Properties of binomial coefficients Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ है।
मान रखने पर: $S = \sum_{r=1}^{n} r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{n} (n-r+1)$.
योग करने पर: $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$.
यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2}$ के बराबर है।

(C) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0} + { }^{n} C_{1} x + { }^{n} C_{2} x^{2} + \ldots + { }^{n} C_{n} x^{n}$ है।
$x=1$ और $n=10$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2^{10} = { }^{10} C_{0} + { }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} + { }^{10} C_{10}$.
चूंकि ${ }^{10} C_{0} = 1$ और ${ }^{10} C_{10} = 1$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$2^{10} = 1 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9}) + 1$.
$2^{10} = 2 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9})$.
अतः,${ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} = 2^{10} - 2$.

(C) $Q(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है।
दिया है $Q(1)=1$ और $\frac{Q(2x)}{Q(x+1)}+\frac{56}{x+7}-8=0 \dots (i)$.
समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{Q(0)}{Q(1)}+\frac{56}{7}-8=0$.
चूंकि $Q(1)=1$,हमारे पास $Q(0)+8-8=0$ है,अतः $Q(0)=0$.
समीकरण $(i)$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{Q(2x)}{Q(x+1)} = 8 - \frac{56}{x+7} = \frac{8x+56-56}{x+7} = \frac{8x}{x+7} \dots (ii)$.
चूंकि $Q(0)=0$,$x$ बहुपद $Q(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $Q(x) = x P(x)$.
$(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2x P(2x)}{(x+1) P(x+1)} = \frac{8x}{x+7} \implies \frac{P(2x)}{P(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7}$.
$x=-1$ के लिए,$P(-2)=0$,अतः $(x+2)$ बहुपद $P(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $P(x) = (x+2) R(x)$.
तब $\frac{(2x+2) R(2x)}{(x+3) R(x+1)} = \frac{4(x+1)}{x+7} \implies \frac{R(2x)}{R(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7}$.
$x=-3$ के लिए,$R(-6)=0$,अतः $(x+6)$ बहुपद $R(x)$ का एक गुणनखंड है। मान लीजिए $R(x) = (x+6) S(x)$.
तब $\frac{(2x+6) S(2x)}{(x+7) S(x+1)} = \frac{2(x+3)}{x+7} \implies \frac{S(2x)}{S(x+1)} = 1$.
अतः $S(x)$ एक अचर है।
इसलिए $Q(x) = c \cdot x(x+2)(x+6)$.
चूंकि $Q(1)=1$,$c(1)(3)(7)=1 \implies c = \frac{1}{21}$.
घात $n=3$.
${}^nC_0+{}^nC_1+\ldots+{}^nC_n$ का मान $2^n = 2^3 = 8$ है।

(A) माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n p_k x^k$ के विस्तार में $x = 1, \omega, \omega^2$ रखने पर:
$S_0 = (1+1)^n = 2^n = p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots$
$S_1 = (1+\omega)^n = p_0 + p_1 \omega + p_2 \omega^2 + p_3 + \ldots$
$S_2 = (1+\omega^2)^n = p_0 + p_1 \omega^2 + p_2 \omega + p_3 + \ldots$
$p_0 + p_3 + p_6 + \ldots = \frac{1}{3} [S_0 + S_1 + S_2] = \frac{1}{3} [2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n]$.
चूँकि $(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2 \cos \frac{n \pi}{3}$,इसलिए उत्तर $\frac{1}{3} [2^n + 2 \cos \frac{n \pi}{3}]$ है।

(A) मान लीजिए $S$ सभी $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों का समुच्चय है। ऐसे अनुक्रमों की कुल संख्या $2^n$ है।
मान लीजिए $E$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या सम है और $O$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या विषम है।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + . . . + \binom{n}{n} = 2^n$ होता है।
$0$ की सम संख्या वाले अनुक्रमों की संख्या सम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों के योग द्वारा दी जाती है: $E = \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . .$.
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . . = 2^{n-1}$।
अतः,$0$ की सम संख्या वाले $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों की संख्या $2^{n-1}$ है।

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r x^{r-1}$।
$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r$।
अतः,$\sum_{r=1}^n r \cdot C_r = n 2^{n-1}$।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + \ldots + C_n x^n$
$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2^n = C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n$ $(i)$
$x=-1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + (-1)^n C_n$ (ii)
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^n = 1$,इसलिए समीकरण (ii) इस प्रकार हो जाता है:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + C_n$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर:
$2^n + 0 = 2(C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n)$
$\Rightarrow C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n = 2^{n-1}$
$(i)$ में से (iii) को घटाने पर:
$2^n - 0 = 2(C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1})$
$\Rightarrow C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1} = 2^{n-1}$
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^{2n} = (1+x)^n (1+x)^n$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(1+x)^{2n} = (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) (C_0 x^n + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + \ldots + C_n)$।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n-r}$ का गुणांक $^{2n}C_{n-r}$ है,जो $^{2n}C_{n+r}$ के बराबर है।
श्रेणी का गुणा करने पर,$x^{n-r}$ का गुणांक $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = {}^{2n}C_{n+r}$।

(B) $(1+x)^{11}$ के विस्तार में द्विपद गुणांक $^{11}C_r$ हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 11$.
ये हैं: $^{11}C_0, ^{11}C_1, ^{11}C_2, ^{11}C_3, ^{11}C_4, ^{11}C_5, ^{11}C_6, ^{11}C_7, ^{11}C_8, ^{11}C_9, ^{11}C_{10}, ^{11}C_{11}$.
गुणधर्म $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर:
$^{11}C_0 = ^{11}C_{11}, ^{11}C_1 = ^{11}C_{10}, ^{11}C_2 = ^{11}C_9, ^{11}C_3 = ^{11}C_8, ^{11}C_4 = ^{11}C_7, ^{11}C_5 = ^{11}C_6$.
अतः,द्विपद गुणांकों के लिए $6$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।
$3 \times 3$ आव्यूह में कुल $9$ प्रविष्टियाँ $(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3)$ हैं और प्रत्येक के लिए $6$ विकल्प हैं।
इसलिए,समुच्चय $A$ में अवयवों की कुल संख्या $6^9$ है।

(D) दिया गया है $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$.
विस्तार में $x = i$ रखने पर:
$(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots) + i(a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + \ldots)$.
$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(1+i)^n = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})]^n = 2^{\frac{n}{2}}(\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}$.
इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n \pi}{4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2^{\frac{n}{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया है कि $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^9, x^{10}$ और $x^{11}$ के गुणांक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
इसका अर्थ है कि ${}^nC_9, {}^nC_{10}$ और ${}^nC_{11}$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2({}^nC_{10}) = {}^nC_9 + {}^nC_{11}$।
${}^nC_{10}$ से विभाजित करने पर,$2 = \frac{{}^nC_9}{{}^nC_{10}} + \frac{{}^nC_{11}}{{}^nC_{10}}$।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{10}{n-9} + \frac{n-10}{11}$।
$2 = \frac{110 + (n-10)(n-9)}{11(n-9)}$।
$22(n-9) = 110 + n^2 - 19n + 90$।
$22n - 198 = n^2 - 19n + 200$।
$n^2 - 41n = -198 - 200 = -398$।

(D) माना $f(x) = (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $f(1) = (1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $f(-1) = (1 - 1 + 1)^n = 1^n = 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$f(1) + f(-1) = 3^n + 1 = (a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}) + (a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{2n})$ है।
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$ है।
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$ है।

(D) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में द्विपद गुणांक $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ हैं।
अतः,$P_{n} = \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ है।
अनुपात $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ की गणना करने पर,हमें $\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सर्वसमिका ${ }^{n}C_{r} + { }^{n}C_{r-1} = { }^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
${ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $
$({ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9}) + 2({ }^{34}C_{9} + { }^{34}C_{8}) + ({ }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7}) = $
${ }^{35}C_{10} + 2 \cdot { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{35}C_{10} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{36}C_{10} + { }^{36}C_{9} = { }^{37}C_{10}$

(A) माना $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$
विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ पर विचार करें।
इकाई के चतुर्थ मूल $\omega = i$ लें। मूल $1, i, -1, -i$ हैं।
इकाई के मूलों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$।
आंतरिक योग $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$ का मान $4$ होता है यदि $r$,$4$ का गुणज है,अन्यथा $0$ होता है।
अतः,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$।
चूंकि $(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ और $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$,हमारे पास है:
$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
इसलिए,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
$S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$।
इसे $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ है।
हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r}$।
अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = 3(2^n) + 4(n 2^{n-1})$ प्राप्त होता है।
$S = 3 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = (2n + 3) 2^n$।

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है।
योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ है।
विस्तार करने पर,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$।
$S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$।

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^j = (1+x)^n$.
$n=10$ के लिए,$\sum_{j=0}^{10} \binom{10}{j} x^j = (1+x)^{10}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} x^{j-1} = 10(1+x)^9$.
$x=1$ रखने पर,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = 10(2^9) = 5 \times 2^{10} = 20 \times 2^8$.
अतः,कारण $(R)$ में $S_2$ का मान गलत है।
$S_1$ के लिए,$\sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} x^{j-2} = 10 \times 9(1+x)^8$.
$x=1$ रखने पर,$S_1 = 90 \times 2^8$.
चूंकि $S_3 = \sum j^2 \binom{10}{j} = \sum (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = S_1 + S_2 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 90 \times 2^8 + 20 \times 2^8 = 110 \times 2^8 = 55 \times 2^9$.
कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि $S_2 = 20 \times 2^8$ है।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ है।
$n=15$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{{}^{15}C_r}{{}^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अब,दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^{15} r^2 \left( \frac{16-r}{r} \right)$ है।
$S = \sum_{r=1}^{15} r(16-r) = \sum_{r=1}^{15} (16r - r^2)$।
$S = 16 \sum_{r=1}^{15} r - \sum_{r=1}^{15} r^2$।
$n=15$ के लिए सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{r=1}^{15} r = 120$।
$\sum_{r=1}^{15} r^2 = 1240$।
$S = 16(120) - 1240 = 1920 - 1240 = 680$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r \times { }^n C_r = n \times 2^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 5$ है।
अतः,$\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r = 5 \sum_{r=0}^{5} r \times { }^5 C_r + 3 \sum_{r=0}^{5} { }^5 C_r$.
मान रखने पर:
$= 5 \times (5 \times 2^{5-1}) + 3 \times 2^5$
$= 5 \times (5 \times 2^4) + 3 \times (2 \times 2^4)$
$= 25 \times 2^4 + 6 \times 2^4$
$= (25 + 6) \times 2^4 = 31 \times 2^4$.
दिया गया है कि $k \times 2^4 = 31 \times 2^4$,इसलिए $k = 31$।

(A) माना $(1-x+x^2)^{2n} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{4n} x^{4n}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $1^{2n} = 1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{4n} \dots (i)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $(1 - (-1) + (-1)^2)^{2n} = 3^{2n} = a_0 - a_1 + a_2 - \dots + a_{4n} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$1 + 3^{2n} = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{4n})$ प्राप्त होता है।
$x$ की सम घातों के गुणांकों का योग $a_0 + a_2 + \dots + a_{4n} = 3281$ दिया गया है।
अतः,$1 + 3^{2n} = 2 \times 3281 = 6562$ है।
$3^{2n} = 6561$ है।
चूंकि $3^8 = 6561$ है,इसलिए $2n = 8$,जिसका अर्थ है कि $n = 4$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$।
$x=1$ रखने पर:
$\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$।
अतः,लुप्त पद $n(n+1)$ है।

(B) मान लीजिए योग $S = \sum_{k=0}^n a_k C_k$ है। चूँकि $a_k$ समांतर श्रेणी में है,$a_k = a_0 + kd$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
अतः,$S = \sum_{k=0}^n (a_0 + kd) C_k = a_0 \sum_{k=0}^n C_k + d \sum_{k=0}^n k C_k$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^n C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^n k C_k = n 2^{n-1}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = a_0 2^n + d n 2^{n-1} = 2^{n-1} (2a_0 + nd)$.
चूँकि $a_n = a_0 + nd$,हमारे पास $2a_0 + nd = a_0 + (a_0 + nd) = a_0 + a_n$ है।
इसलिए,$S = (a_0 + a_n) 2^{n-1}$.

(A) $(1+x)^{37}$ के द्विपद विस्तार में कुल $37+1 = 38$ पद हैं। \\ गुणांक $\binom{37}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 37$ है। \\ अंतिम $19$ पद $r = 19, 20, \dots, 37$ के अनुरूप हैं। \\ सभी गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$ होता है। \\ समरूपता (symmetry) के अनुसार,$\binom{37}{r} = \binom{37}{37-r}$ होता है। \\ मान लीजिए $S$ अंतिम $19$ पदों के गुणांकों का योग है: $S = \binom{37}{19} + \binom{37}{20} + \dots + \binom{37}{37}$। \\ पहले $19$ पदों का योग $\binom{37}{0} + \binom{37}{1} + \dots + \binom{37}{18}$ है। \\ चूँकि $\binom{37}{0} = \binom{37}{37}, \binom{37}{1} = \binom{37}{36}, \dots, \binom{37}{18} = \binom{37}{19}$ है,इसलिए पहले $19$ पदों का योग अंतिम $19$ पदों के योग के बराबर है। \\ अतः,$2S = \sum_{r=0}^{37} \binom{37}{r} = 2^{37}$। \\ इसलिए,$S = \frac{2^{37}}{2} = 2^{36}$।

(A) दिया गया विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ है।
हमें $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) C_r$ का मान ज्ञात करना है।
$S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$.
इसलिए,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) 2^{n-1}$.

(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है।
माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$।
तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$।
$1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ का उपयोग करते हुए,
$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$।
$n = 100$ के लिए,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k = 50$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक $C_r = C_{n-r}$ गुणधर्म का पालन करते हैं।
अतः,$C_6 = C_4, C_7 = C_3, C_8 = C_2, C_9 = C_1$ और $C_{10} = C_0$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $S = C_0 C_4 + C_1 C_3 + C_2 C_2 + C_3 C_1 + C_4 C_0$ है।
यह अभिव्यक्ति $(1+x)^{20}$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक है।
अतः,$S = ^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 2r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ है।
गुणधर्म $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$T_r = 2r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = 2(n-r+1)$.
योगफल $\sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n 2(n-r+1) = n(n+1)$ है।
दिया गया है कि $n(n+1) = 650$,इसलिए $n = 25$.
अतः,$^nC_2 = ^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$.

(C) दिया गया योग $S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (3k+5) C_k$ है,जहाँ $C_k = \binom{n}{k}$ है।
$n=10$ के लिए,$S_{11} = \sum_{k=0}^{10} (3k+5) C_k$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k C_k = n 2^{n-1}$ होता है।
अतः,$S_{11} = 3 \sum_{k=0}^{10} k C_k + 5 \sum_{k=0}^{10} C_k$.
$n=10$ रखने पर: $S_{11} = 3(10 \cdot 2^9) + 5(2^{10})$.
$S_{11} = 30 \cdot 512 + 5 \cdot 1024 = 15360 + 5120 = 20480$.

(C) दिया गया द्विपद विस्तार: $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} (1+x)^n dx = \int_{0}^{1} (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) dx$।
बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।
दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:
$\left[ C_0 x + \frac{C_1 x^2}{2} + \frac{C_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{C_n x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।

(B) किसी विस्तार में $x$ की सभी घातों के गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $x=1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$(3x-1)^{15}$ के लिए,गुणांकों का योग $(3(1)-1)^{15} = 2^{15}$ है।
अब,दिए गए विकल्पों के लिए गुणांकों का योग जाँचते हैं:
$(a)\ (1+x)^{15}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{15} = 2^{15}$ प्राप्त होता है। यह समान है।
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{16} + (1-1)^{16} = 2^{16} + 0 = 2^{16}$ प्राप्त होता है।
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$: $x=1$ रखने पर,$(1+1)^{16} - (1-1)^{16} = 2^{16} - 0 = 2^{16}$ प्राप्त होता है। अतः,$(a)$ और $(c)$ सही हैं।

(D) दिया गया विस्तार: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$।
चरण $1$: $x=1$ रखने पर:
$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
चरण $2$: $x=-1$ रखने पर:
$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$। अतः,$A \rightarrow III$।
चरण $4$: $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$। अतः,$B \rightarrow IV$।
चरण $5$: विस्तार का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$।
$x=1$ रखने पर:
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$। अतः,$C \rightarrow II$।
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II$ है।

(D) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।
योग $S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ द्वारा दिया जाता है।
$S_n = 3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r + 5 \sum_{r=0}^n (-1)^r r { }^n C_r$।
$n > 1$ के लिए,पहला भाग $3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r = 3(1 - 1)^n = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,$r { }^n C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $5n \sum_{r=1}^n (-1)^r { }^{n-1} C_{r-1} = 5n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k+1} { }^{n-1} C_k = -5n (1 - 1)^{n-1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_n = 0 + 0 = 0$।

(B) दिया गया योग $\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5 = {}^{40} C_5 + {}^{39} C_5 + {}^{38} C_5 + \dots + {}^{30} C_5$ है।
इसे $\sum_{k=30}^{40} {}^{k} C_5$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए,हम ${}^{k} C_5$ को ${}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,योग इस प्रकार होगा:
$\sum_{k=30}^{40} ({}^{k+1} C_6 - {}^{k} C_6) = ({}^{31} C_6 - {}^{30} C_6) + ({}^{32} C_6 - {}^{31} C_6) + \dots + ({}^{41} C_6 - {}^{40} C_6)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है,जो सरल होकर ${}^{41} C_6 - {}^{30} C_6$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ है।
हमें योग $S = \sum_{r=0}^n (r+1) C_r$ ज्ञात करना है।
$S = \sum_{r=0}^n r C_r + \sum_{r=0}^n C_r$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$.
अतः,$S = n 2^{n-1} + 2^n$.
$2^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $S = 2^{n-1} (n + 2)$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$।
दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{20} {}^{20+r}C_r = {}^{20}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$ है।
चूंकि ${}^{20}C_0 = 1 = {}^{21}C_0$,हम लिख सकते हैं $S = {}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 + {}^{22}C_2 + \dots + {}^{40}C_{20}$।
सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ का बार-बार उपयोग करने पर:
${}^{21}C_0 + {}^{21}C_1 = {}^{22}C_1$।
फिर ${}^{22}C_1 + {}^{22}C_2 = {}^{23}C_2$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,योग ${}^{40}C_{20} + {}^{40}C_{21} = {}^{41}C_{21}$ हो जाता है।
अब,${}^{41}C_{21} = \frac{41}{21} \times {}^{40}C_{20}$।
अतः,$\frac{p}{q} = \frac{41}{21}$,जिससे $p = 41$ और $q = 21$ प्राप्त होता है।
चूंकि $GCD(41, 21) = 1$,हम गणना करते हैं $p^2 - q^2 = 41^2 - 21^2 = (41 - 21)(41 + 21) = 20 \times 62 = 1240$।

(B) दिया गया है $n=10$,हमें $S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-4)$ का मूल्यांकन करना है।
पद का विस्तार करने पर: $r(r-4) = r(r-1) - 3r$.
अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} {}^n C_r r(r-1) - 3 \sum_{r=1}^{10} r {}^n C_r$.
सर्वसमिकाओं $r(r-1) {}^n C_r = n(n-1) {}^{n-2} C_{r-2}$ और $r {}^n C_r = n {}^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = n(n-1) \sum_{r=2}^{10} {}^{n-2} C_{r-2} - 3n \sum_{r=1}^{10} {}^{n-1} C_{r-1}$.
चूंकि $\sum_{k=0}^{m} {}^m C_k = 2^m$,इसलिए:
$S = n(n-1) 2^{n-2} - 3n 2^{n-1}$.
$n=10$ रखने पर:
$S = 10(9) 2^8 - 3(10) 2^9 = 90 \cdot 2^8 - 60 \cdot 2^8 = 30 \cdot 2^8$.
$S = 30 \times 256 = 7680$.

(D) $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ के लिए सामान्य सूत्र $n(n^2 + 3n)2^{n-3}$ है।
$n=5$ के लिए,हम सूत्र में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$= 5(5^2 + 3(5))2^{5-3}$
$= 5(25 + 15)2^2$
$= 5(40)(4)$
$= 200 \times 4 = 800$.

(B) दिया गया विस्तार: $(1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{12}x^{12}$
माना $f(x) = (1+x-2x^2)^6 = 1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{12}x^{12}$ है।
$x=1$ रखने पर:
$f(1) = (1+1-2)^6 = 0^6 = 0$।
अतः,$0 = 1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}$ $(i)$
$x=-1$ रखने पर:
$f(-1) = (1-1-2(-1)^2)^6 = (-2)^6 = 64$।
अतः,$64 = 1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12}$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$0+64 = (1+a_1+a_2+a_3+a_4+\ldots+a_{12}) + (1-a_1+a_2-a_3+a_4-\ldots+a_{12})$
$64 = 2 + 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$62 = 2(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12})$
$a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{12} = 31$।

(A) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ है।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (2n+1) \cdot 2^n - 2 \cdot (n \cdot 2^{n-1}) = (2n+1) \cdot 2^n - n \cdot 2^n = (2n+1-n) \cdot 2^n = (n+1) \cdot 2^n$.
साथ ही,यदि $f(x) = x^{n+1}$ है,तो $f'(x) = (n+1)x^n$,इसलिए $f'(2) = (n+1)2^n$.
अतः,विकल्प $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(A) माना योग $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k}$ है।
सर्वसमिका $\frac{1}{k+1} {}^{n}C_{k} = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}C_{k+1}$
$S = \frac{1}{n+1} [{}^{n+1}C_{1} + {}^{n+1}C_{2} + \dots + {}^{n+1}C_{n+1}]$
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m}$,इसलिए $\sum_{r=1}^{m} {}^{m}C_{r} = 2^{m} - 1$ होता है।
यहाँ $m = n+1$ है,इसलिए योग $2^{n+1} - 1$ है।
अतः,$S = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$।

(B) दिया गया है $P = \sum_{r=0}^{5} c_{2r} = c_{0} + c_{2} + c_{4} + c_{6} + c_{8} + c_{10}$.
चूँकि $c_{r} = {}^{10}C_{r}$,इसलिए $P = {}^{10}C_{0} + {}^{10}C_{2} + {}^{10}C_{4} + {}^{10}C_{6} + {}^{10}C_{8} + {}^{10}C_{10} = 2^{10-1} = 2^{9}$.
दिया गया है $Q = \sum_{r=0}^{3} d_{2r+1} = d_{1} + d_{3} + d_{5} + d_{7}$.
चूँकि $d_{r} = {}^{7}C_{r}$,इसलिए $Q = {}^{7}C_{1} + {}^{7}C_{3} + {}^{7}C_{5} + {}^{7}C_{7} = 2^{7-1} = 2^{6}$.
अतः,$\frac{P}{Q} = \frac{2^{9}}{2^{6}} = 2^{9-6} = 2^{3} = 8$.

(B) हम जानते हैं कि विषम अनुक्रमणिका (odd indices) वाले द्विपद गुणांकों का योग इस प्रकार है:
$^{n}C_1 + ^{n}C_3 + ^{n}C_5 + \ldots = 2^{n-1}$.
$n = 15$ के लिए,हमारे पास है:
$^{15}C_1 + ^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = 2^{15-1} = 2^{14}$.
हमें $^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $2^{14} - ^{15}C_1$ के बराबर है।
चूंकि $^{15}C_1 = 15$,इसलिए योग $2^{14} - 15$ है।

(B) $(1+x)^{59}$ के विस्तार में $59+1 = 60$ पद हैं।
माना गुणांक $C_0, C_1, C_2, \dots, C_{59}$ हैं।
सभी गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{59} C_r = (1+1)^{59} = 2^{59}$ है।
चूंकि $C_r = C_{59-r}$,पहले $30$ गुणांकों का योग अंतिम $30$ गुणांकों के योग के बराबर है।
माना $S$ अंतिम $30$ गुणांकों का योग है।
तब $2S = \sum_{r=0}^{59} C_r = 2^{59}$।
अतः,$S = \frac{2^{59}}{2} = 2^{58}$।

(D) दिया गया विस्तार: $(1-x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ है।
चरण $1$: $x = 1$ रखने पर:
$(1 - 1 + 1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}$
$1 = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$
चरण $2$: $x = -1$ रखने पर:
$(1 - (-1) + (-1)^2)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n}$
$3^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$
चरण $3$: समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$1 + 3^n = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n})$
अतः,$a_0 + a_2 + a_4 + \ldots + a_{2n} = \frac{3^n + 1}{2}$।

(A) द्विपद प्रसार इस प्रकार है: $(1+x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \ldots + c_nx^n$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)^{n-1} = c_1 + 2c_2x + 3c_3x^2 + \ldots + nc_nx^{n-1}$.
योग $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ ज्ञात करने के लिए,अवकलित समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$n(1+1)^{n-1} = c_1 + 2c_2(1) + 3c_3(1)^2 + \ldots + nc_n(1)^{n-1}$.
अतः,$n(2)^{n-1} = c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$.
इसलिए,सही उत्तर $n \cdot 2^{n-1}$ है।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1} x+{ }^{n} C_{2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{n} x^{n}$
और $(x+1)^{n} = { }^{n} C_{0} x^{n}+{ }^{n} C_{1} x^{n-1}+{ }^{n} C_{2} x^{n-2}+\ldots+{ }^{n} C_{n}$.
इन दो व्यंजकों का गुणा करने पर,हमें $(1+x)^{2n} = (1+x)^{n}(x+1)^{n}$ प्राप्त होता है।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2n} C_{n}$ है।
दो श्रेणियों का गुणा करने पर,$x^{n}$ का गुणांक संबंधित गुणांकों के गुणनफल का योग है:
$({ }^{n} C_{0})^{2} + ({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n}$.
दिया गया योग $({ }^{n} C_{1})^{2}$ से शुरू होता है,इसलिए हम पहले पद $({ }^{n} C_{0})^{2} = 1$ को घटा देंगे:
$({ }^{n} C_{1})^{2} + ({ }^{n} C_{2})^{2} + \ldots + ({ }^{n} C_{n})^{2} = { }^{2n} C_{n} - ({ }^{n} C_{0})^{2} = { }^{2n} C_{n} - 1$.