Exponential series Questions in Gujarati

(B) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = 2 \log_e 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ છે.
તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
$x = 2 \log_e 2 = \log_e(2^2) = \log_e 4$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
સરવાળો $= e^{\log_e 4} - 1$.
કારણ કે $e^{\log_e a} = a$,તેથી સરવાળો $4 - 1 = 3$ થાય છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots = e^y$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log_e x$ છે.
$e^y$ ના વિસ્તરણમાં $y = \log_e x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$e^{\log_e x} = x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 3^n}{n!} (\log_e 3)^n$ છે.
આપણે તેને બે અલગ શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 3)^n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 \log_e 3)^n}{n!}$.
ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$x = \log_e 3$,તેથી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 3)^n}{n!} = e^{\log_e 3} - 1 = 3 - 1 = 2$.
બીજા ભાગ માટે,$x = 3 \log_e 3 = \log_e 3^3 = \log_e 27$,તેથી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log_e 27)^n}{n!} = e^{\log_e 27} - 1 = 27 - 1 = 26$.
તેથી,$S = 2 + 26 = 28$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $3^x = e^{\log(3^x)} = e^{x \log 3}$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x \log 3$:
$3^x = 1 + \frac{x \log 3}{1!} + \frac{(x \log 3)^2}{2!} + \frac{(x \log 3)^3}{3!} + \dots$
$3^x = 1 + x \log 3 + \frac{x^2 (\log 3)^2}{2} + \frac{x^3 (\log 3)^3}{6} + \dots$
તેથી $x^3$ નો સહગુણક $\frac{(\log 3)^3}{6}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય શ્રેણી નીચે મુજબ છે:
$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$
$e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$e + e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty)$,તેથી $\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty = \frac{e + e^{-1} - 2}{2}$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,$e - e^{-1} = 2(\frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty)$,તેથી $1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{e + e^{-1} - 2}{2}}{\frac{e - e^{-1}}{2}} = \frac{e + \frac{1}{e} - 2}{e - \frac{1}{e}} = \frac{\frac{e^2 + 1 - 2e}{e}}{\frac{e^2 - 1}{e}} = \frac{(e - 1)^2}{(e - 1)(e + 1)} = \frac{e - 1}{e + 1}$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{3n - 2}{n!}$ છે.
આપણે સામાન્ય પદને $T_n = \frac{3n}{n!} - \frac{2}{n!} = \frac{3}{(n - 1)!} - \frac{2}{n!}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{(n - 1)!} - \frac{2}{n!} \right)$ છે.
$S = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} = e$.
વળી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = 3(e) - 2(e - 1) = 3e - 2e + 2 = e + 2$.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \frac{1 + x}{1!} + \frac{(1 + x)^2}{2!} + \frac{(1 + x)^3}{3!} + \dots \infty$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^y = 1 + \frac{y}{1!} + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots$ છે.
તેથી,$S = e^{1 + x} - 1 = e \cdot e^x - 1$.
$e^x$ નું વિસ્તરણ મૂકતા,$S = e \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \right) - 1$.
આમ,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{e}{n!}$ છે.

(C) $n^{th}$ પદ $T_n = \frac{n(n+1)}{2(n-1)!}$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા $T_n = \frac{1}{2} [\frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}]$ મળે છે.
સરવાળો $S = \frac{7e}{2}$ થાય છે.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{(n+1)(n+4)}{n!}$ છે.
$T_n = \frac{n^2 + 5n + 4}{n!} = \frac{n(n-1) + 6n + 4}{n!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{6}{(n-1)!} + \frac{4}{n!}$
સરવાળો લેતા,$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+4)}{n!} = 11e$.

(B) અંશનું $n^{th}$ પદ $a_n = 2n^2 + n + 1$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $T_n = \frac{2n^2 + n + 1}{n!}$ છે.
અંશને $2n(n-1) + 3n + 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$T_n = \frac{2n(n-1)}{n(n-1)(n-2)!} + \frac{3n}{n(n-1)!} + \frac{1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$ ($n \ge 2$ માટે).
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = T_1 + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \right)$ છે.
$T_1 = 4$ છે.
$S = 4 + 2(e) + 3(e-1) + (e-2) = 6e - 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(a + bx + cx^2)e^{-x}$ છે.
$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^k x^k}{k!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા.
$(a + bx + cx^2) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = a \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + bx \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!} + cx^2 \sum \frac{(-1)^k x^k}{k!}$.
$x^n$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે $x^n$ વાળા પદોનો સરવાળો કરીએ:
$a \cdot \frac{(-1)^n}{n!} + b \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + c \cdot \frac{(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$.
આમ,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{a(-1)^n}{n!} + \frac{b(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{c(-1)^{n-2}}{(n-2)!}$ છે.

(B) $\cosh(x)$ નું વિસ્તરણ $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણીને $1 + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \frac{(1/2)^6}{6!} + \dots \infty$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $\cosh(x)$ ના વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $x = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
તેથી,સરવાળો $\frac{e^{1/2} + e^{-1/2}}{2} = \frac{\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}}{2} = \frac{e + 1}{2\sqrt{e}}$ થાય છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{2^n - 1}{n!}$ છે,જ્યાં $n \ge 1$ છે.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!}$ છે.
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = (e^2 - 1)$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = (e - 1)$.
$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e = e(e - 1)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots \infty$.
$x = 1$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{e^1 + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$.
$\frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$.
તેથી,$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2 + 1}{e} \right) - 1$.
$= \frac{e^2 + 1 - 2e}{2e} = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \infty$
વિસ્તરણમાં $x = -1$ મૂકતા:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
$e^{-1} = 0 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
તેથી,શ્રેણી $\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$ નો સરવાળો $e^{-1}$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$x = -1$ મૂકતા:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
સાદુરૂપ આપતા:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $e^{-1}$ છે.

(C) શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $T_n = \frac{1 + 2 + 2^2 + .... + 2^{n-1}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{2^n - 1}{(2 - 1)n!} = \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી શ્રેણીનો સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$,તેથી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
$x=2$ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2 - 1$.
$x=1$ માટે,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.
તેથી,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x$ નું વિસ્તરણ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ છે.
આપેલ છે કે $a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}$,$b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}$,અને $c = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$a+b+c = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$.
એકમના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + b\omega + c\omega^2 = e^{\omega x}$.
$a + b\omega^2 + c\omega = e^{\omega^2 x}$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = e^x \cdot e^{\omega x} \cdot e^{\omega^2 x} = e^{x(1+\omega+\omega^2)}$.
$1+\omega+\omega^2 = 0$ હોવાથી,આપણને $e^{x(0)} = e^0 = 1$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} [(\sum_{i=1}^n i)^2 - \sum_{i=1}^n i^2]$.
$S_n = \frac{1}{2} [(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} [\frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6}] = \frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24} = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$.
$n=0, 1$ માટે,$S_n = 0$. $n \ge 2$ માટે,$\frac{S_n}{(n+1)!} = \frac{3n+2}{24(n-2)!}$.
$\sum_{n=2}^\infty \frac{3n+2}{24(n-2)!} = \frac{1}{24} [3 \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{(n-3)!} + 8 \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-2)!}] = \frac{1}{24} [3e + 8e] = \frac{11e}{24}$.

(C) સંકર શ્રેણી $C + iS$ ધ્યાનમાં લો:
$C + iS = 1 + \frac{(\cos x + i\sin x)}{1!} + \frac{(\cos 2x + i\sin 2x)}{2!} + \frac{(\cos 3x + i\sin 3x)}{3!} + \dots$
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C + iS = 1 + \frac{e^{ix}}{1!} + \frac{e^{i2x}}{2!} + \frac{e^{i3x}}{3!} + \dots$
$C + iS = 1 + \frac{(e^{ix})}{1!} + \frac{(e^{ix})^2}{2!} + \frac{(e^{ix})^3}{3!} + \dots$
આ ઘાતાંકીય શ્રેણી $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ નું વિસ્તરણ છે,જ્યાં $z = e^{ix}$.
તેથી,$C + iS = e^{(e^{ix})} = \exp[\exp(ix)]$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x)$ નું વિસ્તરણ $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$\frac{e + \frac{1}{e}}{2} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
$\frac{e^2 + 1}{2e} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
તેથી,શ્રેણીનો સરવાળો:
$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots = \frac{e^2 + 1}{2e} - 1 = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(B) ધારો કે $T_n = \frac{n^2+6n+10}{(2n+1)!}$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય:
$n^2+6n+10 = \frac{1}{4}((2n+1)^2 + 10(2n+1) + 29)$.
તેથી,$T_n = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{(2n-1)!} + \frac{11}{(2n)!} + \frac{29}{(2n+1)!} \right]$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{4} \left[ \frac{e-e^{-1}}{2} + 11 \frac{e+e^{-1}-2}{2} + 29 \frac{e-e^{-1}-2}{2} \right]$
$S = \frac{41}{8}e - \frac{19}{8}e^{-1} - 10$.

(A) $S_{n}$ ના સરવાળાનું સામાન્ય પદ $T_{r} = r(n-r)$ છે,જ્યાં $r = 1$ થી $n-1$.
$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=1}^{n-1} r^{2}$.
$S_{n} = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
હવે,સરવાળાની અંદરનું પદ ધ્યાનમાં લો: $\frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{2 n(n-1)(n+1)}{6 n(n-1)(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!}$.
$= \frac{n+1}{3(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{n+1-3}{3(n-2)!} = \frac{n-2}{3(n-2)!} = \frac{1}{3(n-3)!}$.
$n=4$ થી $\infty$ સુધીનો સરવાળો: $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{3(n-3)!} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{3} (e-1)$.

(D) આપેલ છે $C(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{n!}$.
$C(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$.
$C(\pi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}$.
$(A)$ $C(0) \cdot C(\pi) = e \cdot e^{-1} = 1$ (સાચું).
$(B)$ $C(0) + C(\pi) = e + \frac{1}{e} > 2$ (સાચું).
$(C)$ $C(\theta) = e^{\cos \theta} \cos(\sin \theta) > 0$ (સાચું).
$(D)$ $C^{\prime}(\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{(n-1)!}$. $\theta = 0$ માટે $C^{\prime}(0) = 0$ થાય છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n^3}{(n!)} + \frac{2n-1}{(2n)!} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$.
તેથી,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$.
બીજા ભાગ માટે,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
$e$ અને $e^{-1}$ ની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ અને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
અહીં $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
તેથી,સરવાળો $5e + \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e + e^{-1}}{2} = 5e - e^{-1}$ થાય.
$ae + be^{-1} + c$ સાથે સરખાવતા,$a=5, b=-1, c=0$ મળે.
તેથી,$a^2 - b + c = 5^2 - (-1) + 0 = 25 + 1 = 26$.

(B) અહીં $S = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+3n+4}{(2n)!}$ છે.
અંશને $2n(2n-1)$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$2n^2+3n+4 = \frac{1}{2}(2n)(2n-1) + 2(2n) + 4$.
તેથી,$S = \frac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + 2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} + 4 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}$.
શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{2}(\frac{e+e^{-1}}{2}) + 2(\frac{e-e^{-1}}{2}) + 4(\frac{e+e^{-1}-2}{2})$
$S = \frac{13}{4}e + \frac{5}{4e} - 4$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} {}^n C_r = 2^n$.
તેથી,$b = 1 + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$.
હવે,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{{}^n C_2}{(n+1)!}$.
${}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2(n+1)!} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{(n+1)!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો કરતા $a = e/2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2b}{a^2} = \frac{2(e^2)}{(e/2)^2} = \frac{2e^2}{e^2/4} = 8$.

(D) શ્રેણીનું $r$-મું પદ $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ છે.
પ્રથમ $r$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $r^2$ હોવાથી,$T_r = \frac{r^2}{r!} = \frac{r}{(r-1)!}$ મળે.
આપણે $r$ ને $(r-1+1)$ તરીકે લખી શકીએ,તેથી $T_r = \frac{r-1+1}{(r-1)!} = \frac{r-1}{(r-1)!} + \frac{1}{(r-1)!} = \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!}$ ($r \ge 2$ માટે).
સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{\infty} T_r = T_1 + \sum_{r=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right)$.
$S = 1 + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-1)!}$.
$S = 1 + (\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) = 1 + e + (e-1) = 2e$.

(C) $e^{z}$ નું વિસ્તરણ $e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z = 2x$ મૂકતા,આપણને $e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n!}$ મળે છે.
$x^{6}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $n=6$ વાળું પદ જોઈએ:
$\frac{(2x)^{6}}{6!} = \frac{2^{6} \cdot x^{6}}{720}$.
કિંમત ગણતા: $\frac{64}{720} = \frac{64 \div 16}{720 \div 16} = \frac{4}{45}$.
આમ,$x^{6}$ નો સહગુણક $\frac{4}{45}$ છે.

(B) સતત ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેનું સૂત્ર $A = Pe^{rt}$ છે.
અહીં $P = 400$,$t = 6$ વર્ષ માટે $A = 800$ છે.
$800 = 400e^{6r} \implies e^{6r} = 2 \implies 6r = \ln(2) \implies r = \frac{\ln(2)}{6}$.
$33$ વર્ષના અંતે રકમ $A$ શોધવા માટે:
$A = 400e^{33r} = 400e^{33 \times \frac{\ln(2)}{6}} = 400(2^{5.5})$.
$2^{5.5} = 32 \times \sqrt{2} = 32 \times 1.4142 = 45.2544$.
$A = 400 \times 45.2544 = 18101.76$.
આમ,$33$ વર્ષના અંતે રકમ ₹ $18101.76$ થશે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = b^{x}$ જ્યાં $b > 1$.
$f(x) = b^{x}$ સ્વરૂપના કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેય માટે,બિંદુ $(0, 1)$ હંમેશા આલેખ પર હોય છે કારણ કે $f(0) = b^{0} = 1$.
બિંદુ $(1, b)$ આલેખ પર હોય છે કારણ કે $f(1) = b^{1} = b$.
તેથી,બિંદુ $(1, 0)$ એ $f(x) = b^{x}$ વિધેયના આલેખ પર નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો નથી.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$.
ધારો કે $k = n-1$,તો જ્યારે $n=1, k=0$ અને જ્યારે $n \to \infty, k \to \infty$.
$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots \right) = \frac{1}{2} e$.
આમ,સરવાળો $\frac{e}{2}$ છે.

(D) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ છે.
કૌંસની અંદર,આપણી પાસે $a=1$,$r=2$ અને $k$ પદો ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે,તેથી $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k-1}{k !}$ મળે છે.
આને બે સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય: $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = e^x - 1$.
પ્રથમ સરવાળા માટે,$x=2$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} = e^2 - 1$.
બીજા સરવાળા માટે,$x=1$,તેથી $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k !} = e^1 - 1 = e - 1$.
આમ,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2+4+6+\dots+2n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ થાય.
તેથી,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ જ્યાં $n \geq 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ છે.
ધારો કે $m = n-1$,તો $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots = e$.

(B) આપેલ છે: $\cosh (x-\log 3)=\sinh x$
વ્યાખ્યા $\cosh \theta = \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$ અને $\sinh \theta = \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{x-\log 3}+e^{-(x-\log 3)}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$e^x \cdot e^{-\log 3} + e^{-x} \cdot e^{\log 3} = e^x - e^{-x}$
કારણ કે $e^{-\log 3} = \frac{1}{3}$ અને $e^{\log 3} = 3$:
$\frac{1}{3} e^x + 3 e^{-x} = e^x - e^{-x}$
$3 e^{-x} + e^{-x} = e^x - \frac{1}{3} e^x$
$4 e^{-x} = \frac{2}{3} e^x$
$e^{2x} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$
$2x = \log 6$
$x = \frac{1}{2} \log 6$

(C) આપેલ છે $2 \sinh x = \cosh x$.
વ્યાખ્યાઓ $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ અને $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$e^x - e^{-x} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
$2e^x - 2e^{-x} = e^x + e^{-x}$
$e^x = 3e^{-x}$
$e^{2x} = 3$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2x = \log_e 3$
$x = \frac{1}{2} \log_e 3$

(A) આપણી પાસે શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
અંશને $(2n+1) - 1$ તરીકે લખતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ ના ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ મુજબ $x = -1$ માટે:
$e^{-1} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$
આમ,સરવાળો $e^{-1} = 1/e$ થાય છે.

(A) શ્રેણીનું $n$મું પદ $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n}{2(n)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1, 2, 3, \ldots$ માટે,પદો $T_1 = \frac{1}{2(0!)}, T_2 = \frac{1}{2(1!)}, T_3 = \frac{1}{2(2!)}, \ldots$ છે.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \right]$.
કારણ કે $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$,તેથી $S = \frac{1}{2} e$.

(C) આપણી પાસે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+n+1}{n!}$ છે.
$n^2 = n(n-1) + n$ હોવાથી,અંશને $2n(n-1) + 3n + 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\frac{2n^2+n+1}{n!} = \frac{2}{(n-2)!} + \frac{3}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$.
શ્રેણી વિસ્તરણ $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2e + 3e + (e-1) = 6e - 1$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{2+4+6+\ldots+2n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} 2k = n(n+1)$ છે.
તેથી,$T_n = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{1}{(n-1)!}$ જ્યાં $n \ge 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$ છે.
ધારો કે $m = n-1$,તો $S = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots = e$.

(A) આપણી પાસે $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ છે.
$e^x$ ને $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ તરીકે વિસ્તૃત કરતા:
$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$.
$x^k$ નો સહગુણક શોધવા માટે:
પ્રથમ પદમાંથી સહગુણક $\frac{1}{k!}$ મળે.
બીજા પદમાંથી $n+1=k$ લેતા,સહગુણક $-2 \times \frac{1}{(k-1)!}$ મળે.
ત્રીજા પદમાંથી $n+2=k$ લેતા,સહગુણક $-1 \times \frac{1}{(k-2)!}$ મળે.
કુલ સહગુણક: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$.

(B) આપણી પાસે $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ છે.
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$.
$x^n$ નો સહગુણક પ્રથમ પદમાંથી $k=n$ માટે અને બીજા પદમાંથી $k=n-1$ માટે મળે છે:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$.
$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ હોવાથી:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$.