यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि n ge 3,त | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \

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$0$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।पहले भाग के लिए,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ होता है,जहाँ $n \ge 2$ है।दूसरे भाग के लिए,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$।$n > 2$ के लिए,$(1-1)^{n-2} = 0$,इसलिए योग $0$ है।

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${ }^{34}C_{10} + 3 \cdot { }^{34}C_{9} + 3 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $

$2 \le r \le n$ के लिए,$\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

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