Properties of binomial coefficients Questions in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।
इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पहले भाग के लिए,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ होता है,जहाँ $n \ge 2$ है।
दूसरे भाग के लिए,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$।
$n > 2$ के लिए,$(1-1)^{n-2} = 0$,इसलिए योग $0$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (a + rb)C_r$ है।
इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
$S = a \sum_{r=0}^{n} C_r + b \sum_{r=0}^{n} r C_r$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = a(2^n) + b(n 2^{n-1})$.
$2^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S = 2a(2^{n-1}) + bn(2^{n-1})$.
$S = (2a + nb) 2^{n-1}$.

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$ होता है।
$n = 2017$ के लिए,योग $\sum_{r=0}^{2017} {^{2017}C_r} = 2^{2017}$ है।
चूँकि $^{2017}C_r = ^{2017}C_{2017-r}$,इसलिए $\sum_{r=0}^{1008} {^{2017}C_r} = \frac{1}{2} \times 2^{2017} = 2^{2016}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $2^{2016} = \lambda^2$,अतः $\lambda = \sqrt{2^{2016}} = 2^{1008}$ है।
$\lambda = 2^{1008}$ को $33$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए,मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करते हैं:
$2^5 = 32 \equiv -1 \pmod{33}$।
अतः $\lambda = 2^{1008} = (2^5)^{201} \times 2^3$।
$\lambda \equiv (-1)^{201} \times 8 \pmod{33}$।
$\lambda \equiv -1 \times 8 \pmod{33} = -8 \pmod{33}$।
$-8 + 33 = 25$।
अतः,शेषफल $25$ है।

(B) दिया गया विस्तार: $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ है।
माना $f(x) = (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r$ है।
गुणांकों $a_0 + a_3 + a_6 + \dots$ का योग ज्ञात करने के लिए,हम इकाई के घनमूल के गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
$x = 1, \omega, \omega^2$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2n}$
$f(\omega) = (1 + \omega + \omega^2)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3 + a_4\omega + a_5\omega^2 + \dots$
$f(\omega^2) = (1 + \omega^2 + \omega^4)^n = (1 + \omega^2 + \omega)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega + a_3 + a_4\omega^2 + a_5\omega + \dots$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) = 3^n + 0 + 0 = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)$
अतः,$a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1}$।

(A) दिया गया है $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ --- $(1)$
सम अनुक्रमणिका वाले गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(1)$ में $x = 1$ और $x = -1$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$x = 1$ के लिए: $1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{2n}$ --- $(2)$
$x = -1$ के लिए: $3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{2n}$ --- $(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n})$
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{i=0}^4 {^{4+i}C_i} + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}C_j}$ है।
पहले योग का विस्तार: ${^4C_0} + {^5C_1} + {^6C_2} + {^7C_3} + {^8C_4}$।
सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ का उपयोग करते हुए,${^4C_0} = {^5C_0} = 1$ है।
अतः,${^5C_0} + {^5C_1} = {^6C_1}$,फिर ${^6C_1} + {^6C_2} = {^7C_2}$,फिर ${^7C_2} + {^7C_3} = {^8C_3}$,फिर ${^8C_3} + {^8C_4} = {^9C_4}$।
अब,अभिव्यक्ति ${^9C_4} + {^9C_6} + {^{10}C_7} + {^{11}C_8} + {^{12}C_9}$ हो जाती है।
${^9C_4} = {^9C_5}$ का उपयोग करते हुए,हमें ${^9C_5} + {^9C_6} = {^{10}C_6}$ प्राप्त होता है।
फिर ${^{10}C_6} + {^{10}C_7} = {^{11}C_7}$।
फिर ${^{11}C_7} + {^{11}C_8} = {^{12}C_8}$।
फिर ${^{12}C_8} + {^{12}C_9} = {^{13}C_9}$।
इस प्रकार,${^xC_y} = {^{13}C_9} = {^{13}C_4}$।
यहाँ $x = 13$ (जो अभाज्य है),इसलिए $y = 9$ या $y = 4$ है।
यदि $y = 9$,$x-y = 4$ और $x+y = 22$ है। यदि $y = 4$,$x-y = 9$ और $x+y = 17$ है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $4$ और $22$ सह-अभाज्य नहीं हैं।

(B) माना $S = 1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ है।
गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी को उल्टे क्रम में लिखने पर:
$S = 101 \cdot C_{100}^2 - 100 \cdot C_{99}^2 + 99 \cdot C_{98}^2 - \dots + 1 \cdot C_0^2$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2S = 102(C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - C_3^2 + \dots + C_{100}^2)$ प्राप्त होता है।
योग $C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - \dots + C_{100}^2$,$(1-x^2)^{100}$ के विस्तार में $x^{100}$ का गुणांक है,जो $(-1)^{50} \cdot ^{100}C_{50} = ^{100}C_{50}$ है।
अतः,$2S = 102 \cdot ^{100}C_{50}$,जिसका सरल रूप $S = 51 \cdot ^{100}C_{50}$ है।

(B) माना कि $S$,$(1+x)^{15}$ के विस्तार में अंतिम आठ गुणांकों का योग है।
$S = \binom{15}{8} + \binom{15}{9} + \binom{15}{10} + \binom{15}{11} + \binom{15}{12} + \binom{15}{13} + \binom{15}{14} + \binom{15}{15}$ .......$(i)$
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\binom{15}{8} = \binom{15}{7}$,$\binom{15}{9} = \binom{15}{6}$,...,$\binom{15}{15} = \binom{15}{0}$.
अतः,$S = \binom{15}{7} + \binom{15}{6} + \binom{15}{5} + \binom{15}{4} + \binom{15}{3} + \binom{15}{2} + \binom{15}{1} + \binom{15}{0}$ .......$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2S = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} = 2^{15}$
$S = \frac{2^{15}}{2} = 2^{14}$

(C) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1}$ है।
सर्वसमिका $n \cdot {}^{n-1}C_{r-1} = r \cdot {}^{n}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$।
अतः,योग $\sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1} = \sum_{r=0}^{10} 21 \cdot {}^{20}C_{2r} = 21 \cdot ( {}^{20}C_0 + {}^{20}C_2 + \dots + {}^{20}C_{20} ) = 21 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 7 \cdot 2^{19}$ है।
$k$ के अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $7$ हैं।
इसलिए,अभाज्य गुणनखंडों की संख्या $3$ है।

(B) $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} C_r x^r$ के लिए,सम गुणांकों का योग $P = C_0 + C_2 + C_4 + C_6 + C_8 + C_{10} = 2^{10-1} = 2^9$ है।
$(1 + x)^7 = \sum_{r=0}^7 d_r x^r$ के लिए,विषम गुणांकों का योग $Q = d_1 + d_3 + d_5 + d_7 = 2^{7-1} = 2^6$ है।
अतः,$\frac{P}{2Q} = \frac{2^9}{2 \times 2^6} = \frac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} = 2^2 = 4$.

(A) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों के गुणनफल का योग $\sum_{r=0}^{m-k} C_r C_{r+k} = {}^{2m}C_{m-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k=2$ के लिए,$\sum_{r=0}^{m-2} C_r C_{r+2} = C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m = {}^{2m}C_{m-2}$ होता है।
दिया गया है $A = C_1C_3 + C_2C_4 + . . . + C_{m-2}C_m$,जिसे हम लिख सकते हैं:
$A = (C_0C_2 + C_1C_3 + . . . + C_{m-2}C_m) - C_0C_2$।
चूंकि $C_0 = 1$ और $C_2 = {}^mC_2$,इसलिए $A = {}^{2m}C_{m-2} - {}^mC_2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
चूंकि ${}^mC_2 > 0$,इसलिए $A < {}^{2m}C_{m-2}$ होता है,अतः विकल्प $B$ सत्य है।
साथ ही,$\sum_{r=0}^m C_r^2 = {}^{2m}C_m$ होता है। चूंकि $A < {}^{2m}C_{m-2} < {}^{2m}C_m$,इसलिए विकल्प $D$ सत्य है।
अतः,असत्य कथन $A \ge {}^{2m}C_{m-2}$ है।

(C) सामान्य पद $T_r = r \cdot \frac{^nC_r}{^nC_{r-1}}$ है।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n - r + 1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$T_r = r \cdot \left( \frac{n - r + 1}{r} \right) = n + 1 - r$.
अब,योग $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n (n + 1 - r)$.
योग का विस्तार करने पर:
$S_n = (n + 1 - 1) + (n + 1 - 2) + \dots + (n + 1 - n) = n + (n - 1) + \dots + 1$.
यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $K \cdot {^{12}C_K} = 12 \cdot {^{11}C_{K - 1}}$.
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{K = 1}^{12} {12(12 \cdot {^{11}C_{K - 1}}) \cdot {^{11}C_{K - 1}}} = 144 \sum\limits_{K = 1}^{12} {({^{11}C_{K - 1}})^2}$.
सर्वसमिका $\sum\limits_{r=0}^{n} ({^nC_r})^2 = {^{2n}C_n}$ का उपयोग करने पर:
$144 \cdot {^{22}C_{11}} = 144 \cdot \frac{22!}{11!11!}$.
इसे सरल करने पर $p = 6$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $(1 - x)^n = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + (-1)^n C_n x^n$.
दोनों तरफ $x$ से गुणा करने पर,$x(1 - x)^n = C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots + (-1)^n C_n x^{n+1}$.
दोनों तरफ $0$ से $1$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$\int_0^1 x(1 - x)^n dx = \int_0^1 (C_0x - C_1x^2 + C_2x^3 - C_3x^4 + \dots) dx$.
$R$.$H$.$S$. पर,हमें $\left[ \frac{C_0x^2}{2} - \frac{C_1x^3}{3} + \frac{C_2x^4}{4} - \dots \right]_0^1 = \frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \dots$ प्राप्त होता है।
$L$.$H$.$S$. के लिए,$1 - x = t$ लें,तो $dx = -dt$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=0$.
$\int_1^0 (1 - t)t^n (-dt) = \int_0^1 (t^n - t^{n+1}) dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
अतः,योग $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ है।

(D) माना $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.
हम इस योग को $\sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$ के रूप में लिख सकते हैं।
आंतरिक योग $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$ है।
अतः,$S = \sum_{j=1}^n \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n j(j-1) \binom{n}{j}$.
सर्वसमिका $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^n n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^n \binom{n-2}{j-2}$.
माना $k = j-2$,तो $S = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k}$.
चूंकि $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$,इसलिए $S = \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

(D) हम द्विपद गुणांकों का गुणधर्म जानते हैं: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
हर में इसे लागू करने पर: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
अतः,योग के अंदर का पद $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ है।
सूत्र ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ का उपयोग करते हुए,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ प्राप्त होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
योग $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} \right)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ हो जाता है।
घनों के योग का सूत्र $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ का उपयोग करते हुए,$n=20$ के लिए:
$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$.
मान रखने पर: $S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
दिया गया है $S = \frac{k}{21}$,अतः $k = 100$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{20} (3r + 2) \cdot {}^{20}C_r$ है।
$S = 3 \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_r + 2 \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r$.
सर्वसमिका $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 3 \sum_{r=1}^{20} 20 \cdot {}^{19}C_{r-1} + 2 \cdot 2^{20}$.
$S = 3 \cdot 20 \cdot \sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} + 2^{21}$.
चूंकि $\sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} = 2^{19}$,इसलिए:
$S = 60 \cdot 2^{19} + 2 \cdot 2^{20} = 30 \cdot 2^{20} + 2 \cdot 2^{20} = 32 \cdot 2^{20} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{25}$.

(A) हम जानते हैं कि $(1+x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {^{20}C_r} x^r = {^{20}C_0} + {^{20}C_1} x + {^{20}C_2} x^2 + \dots + {^{20}C_{20}} x^{20} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$20(1+x)^{19} = ^{20}C_1 + 2 \cdot ^{20}C_2 x + 3 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $x$ से गुणा करने पर:
$20x(1+x)^{19} = ^{20}C_1 x + 2 \cdot ^{20}C_2 x^2 + 3 \cdot ^{20}C_3 x^3 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{20} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$20[(1+x)^{19} + 19x(1+x)^{18}] = ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 x + 3^2 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (iv)$
समीकरण $(iv)$ में $x=1$ रखने पर:
$20[2^{19} + 19(2^{18})] = 1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20}$
$= 20 \cdot 2^{18} [2 + 19] = 20 \cdot 21 \cdot 2^{18} = 420 \cdot 2^{18}$
$A(2^\beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 420$ और $\beta = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(420, 18)$ है।

(C) माना $S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1) \cdot ^{25}C_{r}$.
गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$S = 1 \cdot ^{25}C_{0} + 5 \cdot ^{25}C_{1} + 9 \cdot ^{25}C_{2} + \ldots + 101 \cdot ^{25}C_{25}$.
क्रम उलटने पर:
$S = 101 \cdot ^{25}C_{25} + 97 \cdot ^{25}C_{24} + \ldots + 1 \cdot ^{25}C_{0}$.
दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2S = \sum_{r=0}^{25} (4r + 1 + 101 - 4r) \cdot ^{25}C_{r} = \sum_{r=0}^{25} (102) \cdot ^{25}C_{r}$.
$2S = 102 \sum_{r=0}^{25} {^{25}C_{r}} = 102 \cdot 2^{25}$.
$S = 51 \cdot 2^{25}$.
$2^{25} \cdot k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 51$ प्राप्त होता है।

(N/A) $(1+a)^{N}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{N}C_{r} a^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+a)^{m+n}$ के विस्तार के लिए,$a^{m}$ का गुणांक $r=m$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
$a^{m}$ का गुणांक $= {}^{m+n}C_{m} = \frac{(m+n)!}{m!(m+n-m)!} = \frac{(m+n)!}{m!n!}$ ........... $(1)$
इसी प्रकार,$a^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
$a^{n}$ का गुणांक $= {}^{m+n}C_{n} = \frac{(m+n)!}{n!(m+n-n)!} = \frac{(m+n)!}{n!m!}$ ........... $(2)$
चूंकि $m!n! = n!m!$,इसलिए ${}^{m+n}C_{m} = {}^{m+n}C_{n}$ होता है।
अतः,$a^{m}$ और $a^{n}$ के गुणांक समान हैं।

(N/A) $(1+a)^{n}$ के विस्तार में $(r+1)$-वाँ पद $\binom{n}{r}a^{r}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$a^{r-1}$,$a^{r}$ और $a^{r+1}$ के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{r-1}$,$\binom{n}{r}$ और $\binom{n}{r+1}$ हैं।
चूंकि ये गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r+1} = 2\binom{n}{r}$ होगा।
द्विपद गुणांकों का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = 2 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने और $(r+1)!(n-r+1)!$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r^{2}+r + n^{2}-2nr+r^{2}+n = 2(nr-r^{2}+r+n-r+1)$
$n^{2} - 4nr - n + 4r^{2} - 2 = 0$
$n^{2} - n(4r+1) + 4r^{2} - 2 = 0$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।
द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ होता है।
अतः,योग $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।
यहाँ,$m=6, n=6$,और $r=6$ है।
इसलिए,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$।
मान की गणना करने पर: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$।

(A) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$
योग का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$
$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$
$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$
$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} \sum_{k=1, k \text{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.
सबसे पहले,योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ का मूल्यांकन करें।
सर्वसमिका $r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.
$j = r-1$ रखने पर,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.
चूंकि $n \ge 1$ के लिए $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,इसलिए $A = -15(0) = 0$.
अगला,$B = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{11}$ का मूल्यांकन करें।
हम जानते हैं कि $\sum_{k \text{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
$n=14$ के लिए,$\sum_{k \text{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.
अतः,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.
इसलिए,कुल योग $A B = 0 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ है।

(A) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ है।
गुणधर्म $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.
माना $r = 30-k$ है। जैसे-जैसे $k$,$0$ से $29$ तक जाता है,$r$,$30$ से $1$ तक जाता है।
$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.
सर्वसमिका $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.
$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.
दिया गया है कि $S = n \cdot 2^m$ जहाँ $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$ है,अतः $n = 15$ और $m = 30$ है।
इसलिए,$n + m = 15 + 30 = 45$।

(B) हम सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करते हैं।
ध्यान दें कि ${}^{2}C_{2} = {}^{3}C_{3} = 1$ है।
श्रेणी $S = {}^{n+1}C_{2} + 2 \sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2}$ है।
हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2} = {}^{n+1}C_{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = {}^{n+1}C_{2} + 2({}^{n+1}C_{3})$ है।
$S = \frac{(n+1)n}{2} + 2 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ है।
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum_{r=0}^{n} r(r-1) \cdot {}^{n}C_{r} = n(n-1) \cdot 2^{n-2}$.
हम $r^{2} = r(r-1) + r$ लिख सकते हैं।
अतः,$\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r} = \sum_{r=0}^{20} [r(r-1) + r] \cdot {}^{20}C_{r}$.
$= \sum_{r=0}^{20} r(r-1) \cdot {}^{20}C_{r} + \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_{r}$.
$n=20$ के साथ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$= 20 \times 19 \times 2^{20-2} + 20 \times 2^{20-1}$.
$= 380 \times 2^{18} + 20 \times 2^{19}$.
$= 380 \times 2^{18} + 40 \times 2^{18}$.
$= (380 + 40) \times 2^{18} = 420 \times 2^{18}$.

(D) सर्वसमिका $\sum_{i=0}^{r} \binom{n}{i} \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$ का उपयोग करके,हम $A_{k}$ को सरल करते हैं।
$A_{k} = \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i} \binom{12}{k-i} + \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} \binom{13}{k-i}$.
वेंडरमोंड सर्वसमिका लागू करने पर:
$A_{k} = \binom{9+12}{k} + \binom{8+13}{k} = \binom{21}{k} + \binom{21}{k} = 2 \binom{21}{k}$.
अब,$A_{4} - A_{3} = 2 \left( \binom{21}{4} - \binom{21}{3} \right)$ की गणना करें।
$\binom{21}{4} = 5985$.
$\binom{21}{3} = 1330$.
$A_{4} - A_{3} = 2(5985 - 1330) = 2(4655) = 9310$.
दिया गया है कि $190p = 9310$,इसलिए $p = \frac{9310}{190} = 49$।

(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_{k} = {}^{n}C_{n-k}$.
अतः,दिए गए योग को $\sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{k} = \sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{20-k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
Vandermonde सर्वसमिका के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
यहाँ,$m = 20$,$n = 20$,और $r = 20$ है।
अतः,योग ${}^{20+20}C_{20} = {}^{40}C_{20}$ के बराबर है।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।
योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्वारा दिया गया है।
$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$।
सर्वसमिकाओं $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$।
दिया गया है $S = 2^{100} \cdot 101$,इसलिए $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,जिसका अर्थ है $n = 100$।
अब,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$।

(A) हम सर्वसमिका $\sum_{k=0}^{r} \binom{n+k}{k} = \binom{n+r+1}{r}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $n=40$ और $r=20$ है।
अतः,योग $S = \binom{40+20+1}{20} = \binom{61}{20}$ है।
दिया गया है कि $S = \frac{m}{n} \binom{60}{20}$ है।
चूँकि $\binom{61}{20} = \frac{61}{41} \binom{60}{20}$,इसलिए $m = 61$ और $n = 41$ है।
अतः,$m+n = 61 + 41 = 102$।

(D) हम जानते हैं कि $\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{k-1} = \binom{2n}{n-1}$.
$n=31$ के लिए पहला पद $\binom{62}{30}$ है।
$n=30$ के लिए दूसरा पद $\binom{60}{29}$ है।
अतः,$\binom{62}{30} - \binom{60}{29} = \frac{62!}{30!32!} - \frac{60!}{29!31!}$.
$\frac{60!}{29!31!}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{60!}{29!31!} \left( \frac{62 \times 61}{30 \times 32} - 1 \right) = \frac{60!}{30!31!} \left( \frac{1891}{16} \right)$.
$\alpha = \frac{1891}{16}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$16\alpha = 1891$.

(B) हमें योग $S = \sum_{k=1}^{10} k^{2} \binom{10}{k}^{2}$ दिया गया है।
सर्वसमिका $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $k \binom{10}{k} = 10 \binom{9}{k-1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{10} (10 \binom{9}{k-1})^{2} = 100 \sum_{k=1}^{10} \binom{9}{k-1}^{2}$.
माना $j = k-1$,तब जैसे $k$,$1$ से $10$ तक जाता है,$j$,$0$ से $9$ तक जाता है:
$S = 100 \sum_{j=0}^{9} \binom{9}{j}^{2}$.
सर्वसमिका $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j}^{2} = \binom{2n}{n}$ का उपयोग करने पर:
$S = 100 \binom{18}{9} = 100 \times 48620 = 4862000$.
दिया है $S = 22000 L$,अतः $22000 L = 4862000$.
$L = \frac{4862000}{22000} = \frac{4862}{22} = 221$.

(C) दिया गया है $(1+2x)^{20} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$।
$x=1$ रखने पर,$3^{20} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} \dots (i)$।
$x=-1$ रखने पर,$1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{20} \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{20} = \frac{3^{20}+1}{2}$।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{19} = \frac{3^{20}-1}{2}$।
हमें $S = 3a_0 + 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + \dots + 2a_{19} + 3a_{20}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे $S = 3(a_0 + a_2 + \dots + a_{20}) + 2(a_1 + a_3 + \dots + a_{19})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,$S = 3 \left( \frac{3^{20}+1}{2} \right) + 2 \left( \frac{3^{20}-1}{2} \right)$।
$S = \frac{3 \cdot 3^{20} + 3 + 2 \cdot 3^{20} - 2}{2} = \frac{5 \cdot 3^{20} + 1}{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k^2 = n(n+1) 2^{n-2}$ होता है।
$n=10$ के लिए,योग $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = 10(11) 2^{10-2} = 110 \times 2^8$ है।
अब,दिए गए व्यंजक की गणना करते हैं:
$\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = \frac{110 \times 2^8}{2^{10}} = \frac{110}{4} = 27.5$.
अतः,$27.5$ अंतराल $(27, 28)$ में स्थित है।

(A) हम द्विपद गुणांकों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ के लिए,हम सर्वसमिका में $n = 2023$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$।
इस परिणाम की तुलना दी गई अभिव्यक्ति $2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$।
दोनों पक्षों को $2023 \cdot 2^{2022}$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2$.
गुणधर्म ${ }^{n} C _k = { }^{n} C _{n-k}$ का उपयोग करने पर,$S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _{30-k}\right)^2$.
$j = 30-k$ लेने पर,$S = \sum_{j=0}^{29} (30-j) \left({ }^{30} C _j\right)^2$.
अतः,$2S = 30 \sum_{k=0}^{30} \left({ }^{30} C _k\right)^2 = 30 \times { }^{60} C _{30}$.
$S = 15 \times { }^{60} C _{30} = 15 \times \frac{60!}{(30!)^2}$.
इसलिए,$\alpha = 15$.

(C) दिया गया योग $S = \sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$S = {}^{51}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{45}C_{3}$ प्राप्त होता है।
इसे आरोही क्रम में लिखने पर,$S = {}^{45}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3}$ प्राप्त होता है।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3} = {}^{46}C_{4}$ होता है।
अतः,$S = ({}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3}) + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3} - {}^{45}C_{4}$।
इस प्रक्रिया को दोहराने पर,अंततः ${}^{52}C_{4} - {}^{45}C_{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{26} \frac{1}{(2r-1)! (51-(2r-1))!}$ है।
$51!$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} \frac{51!}{(2r-1)! (52-2r)!} = \frac{1}{51!} \sum_{r=1}^{26} {}^{51}C_{2r-1}$.
यह योग $(1+x)^{51}$ के विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग दर्शाता है:
$S = \frac{1}{51!} ({}^{51}C_1 + {}^{51}C_3 + \dots + {}^{51}C_{51})$.
हम जानते हैं कि विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग $2^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=51$ है,इसलिए योग $2^{51-1} = 2^{50}$ होगा।
अतः,$S = \frac{2^{50}}{51!}$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{1023}{10}$ है।
सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} {}^{n}C_{r} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{r+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^{n} {}^{n+1}C_{r+1}$.
माना $k = r+1$,तो योग $\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k}$ हो जाता है।
चूंकि $\sum_{k=0}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{n+1} {}^{n+1}C_{k} = 2^{n+1} - {}^{n+1}C_{0} = 2^{n+1} - 1$ है।
अतः,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$।
हर की तुलना करने पर,$n+1 = 10$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
अंश की जाँच करने पर: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$। यह दिए गए मान से मेल खाता है।

(A) हम सर्वसमिका $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$।
अतः,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$।
$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$।
इस प्रकार,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$।
चूंकि $\gcd(2035, 6) = 1$ है,इसलिए $n = 2035$ और $m = 6$ है।
अतः,$n + m = 2035 + 6 = 2041$।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$ होता है।
अतः,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$।
इसी प्रकार,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$।
दिया गया है $5 \alpha = 6 \beta$,इसलिए $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$।
मान रखने पर,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$।
$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ को हल करने पर,$6n = 5n + 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 10$।

(A) $(1+x)^n$ में $x^4, x^5, x^6$ के गुणांक क्रमशः $^nC_4, ^nC_5, ^nC_6$ हैं।
चूंकि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ होगा।
$^nC_5$ से विभाजित करने पर,$2 = \frac{^nC_4}{^nC_5} + \frac{^nC_6}{^nC_5}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{^nC_4}{^nC_5} = \frac{5}{n-4}$ और $\frac{^nC_6}{^nC_5} = \frac{n-5}{6}$ मिलता है।
अतः,$2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}$।
$6(n-4)$ से गुणा करने पर,$12(n-4) = 30 + (n-5)(n-4)$ प्राप्त होता है।
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$।
$n^2 - 21n + 98 = 0$।
$(n-14)(n-7) = 0$।
इस प्रकार,$n = 14$ या $n = 7$ है।
$n$ का अधिकतम मान $14$ है।

(D) दिया गया है $A_r = \binom{10}{r}$,$B_r = \binom{20}{r}$,$C_r = \binom{30}{r}$.
हमें $S = \sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r) = B_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r B_r - C_{10} \sum_{r=1}^{10} A_r^2$ का मूल्यांकन करना है।
गुणधर्म $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} \binom{m}{k-r} = \binom{n+m}{k}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{r=0}^{10} A_r B_r = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{20}{r} = \binom{30}{10} = C_{10}$.
चूंकि $A_0 = 1$ और $B_0 = 1$,इसलिए $\sum_{r=1}^{10} A_r B_r = C_{10} - 1$.
इसी प्रकार,$\sum_{r=0}^{10} A_r^2 = \sum_{r=0}^{10} \binom{10}{r} \binom{10}{10-r} = \binom{20}{10} = B_{10}$.
चूंकि $A_0 = 1$,इसलिए $\sum_{r=1}^{10} A_r^2 = B_{10} - 1$.
इन मानों को $S$ में रखने पर:
$S = B_{10}(C_{10} - 1) - C_{10}(B_{10} - 1) = C_{10} - B_{10}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।
गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}\right)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।
$X$ के दोनों रूपों को जोड़ने पर:
$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_r\right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_r\right)^2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ का उपयोग करते हुए,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ मिलता है।
अतः,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$ है।
चूंकि ${ }^{20} C_{10} = 184756$,इसलिए $X = 5 \times 184756 = 923780$ है।
अंत में,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$।

(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \frac{2^{12}-1}{12}$ प्राप्त होता है।
$-1$ से $0$ तक समाकलन करने पर,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों परिणामों को घटाने पर: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$।
इस योग में केवल विषम $k$ वाले पद ही बचेंगे,अर्थात $k = 2r+1$।
अतः,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$।
यहाँ $m = 2047$ और $n = 12$ है। इसलिए $m - n = 2047 - 12 = 2035$।

(D) हमारे पास व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ है।
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,पद $r(31-r) {}^{30}C_r$ बन जाता है।
चूंकि $r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$,योग $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ है।
$k = r-1$ लेने पर,$r = k+1$. जब $r$,$1$ से $30$ तक जाता है,तो $k$,$0$ से $29$ तक जाता है।
$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.
$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.
अतः,$\alpha = 465$.

(A) दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \binom{15}{r}$ है।
सर्वसमिका $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर,$S = \sum_{r=1}^{15} r \cdot 15 \binom{14}{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (r-1+1) \binom{14}{r-1}$.
$S = 15 \left[ \sum_{r=1}^{15} (r-1) \binom{14}{r-1} + \sum_{r=1}^{15} \binom{14}{r-1} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \sum_{r=2}^{15} \binom{13}{r-2} + 2^{14} \right]$.
$S = 15 \left[ 14 \cdot 2^{13} + 2^{14} \right] = 15 \cdot 2^{13} (14 + 2) = 15 \cdot 2^{13} \cdot 16$.
$S = (3 \cdot 5) \cdot 2^{13} \cdot 2^4 = 2^{17} \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
$2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$ से तुलना करने पर,$m=17, n=1, k=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+n+k = 17+1+1 = 19$.

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1}$.
दिए गए योग में इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1}{ }^{n} C_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1}{ }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} { }^{n+1} C_{k+1}$.
माना $j = k+1$,तो योग $\frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j$ हो जाता है।
चूंकि $\sum_{j=0}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1}$,इसलिए $\sum_{j=1}^{n+1} { }^{n+1} C_j = 2^{n+1} - { }^{n+1} C_0 = 2^{n+1} - 1$.
अतः,$\frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
हर की तुलना करने पर,$n+1 = 10 \implies n = 9$.
अंश की जाँच करने पर: $2^{9+1} - 1 = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.
इसलिए,$n = 9$.