Exponential series Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ होता है और क्रमचय $^nP_n = n!$ होता है।
इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} - \frac{2^0}{0!}$
चूंकि $e^x$ के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ है,$x=2$ के लिए,हमें $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $e^2 - 1$ है।

(A) दी गई श्रेणी घातांकीय फलन $e^x$ का विस्तार है।
अतः,$y = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = e^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(y) = \ln(e^x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\ln(e^x) = x$,इसलिए $x = \log_e y$ है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)}{n!}$ है।
चूंकि प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है,इसलिए $T_n = \frac{n^2}{n!} = \frac{n}{(n-1)!}$ है।
अंश को $n = (n-1) + 1$ के रूप में लिखने पर,$T_n = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$ प्राप्त होता है।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e + e = 2e$।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n(n+1)}{n!} = \frac{n+1}{(n-1)!}$ है।
अंश को $(n-1) + 2$ के रूप में लिखने पर,$T_n = \frac{(n-1) + 2}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{2}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}$ है।
चूंकि $\frac{1}{(-1)!} = 0$,इसलिए पहला योग $n=2$ से शुरू होता है,जो $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$ है।
दूसरा योग $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e$ है।
अतः,$S = e + 2e = 3e$।

(C) दी गई श्रेणी घातांकीय फलन $e^{a + bx}$ का विस्तार है।
$S = e^{a + bx} = e^a \cdot e^{bx}$.
$e^{bx} = 1 + \frac{bx}{1!} + \frac{(bx)^2}{2!} + \dots + \frac{(bx)^r}{r!} + \dots$ के विस्तार का उपयोग करने पर:
$S = e^a \left( 1 + \frac{bx}{1!} + \frac{b^2 x^2}{2!} + \dots + \frac{b^r x^r}{r!} + \dots \right)$.
$x^r$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए $e^a$ का $\frac{b^r x^r}{r!}$ पद के साथ गुणा करना होगा।
अतः,$x^r$ का गुणांक $\frac{e^a b^r}{r!}$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{e^{5x} + e^x}{e^{3x}} = e^{2x} + e^{-2x}$.
घातांकीय श्रेणी विस्तार $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$e^{2x} + e^{-2x} = 2 \left[ 1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots \right]$
$= 2 + 4x^2 + 2 \cdot \frac{16x^4}{24} + \dots$
$= 2 + 4x^2 + \frac{4}{3}x^4 + \dots$
अतः,$x^4$ का गुणांक $\frac{4}{3}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $e^{-x}$ का विस्तार $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$ है।
अब,दिया गया व्यंजक $(1 + x + x^2)e^{-x} = (1 + x + x^2) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots \right)$ है।
$x^2$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम पहले कोष्ठक के पदों को दूसरे कोष्ठक के पदों से इस प्रकार गुणा करते हैं कि गुणनफल $x^2$ प्राप्त हो:
$1 \times (\frac{x^2}{2}) = \frac{1}{2}x^2$
$x \times (-x) = -x^2$
$x^2 \times (1) = x^2$
इन गुणांकों का योग: $\frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} = 0.5$
अतः,$x^2$ का गुणांक $0.5$ है।

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{e^{7x} + e^{3x}}{e^{5x}} = \frac{e^{7x}}{e^{5x}} + \frac{e^{3x}}{e^{5x}} = e^{2x} + e^{-2x}$.
हम जानते हैं कि $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$.
अतः,$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \dots \quad (i)$
और $e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(2x)^2}{2!} - \dots \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$e^{2x} + e^{-2x} = (1 + 1) + (2x - 2x) + \dots = 2 + 4x^2 + \dots$
अतः,अचर पद $2$ है।

(C) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{2 + 4 + 6 + ... + 2n}{n!}$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग $2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1)$ है।
अतः,$T_n = \frac{n(n + 1)}{n!} = \frac{n + 1}{(n - 1)!} = \frac{(n - 1) + 2}{(n - 1)!} = \frac{n - 1}{(n - 1)!} + \frac{2}{(n - 1)!} = \frac{1}{(n - 2)!} + \frac{2}{(n - 1)!}$.
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!}$.
यहाँ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e$ और $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} = e$ है।
अतः,$S = e + 2e = 3e$.

(B) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है।
$x = 1$ के लिए,$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$.
$x = -1$ के लिए,$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$e + e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty)$,इसलिए $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty = \frac{e + e^{-1}}{2}$.
इन दोनों को घटाने पर,$e - e^{-1} = 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty)$,इसलिए $1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \infty = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: ${\left( \frac{e + e^{-1}}{2} \right)^2} - {\left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right)^2} = \frac{1}{4} \left[ (e + e^{-1})^2 - (e - e^{-1})^2 \right]$.
सर्वसमिका $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{4} \times 4 \times e \times e^{-1} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots \infty$ प्राप्त होता है।
दोनों श्रेणियों को घटाने पर: $e - e^{-1} = (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots) - (1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots) = 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots)$।
अतः,$1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e - e^{-1}}{2}$।

(B) व्यंजक $(e^x - 1)^2 = e^{2x} - 2e^x + 1$ है।
$e^t = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए:
$e^{2x} = 1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots$
$-2e^x = -2 \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right)$
अचर पद $1$ के साथ जोड़ने पर:
$(e^{2x} - 2e^x + 1) = (1 - 2 + 1) + x(2 - 2) + x^2 \left( \frac{4}{2} - \frac{2}{2} \right) + x^3 \left( \frac{8}{6} - \frac{2}{6} \right) + x^4 \left( \frac{16}{24} - \frac{2}{24} \right) + \dots$
$x^4$ का गुणांक $\frac{16 - 2}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$ है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n^3}{n!} = \frac{n^2}{(n-1)!}$ है।
हम $n^2 = n(n-1) + n = n(n-1) + (n-1) + 1$ लिख सकते हैं।
अतः,$T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-3)!} + 3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e + 3e + e = 5e$।

(D) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n+1)!}$ है।
सामान्य पद $T_n = \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{(2n+1)-1}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}$ है।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right) - \left( \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \dots \right)$.
हम जानते हैं कि $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots$ और $e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$.
अतः,$\frac{e+e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \implies \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots = \frac{e+e^{-1}}{2} - 1$.
और $\frac{e-e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \implies \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e-e^{-1}}{2} - 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \left( \frac{e+e^{-1}}{2} - 1 \right) - \left( \frac{e-e^{-1}}{2} - 1 \right) = \frac{e+e^{-1}-e+e^{-1}}{2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

(B) हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी $e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots \infty$ द्वारा दी जाती है।
$z = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{x^2} = 1 + \frac{x^2}{1!} + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$z = y^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{y^2} = 1 + \frac{y^2}{1!} + \frac{y^4}{2!} + \frac{y^6}{3!} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
दोनों श्रेणियों को घटाने पर:
$e^{x^2} - e^{y^2} = (1 - 1) + \frac{x^2 - y^2}{1!} + \frac{x^4 - y^4}{2!} + \frac{x^6 - y^6}{3!} + \dots \infty$.
अतः,दिया गया व्यंजक $e^{x^2} - e^{y^2}$ के बराबर है।

(C) दी गई श्रेणी $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = e^x$ के रूप में है,जहाँ $x = \frac{a - b}{a}$ है।
घातांकीय श्रेणी के सूत्र में $x = \frac{a - b}{a}$ रखने पर:
$1 + \frac{a - b}{a} + \frac{1}{2!} \left( \frac{a - b}{a} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{a - b}{a} \right)^3 + \dots = e^{(a - b)/a}$.
घातांक को सरल करने पर:
$e^{(a - b)/a} = e^{1 - b/a}$.
घातांक के गुणधर्म $e^{m - n} = \frac{e^m}{e^n}$ का उपयोग करने पर:
$e^{1 - b/a} = e^1 \cdot e^{-b/a} = \frac{e}{e^{b/a}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{2n + 1}{(n - 1)!}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है।
हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं: $T_n = \frac{2(n - 1) + 3}{(n - 1)!} = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)!} + \frac{3}{(n - 1)!} = \frac{2}{(n - 2)!} + \frac{3}{(n - 1)!}$।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(n - 1)!}$ है।
ध्यान दें कि $\frac{1}{(-1)!} = 0$ और $\frac{1}{0!} = 1$ है।
$S = 2 \left( 0 + \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots \right) + 3 \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots \right)$।
$S = 2(e) + 3(e) = 5e$।

(C) हमें व्यंजक $\frac{e^{4x} - 1}{e^{2x}}$ दिया गया है।
पदों को विभाजित करने पर,हमें $e^{2x} - e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
घातांकीय श्रेणी विस्तार $e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \dots$
$e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + \dots$
इन श्रेणियों को घटाने पर: $(e^{2x} - e^{-2x}) = 4x + 0x^2 + \frac{8x^3}{3} + \dots$
अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ है।

(A) दी गई श्रेणी $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty = e^x$ के रूप में है।
इसकी तुलना दी गई श्रेणी $1 + \frac{(a - bx)}{1!} + \frac{(a - bx)^2}{2!} + \frac{(a - bx)^3}{3!} + \dots \infty$ से करने पर,हम $x = a - bx$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,श्रेणी का योग $e^{a - bx}$ है।

(B) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार $1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $e^{-1} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
इन दो श्रेणियों को जोड़ने पर: $e + e^{-1} = 2\left( 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty \right)$।
अतः,$\frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty$।
चूँकि $\frac{e^2 + 1}{2e} = \frac{e + e^{-1}}{2}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $e^x$ और $e^{-x}$ का विस्तार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$
जोड़ने पर,$\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
घटाने पर,$\frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$
$x = 1$ के लिए:
$1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots = \frac{e + e^{-1}}{2}$
$1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots = \frac{e - e^{-1}}{2}$
अतः,गुणनफल $\left( \frac{e + e^{-1}}{2} \right) \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right) = \frac{e^2 - e^{-2}}{4} = \frac{e^4 - 1}{4e^2}$ है।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n^2(n+1)}{n!} = \frac{n(n+1)}{(n-1)!}$ है।
इसे सरल करने पर $T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{4}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $S = \sum T_n = e + 4e + 2e = 7e$ होगा।

(C) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8 \times 2!} + \frac{1}{16 \times 3!} + \frac{1}{32 \times 4!} + \dots \infty$ है।
हम इसे $S = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2 \times 2!} + \frac{1}{2^3 \times 3!} + \dots \infty \right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $S = \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{(1/2)^1}{1!} + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^3}{3!} + \dots \infty \right]$ के बराबर है।
घातांकीय श्रेणी सूत्र $e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$ का उपयोग करते हुए,हम $x = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$S = \frac{1}{2} e^{1/2} = \frac{\sqrt{e}}{2}$.

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + 1 + \frac{1}{2}}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ है।
प्रथम भाग: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + (e - 1) = e + (e - 1) = 2e - 1$.
द्वितीय भाग: $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{2}(e - 1)$.
योग $S = (2e - 1) + \frac{1}{2}(e - 1) = 2e - 1 + \frac{e}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5e - 3}{2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) ${e^{e^x}}$ का विस्तार इस प्रकार है:
${e^{e^x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(e^x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{nx}}{n!}$.
प्रत्येक पद ${e^{nx}}$ को ${x}$ की घात श्रेणी के रूप में विस्तारित करने पर:
${e^{nx}} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(nx)^r}{r!} = \sum_{r=0}^{\infty} \frac{n^r x^r}{r!}$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
${e^{e^x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \sum_{r=0}^{\infty} \frac{n^r x^r}{r!} \right)$.
${x^r}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
${x^r}$ का गुणांक $= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot \frac{n^r}{r!} = \frac{1}{r!} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^r}{n!}$.
अतः,गुणांक $\frac{1}{r!} \left[ \frac{1^r}{1!} + \frac{2^r}{2!} + \frac{3^r}{3!} + \dots \right]$ है।

(B) दिया गया है कि ${T_n} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{3^n}}}{{n!}} - \frac{1}{{n!}}} \right]$.
अतः,श्रेणी का योग ${S_\infty} = \sum_{n=1}^\infty {T_n} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \right]$ है।
हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ है,जिसका अर्थ है कि $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$.
प्रथम भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1$.
द्वितीय भाग के लिए,$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}{n!} = e^1 - 1 = e - 1$.
इन मानों को ${S_\infty}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${S_\infty} = \frac{1}{2} \left[ (e^3 - 1) - (e - 1) \right] = \frac{1}{2} (e^3 - 1 - e + 1) = \frac{e^3 - e}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $e^x$ और $e^{-x}$ का विस्तार इस प्रकार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
इन दोनों श्रेणियों को जोड़ने पर:
$e^x + e^{-x} = 2 \left(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots\right)$
अतः,$1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n!} = \frac{n(n + 1)}{2 \cdot n!} = \frac{n + 1}{2(n - 1)!}$ है।
अंश को $(n - 1) + 2$ के रूप में लिखने पर,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n - 1}{(n - 1)!} + \frac{2}{(n - 1)!} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(n - 2)!} + \frac{2}{(n - 1)!} \right]$।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 1)!} \right]$ है।
यहाँ $\frac{1}{(n-2)!} = 0$ जब $n=1$ हो,इसलिए पहला योग $n=2$ से शुरू होता है,जो $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$ है।
दूसरा योग $2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e$ है।
अतः,$S = \frac{1}{2} [e + 2e] = \frac{3e}{2}$।

(B) दी गई श्रेणी $1 - \log 2 + \frac{(\log 2)^2}{2!} - \frac{(\log 2)^3}{3!} + \dots$ है।
यह चरघातांकी श्रेणी $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ का विस्तार है,जहाँ $x = -\log 2$ है।
$x = -\log 2$ को श्रेणी में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{-\log 2}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e^{-\log 2} = e^{\log(2^{-1})} = e^{\log(1/2)}$।
चूँकि $e^{\log_e y} = y$,इसलिए हमें $e^{\log(1/2)} = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक $\frac{e^{7x} + e^x}{e^{3x}}$ है।
पदों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{e^{7x}}{e^{3x}} + \frac{e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
$e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$
इन दोनों को जोड़ने पर,$x^n$ का गुणांक $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ प्राप्त होता है।

(A) घातांकीय श्रेणी $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ द्वारा दी जाती है।
$\sqrt{e}$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं:
$\sqrt{e} = e^{1/2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{(1/2)^2}{2!} + \frac{(1/2)^3}{3!} + \frac{(1/2)^4}{4!} + \dots$
$= 1 + 0.5 + 0.125 + 0.02083 + 0.00260 + \dots$
$= 1.64843 \dots$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.648$ प्राप्त होता है।

(D) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + 2 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{2}{5!} + \dots$ है।
हम श्रेणी को अंश में $1$ वाले पदों और अंश में $2$ वाले पदों को अलग करके फिर से लिख सकते हैं:
$S = (1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots) + 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots)$
$e$ और $e^{-1}$ के लिए मानक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:
$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,$\frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots$ और $\frac{e - e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots$
इन मानों को $S$ के समीकरण में रखने पर:
$S = \frac{e + e^{-1}}{2} + 2 \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right)$
$S = \frac{e + e^{-1} + 2e - 2e^{-1}}{2} = \frac{3e - e^{-1}}{2}$.

(D) माना श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{n(n+1)}{n!}$ है।
हम $T_n$ को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$T_n = \frac{n(n+1)}{n(n-1)!} = \frac{n+1}{(n-1)!} = \frac{(n-1)+2}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{2}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}$.
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}$ है।
ध्यान दें कि $n=1$ के लिए $\frac{1}{(n-2)!} = 0$ होता है,इसलिए पहला योग $n=2$ से शुरू होता है।
$S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$.
$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ के विस्तार का उपयोग करने पर,हमें $S = e + 2e = 3e$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि चरघातांकी श्रेणी का विस्तार:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
इस विस्तार में $x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,श्रेणी का योग $e^{-1}$ या $\frac{1}{e}$ है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $\frac{1}{e}$ नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) दी गई श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2n - 1)}{(2n)!}$ है।
अंश और हर को $2 \times 4 \times 6 \times \dots \times (2n)$ से गुणा करने पर:
$T_n = \frac{(2n)!}{(2n)! \times 2^n \times n!} = \frac{1}{2^n \times n!} = \frac{(1/2)^n}{n!}$।
श्रेणी का योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n!}$ है।
विस्तार $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ का उपयोग करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ रखने पर,$S = e^{1/2} - 1$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई श्रेणी $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots = e^y$ के रूप में है,जहाँ $y = x \log_e a$ है।
घातांकीय श्रेणी के विस्तार में $y = x \log_e a$ रखने पर:
$e^{x \log_e a} = e^{\log_e (a^x)} = a^x$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना अंश $N = 1 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{3!} + \frac{2^6}{4!} + \dots \infty$ है।
$2^2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $N = \frac{1}{2^2} \left( \frac{2^2}{1!} + \frac{2^4}{2!} + \frac{2^6}{3!} + \dots \right) = \frac{1}{4} (e^{2^2} - 1) = \frac{e^4 - 1}{4}$ प्राप्त होता है।
माना हर $D = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{2^2}{4!} + \dots \infty$ है।
$2^2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $D = \frac{1}{2^2} \left( 2^2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \frac{2^4}{4!} + \dots \right) = \frac{1}{4} (e^2 - 1 - 2 + 2) = \frac{e^2 - 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{(e^4 - 1)/4}{(e^2 - 1)/4} = \frac{e^4 - 1}{e^2 - 1} = \frac{(e^2 - 1)(e^2 + 1)}{e^2 - 1} = e^2 + 1$ है।

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n^4}{n!}$ है,जहाँ $n \ge 1$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{(n-1)!}$ है।
माना $m = n-1$,तो $n = m+1$ है। योग $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(m+1)^3}{m!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{m^3 + 3m^2 + 3m + 1}{m!}$ हो जाता है।
$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m^k}{m!} = B_k e$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$k=0$ के लिए,$\sum \frac{1}{m!} = e$ है।
$k=1$ के लिए,$\sum \frac{m}{m!} = e$ है।
$k=2$ के लिए,$\sum \frac{m^2}{m!} = 2e$ है।
$k=3$ के लिए,$\sum \frac{m^3}{m!} = 5e$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
योग $= 5e + 3(2e) + 3(e) + e = 5e + 6e + 3e + e = 15e$।

(B) दी गई व्यंजक: $(e^x - 1)(e^{-x} + 1)$
$= (e^x - 1)\left(\frac{1 + e^x}{e^x}\right)$
$= \frac{e^{2x} - 1}{e^x} = e^x - e^{-x}$
घातांकीय श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ और $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$
$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots)$
$= 2x + 2\frac{x^3}{3!} + \dots$
$= 2x + 2\frac{x^3}{6} + \dots = 2x + \frac{x^3}{3} + \dots$
$x^3$ का गुणांक $1/3$ है।

(B) दी गई श्रेणी $S = \frac{2}{1!} + \frac{4}{3!} + \frac{6}{5!} + \frac{8}{7!} + \dots \infty$ है।
हम $n$-वें पद को $\frac{2n}{(2n-1)!}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(2n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1) + 1}{(2n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n-1}{(2n-1)!} + \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!}$.
पदों का विस्तार करने पर:
$S = \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots \right) + \left( \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots \right)$.
याद रखें कि $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ और $e^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$ है।
अतः,$\frac{e + e^{-1}}{2} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots$ और $\frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{1}{1!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots$ है।
$S = \frac{e + e^{-1}}{2} + \frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{2e}{2} = e$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{2n - 1}{(n - 1)!}$ है,जहाँ $n \geq 1$ है।
हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_n = \frac{2(n - 1) + 1}{(n - 1)!} = \frac{2(n - 1)}{(n - 1)!} + \frac{1}{(n - 1)!} = \frac{2}{(n - 2)!} + \frac{1}{(n - 1)!}$.
श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!}$ है।
यहाँ $n=1$ के लिए,$\frac{2}{(n-2)!}$ को $0$ माना जाता है।
अतः,योग $2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n - 1)!} = 2e + e = 3e$ होगा।

(B) घातांकीय फलन $e^y$ का विस्तार $e^y = 1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \dots \infty$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{-x} = 1 + (-x) + \frac{(-x)^2}{2!} + \frac{(-x)^3}{3!} + \dots \infty$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots \infty$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}}{n!}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} \cdot \frac{1}{n!} = \frac{x^n - 1}{(x - 1)n!} = \frac{1}{x - 1} \left( \frac{x^n}{n!} - \frac{1}{n!} \right)$.
$n = 1$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$.
चूंकि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,
$\sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{x - 1} ((e^x - 1) - (e - 1)) = \frac{e^x - e}{x - 1}$.

(C) यह व्यंजक $(a + bx)e^{-x}$ द्वारा दिया गया है।
$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(a + bx) \left( 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \dots + \frac{(-1)^r x^r}{r!} + \dots \right)$.
$x^r$ का गुणांक $a$ को $e^{-x}$ में $x^r$ के गुणांक से और $bx$ को $e^{-x}$ में $x^{r-1}$ के गुणांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
$x^r$ का गुणांक $= a \cdot \frac{(-1)^r}{r!} + b \cdot \frac{(-1)^{r-1}}{(r-1)!}$.
$= \frac{(-1)^r a}{r!} + \frac{(-1)^{r-1} br}{r!}$.
$= \frac{(-1)^r}{r!} (a - br)$.

(D) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + \frac{4^2}{3!} + \frac{4^4}{5!} + \dots \infty$ है।
$4$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{4^3}{3!} + \frac{4^5}{5!} + \dots \infty \right)$.
हम जानते हैं कि $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \infty$ का विस्तार है।
$x = 4$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{1}{4} \left( \sinh(4) \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{e^4 - e^{-4}}{2} \right) = \frac{e^4 - e^{-4}}{8}$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n^2}{(n-1)!}$ है।
अंश को $n^2 = (n-1)(n-2) + 3(n-1) + 1$ के रूप में लिखने पर,
$T_n = \frac{1}{(n-3)!} + \frac{3}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $S = \sum T_n = e + 3e + e = 5e$ होगा।

(B) दी गई व्यंजक $(1 - 2x + 3x^2)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^5}{5!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,
$(1 - 2x + 3x^2) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^5}{120} + \dots \right)$ प्राप्त होता है।
$x^5$ का गुणांक इस प्रकार है:
$= 1 \times \left( -\frac{1}{120} \right) + (-2) \times \left( \frac{1}{24} \right) + 3 \times \left( -\frac{1}{6} \right)$,
$= -\frac{1}{120} - \frac{2}{24} - \frac{3}{6}$,
$= -\frac{1}{120} - \frac{10}{120} - \frac{60}{120} = -\frac{71}{120}$.

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n-1)!}$ है।
सामान्य पद $T_n$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T_n = \frac{n}{(2n-1)!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{(2n-1)!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(2n-2)!} + \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
श्रेणी का योग करने पर:
$S = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} \right)$.
घातांकीय श्रेणी के विस्तार के अनुसार:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-2)!} = \frac{e + e^{-1}}{2}$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!} = \frac{e - e^{-1}}{2}$.
अतः,$S = \frac{1}{2} \left( \frac{e + e^{-1}}{2} + \frac{e - e^{-1}}{2} \right) = \frac{e}{2}$.

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1 + 2 + \dots + n}{(n + 1)!}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{n(n + 1)}{2(n + 1)!} = \frac{n}{2(n + 1)!}$.
सरल बनाने के लिए,हम लिखते हैं $T_n = \frac{(n + 1) - 1}{2(n + 1)!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} \right)$.
$n = 1$ से $\infty$ तक योग करने पर,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!} \right) = \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + \dots \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n(n+1)!}$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n+1)!} = \frac{2n+1}{6(n!)} = \frac{1}{6} \left( \frac{2}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \right)$।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{6} \left( 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$।
चूंकि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,
$S = \frac{1}{6} [2(e) + (e - 1)] = \frac{3e - 1}{6}$।