Exponential series Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ થાય છે અને ક્રમચય $^nP_n = n!$ થાય છે.
આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \frac{2^0}{0!}$
$e^x$ માટે ટેલર શ્રેણીનું વિસ્તરણ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ હોવાથી,$x=2$ માટે,આપણને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $e^2 - 1$ થાય છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,$y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = e^x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(y) = \ln(e^x)$ મળે છે.
કારણ કે $\ln(e^x) = x$,તેથી $x = \log_e y$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)}{n!}$ છે.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ હોવાથી,$T_n = \frac{n^2}{n!} = \frac{n}{(n-1)!}$ મળે.
અંશને $n = (n-1) + 1$ તરીકે લખતા,$T_n = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$ મળે.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e + e = 2e$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{n(n+1)}{n!} = \frac{n+1}{(n-1)!}$ છે.
અંશને $(n-1) + 2$ તરીકે લખતા,$T_n = \frac{(n-1) + 2}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{2}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$ મળે.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}$ છે.
અહીં $\frac{1}{(-1)!} = 0$ હોવાથી,પ્રથમ સરવાળો $n=2$ થી શરૂ થાય છે,જે $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$ થાય છે.
બીજો સરવાળો $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e$ થાય છે.
આમ,$S = e + 2e = 3e$.

(C) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{a + bx}$ નું વિસ્તરણ છે.
$S = e^{a + bx} = e^a \cdot e^{bx}$.
$e^{bx} = 1 + \frac{bx}{1!} + \frac{(bx)^2}{2!} + \dots + \frac{(bx)^r}{r!} + \dots$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = e^a \left( 1 + \frac{bx}{1!} + \frac{b^2 x^2}{2!} + \dots + \frac{b^r x^r}{r!} + \dots \right)$.
$x^r$ નો સહગુણક મેળવવા માટે $e^a$ નો $\frac{b^r x^r}{r!}$ પદ સાથે ગુણાકાર કરવો પડે.
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $\frac{e^a b^r}{r!}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{e^{5x} + e^x}{e^{3x}} = e^{2x} + e^{-2x}$.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{2x} + e^{-2x} = 2 \left[ 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots \right]$
$= 2 + 4x^2 + 2 \cdot \frac{16x^4}{24} + \dots$
$= 2 + 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \dots$
તેથી,$x^4$ નો સહગુણક $\frac{4}{3}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$ છે.
હવે,આપેલ પદાવલિ $(1 + x + x^2)e^{-x} = (1 + x + x^2) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots \right)$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ કૌંસના પદોનો બીજા કૌંસના પદો સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ જેથી ગુણાકાર $x^2$ મળે:
$1 \times (\frac{x^2}{2}) = \frac{1}{2}x^2$
$x \times (-x) = -x^2$
$x^2 \times (1) = x^2$
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $\frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} = 0.5$
આમ,$x^2$ નો સહગુણક $0.5$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{e^{7x} + e^{3x}}{e^{5x}} = \frac{e^{7x}}{e^{5x}} + \frac{e^{3x}}{e^{5x}} = e^{2x} + e^{-2x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$.
તેથી,$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \dots \quad (i)$
અને $e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(2x)^2}{2!} - \dots \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$e^{2x} + e^{-2x} = (1 + 1) + (2x - 2x) + \dots = 2 + 4x^2 + \dots$
આમ,અચળ પદ $2$ છે.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2 + 4 + 6 + ... + 2n}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{n(n + 1)}{n!} = \frac{n + 1}{(n - 1)!} = \frac{(n - 1) + 2}{(n - 1)!} = \frac{n - 1}{(n - 1)!} + \frac{2}{(n - 1)!} = \frac{1}{(n - 2)!} + \frac{2}{(n - 1)!}$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!}$.
અહીં $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e$ અને $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} = e$ છે.
આમ,$S = e + 2e = 3e$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ છે.
$x = 1$ માટે,$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$.
$x = -1$ માટે,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$e + e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty)$,તેથી $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty = \frac{e + e^{-1}}{2}$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,$e - e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty)$,તેથી $1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: ${\left( \frac{e + e^{-1}}{2} \right)^2} - {\left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right)^2} = \frac{1}{4} \left[ (e + e^{-1})^2 - (e - e^{-1})^2 \right]$.
નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{4} \times 4 \times e \times e^{-1} = 1$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$ મળે છે.
બંને શ્રેણીઓની બાદબાકી કરતા: $e - e^{-1} = (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots) - (1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots) = 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots)$.
તેથી,$1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e - e^{-1}}{2}$.

(B) પદાવલિ $(e^x - 1)^2 = e^{2x} - 2e^x + 1$ છે.
$e^t = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{2x} = 1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots$
$-2e^x = -2 \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right)$
અચળ પદ $1$ સાથે સરવાળો કરતા:
$(e^{2x} - 2e^x + 1) = (1 - 2 + 1) + x(2 - 2) + x^2 \left( \frac{4}{2} - \frac{2}{2} \right) + x^3 \left( \frac{8}{6} - \frac{2}{6} \right) + x^4 \left( \frac{16}{24} - \frac{2}{24} \right) + \dots$
$x^4$ નો સહગુણક $\frac{16 - 2}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$ છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{n^3}{n!} = \frac{n^2}{(n-1)!}$ છે.
$n^2 = n(n-1) + n = n(n-1) + (n-1) + 1$ લખી શકાય.
તેથી,$T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$.
સરવાળો $n=1$ થી $\infty$ સુધી લેતા:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.

(D) ધારો કે શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n = \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{(2n+1)-1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ છે.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right) - \left( \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \dots \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$ અને $e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$.
તેથી,$\frac{e+e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \implies \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots = \frac{e+e^{-1}}{2} - 1$.
અને $\frac{e-e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \implies \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e-e^{-1}}{2} - 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = \left( \frac{e+e^{-1}}{2} - 1 \right) - \left( \frac{e-e^{-1}}{2} - 1 \right) = \frac{e+e^{-1}-e+e^{-1}}{2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z = x^2$ મૂકતા,આપણને $e^{x^2} = 1 + \frac{x^2}{1!} + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots \infty$ મળે છે.
તે જ રીતે,$z = y^2$ મૂકતા,આપણને $e^{y^2} = 1 + \frac{y^2}{1!} + \frac{y^4}{2!} + \frac{y^6}{3!} + \dots \infty$ મળે છે.
બંને શ્રેણીઓની બાદબાકી કરતા:
$e^{x^2} - e^{y^2} = (1 - 1) + \frac{x^2 - y^2}{1!} + \frac{x^4 - y^4}{2!} + \frac{x^6 - y^6}{3!} + \dots \infty$.
આમ,આપેલ પદાવલિ $e^{x^2} - e^{y^2}$ ની બરાબર છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = e^x$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = \frac{a - b}{a}$ છે.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના સૂત્રમાં $x = \frac{a - b}{a}$ મૂકતા:
$1 + \frac{a - b}{a} + \frac{1}{2!} \left( \frac{a - b}{a} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{a - b}{a} \right)^3 + \dots = e^{(a - b)/a}$.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$e^{(a - b)/a} = e^{1 - b/a}$.
ઘાતાંકના ગુણધર્મ $e^{m - n} = \frac{e^m}{e^n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{1 - b/a} = e^1 \cdot e^{-b/a} = \frac{e}{e^{b/a}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{2n + 1}{(n - 1)!}$ છે,જ્યાં $n \ge 1$.
આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકીએ: $T_n = \frac{2(n - 1) + 3}{(n - 1)!} = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)!} + \frac{3}{(n - 1)!} = \frac{2}{(n - 2)!} + \frac{3}{(n - 1)!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n - 1)!}$ છે.
અહીં $\frac{1}{(-1)!} = 0$ અને $\frac{1}{0!} = 1$ છે.
$S = 2 \left( 0 + \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots \right) + 3 \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots \right)$.
$S = 2(e) + 3(e) = 5e$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{e^{4x} - 1}{e^{2x}}$ છે.
પદોને ભાગતા,આપણને $e^{2x} - e^{-2x}$ મળે છે.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ $e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \dots$
$e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + \dots$
આ શ્રેણીઓની બાદબાકી કરતા: $(e^{2x} - e^{-2x}) = 4x + 0x^2 + \frac{8x^3}{3} + \dots$
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $0$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty = e^x$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આ શ્રેણીને આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{(a - bx)}{1!} + \frac{(a - bx)^2}{2!} + \frac{(a - bx)^3}{3!} + \dots \infty$ સાથે સરખાવતા,આપણે $x = a - bx$ મૂકીએ છીએ.
તેથી,શ્રેણીનો સરવાળો $e^{a - bx}$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots \infty$ મળે છે.
$x = -1$ મૂકતા,આપણને $e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots \infty$ મળે છે.
આ બે શ્રેણીઓનો સરવાળો કરતા: $e + e^{-1} = 2\left( 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty \right)$.
તેથી,$\frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$.
આમ,$\frac{e^2 + 1}{2e} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ અને $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$
સરવાળો કરતા,$\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
બાદબાકી કરતા,$\frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$
$x = 1$ માટે:
$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots = \frac{e + e^{-1}}{2}$
$1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e - e^{-1}}{2}$
તેથી,ગુણાકાર $\left( \frac{e + e^{-1}}{2} \right) \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right) = \frac{e^2 - e^{-2}}{4} = \frac{e^4 - 1}{4e^2}$ થાય.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{n^2(n+1)}{n!} = \frac{n(n+1)}{(n-1)!}$ છે.
આ પદને સાદું રૂપ આપતા $T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{4}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $S = \sum T_n = e + 4e + 2e = 7e$ થાય છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8 \times 2!} + \frac{1}{16 \times 3!} + \frac{1}{32 \times 4!} + \dots \infty$ છે.
આપણે તેને $S = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2 \times 2!} + \frac{1}{2^3 \times 3!} + \dots \infty \right]$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ $S = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{(1/2)^1}{1!} + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^3}{3!} + \dots \infty \right]$ ને સમાન છે.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના સૂત્ર $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x = \frac{1}{2}$ મૂકીએ છીએ.
આમ,$S = \frac{1}{2} e^{1/2} = \frac{\sqrt{e}}{2}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + 1 + \frac{1}{2}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ છે.
પ્રથમ ભાગ: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + (e - 1) = e + (e - 1) = 2e - 1$.
બીજો ભાગ: $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{2}(e - 1)$.
સરવાળો $S = (2e - 1) + \frac{1}{2}(e - 1) = 2e - 1 + \frac{e}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5e - 3}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ${e^{e^x}}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
${e^{e^x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(e^x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{nx}}{n!}$.
દરેક પદ ${e^{nx}}$ ને ${x}$ ની ઘાત શ્રેણી તરીકે વિસ્તૃત કરતા:
${e^{nx}} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(nx)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{n^r x^r}{r!}$.
આને સરવાળામાં મૂકતા:
${e^{e^x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \sum_{r=0}^{\infty} \frac{n^r x^r}{r!} \right)$.
${x^r}$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
${x^r}$ નો સહગુણક $= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot \frac{n^r}{r!} = \frac{1}{r!} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^r}{n!}$.
આમ,સહગુણક $\frac{1}{r!} \left[ \frac{1^r}{1!} + \frac{2^r}{2!} + \frac{3^r}{3!} + \dots \right]$ છે.

(B) આપેલ છે કે ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.
તેથી,શ્રેણીનો સરવાળો ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \right]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.
આ કિંમતોને ${S_\infty}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
${S_\infty} = \frac{1}{2} \left[ (e^3 - 1) - (e - 1) \right] = \frac{1}{2} (e^3 - 1 - e + 1) = \frac{e^3 - e}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ અને $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
આ બંને શ્રેણીઓનો સરવાળો કરતા:
$e^x + e^{-x} = 2 \left(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right)$
તેથી,$1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n!} = \frac{n(n + 1)}{2 \cdot n!} = \frac{n + 1}{2(n - 1)!}$ છે.
અંશને $(n - 1) + 2$ તરીકે લખતા,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n - 1}{(n - 1)!} + \frac{2}{(n - 1)!} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(n - 2)!} + \frac{2}{(n - 1)!} \right]$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 1)!} \right]$ છે.
અહીં $\frac{1}{(n-2)!} = 0$ જ્યારે $n=1$ હોય,તેથી પ્રથમ સરવાળો $n=2$ થી શરૂ થાય છે,જે $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$ થાય છે.
બીજો સરવાળો $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e$ થાય છે.
આમ,$S = \frac{1}{2} [e + 2e] = \frac{3e}{2}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 - \log 2 + \frac{(\log 2)^2}{2!} - \frac{(\log 2)^3}{3!} + \dots$ છે.
આ ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ નું વિસ્તરણ છે,જ્યાં $x = -\log 2$ છે.
$x = -\log 2$ ને શ્રેણીમાં મૂકતા,આપણને $e^{-\log 2}$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$e^{-\log 2} = e^{\log(2^{-1})} = e^{\log(1/2)}$.
$e^{\log_e y} = y$ હોવાથી,આપણને $e^{\log(1/2)} = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{e^{7x} + e^x}{e^{3x}}$ છે.
પદોને ભાગતા,આપણને $\frac{e^{7x}}{e^{3x}} + \frac{e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$ મળે છે.
$e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ મળે છે.

(A) ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sqrt{e}$ શોધવા માટે,આપણે $x = \frac{1}{2}$ લઈએ:
$\sqrt{e} = e^{1/2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \dots$
$= 1 + 0.5 + 0.125 + 0.02083 + 0.00260 + \dots$
$= 1.64843 \dots$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $1.648$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 1 + 2 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{2}{5!} + \dots$ છે.
આપણે શ્રેણીને અંશમાં $1$ હોય તેવા પદો અને અંશમાં $2$ હોય તેવા પદોમાં અલગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ:
$S = (1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots) + 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots)$
$e$ અને $e^{-1}$ માટેની પ્રમાણિત શ્રેણીઓ નીચે મુજબ છે:
$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
તેથી,$\frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots$ અને $\frac{e - e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots$
આ કિંમતો $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{e + e^{-1}}{2} + 2 \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right)$
$S = \frac{e + e^{-1} + 2e - 2e^{-1}}{2} = \frac{3e - e^{-1}}{2}$.

(D) ધારો કે શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{n(n+1)}{n!}$ છે.
આપણે $T_n$ ને આ રીતે સરળ બનાવી શકીએ:
$T_n = \frac{n(n+1)}{n(n-1)!} = \frac{n+1}{(n-1)!} = \frac{(n-1)+2}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{2}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}$ છે.
નોંધો કે $n=1$ માટે $\frac{1}{(n-2)!} = 0$ થાય છે,તેથી પ્રથમ સરવાળો $n=2$ થી શરૂ થાય છે.
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$.
$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = e + 2e = 3e$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય શ્રેણીનું વિસ્તરણ:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
આ વિસ્તરણમાં $x = -1$ મૂકતા:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $e^{-1}$ અથવા $\frac{1}{e}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\frac{1}{e}$ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2n - 1)}{(2n)!}$ છે.
અંશ અને છેદને $2 \times 4 \times 6 \times \dots \times (2n)$ વડે ગુણતા:
$T_n = \frac{(2n)!}{(2n)! \times 2^n \times n!} = \frac{1}{2^n \times n!} = \frac{(1/2)^n}{n!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n!}$ છે.
વિસ્તરણ $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ મળે.
$x = 1/2$ મૂકતા,$S = e^{1/2} - 1$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots = e^y$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = x \log_e a$ છે.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણમાં $y = x \log_e a$ મૂકતા:
$e^{x \log_e a} = e^{\log_e (a^x)} = a^x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે અંશ $N = 1 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{3!} + \frac{2^6}{4!} + \dots \infty$ છે.
$2^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $N = \frac{1}{2^2} \left( \frac{2^2}{1!} + \frac{2^4}{2!} + \frac{2^6}{3!} + \dots \right) = \frac{1}{4} (e^{2^2} - 1) = \frac{e^4 - 1}{4}$ મળે છે.
ધારો કે છેદ $D = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{2^2}{4!} + \dots \infty$ છે.
$2^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $D = \frac{1}{2^2} \left( 2^2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \dots \right) = \frac{1}{4} (e^2 - 1 - 2 + 2) = \frac{e^2 - 1}{4}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{(e^4 - 1)/4}{(e^2 - 1)/4} = \frac{e^4 - 1}{e^2 - 1} = \frac{(e^2 - 1)(e^2 + 1)}{e^2 - 1} = e^2 + 1$ થાય છે.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{n^4}{n!}$ છે,જ્યાં $n \ge 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{(n-1)!}$.
ધારો કે $m = n-1$,તો $n = m+1$. સરવાળો $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(m+1)^3}{m!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{m^3 + 3m^2 + 3m + 1}{m!}$ થાય છે.
$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m^k}{m!} = B_k e$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$k=0$ માટે,$\sum \frac{1}{m!} = e$.
$k=1$ માટે,$\sum \frac{m}{m!} = e$.
$k=2$ માટે,$\sum \frac{m^2}{m!} = 2e$.
$k=3$ માટે,$\sum \frac{m^3}{m!} = 5e$.
આ કિંમતો મૂકતા:
સરવાળો $= 5e + 3(2e) + 3(e) + e = 5e + 6e + 3e + e = 15e$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(e^x - 1)(e^{-x} + 1)$
$= (e^x - 1)\left(\frac{1 + e^x}{e^x}\right)$
$= \frac{e^{2x} - 1}{e^x} = e^x - e^{-x}$
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ અને $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$
$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots)$
$= 2x + 2\frac{x^3}{3!} + \dots$
$= 2x + 2\frac{x^3}{6} + \dots = 2x + \frac{x^3}{3} + \dots$
$x^3$ નો સહગુણક $1/3$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{2}{1!} + \frac{4}{3!} + \frac{6}{5!} + \frac{8}{7!} + \dots \infty$ છે.
આપણે $n$-મું પદ $\frac{2n}{(2n-1)!}$ તરીકે લખી શકીએ.
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1) + 1}{(2n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n-1}{(2n-1)!} + \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \right) + \left( \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \right)$.
યાદ રાખો કે $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ અને $e^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$.
તેથી,$\frac{e + e^{-1}}{2} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots$ અને $\frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots$.
$S = \frac{e + e^{-1}}{2} + \frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{2e}{2} = e$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{2n - 1}{(n - 1)!}$ છે,જ્યાં $n \geq 1$.
આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$T_n = \frac{2(n - 1) + 1}{(n - 1)!} = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)!} + \frac{1}{(n - 1)!} = \frac{2}{(n - 2)!} + \frac{1}{(n - 1)!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!}$ છે.
અહીં $n=1$ માટે,$\frac{2}{(n-2)!}$ ને $0$ ગણવામાં આવે છે.
તેથી,સરવાળો $2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} = 2e + e = 3e$ થાય.

(B) ઘાતાંકીય વિધેય $e^y$ નું વિસ્તરણ $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y = -x$ શ્રેણીમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$e^{-x} = 1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \dots \infty$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}}{n!}$ છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} \cdot \frac{1}{n!} = \frac{x^n - 1}{(x - 1)n!} = \frac{1}{x - 1} \left( \frac{x^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right)$.
$n = 1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$.
કારણ કે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,
$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} ((e^x - 1) - (e - 1)) = \frac{e^x - e}{x - 1}$.

(C) આ પદાવલિ $(a + bx)e^{-x}$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + bx) \left( 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^r x^r}{r!} + \dots \right)$.
$x^r$ નો સહગુણક $a$ ને $e^{-x}$ માં $x^r$ ના સહગુણક સાથે અને $bx$ ને $e^{-x}$ માં $x^{r-1}$ ના સહગુણક સાથે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે.
$x^r$ નો સહગુણક $= a \cdot \frac{(-1)^r}{r!} + b \cdot \frac{(-1)^{r-1}}{(r-1)!}$.
$= \frac{(-1)^r a}{r!} + \frac{(-1)^{r-1} br}{r!}$.
$= \frac{(-1)^r}{r!} (a - br)$.

(D) ધારો કે આપેલી શ્રેણી $S = 1 + \frac{4^2}{3!} + \frac{4^4}{5!} + \dots \infty$ છે.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{4^3}{3!} + \frac{4^5}{5!} + \dots \infty \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \infty$ નું વિસ્તરણ છે.
$x = 4$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{1}{4} \left( \sinh(4) \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{e^4 - e^{-4}}{2} \right) = \frac{e^4 - e^{-4}}{8}$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{n^2}{(n-1)!}$ છે.
અંશને $n^2 = (n-1)(n-2) + 3(n-1) + 1$ તરીકે લખતા,
$T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $S = \sum T_n = e + 3e + e = 5e$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1 - 2x + 3x^2)e^{-x}$ છે.
$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^5}{5!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(1 - 2x + 3x^2) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^5}{120} + \dots \right)$ મળે.
$x^5$ નો સહગુણક નીચે મુજબ મળે:
$= 1 \times \left( -\frac{1}{120} \right) + (-2) \times \left( \frac{1}{24} \right) + 3 \times \left( -\frac{1}{6} \right)$,
$= -\frac{1}{120} - \frac{2}{24} - \frac{3}{6}$,
$= -\frac{1}{120} - \frac{10}{120} - \frac{60}{120} = -\frac{71}{120}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n-1)!}$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$T_n = \frac{n}{(2n-1)!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{(2n-1)!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(2n-2)!} + \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
શ્રેણીનો સરવાળો લેતા:
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ મુજબ:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
તેથી,$S = \frac{1}{2} \left( \frac{e + e^{-1}}{2} + \frac{e - e^{-1}}{2} \right) = \frac{e}{2}$.

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1 + 2 + \dots + n}{(n + 1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n + 1)}{2(n + 1)!} = \frac{n}{2(n + 1)!}$.
સરળ બનાવવા માટે,આપણે લખીએ $T_n = \frac{(n + 1) - 1}{2(n + 1)!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} \right)$.
$n = 1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} \right) = \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + \dots \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n(n+1)!}$ છે.
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n+1)!} = \frac{2n+1}{6(n!)} = \frac{1}{6} \left( \frac{2}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \right)$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{6} \left( 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$.
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$ હોવાથી,
$S = \frac{1}{6} [2(e) + (e - 1)] = \frac{3e - 1}{6}$.