge r)) = \sim q \wedge \sim (\sim (p \wedge r))$।
દ્વિ-નકારના નિયમ $\sim (\sim P) = P$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને સરળ બનાવીએ છીએ: $\sim q \wedge (p \wedge r)$।
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તાર્કિક સમાનતા $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ એક પ્રમાણિત ઓળખ છે.
બંને બાજુ નિષેધ કારક લાગુ કરતા:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv \sim (\sim p \vee q)$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (A \vee B) \equiv (\sim A \wedge \sim B)$:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv (\sim (\sim p) \wedge \sim q)$
કારણ કે $\sim (\sim p) \equiv p$,તેથી આપણને મળે છે:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q)$

(C) કોઈપણ વિધાન $P \Rightarrow Q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim Q \Rightarrow \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $(p \vee q) \Rightarrow r$ માટે,$P = (p \vee q)$ અને $Q = r$ છે.
નિયમ લાગુ પાડતા,પ્રતિ-વિધાન $\sim r \Rightarrow \sim (p \vee q)$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \vee q)$ એ $(\sim p \wedge \sim q)$ ને સમાન છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim r \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)$ છે.

(B) વિધાન $(p$ $\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q$ $\Rightarrow \;\sim p)$ એ નિત્યસત્ય છે કારણ કે $p \Rightarrow q$ એ તેના પ્રતીપ વિધાન $\sim q \Rightarrow \;\sim p$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તે નિત્યસત્ય હોવાથી,તે વિરોધાભાસ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(D) ગર્ભિત વિધાન $p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ $(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોય.
$(\sim p \vee q)$ અસત્ય હોવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
$\sim p$ અસત્ય હોવાથી,$p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
$q$ અસત્ય હોવાથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = F$ છે.

(C) વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
વિકલ્પ $(A)$ એ અસત્ય વિધાન છે.
વિકલ્પ $(B)$ એ સત્ય વિધાન છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ અસત્ય વિધાન છે.
વિકલ્પ $(C)$ 'ગણિત રસપ્રદ છે' એ વિધાન નથી કારણ કે તે વ્યક્તિલક્ષી છે; તે કેટલાક લોકો માટે રસપ્રદ હોઈ શકે છે અને અન્ય લોકો માટે ન પણ હોય. તેથી,તેને ચોક્કસ રીતે સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય નહીં.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
તર્કશાસ્ત્રના સહચર્ય અને ક્રમના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વિધાન $p$ માટે,$(p \wedge \sim p) = F$ (વ્યાઘાત).
$= F \wedge F = F$
અંતિમ સત્યતા મૂલ્ય હંમેશા $F$ (ખોટું) હોવાથી,આ વિધાન એક વ્યાઘાત છે.

(D) તાર્કિક ગર્ભિતાર્થ $q \to p$ એ $\sim q \vee p$ ને સમકક્ષ છે.
બંને બાજુ નિષેધ લેતા,આપણને $\sim (q \to p) \equiv \sim (\sim q \vee p)$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (\sim q \vee p) \equiv (\sim \sim q) \wedge (\sim p)$.
આનું સાદું રૂપ $q \wedge \sim p$ થાય છે,જે $\sim p \wedge q$ ને સમકક્ષ છે.
તેથી,$\sim p \wedge q \equiv \sim (q \to p)$.

(B) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "સંખ્યા અવિભાજ્ય છે."
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "તે એકી છે."
આપેલ વિધાન $p \Rightarrow q$ છે.
$p \Rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન (inverse) $\sim p \Rightarrow \sim q$ છે.
અહીં,$\sim p$ એટલે: "સંખ્યા અવિભાજ્ય નથી."
$\sim q$ એટલે: "તે એકી નથી."
તેથી,પ્રતિ-વિધાન છે: "જો સંખ્યા અવિભાજ્ય ન હોય તો તે એકી નથી."
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે $p$,$q$ અને $r$ નીચે મુજબના વિધાનો છે:
$p$: સંખ્યા $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
$q$: સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$r$: સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow (q \wedge r)$ સ્વરૂપમાં છે.
નિષેધનું સૂત્ર $\sim(p \rightarrow S) \equiv p \wedge \sim S$ છે.
તેથી,નિષેધ $p \wedge \sim(q \wedge r)$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$.
આમ,નિષેધ $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ છે,જેનો અર્થ છે: "સંખ્યા $15$ વડે વિભાજ્ય છે અને તે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી અથવા $3$ વડે વિભાજ્ય નથી."
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $D$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) વિધાન $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ એક પુનરાવૃતિ (tautology) છે કારણ કે તે માત્ર ત્યારે જ ખોટું હોય જો $p$ સાચું હોય અને $(q \rightarrow p)$ ખોટું હોય,જે અશક્ય છે કારણ કે $p$ સાચું છે.
હવે,$p \rightarrow (p \vee q)$ તપાસીએ.
આ વિધાન માત્ર ત્યારે જ ખોટું હોય જો $p$ સાચું હોય અને $(p \vee q)$ ખોટું હોય.
જો $p$ સાચું હોય,તો $(p \vee q)$ સાચું જ હોવું જોઈએ (વિભાજનની વ્યાખ્યા મુજબ).
તેથી,$p \rightarrow (p \vee q)$ પણ એક પુનરાવૃતિ છે.
બંને વિધાનો પુનરાવૃતિ હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમતુલ્ય છે.
તેથી,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv p$ $\rightarrow (p \vee q)$.

(B) ગાણિતિક તર્કમાં વિધાન એ એક એવું ઘોષણાત્મક વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
$(A)$ 'અમદાવાદ સાબરમતી નદીના કિનારે આવેલું છે' એ એક સત્ય વિધાન છે.
$(B)$ 'આવતીકાલે રજા છે' એ વિધાન નથી કારણ કે તેનું સત્ય મૂલ્ય 'આવતીકાલ' ના સંદર્ભ પર આધારિત છે,જે અસ્પષ્ટ છે.
$(C)$ 'શૂન્યેતર સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે $x^2 + y^2 \neq 0$' એ એક સત્ય વિધાન છે.
$(D)$ 'પાયથાગોરસ ગણિતશાસ્ત્રી હતા' એ એક સત્ય વિધાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ વિધાન નથી.

(B) વિધાન $(p$ $\rightarrow q) \equiv (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ એ પ્રેરણ (implication) નું પ્રતિ-ધન (contrapositive) છે,જે તાર્કિક રીતે સમાન છે.
ગર્ભિતાર્થની વ્યાખ્યા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રતિ-ધન માટે: $\sim q \rightarrow \sim p \equiv \sim (\sim q) \vee \sim p$
$\equiv q \vee \sim p$
$\equiv \sim p \vee q$
$\equiv p \rightarrow q$
આમ,$(p$ $\rightarrow q) \equiv (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ સત્ય છે.

(B) વિધાન-$I$ માટે: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q) = p \wedge (\sim q \wedge \sim p) \wedge q = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q) = F \wedge F = F$. પરિણામ હંમેશા અસત્ય હોવાથી,તે તર્કદોષી છે. તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ માટે: પદાવલિ $(p$ $\rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ એ શરતી વિધાન અને તેના પ્રતિ-ધન વિધાન (contrapositive) વચ્ચેની સમાનતા દર્શાવે છે. શરતી વિધાન હંમેશા તેના પ્રતિ-ધન વિધાનને તાર્કિક રીતે સમાન હોય છે,તેથી આ નિત્યસત્ય છે. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ શા માટે તર્કદોષી છે તેની સમજૂતી આપતું નથી,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $p$: $x$ અસંમેય છે,તેથી $\sim p$: $x$ સંમેય છે.
આપેલ છે કે $q$: $y$ અબીજીય છે.
વિધાન $r$ એ '$x$ સંમેય છે અથવા $y$ અબીજીય છે',જે $\sim p \lor q$ છે.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$r = (\sim p \lor q)$	$q \lor p$	$(p \Leftrightarrow \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$

કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે વિધાન-$1$ અને વિધાન-$2$ બંને ખોટા છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,દ્વિ-પ્રેરણ વિધાન $p \Leftrightarrow q$ એ $p \Rightarrow q$ અને $q \Rightarrow p$ ના સંયોજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(C) ધારો કે $p : ab = 0$,$q : a = 0$,અને $r : b = 0$.
આપેલ વિધાન $p \Rightarrow (q \lor r)$ છે.
$p \Rightarrow (q \lor r)$ નું સમાનાર્થી પ્રેરણ $\sim (q \lor r) \Rightarrow \sim p$ થાય.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (q \lor r) \equiv (\sim q \land \sim r)$.
તેથી,સમાનાર્થી પ્રેરણ $(\sim q \land \sim r) \Rightarrow \sim p$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: જો $(a \neq 0 \text{ અને } b \neq 0)$ હોય,તો $ab \neq 0$.

(A) ધારો કે $p, q, r$ એવા વિધાનો છે કે જેથી $p: x = 5$,$q: y = -2$ અને $r: x - 2y = 9$.
આપેલ વિધાન $(p \wedge q) \rightarrow r$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતિઘન વિધાન $\sim B \rightarrow \sim A$ થાય છે.
અહીં,પ્રતિઘન વિધાન $\sim r \rightarrow \sim (p \wedge q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ થાય.
તેથી,પ્રતિઘન વિધાન $\sim r \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ છે,જેનો અર્થ થાય: જો $x - 2y \neq 9$ હોય,તો $x \neq 5$ અથવા $y \neq -2$.

(D) $1$. $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ એ પ્રમાણિત તાર્કિક સમાનતા છે.
$2$. જો $(p \vee q) \wedge (q \vee r)$ સત્ય હોય,તો $(p \vee q)$ અને $(q \vee r)$ બંને સત્ય હોવા જોઈએ. જો $p=T, q=F, r=T$ હોય,તો $(T \vee F) \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$. આ સાચું છે.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim (p \wedge (q \vee r)) \equiv \sim p \vee \sim (q \vee r) \equiv \sim p \vee (\sim q \wedge \sim r) \equiv (\sim p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim r)$. આ સાચું છે.
$4$. $p \wedge \sim (p \vee q)$ માટે,આપણને $p \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge \sim q \equiv F \wedge \sim q \equiv F$ મળે છે. તેથી,તે હંમેશા $T$ છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આપણે $((p \wedge p)$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરીએ.
$p \wedge p \equiv p$ હોવાથી,પદાવલિ $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
જો $p$ એ $F$ (ખોટું) હોય અને $q$ એ $T$ (સાચું) અથવા $F$ (ખોટું) હોય,તો $(p \rightarrow q)$ એ $T$ થાય.
તેથી $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ એ $T \rightarrow F$ થાય,જે $F$ છે.
આમ,આ વિધાન ખોટું હોઈ શકે છે,તેથી તે માત્ર પુનરાવૃતિ નથી.
તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(D) આપેલ વિધાનો:
$p :$ આજે વરસાદ છે.
$q :$ હું શાળાએ જાઉં છું.
$r :$ હું મારા મિત્રોને મળીશ.
$s :$ હું ફિલ્મ જોવા જઈશ.
નકારાત્મક વિધાનો:
$\sim p :$ આજે વરસાદ નથી.
$\sim q :$ હું શાળાએ જતો નથી.
વિધાન છે: 'જો આજે વરસાદ ન પડે અથવા હું શાળાએ ન જાઉં,તો હું મારા મિત્રોને મળીશ અને ફિલ્મ જોવા જઈશ'.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(\sim p \vee \sim q) \Rightarrow (r \wedge s)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ $(\sim p \vee \sim q)$ એ $\sim (p \wedge q)$ ને સમાન હોવાથી,આ વિધાનને $\sim (p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge s)$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.