Exponential series Questions in Gujarati

(B) આપણી પાસે $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ છે.
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^k}{k!}$.
$x^n$ નો સહગુણક પ્રથમ પદમાંથી $k=n$ માટે અને બીજા પદમાંથી $k=n-1$ માટે મળે છે:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$.
$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$ હોવાથી:
$x^n$ નો સહગુણક $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{(1+2n)}{n!}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{-x}$ નું વિસ્તરણ $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^n x^n}{n!} + \dots$ છે.
હવે,$(2+3x)e^{-x}$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$(2+3x)e^{-x} = 2e^{-x} + 3xe^{-x}$
$2e^{-x}$ માં $x^{10}$ વાળું પદ $2 \times \frac{(-x)^{10}}{10!} = \frac{2}{10!} x^{10}$ છે.
$3xe^{-x}$ માં $x^{10}$ વાળું પદ $3x \times \frac{(-x)^9}{9!} = 3x \times \frac{-x^9}{9!} = -\frac{3}{9!} x^{10}$ છે.
આ બંનેને જોડવા માટે,બીજા પદને $10!$ છેદ સાથે લખતા:
$-\frac{3}{9!} = -\frac{3 \times 10}{10!} = -\frac{30}{10!}$.
આમ,$x^{10}$ નો સહગુણક $\frac{2}{10!} - \frac{30}{10!} = \frac{2-30}{10!} = \frac{-28}{10!}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$
ઘાતાંકીય વ્યાખ્યાઓ $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ અને $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ મૂકતા:
$2 \left(\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right) + 10 \left(\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}\right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ વડે ગુણતા:
$6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$
ધારો કે $u = e^{2x}$,તો $6u^2 - 5u - 4 = 0$
અવયવ પાડતા: $(2u + 1)(3u - 4) = 0$
$u = e^{2x} > 0$ હોવાથી,$3u - 4 = 0 \Rightarrow u = \frac{4}{3}$
$e^{2x} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2x = \log \left(\frac{4}{3}\right)$
$x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4}{3}\right)$

(A) આપણી પાસે શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
અંશને $(2n+1) - 1$ તરીકે લખતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right)$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \left( \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} \right) + \dots$
$e^x$ માટે ટેલર શ્રેણી $x=1$ પર: $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
તેથી,સરવાળો $\frac{1}{e}$ થાય છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}}{n !}$ છે,જ્યાં $n \geq 1$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$T_n = \frac{2^n-1}{n !}$.
આને $T_n = \frac{2^n}{n !} - \frac{1}{n !}$ તરીકે લખી શકાય.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !}$ છે.
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \ldots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n !} = e^2 - 1$ અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} = e - 1$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots = e^y$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = x \log_e a$ છે.
$y = \log_e a^x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 + \log_e a^x + \frac{(\log_e a^x)^2}{2!} + \frac{(\log_e a^x)^3}{3!} + \ldots = e^{\log_e a^x}$.
$e^{\log_e z} = z$ હોવાથી,$e^{\log_e a^x} = a^x$ થાય.

(A) આપેલ છે,$x=1+\frac{1}{2 \times 1 !}+\frac{1}{4 \times 2 !}+\frac{1}{8 \times 3 !}+\ldots$
આ $e^{1/2}$ નું વિસ્તરણ છે,તેથી $x = e^{1/2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^{2} = e$ મળે.
હવે,$y=1+\frac{x^{2}}{1 !}+\frac{x^{4}}{2 !}+\frac{x^{6}}{3 !}+\ldots$
આ $e^{x^{2}}$ નું વિસ્તરણ છે,તેથી $y = e^{x^{2}}$.
$x^{2} = e$ મૂકતા,$y = e^{e}$ મળે.
બંને બાજુ $\log_{e}$ લેતા,$\log_{e} y = \log_{e} (e^{e}) = e \log_{e} e = e \times 1 = e$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} x^n$.
આને $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ તરીકે લખી શકાય.
$e^y = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ હોવાથી,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$f(x) = (e^{2x} - 1) - (e^x - 1) = e^{2x} - e^x$.
$f(x) = 0$ લેતા,$e^{2x} - e^x = 0$,જેનો અર્થ છે $e^x(e^x - 1) = 0$.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$e^x - 1 = 0$ થવું જોઈએ,જે $e^x = 1$ આપે છે.
આમ,$x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $t_n = \frac{2n}{(2n+1)!}$ છે.
આપણે તેને $t_n = \frac{(2n+1) - 1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$n=1$ થી $\infty$ સુધીનો સરવાળો લેતા,$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} \right) = \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots \right)$ મળે છે.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ ના વિસ્તરણ મુજબ,$x = -1$ માટે,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ થાય.
આમ,સરવાળો $e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \dots$ છે.
તેથી,કિંમત $e^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1 \cdot 3}{4!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{6!} + \dots$ છે.
સામાન્ય પદ $T_n$ ($n \ge 1$ માટે) $T_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{(2n)!}$ છે.
અંશને $\frac{(2n)!}{2^n n!}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$T_n = \frac{(2n)!}{2^n n! (2n)!} = \frac{1}{2^n n!}$.
શ્રેણી $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n n!}$ છે,જ્યાં $n=0$ માટેનું પદ $1$ છે.
આ $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ નું વિસ્તરણ છે,જ્યાં $x = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$S = e^{1/2} = \sqrt{e}$.

(C) અંશમાં રહેલી શ્રેણી $1, 8, 21, 40, 65, \ldots$ નું સામાન્ય પદ $T_n$ તફાવતની રીત દ્વારા શોધી શકાય છે. પ્રથમ તફાવતો $7, 13, 19, 25, \ldots$ છે,જે $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આમ,$T_n = an^2 + bn + c$.
$n=1$ માટે,$T_1 = a+b+c = 1$.
$n=2$ માટે,$T_2 = 4a+2b+c = 8$.
$n=3$ માટે,$T_3 = 9a+3b+c = 21$.
આને ઉકેલતા,આપણને $a=3, b=-2, c=0$ મળે છે. તેથી,$T_n = 3n^2 - 2n = n(3n-2)$.
શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(3n-2)}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-2n}{n!}$ છે.
પ્રથમ પદ $1$ ($n=1$ માટે) હોવાથી,આપણે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-2}{(n-1)!}$ લખી શકીએ.
ધારો કે $k = n-1$,તો $n = k+1$.
$S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3(k+1)-2}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3k+1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 3\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} + e = 3e + e = 4e$.
કારણ કે $2 < e < 3$,તેથી $8 < 4e < 12$.
તેથી,$8 < S < 12$.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $t_n = \frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^2}{(n+2)!}$ છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t_n = \frac{(n+1)(2n+3)}{6(n+2)!}$ મળે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા,$S = \frac{5e}{6} - \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{e^{7x}+e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$.
$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$.
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$.
આ બંને શ્રેણીઓનો સરવાળો કરતા,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ $(r-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{(r-1)r}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને સરવાળામાં મૂકતા,આપણને $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{(r-1)r}{2 \cdot r!}$ મળે છે.
કારણ કે $r! = r(r-1)(r-2)!$,તેથી પદ $\sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{2(r-2)!}$ માં સરળ બને છે.
અચળ $\frac{1}{2}$ ને સામાન્ય લેતા,આપણને $\frac{1}{2} \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!}$ મળે છે.
ધારો કે $k = r-2$. જેમ $r$ એ $2$ થી $\infty$ સુધી જાય છે,તેમ $k$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી જાય છે.
આમ,પદ $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} e$ થાય છે.

(B) આપણને શ્રેણી $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ આપેલ છે.
નોંધો કે $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!} + \frac{2k}{k!} = \frac{1}{(k-2)!} + \frac{2}{(k-1)!}$ જ્યાં $k \ge 2$ છે.
$k=1$ માટે,પદ $(-1)^{1+1}\frac{1(2)}{1!} = 2$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{k(k-1)}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2k}{k!}$.
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-2)!} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!}$.
પ્રથમ સરવાળામાં $j = k-2$ અને બીજા સરવાળામાં $m = k-1$ લેતા:
$S = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} + 2 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m!}$.
કારણ કે $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$,તેથી:
$S = -(\frac{1}{e}) + 2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.