यदि {}^{21}C_1 + 3 cdot {}^{21}C_3 + 5 cdot { | vedclass

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Question

(C) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1}$ है।सर्वसमिका $n \cdot {}^{n-1}C_{r-1} = r \cdot {}^{n}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें म

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$3$

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(C) दिया गया योग $S = \sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1}$ है।सर्वसमिका $n \cdot {}^{n-1}C_{r-1} = r \cdot {}^{n}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$।अतः,योग $\sum_{r=0}^{10} (2r+1) \cdot {}^{21}C_{2r+1} = \sum_{r=0}^{10} 21 \cdot {}^{20}C_{2r} = 21 \cdot ( {}^{20}C_0 + {}^{20}C_2 + \dots + {}^{20}C_{20} ) = 21 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 7 \cdot 2^{19}$ है।$k$ के अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ और $7$ हैं।इसलिए,अभाज्य गुणनखंडों की संख्या $3$ है।

यदि ${}^{21}C_1 + 3 \cdot {}^{21}C_3 + 5 \cdot {}^{21}C_5 + \dots + 19 \cdot {}^{21}C_{19} + 21 \cdot {}^{21}C_{21} = k$ है,तो $k$ के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या क्या है?

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