Properties of binomial coefficients Questions in Hindi

(B) माना $S = \sum_{r=0}^{25} \frac{{}^{25}C_{r}}{(r+1)(r+2)}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{(r+1)(r+2)} = \frac{2^{n+2} - (n+2) - 1}{(n+1)(n+2)}$.
यहाँ $n=25$ रखने पर:
$S = \frac{2^{25+2} - (25+2) - 1}{(25+1)(25+2)}$
$S = \frac{2^{27} - 27 - 1}{26 \times 27}$
$S = \frac{2^{27} - 28}{26 \times 27}$.

(C) हमारे पास $S = \sum_{r=0}^{12} \frac{1}{(2r+1)!(25-2r)!}$ है।
$26!$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} \frac{26!}{(2r+1)!(25-2r)!} = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1}$।
विषम द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1} = {}^{26}C_1 + {}^{26}C_3 + \dots + {}^{26}C_{25} = 2^{26-1} = 2^{25}$ होता है।
अतः,$S = \frac{2^{25}}{26!}$।
दिया गया है $13S = \frac{2^k}{n!}$,इसलिए $13 \times \frac{2^{25}}{26!} = \frac{13 \times 2^{25}}{26 \times 25!} = \frac{2^{25}}{2 \times 25!} = \frac{2^{24}}{25!}$।
$\frac{2^k}{n!}$ से तुलना करने पर,$k = 24$ और $n = 25$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n + k = 25 + 24 = 49$।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1}{^{n}C_{r}} + \frac{1}{^{n}C_{r+1}} = \frac{n+1}{n-r} \cdot \frac{1}{^{n}C_{r}}$.
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}$.
अतः,गुणनफल $\prod_{r=0}^{12} (\frac{1}{^{15}C_{r}} + \frac{1}{^{15}C_{r+1}}) = \prod_{r=0}^{12} (\frac{16}{15} \cdot \frac{1}{^{14}C_{r}}) = \frac{(16/15)^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$a = \frac{16}{15}$.
इसलिए,$30a = 30 \cdot \frac{16}{15} = 32$.

(D) हम सर्वसमिका $\frac{^{n}C_{r}}{r+1} = \frac{^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{100}C_{r}}{r+1}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें $S = \sum_{r=50}^{100} \frac{^{101}C_{r+1}}{101}$ प्राप्त होता है।
$S = \frac{1}{101} \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$, जहाँ $k = r+1$ है।
योग $\sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}}$ द्विपद गुणांकों $(1+x)^{101}$ के अंतिम आधे भाग के योग को दर्शाता है।
चूँकि $\sum_{k=0}^{101} {^{101}C_{k}} = 2^{101}$ और $\sum_{k=0}^{50} {^{101}C_{k}} = \sum_{k=51}^{101} {^{101}C_{k}} = \frac{2^{101}}{2} = 2^{100}$ है।
अतः, $S = \frac{2^{100}}{101}$।

(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{r+1} \binom{n}{r} = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k}$ है।
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2k+1} \binom{12}{2k} = \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = 2 \sum_{k=1}^6 \frac{1}{13} \binom{13}{2k+1} = \frac{2}{13} [ \binom{13}{3} + \binom{13}{5} + \dots + \binom{13}{13} ]$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{13-1} = 2^{12}$ होता है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^6 \binom{13}{2k+1} = 2^{12} - \binom{13}{1} = 2^{12} - 13$ होगा।
अतः,$S = \frac{2}{13} [ 2^{12} - 13 ] = \frac{2^{13}}{13} - 2$ है।
पूरे व्यंजक को $26$ से गुणा करने पर,$26 \times S = 26 \left( \frac{2^{13}}{13} - 2 \right) = 2 \times 2^{13} - 52 = 2^{14} - 52$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दिए गए विकल्पों के अनुसार $\alpha = 51$ सही उत्तर है।

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।
दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$ है।
हम गुणांक $3$ को $1+2$ के रूप में लिखकर पदों को समूहित कर सकते हैं:
$= \binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{32-r} + \binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$
$= [\binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r}] + 2[\binom{30}{31-r} + \binom{30}{32-r}] + [\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}]$
पास्कल की सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= \binom{31}{31-r} + 2\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}$
$= [\binom{31}{31-r} + \binom{31}{32-r}] + [\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}]$
$= \binom{32}{32-r} + \binom{32}{33-r} = \binom{33}{33-r}$.
समरूपता के गुण $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ के अनुसार,$\binom{33}{33-r} = \binom{33}{33-(33-r)} = \binom{33}{r}$ होता है।
अतः $\binom{m}{r}$ से तुलना करने पर,$m = 33$ प्राप्त होता है।