Mathematical logic Questions in Gujarati

(D) પ્રથમ,આપેલા વિધાનોના સત્યતા મૂલ્યો તપાસો:
$P: 5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. આ $True$ $(T)$ છે.
$Q: 7$ એ $192$ નો અવયવ છે. $192 \div 7 = 27.42...$ હોવાથી,આ $False$ $(F)$ છે.
$R: 5$ અને $7$ નો લ.સા.અ. $35$ છે. આ $True$ $(T)$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$A: (\sim T) \vee (F \wedge T) = F \vee F = F$.
$B: (T \wedge F) \vee (\sim T) = F \vee F = F$.
$C: (\sim T) \wedge (\sim F \wedge T) = F \wedge (T \wedge T) = F \wedge T = F$.
$D: T \vee (\sim F \wedge T) = T \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = ((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q)) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ છે.
સાહચર્ય અને ક્રમનો નિયમ વાપરતા,પ્રથમ ભાગનું સાદું રૂપ: $(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv (p \vee (p \wedge q)) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$.
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $E \equiv (p \wedge (\sim p \wedge \sim q)) \vee (\sim q \wedge (\sim p \wedge \sim q))$.
કારણ કે $p \wedge \sim p \equiv F$ (અસત્ય),પ્રથમ પદ $F \wedge \sim q \equiv F$ બને છે.
બીજું પદ $\sim q \wedge \sim q \equiv \sim q$ તરીકે સાદું રૂપ પામે છે,તેથી આપણને $F \vee (\sim p \wedge \sim q)$ મળે છે.
આમ,$E \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) આપણે તાર્કિક સમકક્ષતા $\sim (a \to b) \equiv a \wedge \sim b$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\sim ( \sim p \to q)$ પર આ લાગુ પાડતા:
ધારો કે $a = \sim p$ અને $b = q$.
તેથી $\sim ( \sim p \to q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$.
આમ,પદાવલિ $\sim p \wedge \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) વિધાન $p \to q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \to \sim p$ છે.
ધારો કે $p$: "તમે ભારતમાં જન્મ્યા છો."
ધારો કે $q$: "તમે ભારતના નાગરિક છો."
આપેલ વિધાન $p \to q$ છે.
તેથી,તેનું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \to \sim p$ એટલે કે "જો તમે ભારતના નાગરિક નથી,તો તમે ભારતમાં જન્મ્યા નથી" થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ટોટોલોજી એટલે એવું વિધાન જે તેના તમામ ઘટકોના સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સત્ય હોય.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $(p \vee q) \to (p \vee (\sim q)) = \sim (p \vee q) \vee (p \vee \sim q) = p \vee \sim q$,જે ટોટોલોજી નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $(p \vee q) \to p = \sim (p \vee q) \vee p = \sim q \vee p$,જે ટોટોલોજી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસો: $p \to (p \vee q) = \sim p \vee (p \vee q) = T$,જે ટોટોલોજી છે.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $(p \wedge q) \to ((\sim p) \vee q) = \sim (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = T$,જે ટોટોલોજી છે.

(C) આપણે પદાવલિ $p \vee (\sim p \wedge q)$ નું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (p \vee (\sim p \wedge q))$
$= \sim p \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$= \sim p \wedge (p \vee \sim q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge \sim q)$
કારણ કે $(\sim p \wedge p)$ એ વિરોધાભાસ $(c)$ છે:
$= c \vee (\sim p \wedge \sim q)$
$= \sim p \wedge \sim q$

(B) શરતી વિધાન $P \Rightarrow (q \vee r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય હોય.
એટલે કે,$P = T$ અને $(q \vee r) = F$.
વિકલ્પ $(q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,$q$ અને $r$ બંને અસત્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$p = T, q = F, r = F$.

(D) Tautology એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \wedge \sim q) \equiv p \vee F \equiv p$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસીએ: $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge (q \vee \sim q) \equiv p \wedge T \equiv p$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(C)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \vee q) \wedge \sim (p \wedge q)$. આ tautology નથી.
વિકલ્પ $(D)$ તપાસીએ: $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. પરિણામ હંમેશા સાચું હોવાથી,આ એક tautology છે.

(D) આપણે પદાવલિ $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ નું નિષેધ શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s)) = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
આ $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ માં સરળ બને છે,જે $s \wedge (r \vee \sim s)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
કારણ કે $s \wedge \sim s = \phi$ (વિરોધાભાસ),પદાવલિ $(s \wedge r) \vee \phi$ બને છે.
આમ,પરિણામ $s \wedge r$ છે.

(A) શરતી વિધાન $p \to (\sim q \vee r)$ અસત્ય $(F)$ ત્યારે જ હોય જ્યારે પૂર્વગ સત્ય $(T)$ હોય અને ઉત્તરગ અસત્ય $(F)$ હોય.
$1$. $p = T$
$2$. $(\sim q \vee r) = F$
વિકલ્પ $(\sim q \vee r)$ અસત્ય હોવા માટે,બંને ઘટકો અસત્ય હોવા જોઈએ:
$\sim q = F \implies q = T$
$r = F$
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $p \Rightarrow r$ એ $(\sim p) \vee r$ ને સમકક્ષ છે.
તેથી,$p \Rightarrow (\sim q)$ એ $(\sim p) \vee (\sim q)$ ને સમકક્ષ છે.
હવે,નિષેધ લાગુ કરતા: $\sim (p \Rightarrow (\sim q)) = \sim ((\sim p) \vee (\sim q))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$.
તેથી,$\sim ((\sim p) \vee (\sim q)) = (\sim (\sim p)) \wedge (\sim (\sim q)) = p \wedge q$.
આમ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિધનાત્મક વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
આપેલ વિધાન: "જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq D,$ તો $A \subseteq C$."
ધારો કે $p$ એ $(A \subseteq B) \land (B \subseteq D)$ છે અને $q$ એ $(A \subseteq C)$ છે.
નિષેધ $\sim q$ એ $A \not\subseteq C$ છે.
નિષેધ $\sim p$ એ $\sim((A \subseteq B) \land (B \subseteq D))$ છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ $(A \not\subseteq B) \lor (B \not\subseteq D)$ થાય છે.
તેથી,પ્રતિધનાત્મક વિધાન છે: "જો $A \not\subseteq C,$ તો $A \not\subseteq B$ અથવા $B \not\subseteq D$."

(C) આપેલ તાર્કિક વિધાન $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $a \Rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
વિભાજનના નિયમ $x \vee (y \wedge z) \equiv (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
કારણ કે $q \wedge \sim q$ એ વિરોધાભાસ $(C)$ છે:
$\sim p \vee C \equiv \sim p$
તેથી,આ વિધાન $\sim p$ ને સમકક્ષ છે.

(A) જો કોઈ વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે હંમેશા $T$ હોય,તો તે વિધાન સ્વયંસત્ય છે.
વિકલ્પ $A$ તપાસીએ: $\sim(p \vee \sim q) \rightarrow (p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \rightarrow (p \vee q)$ બને છે.
આ $\sim(\sim p \wedge q) \vee (p \vee q) \equiv (p \vee \sim q) \vee (p \vee q) \equiv p \vee (\sim q \vee q) \equiv p \vee T \equiv T$ ને સમાન છે.
પરિણામ હંમેશા $T$ હોવાથી,આ વિધાન સ્વયંસત્ય છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
$1$. $P \wedge (P \vee Q) \equiv P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$2$. $P \vee (P \wedge Q) \equiv P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$3$. $Q$ $\rightarrow (P \wedge (P$ $\rightarrow Q)) \equiv \sim Q \vee P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$4$. $(P \wedge (P$ $\rightarrow Q))$ $\rightarrow Q \equiv (P \wedge Q)$ $\rightarrow Q \equiv \sim P \vee t \equiv t$ માટે.
પરિણામ $t$ (સત્ય) હોવાથી,વિકલ્પ $D$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) શરતી વિધાન $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ એ $T$ હોય અને ઉત્તરગ $(p \wedge \neg q)$ એ $F$ હોય.
$p$ એ $T$ હોવાથી,પદ $(p \wedge \neg q)$ એ $(T \wedge \neg q)$ બને છે.
$(T \wedge \neg q)$ ને $F$ થવા માટે,$\neg q$ એ $F$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q$ એ $T$ છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = T$ છે.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન છે: $\sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન છે: $5$ અસંમેય છે.
આપેલ વિધાન $p \vee q$ છે.
વિધાનનો નિષેધ $\sim(p \vee q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
તેથી,નિષેધ છે: $\sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક નથી અને $5$ અસંમેય નથી.

(A) જો કોઈ વાક્ય સત્ય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય,તો તેને વિધાન કહેવામાં આવે છે.
આપેલ વાક્ય '$8$ એ $6$ કરતા નાનું છે' માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $8 > 6$.
તેથી,આપેલ વાક્ય અસત્ય છે.
આ વાક્યનું સત્યતા મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવાથી (તે અસત્ય છે),તે એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે કહેવાય જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
વાક્ય "દરેક ગણ એ શાંત ગણ છે" એ એક વિધાનવાચક વાક્ય છે.
અનંત ગણોનું અસ્તિત્વ હોવાથી (દા.ત.,તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{N}$),આ વાક્ય "દરેક ગણ એ શાંત ગણ છે" એ અસત્ય છે.
આ વાક્યનું સત્યતા મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવાથી (તે અસત્ય છે),તે એક વિધાન છે.

(N/A) ગણિતમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે જ કહેવાય જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
વૈજ્ઞાનિક રીતે સ્થાપિત તથ્ય છે કે સૂર્ય એક તારો છે,તેથી આ વાક્ય હંમેશા સત્ય છે.
તેથી,તે એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કમાં એક વાક્યને વિધાન ત્યારે જ ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
આ વાક્ય વ્યક્તિલક્ષી છે કારણ કે કેટલાક લોકો માટે ગણિત મનોરંજક છે,જ્યારે અન્ય લોકો માટે તે ન પણ હોય.
આ વાક્યનું સત્ય મૂલ્ય વ્યક્તિના અભિપ્રાય પર આધારિત હોવાથી,તે હંમેશા સત્ય કે હંમેશા અસત્ય હોતું નથી.
તેથી,તે વિધાન નથી.

(N/A) વિધાન એટલે એવું ઘોષણાત્મક વાક્ય જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
વૈજ્ઞાનિક રીતે સ્થાપિત કુદરતી ઘટના મુજબ વરસાદ પડવા માટે વાદળો હોવા જરૂરી છે. તેથી,'વાદળો વગર વરસાદ પડતો નથી' તે વાક્ય હંમેશા સત્ય છે.
આ વાક્યનું સત્ય મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવાથી,તે એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં,જો કોઈ વાક્ય કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય,તો તેને વિધાન ગણવામાં આવે છે.
આપેલ વાક્ય,"અહીંથી ચેન્નાઈ કેટલું દૂર છે?",એ પ્રશ્નાર્થ વાક્ય છે.
વધુમાં,"અહીં" શબ્દ અસ્પષ્ટ છે કારણ કે તે બોલનારના સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,તેને સત્ય કે અસત્ય એવું કોઈ મૂલ્ય આપી શકાતું નથી,તેથી તે વિધાન નથી.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને નહીં.
કોઈપણ મહિનામાં દિવસોની સંખ્યા વધુમાં વધુ $31$ હોવાથી,'એક મહિનામાં $35$ દિવસો હોય છે' તે વાક્ય અસત્ય છે.
તેથી,તે એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે જ ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
આ વાક્ય વ્યક્તિલક્ષી છે કારણ કે ગણિતની મુશ્કેલી વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાય છે.
તેથી,તેને સાર્વત્રિક રીતે સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાતું નથી,તેથી તે વિધાન નથી.

(N/A) $5$ અને $7$ નો સરવાળો $12$ છે. કારણ કે $12 > 10,$ આ વાક્ય હંમેશા સત્ય છે. તર્કશાસ્ત્રમાં,જે વાક્ય હંમેશા સત્ય અથવા હંમેશા અસત્ય હોય તેને વિધાન કહેવામાં આવે છે. તેથી,આ વાક્ય એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે જ ગણવામાં આવે છે જો તે હંમેશા સત્ય હોય અથવા હંમેશા અસત્ય હોય.
આપેલ વાક્ય માટે,$2$ નો વર્ગ $4$ છે,જે એક બેકી સંખ્યા છે.
જોકે,$3$ નો વર્ગ $9$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
આમ,વાક્યની સત્યતા પસંદ કરેલી સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,તેથી તે હંમેશા સત્ય કે હંમેશા અસત્ય નથી.
તેથી,તે વિધાન નથી.

(N/A) ગણિતના તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને ત્યારે જ વિધાન ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો હંમેશા સત્ય હોય અથવા હંમેશા અસત્ય હોય.
આપેલ વાક્ય,"ચતુષ્કોણની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે," તે અસ્પષ્ટ છે કારણ કે તેનું સત્ય મૂલ્ય ચતુષ્કોણના ચોક્કસ પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ચોરસ અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,બધી બાજુઓ સમાન હોય છે,જે આ વાક્યને સત્ય બનાવે છે.
જો કે,લંબચોરસ અથવા સમલંબ ચતુષ્કોણમાં,બાજુઓ સમાન હોવી જરૂરી નથી,જે આ વાક્યને અસત્ય બનાવે છે.
આમ,વાક્ય સંદર્ભના આધારે સત્ય કે અસત્ય હોઈ શકે છે,તેથી તે ગાણિતિક વિધાન નથી.

(N/A) વિધાન એ એક એવું ઘોષણાત્મક વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોઈ શકે.
આપેલ વાક્ય,"આ પ્રશ્નનો જવાબ આપો," એ આજ્ઞાર્થ વાક્ય (આદેશ અથવા વિનંતી) છે.
તેને સત્ય કે અસત્ય તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાતું ન હોવાથી,તે વિધાન નથી.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
$(-1)$ અને $8$ નો ગુણાકાર $(-8)$ થાય છે.
આ વાક્યમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે ગુણાકાર $8$ છે,જે અસત્ય છે,તેથી તે એક વિધાન છે.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે ગણવામાં આવે છે જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
ત્રિકોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ છે તે એક સાર્વત્રિક રીતે સ્વીકૃત ભૌમિતિક તથ્ય છે,જે હંમેશા સત્ય છે.
તેથી,આ વાક્ય એક વિધાન છે.

(N/A) તર્કશાસ્ત્રમાં કોઈ વાક્યને વિધાન ત્યારે જ કહેવાય જો તે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય,પરંતુ બંને ન હોય.
"$Today$ (આજે) પવનવાળો દિવસ છે" વાક્ય કયા દિવસની વાત થઈ રહી છે તેના પર આધાર રાખે છે,જે સ્પષ્ટ નથી.
ચોક્કસ દિવસ જાણ્યા વિના વાક્યનું સત્ય મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી,તેથી તે વિધાન નથી.

(A) સંકર સંખ્યાને $a + bi$ સ્વરૂપની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $i = \sqrt{-1}$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ને $x + 0i$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને $a + bi$ સ્વરૂપમાં લખી શકાતી હોવાથી,'બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ છે' તે વાક્ય હંમેશા સત્ય છે.
તેથી,તે એક વિધાન છે.

(N/A) જે વાક્યો વિધાનો નથી તેના ત્રણ ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ $He$ (તે) ડૉક્ટર છે.
આ વિધાન નથી કારણ કે '$He$' કોના માટે વપરાયું છે તે સ્પષ્ટ નથી,તેથી તેનું સત્ય મૂલ્ય અસ્પષ્ટ છે.
$(ii)$ ભૂમિતિ અઘરી છે.
આ વિધાન નથી કારણ કે વિષયની મુશ્કેલી વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાય છે અને તે વ્યક્તિલક્ષી છે.
$(iii)$ તે ક્યાં જઈ રહી છે?
આ એક પ્રશ્નાર્થ વાક્ય છે. ગાણિતિક તર્કમાં પ્રશ્નાર્થ વાક્યો,ઉદ્ગારવાચક વાક્યો અને આજ્ઞાર્થ વાક્યોને વિધાનો ગણવામાં આવતા નથી.

(N/A) આપેલ વિધાન છે: $P$: લંબચોરસના બંને વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
વિધાન $P$ ના નકારાત્મક વિધાનને $\sim P$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
"લંબચોરસના બંને વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે" આ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ છે:
"તે અસત્ય છે કે લંબચોરસના બંને વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન હોય છે."
વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે લખી શકાય:
"ઓછામાં ઓછો એક એવો લંબચોરસ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના બંને વિકર્ણોની લંબાઈ સમાન નથી."

(N/A) આ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ લખી શકાય:
તે સત્ય નથી કે $\sqrt{7}$ સંમેય સંખ્યા છે.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$\sqrt{7}$ સંમેય સંખ્યા નથી.

(N/A) આ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ છે:
તે ખોટું છે કે ઓસ્ટ્રેલિયા એક ખંડ છે.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય:
ઓસ્ટ્રેલિયા ખંડ નથી.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઓસ્ટ્રેલિયા એક ખંડ છે,તેથી મૂળ વિધાન સત્ય છે અને પરિણામે નકારાત્મક વિધાન અસત્ય છે.

(N/A) આ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ છે:
એવું નથી કે એવો કોઈ ચતુષ્કોણ અસ્તિત્વમાં નથી કે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય.
આનો અર્થ એ થાય છે કે:
એવો એક ચતુષ્કોણ અસ્તિત્વમાં છે કે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય.
આ વિધાન સત્ય છે કારણ કે ચોરસ એ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેની ચારેય બાજુઓ સમાન હોય છે.

(N/A) આ વિધાનનો નિષેધ છે:
તે ખોટું છે કે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $0$ કરતા મોટી છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
એવી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે $0$ કરતા મોટી નથી.
બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા ખરેખર $0$ કરતા મોટી હોય છે. તેથી,નિષેધ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આ વિધાનનું નકારાત્મક વિધાન નીચે મુજબ છે:
તે અસત્ય છે કે $3$ અને $4$ નો સરવાળો $9$ છે.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$3$ અને $4$ નો સરવાળો $9$ નથી.
કારણ કે $3 + 4 = 7$ અને $7 \neq 9$,તેથી પરિણામી વિધાન સત્ય છે.

(N/A) આપેલ સંયુક્ત વિધાન 'અને' તાર્કિક સંયોજક દ્વારા જોડાયેલું છે.
ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p: \text{આકાશ વાદળી છે.}$
$q: \text{ઘાસ લીલું છે.}$

(N/A) આપેલ સંયુક્ત વિધાન 'અને' (and) તાર્કિક સંયોજક દ્વારા જોડાયેલું છે.
ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ વરસાદ પડી રહ્યો છે.
$q:$ ઠંડી છે.

(N/A) સંયુક્ત વિધાન 'અને' શબ્દ દ્વારા જોડાયેલું છે.
ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ બધી સંમેય સંખ્યાઓ વાસ્તવિક છે.
$q:$ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર છે.

(N/A) ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p: 0$ એ ધન સંખ્યા છે.
$q: 0$ એ ઋણ સંખ્યા છે.
અહીં જોડતો શબ્દ 'અથવા' છે.

(A) ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ ચોરસ એ ચતુષ્કોણ છે.
$q:$ ચોરસની ચારેય બાજુઓ સમાન હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આ બંને વિધાનો સાચા છે. અહીં,જોડતો શબ્દ 'અને' છે.

(B) આપેલ વિધાન 'અથવા' (or) દ્વારા જોડાયેલું સંયુક્ત વિધાન છે.
ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એકી સંખ્યાઓ છે.
$q:$ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ બેકી સંખ્યાઓ છે.
ચકાસણી:
$p$ ખોટું છે કારણ કે $2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તે બેકી છે.
$q$ ખોટું છે કારણ કે $3$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તે એકી છે.
તેથી,બંને ઘટક વિધાનો ખોટા છે.

(N/A) ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ જે વ્યક્તિએ $Mathematics$ લીધું હોય તે $MCA$ માટે જઈ શકે છે.
$q:$ જે વ્યક્તિએ $Computer Science$ લીધું હોય તે $MCA$ માટે જઈ શકે છે.
આ બંને વિધાનો સત્ય છે. અહીં,જોડતો શબ્દ 'અથવા' છે.

(N/A) ઘટક વિધાનો નીચે મુજબ છે:
$p:$ ચંદીગઢ એ હરિયાણાની રાજધાની છે.
$q:$ ચંદીગઢ એ યુપીની રાજધાની છે.
પ્રથમ વિધાન $p$ સાચું છે,કારણ કે ચંદીગઢ હરિયાણાની રાજધાની છે.
બીજું વિધાન $q$ ખોટું છે,કારણ કે યુપીની રાજધાની લખનૌ છે.
અહીં સંયોજક શબ્દ 'અને' હોવાથી,સંયુક્ત વિધાન ખોટું છે.