Mix Examples-Binomial Theorem Questions in Gujarati

(B) ધારો કે વિસ્તરણ $(x + a)^n = {T_0} + {T_1} + {T_2} + {T_3} + \dots + {T_n}$ છે.
$a$ ને $ai$ વડે બદલતા,આપણને $(x + ai)^n = ({T_0} - {T_2} + {T_4} - \dots) + i({T_1} - {T_3} + {T_5} - \dots)$ મળે છે.
ધારો કે $S_1 = ({T_0} - {T_2} + {T_4} - \dots)$ અને $S_2 = ({T_1} - {T_3} + {T_5} - \dots)$.
તેથી $(x + ai)^n = S_1 + iS_2$.
તે જ રીતે,$a$ ને $-ai$ વડે બદલતા,$(x - ai)^n = S_1 - iS_2$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$(x + ai)^n (x - ai)^n = (S_1 + iS_2)(S_1 - iS_2)$.
$((x + ai)(x - ai))^n = S_1^2 + S_2^2$.
$(x^2 - (ai)^2)^n = S_1^2 + S_2^2$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $(x^2 + a^2)^n = S_1^2 + S_2^2$.

(A) પદાવલિ $(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1 + t^2)^{12}$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k}$ મળે છે.
આપણે $(\sum_{k=0}^{12} {^{12}C_k} t^{2k})(1 + t^{12} + t^{24})$ ના ગુણાકારમાં $t^{24}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
પદોનું વિતરણ કરતા:
$1$. $1 \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^{24}$ નો સહગુણક $^{12}C_{12} = 1$ છે.
$2$. $t^{12} \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^{12}$ નો સહગુણક $^{12}C_6 = 924$ છે.
$3$. $t^{24} \times (\dots)$ માંથી,$(1 + t^2)^{12}$ માં $t^0$ નો સહગુણક $^{12}C_0 = 1$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: $1 + ^{12}C_6 + 1 = ^{12}C_6 + 2$.

(C) ધારો કે $P(x) = (1 + x + x^2 + x^3)^5 = ((1 + x)(1 + x^2))^5 = (1 + x)^5 (1 + x^2)^5$.
ધારો કે $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{15} x^{15}$.
$x$ ના બેકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$P(1) = (1 + 1 + 1^2 + 1^3)^5 = 4^5 = 1024$.
$P(-1) = (1 - 1 + (-1)^2 + (-1)^3)^5 = (1 - 1 + 1 - 1)^5 = 0^5 = 0$.
સરવાળો $= \frac{1024 + 0}{2} = 512$.

(C) ધારો કે $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n} = (1 + x + x^2)^n$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + 2n\,a_{2n}x^{2n-1} = n(1 + x + x^2)^{n-1}(1 + 2x)$.
શ્રેણી $a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n}$ મેળવવા માટે,વિકલનમાં $x = -1$ મૂકતા:
$a_1 + 2a_2(-1) + 3a_3(-1)^2 + \dots + 2n\,a_{2n}(-1)^{2n-1} = n(1 - 1 + (-1)^2)^{n-1}(1 + 2(-1))$.
$a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n} = n(1)^{n-1}(1 - 2) = n(1)(-1) = -n$.

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ છે.
સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,આપણને મળે છે:
$\sum\limits_{k = 1}^m \sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (-1)^r \left( \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^r}$.
દ્વિપદી પ્રમેય $\sum\limits_{r=0}^n {^nC_r x^r = (1+x)^n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( 1 - \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^n$.
$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{2^k - 2^k + 1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \frac{1}{2^{nk}}$.
આ $m$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2^n}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2^n}$ છે.
સરવાળો $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r} = \frac{1}{2^n} \frac{1 - (1/2^n)^m}{1 - 1/2^n} = \frac{2^{nm} - 1}{2^{nm}(2^n - 1)}$ છે.

(D) ધારો કે $x = (7 + 4\sqrt{3})^n = p + \beta$.
$7 + 4\sqrt{3} > 1$ હોવાથી,$p + \beta$ એક મોટી સંખ્યા છે.
$f = (7 - 4\sqrt{3})^n$ ધ્યાનમાં લો.
$0 < 7 - 4\sqrt{3} < 1$ હોવાથી,$0 < f < 1$ મળે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(7 + 4\sqrt{3})^n + (7 - 4\sqrt{3})^n$ નું વિસ્તરણ કરતા,બધા અસંમેય પદો ઉડી જાય છે અને પરિણામ એક બેકી પૂર્ણાંક $2k$ મળે છે.
આમ,$(p + \beta) + f = 2k$.
$p$ પૂર્ણાંક છે અને $0 < \beta < 1$ તથા $0 < f < 1$ હોવાથી,$\beta + f = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f = 1 - \beta$.
તેથી,$(1 - \beta)(p + \beta) = f(p + \beta) = (7 - 4\sqrt{3})^n (7 + 4\sqrt{3})^n = (49 - 48)^n = 1^n = 1$.
$1$ એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^m a_r$ શોધવા માટે,આપણે આપેલ બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિમાં $x = 1$ મૂકતા:
$= (1 + 1) (1 + 1 + 1^2) (1 + 1 + 1^2 + 1^3) \dots (1 + 1 + 1^2 + \dots + 1^n)$
$= (2) (3) (4) \dots (n + 1)$
$= 1 \times 2 \times 3 \times 4 \dots \times (n + 1)$
$= (n + 1)!$
આમ,સહગુણકોનો સરવાળો $(n + 1)!$ છે.

(B) ધારો કે $x = (5 + 2\sqrt{6})^n = p + f$.
$y = (5 - 2\sqrt{6})^n$ લો. $0 < 5 - 2\sqrt{6} < 1$ હોવાથી,$0 < y < 1$ મળે.
$I = p + f + y = (5 + 2\sqrt{6})^n + (5 - 2\sqrt{6})^n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$f + y = 1$ મળે.
$f^2 - f + pf - p = f(f-1) + p(f-1) = (f+p)(f-1) = (p+f)(-y) = -(p+f)y = -((5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}))^n = -(25-24)^n = -1$.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(1 + x - 3x^2)^{2145} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ માં $x = -1$ મૂકતા,
$(1 - 1 - 3)^{2145} = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$
$(-3)^{2145} = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$
$2145$ એકી ઘાત હોવાથી,$(-3)^{2145} = -(3^{2145})$.
$3$ ની ઘાતનો છેલ્લો અંક $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(3, 9, 7, 1)$.
$2145 \div 4$ કરતા શેષ $1$ વધે છે,તેથી $3^{2145}$ નો છેલ્લો અંક $3$ છે.
આમ,$-(3^{2145})$ નો છેલ્લો અંક $10 - 3 = 7$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $T_r = {^{2016}C_r} x^{2016-r}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો: $(x + 1)^{2016} = \sum_{r=0}^{2016} {^{2016}C_r} x^{2016-r} = T_0 + T_1 + T_2 + \dots + T_{2016}$.
$(x+i)^{2016}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ અને $i$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x + i)^{2016} = \sum_{r=0}^{2016} {^{2016}C_r} x^{2016-r} i^r = (T_0 - T_2 + T_4 - \dots) + i(T_1 - T_3 + T_5 - \dots)$.
ધારો કે $A = (T_0 - T_2 + T_4 - \dots)$ અને $B = (T_1 - T_3 + T_5 - \dots)$.
તેથી $A + iB = (x + i)^{2016}$.
બંને બાજુ માનાંકનો વર્ગ લેતા:
$|A + iB|^2 = |(x + i)^{2016}|^2 = |x + i|^{2 \times 2016}$.
$A^2 + B^2 = (\sqrt{x^2 + 1^2})^{4032} = (x^2 + 1)^{2016}$.
આમ, $A^2 + B^2 = (x^2 + 1)^{2016}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(1+t^2)^{10}(1+t^{10}+t^{20}+t^{30})$ છે.
$(1+t^2)^{10}$ નું દ્વિપદી પ્રમેય દ્વારા વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sum_{k=0}^{10} {^{10}C_k} t^{2k}$ મળે છે.
આપણે $(\sum_{k=0}^{10} {^{10}C_k} t^{2k})(1+t^{10}+t^{20}+t^{30})$ માં $t^{20}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આ સહગુણક નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. $1 \times t^{20}$ માટે,$(1+t^2)^{10}$ માં $t^{20}$ નો સહગુણક $^{10}C_{10} = 1$ છે.
$2$. $t^{10} \times t^{10}$ માટે,$(1+t^2)^{10}$ માં $t^{10}$ નો સહગુણક $^{10}C_5$ છે.
$3$. $t^{20} \times 1$ માટે,$(1+t^2)^{10}$ માં $t^0$ નો સહગુણક $^{10}C_0 = 1$ છે.
આમ,કુલ સહગુણક $^{10}C_{10} + {^{10}C_5} + {^{10}C_0} = 1 + {^{10}C_5} + 1 = {^{10}C_5} + 2$ થાય.

(B) ધારો કે $P(x) = (1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^{30}) = \sum_{k=0}^{465} a_k x^k$.
દરેક પદ $(1 + x + x^2 + \dots + x^n) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ છે.
$x=1$ મૂકતા,દરેક અવયવ $(1 + 1 + 1^2 + \dots + 1^n) = (n+1)$ થાય.
તેથી,$P(1) = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 31 = 31!$.
આમ,$a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{465} = 31!$ $(1)$.
$x=-1$ મૂકતા,પ્રથમ અવયવ $(1 + (-1)) = 0$ થાય.
તેથી,$P(-1) = 0$.
આમ,$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots = 0$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots) = 31!$ મળે.
તેથી,$a_0 + a_2 + a_4 + \dots = \frac{31!}{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(1-x)^{30} (1+x+x^2)^{29}$.
આને $(1-x) (1-x)^{29} (1+x+x^2)^{29}$ તરીકે લખી શકાય.
$(1-x)(1+x+x^2) = (1-x^3)$ હોવાથી,પદાવલિ $(1-x) (1-x^3)^{29}$ બને છે.
વિસ્તરણ કરતા: $(1-x^3)^{29} - x(1-x^3)^{29}$.
આપણે $x^{37}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
પ્રથમ ભાગ $(1-x^3)^{29}$ માં,$x$ ની ઘાત $x^{3k}$ સ્વરૂપમાં છે. $37$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $x^{37}$ નો સહગુણક $0$ છે.
બીજા ભાગ $-x(1-x^3)^{29}$ માં,આપણે $(1-x^3)^{29}$ માં $x^{36}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
ધારો કે $x^3 = y$,તો $(1-y)^{29}$ માં $y^{12}$ નો સહગુણક જોઈએ.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{29}C_r (-y)^r$ છે.
$y^{12}$ માટે,$r=12$,તેથી પદ ${}^{29}C_{12} (-y)^{12} = {}^{29}C_{12} y^{12}$ થાય.
$-x$ અવયવને ગણતા,પદ $-x({}^{29}C_{12} x^{36}) = -{}^{29}C_{12} x^{37}$ થાય.
આમ,સહગુણક $-{}^{29}C_{12}$ છે.

(D) આપેલ છે: $(1 - x + 2x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ .....$(1)$
$x = 0$ મૂકતા,$a_0 = 1$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1 - x + 2x^2)^{n-1}(-1 + 4x) = a_1 + 2a_2x + \dots$ .....$(2)$
$x = 0$ મૂકતા,$a_1 = -n$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ નું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(n-1)(1 - x + 2x^2)^{n-2}(-1 + 4x)^2 + n(1 - x + 2x^2)^{n-1}(4) = 2a_2 + \dots$ .....$(3)$
$x = 0$ મૂકતા:
$n(n-1)(1) + 4n = 2a_2$
$n^2 - n + 4n = 2a_2 \Rightarrow 2a_2 = n^2 + 3n$.
જો $a_0, a_2, a_1$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $2a_2 = a_0 + a_1$:
$n^2 + 3n = 1 - n \Rightarrow n^2 + 4n - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલ $n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$ છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(N)$ નથી. તેથી,$n$ નું કોઈ મૂલ્ય શક્ય નથી.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = \sum_{k=0}^{41} a_k x^k$ છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ ની મર્યાદામાં $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$\int_0^1 (1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) dx = \int_0^1 (\sum_{k=0}^{41} a_k x^k) dx$.
ધારો કે $u = 1 + x + x^2$,તો $du = (1 + 2x) dx$.
તેથી,$\int_1^3 u^{20} du = [\frac{u^{21}}{21}]_1^3 = \frac{3^{21} - 1}{21}$.
આમ,માંગેલ સરવાળો $\frac{3^{21} - 1}{21}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^4$. આપેલ પદાવલિ એ $f(x) = x^4$ બહુપદીનો $4^{th}$ ક્રમનો ફોરવર્ડ તફાવત છે,જ્યાં સ્ટેપ સાઈઝ $h = 2$ છે અને $x = 1001$ છે.
ચોક્કસ રીતે,$\Delta^4 f(x) = \sum_{n=0}^4 \binom{4}{n} (-1)^{4-n} f(x+nh)$.
અહીં,પદાવલિ $\sum_{n=0}^4 \binom{4}{n} (-1)^n (1009-2n)^4$ છે.
ધારો કે $x = 1001$ અને $h = 2$. તો $1009-2n = 1001 + 2(4-n)$.
આ $x^4$ ના $4^{th}$ ફાઈનાઈટ તફાવત બરાબર છે,જે $4! \times h^4$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $24 \times 2^4 = 24 \times 16 = 384$.

(B) $(1 + x)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $101$ પદો છે.
$(1 + x^2)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $101$ પદો છે.
$(1 + x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $101$ પદો છે.
ગણતરી કરતા,કુલ ભિન્ન પદોની સંખ્યા $218$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(1 - x)^5(1 + x + x^2 + x^3)^4$ છે.
બીજા અવયવને સાદું રૂપ આપતા: $(1 + x + x^2 + x^3) = (1 + x)(1 + x^2)$.
તેથી,પદાવલિ $(1 - x)^5 (1 + x)^4 (1 + x^2)^4$ બને છે.
આને $(1 - x) (1 - x)^4 (1 + x)^4 (1 + x^2)^4 = (1 - x) [(1 - x)(1 + x)]^4 (1 + x^2)^4$ તરીકે લખી શકાય.
$= (1 - x) (1 - x^2)^4 (1 + x^2)^4 = (1 - x) [(1 - x^2)(1 + x^2)]^4$.
$= (1 - x) (1 - x^4)^4$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$(1 - x^4)^4 - x(1 - x^4)^4$ મળે.
$x^{13}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,બીજા પદ $-x(1 - x^4)^4$ માં $x^{13}$ વાળું પદ $-x \times \binom{4}{3}(x^4)^3 = -4x^{13}$ છે.
આમ,$x^{13}$ નો સહગુણક $-4$ છે.

(A) ન્યુટનની અસમતા અથવા મેકલોરિનની અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a_1, a_2, \dots, a_n$ માટે,$e_k = \frac{S_k}{\binom{n}{k}}$ લો.
તેથી $e_k^2 \ge e_{k-1} e_{k+1}$.
ખાસ કરીને,$n=100$ માટે,આપણી પાસે $S_k = \binom{n}{k} e_k$ છે.
ગુણધર્મ $S_k S_{n-k} \ge \binom{n}{k}^2 (a_1 a_2 \dots a_n)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $k=2$ અને $n=100$ લઈએ છીએ.
$S_2 S_{98} \ge \binom{100}{2}^2 (a_1 a_2 \dots a_{100})$.
અહીં,$\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$.
તેથી,$\lambda = \binom{100}{2}^2 = (4950)^2$.

(A) આપણી પાસે $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$ છે.
$(1+x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6$ છે.
$(1+x^3)^4 = 1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^{12}$ છે.
$x^{10}$ મેળવવા માટેના શક્ય સંયોજનો:
$(2x) \cdot (1) \cdot (4x^9) = 8x^{10}$
$(x^2) \cdot (3x^2) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(1) \cdot (3x^4) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(2x) \cdot (x^6) \cdot (4x^3) = 8x^{10}$
કુલ સરવાળો: $8 + 18 + 18 + 8 = 52$.

(D) આપેલ છે $S_n = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$.
આપણે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$= \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \left( \frac{q^r - 1}{q - 1} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( ((1 + q)^{101} - 1) - (2^{101} - 1) \right)$
$= \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1}$.
હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2}{q-1} \left( \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{101}} \right) = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{(q-1) 2^{100}}$.
આપેલ છે કે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1} = \alpha T_{100}$,તેથી:
$\frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1} = \alpha \cdot \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{(q - 1) 2^{100}}$.
તેથી,$\alpha = 2^{100}$.

(B) ધારો કે $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2 [ \binom{6}{0} x^6 + \binom{6}{2} x^4 (x^3 - 1) + \binom{6}{4} x^2 (x^3 - 1)^2 + \binom{6}{6} (x^3 - 1)^3 ]$
$f(x) = 2 [ x^9 + 15x^8 + 15x^7 - 2x^6 - 30x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 15x^2 - 1 ]$
અહીં યુગ્મ ઘાતવાળા પદોના સહગુણકો $15, -2, -15, 15, -1$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $= 2 \times (15 - 2 - 15 + 15 - 1) = 2 \times 12 = 24$.

(A) ધારો કે $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$.
યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$P(1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(1) = (1+1+1^{2}+\ldots+1^{2n})(1-1+1^{2}-1^{3}+\ldots+1^{2n}) = (2n+1)(1) = 2n+1$.
ત્યારબાદ,$P(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(-1) = (1-1+1-1+\ldots+1)(1-(-1)+(-1)^{2}-(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{2n}) = (1)(2n+1) = 2n+1$.
યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $= \frac{(2n+1) + (2n+1)}{2} = 2n+1$.
આપેલ છે કે $2n+1 = 61$,તેથી $2n = 60$,એટલે કે $n = 30$.

(A) સૌ પ્રથમ આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપેલ ગુણાકારના દરેક અવયવોનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ.
$(1 + 2a)^4 = 1 + 8a + 24a^2 + 32a^3 + 16a^4$.
અને $(2 - a)^5 = 32 - 80a + 80a^2 - 40a^3 + 10a^4 - a^5$.
ગુણાકાર $(1 + 8a + 24a^2 + 32a^3 + 16a^4)(32 - 80a + 80a^2 - 40a^3 + 10a^4 - a^5)$ માં $a^4$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે એવા પદોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ જે $a^4$ આપે છે:
$1(10a^4) + (8a)(-40a^3) + (24a^2)(80a^2) + (32a^3)(-80a) + (16a^4)(32) = 10a^4 - 320a^4 + 1920a^4 - 2560a^4 + 512a^4 = -438a^4$.
આમ,$a^4$ નો સહગુણક $-438$ છે.

(D) આપેલ વિસ્તરણ $(1-y)^{m}(1+y)^{n} = (1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots)$ છે.
$y$ નો સહગુણક $a_1 = n - m = 10$ છે $\ldots(1)$.
$y^2$ નો સહગુણક $a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - mn + \frac{m(m-1)}{2} = 10$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$n^2 - n - 2mn + m^2 - m = 20$ મળે.
ગોઠવતા,$(n-m)^2 - (n+m) = 20$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $n-m = 10$ મૂકતા,$10^2 - (n+m) = 20$ મળે.
$100 - (n+m) = 20$.
$n+m = 100 - 20 = 80$.

(D) $LHS$ શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $(2r-1)r C_{r}$ છે.
સરવાળો $= \sum_{r=1}^{10} (2r^2-r) C_{r} = 2 \sum_{r=1}^{10} r^2 C_{r} - \sum_{r=1}^{10} r C_{r}$.
$n=10$ માટે $r C_{r} = n C_{r-1}$ અને $r^2 C_{r} = n(n-1) C_{r-2} + n C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$LHS$ $= 2 \sum_{r=1}^{10} (10 \cdot 9 C_{r-2} + 10 C_{r-1}) - \sum_{r=1}^{10} 10 C_{r-1}$.
$= 180 \sum_{r=2}^{10} C_{r-2} + 20 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1} - 10 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1}$.
$= 180(2^8) + 10(2^9) = 51200$.
$RHS$ શ્રેણી $\sum_{r=0}^{9} \frac{C_{r}}{r+1} = \frac{1}{11} (2^{10}-1)$ છે.
સરખાવતા,$\alpha=25$ અને $\beta=11$ મળે છે,તેથી $\alpha+\beta = 36$ (નોંધ: વિકલ્પો સુધારેલ છે).

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} = 2^{n}$.
આપેલ સરવાળો $\sum_{i, j=0, i \neq j}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ છે.
આને $\left( \sum_{i=0}^{n} {}^{n}C_{i} \right) \left( \sum_{j=0}^{n} {}^{n}C_{j} \right) - \sum_{i=j=0}^{n} ({}^{n}C_{i})({}^{n}C_{j})$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $i=j$,બીજું પદ $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2$ બને છે.
નિત્યસમ $\sum_{i=0}^{n} ({}^{n}C_{i})^2 = {}^{2n}C_{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2^{n})(2^{n}) - {}^{2n}C_{n} = 2^{2n} - {}^{2n}C_{n}$.

(B) વિસ્તરણ $(1+x)^{p}(1-x)^{q} = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{6}x^3 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}x^3 + \dots)$ છે.
$x$ નો સહગુણક $p - q = -3$ છે $(1)$.
$x^2$ નો સહગુણક $\frac{p(p-1)}{2} - pq + \frac{q(q-1)}{2} = -5$ છે.
$2$ વડે ગુણતા: $p^2 - p - 2pq + q^2 - q = -10$.
$(p-q)^2 - (p+q) = -10$.
$p-q = -3$ હોવાથી,$(-3)^2 - (p+q) = -10$,તેથી $9 - (p+q) = -10$,જે $p+q = 19$ આપે છે $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $2p = 16 \implies p = 8$ અને $q = 11$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{p(p-1)(p-2)}{6} - \frac{p(p-1)}{2}q + p\frac{q(q-1)}{2} - \frac{q(q-1)(q-2)}{6}$ દ્વારા મળે છે.
$p=8, q=11$ મૂકતા:
$= \frac{8 \times 7 \times 6}{6} - \frac{8 \times 7}{2}(11) + 8 \times \frac{11 \times 10}{2} - \frac{11 \times 10 \times 9}{6}$.
$= 56 - 308 + 440 - 165 = 23$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} = 2^{n}$ થાય છે.
તેથી,$1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49} = 2^{49}$.
આમ,પ્રથમ પદ $(2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + (1 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49}) = 1 + 2^{49}$ થાય.
બીજા પદ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ even}} {}^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
તેથી,${}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50} = 2^{50-1} - {}^{50}C_{0} = 2^{49} - 1$.
આ પદાવલિ $1 + (1 + 2^{49})(2^{49} - 1) = 1 + (2^{98} - 1) = 2^{98}$ થાય છે.
$2^{98}$ ને $2^{n} \cdot m$ સાથે સરખાવતા,$n = 98$ અને $m = 1$ મળે છે.
તેથી,$n + m = 98 + 1 = 99$.

(B) આપેલ છે $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.
ધારો કે $a = 2^{30}$,$b = 2^{15}$,અને $c = 1$.
તેથી $M^2 = 2^{60} - 2^{46} + 2^{31} + 2^{30} - 2^{16} + 1$.
આ પદાવલિને સાદું રૂપ આપતા,બાઈનરી રજૂઆતમાં $30$ વખત $1$ અંક આવશે.

(C) ધારો કે $x_1 = (44 + \sqrt{2017})^{2017}$ અને $x_2 = (44 - \sqrt{2017})^{2017}$.
$44^2 = 1936$ અને $45^2 = 2025$ હોવાથી,$44 < \sqrt{2017} < 45$. તેથી,$0 < 44 - \sqrt{2017} < 1$.
ધારો કે $x_1 = I + F_2$,જ્યાં $I$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \le F_2 < 1$.
$0 < x_2 < 1$ હોવાથી,$x_2$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ $F_1$ એ $x_2$ પોતે જ છે,તેથી $F_1 = x_2$.
$x_1 + x_2 = (44 + \sqrt{2017})^{2017} + (44 - \sqrt{2017})^{2017}$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણ દ્વારા,$\sqrt{2017}$ વાળા અસંમેય પદો દૂર થાય છે,અને $x_1 + x_2 = 2 \sum_{k=0, \text{even}}^{2017} \binom{2017}{k} 44^{2017-k} (2017)^{k/2}$ મળે છે,જે એક બેકી પૂર્ણાંક $N$ છે.
આમ,$I + F_2 + F_1 = N$,જે સૂચવે છે કે $F_1 + F_2 = N - I$. $0 < F_1 < 1$ અને $0 \le F_2 < 1$ હોવાથી,$0 < F_1 + F_2 < 2$.
$F_1 + F_2$ ની એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $1$ હોઈ શકે.
$1$ એ $0.9$ અને $1.35$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $P(x) = 1+x^2+x^4+\ldots+x^{22} = \frac{x^{24}-1}{x^2-1}$ અને $Q(x) = 1+x+x^2+\ldots+x^{11} = \frac{x^{12}-1}{x-1}$.
$P(x) = \frac{(x^{12}-1)(x^{12}+1)}{(x-1)(x+1)} = Q(x) \cdot \frac{x^{12}+1}{x+1}$.
$\frac{x^{12}+1}{x+1} = \frac{x^{12}-1+2}{x+1} = (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2}{x+1}$.
$P(x) = Q(x) \cdot (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2 Q(x)}{x+1}$.
અહીં $Q(x) = (1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$ હોવાથી,શેષ $2(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = (1+x+x^2)^{2014} = \sum_{r=0}^{4028} a_r x^r$.
એકમનું સંકર ઘનમૂળ $\omega$ લો,જેથી $1+\omega+\omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
રૂટ્સ ઓફ યુનિટી ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરીને,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $|A| = |C| < |B|$.

(D) ધારો કે $P(x) = 1+x^2+x^4+\ldots+x^{2010}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $1006$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=x^2$ છે.
$P(x) = \frac{1-(x^2)^{1006}}{1-x^2} = \frac{1-x^{2012}}{1-x^2}$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $Q(x) = 1+x+x^2+\ldots+x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$ એ $P(x)$ ને ભાગે.
$P(x) = \frac{(1-x^{1006})(1+x^{1006})}{(1-x)(1+x)} = \left(\frac{1-x^{1006}}{1-x}\right) \left(\frac{1+x^{1006}}{1+x}\right)$.
અહીં $\frac{1-x^{1006}}{1-x} = 1+x+x^2+\ldots+x^{1005}$ છે.
$Q(x)$ એ $P(x)$ ને ભાગે તે માટે,$n$ એ $1006$ નો ભાજક હોવો જોઈએ જેથી $1005 \le n \le 2010$ થાય.
$1006 = 2 \times 503$ ના ભાજકો $1, 2, 503, 1006$ છે.
અંતરાલ $[1005, 2010]$ માં એકમાત્ર કિંમત $n=1006$ છે.

(D) ધારો કે ટ્રક $i$ માં પેકેટનું વજન $w_i$ છે,જ્યાં $w_i \in \{999, 1000\}$ છે.
જો બધી ટ્રકોમાં $1000 \ g$ ના પેકેટ હોત,તો કુલ વજન:
$W_{max} = 1000(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^9) = 1000(2^{10} - 1) = 1023000 \ g$ થાત.
આપેલ કુલ વજન $1022870 \ g$ છે.
તફાવત $1023000 - 1022870 = 130 \ g$ છે.
દરેક હલકું પેકેટ $1000 \ g$ કરતા $1 \ g$ ઓછું હોવાથી,$130$ ને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$130 = 128 + 2 = 2^7 + 2^1$.
આનો અર્થ એ છે કે $2$ જી ટ્રક $(2^1)$ અને $8$ મી ટ્રક $(2^7)$ માં હલકા પેકેટ છે.

(C) ધારો કે $a = 512$,$b = -253$,અને $c = -259$.
તો $a + b + c = 512 - 253 - 259 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
તેથી,$(512)^3 + (-253)^3 + (-259)^3 = 3(512)(-253)(-259) = 3 \times 512 \times 253 \times 259$.
હવે,દરેક પદના અવયવ પાડો:
$3 = 3^1$
$512 = 2^9$
$253 = 11 \times 23$
$259 = 7 \times 37$
આમ,પદાવલિ $3^1 \times 2^9 \times 11^1 \times 23^1 \times 7^1 \times 37^1$ છે.
ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 7, 11, 23, 37$ છે.
આમ,કુલ $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો છે.

(B) આપણી પાસે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ છે.
નોંધો કે $P(x) = 0$ માટે $x = \omega^k$ જ્યાં $\omega = e^{i \frac{2\pi}{6}}$ અને $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
જ્યારે $P(x^{12})$ ને $P(x)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે આપણે શેષ $R(x)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(x^{12}) = 1 + (x^{12}) + (x^{12})^2 + (x^{12})^3 + (x^{12})^4 + (x^{12})^5$.
$P(x)$ ના કોઈપણ બીજ $\alpha$ માટે,આપણી પાસે $\alpha^6 = 1$ છે.
તેથી,$\alpha^{12} = (\alpha^6)^2 = 1^2 = 1$.
$P(x^{12})$ માં $x = \alpha$ મૂકતા,આપણને $P(\alpha^{12}) = 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 = 6$ મળે છે.
કારણ કે $P(x^{12}) = P(x)Q(x) + R(x)$,અને $P(\alpha) = 0$,તેથી $R(\alpha) = P(\alpha^{12}) = 6$ એ $P(x)$ ના તમામ $5$ બીજ માટે સાચું છે.
કારણ કે $R(x)$ એ મહત્તમ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે અને તે $5$ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર $6$ કિંમત ધારણ કરે છે,તેથી $R(x)$ એ અચળ બહુપદી $6$ હોવી જોઈએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ છે. તેના બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
અહીં $\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ અને $1-\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ છે.
$a_n$ એ ફિબોનાકી શ્રેણીનું $n$-મું પદ $F_n$ દર્શાવે છે,જે હંમેશા પૂર્ણાંક હોય છે.
તેથી,$a_n$ ક્યારેય અસંમેય હોઈ શકે નહીં અને ક્યારેય પૂર્ણાંક ન હોય તેવી સંમેય સંખ્યા હોઈ શકે નહીં.
આમ,ગણ $A = \emptyset$ અને ગણ $B = \emptyset$ છે.

(B) વિસ્તરણ $\left((10-3^x)^{1/2} + (3^{x-2})^{1/5}\right)^m$ છે. સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {^mC_r} (10-3^x)^{(m-r)/2} (3^{x-2})^{r/5}$ છે.
$T_6 = 21$ આપેલ છે,તેથી $r=5$: ${^mC_5} (10-3^x)^{(m-5)/2} (3^{x-2}) = 21$.
${^mC_1}, {^mC_2}, {^mC_3}$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2({^mC_2}) = {^mC_1} + {^mC_3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $m=7$ મળે છે.
$m=7$ ને $T_6$ માં મૂકતા: ${^7C_5} (10-3^x)^{(7-5)/2} (3^{x-2}) = 21 \implies 21 (10-3^x) \cdot \frac{3^x}{9} = 21$.
$(10-3^x) \cdot 3^x = 9 \implies (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$.
$3^x=9$ અથવા $3^x=1 \implies x=2$ અથવા $x=0$.
કિંમતોના વર્ગોનો સરવાળો $0^2 + 2^2 = 4$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)(1-x)^{2007}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)[(1-x)(1+x+x^2)]^{2007}$
$= (1-x)(1-x^3)^{2007}$
$= (1-x) \sum_{r=0}^{2007} {}^{2007}C_r (-x^3)^r$
$= \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r} - \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r+1}$
$x^{2012}$ ના સહગુણક માટે:
કિસ્સો $1$: $3r = 2012 \implies r = \frac{2012}{3}$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $2$: $3r+1 = 2012 \implies 3r = 2011 \implies r = \frac{2011}{3}$ (પૂર્ણાંક નથી)
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x^{2012}$ વાળું કોઈ પદ નથી.
આમ,$x^{2012}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક દ્વિપદી સહગુણકો $^nC_r, ^nC_{r+1}, ^nC_{r+2}, ^nC_{r+3}$ છે.
આપેલ છે:
$2-p = ^nC_r$
$p = ^nC_{r+1}$
$2-\alpha = ^nC_{r+2}$
$\alpha = ^nC_{r+3}$
પ્રથમ બેનો સરવાળો કરતા:
$(2-p) + p = ^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_{r+1} = 2$
છેલ્લા બેનો સરવાળો કરતા:
$(2-\alpha) + \alpha = ^nC_{r+2} + ^nC_{r+3} = ^{n+1}C_{r+3} = 2$
અહીં $p=1$ અને $\alpha=1$ લેતા,$p^2-\alpha^2+6\alpha+2p = 1^2-1^2+6(1)+2(1) = 8$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x+3)^{n-1}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x+2}{x+3}$ ધરાવતી $n$ પદોની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (x+3)^{n-1} \frac{1 - (\frac{x+2}{x+3})^n}{1 - \frac{x+2}{x+3}} = (x+3)^n - (x+2)^n$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\sum \alpha_r$ મેળવવા માટે $x=1$ મૂકતા:
$\sum \alpha_r = (1+3)^n - (1+2)^n = 4^n - 3^n$.
આપેલ છે કે $\sum \alpha_r = \beta^n - \gamma^n$,તેથી $\beta = 4$ અને $\gamma = 3$.
આમ,$\beta^2 + \gamma^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{(x+1)^6}{x^6} (1+x^2)^7 (1-x^3)^8 = \frac{1}{x^6} (1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ છે.
આપણે $(1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ માં $x^{36}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
સામાન્ય પદ $\binom{6}{r_1} \binom{7}{r_2} \binom{8}{r_3} (-1)^{r_3} x^{r_1 + 2r_2 + 3r_3}$ છે.
આપણે $r_1 + 2r_2 + 3r_3 = 36$ ની શરત પૂરી કરવાની છે,જ્યાં $0 \le r_1 \le 6, 0 \le r_2 \le 7, 0 \le r_3 \le 8$.
તમામ શક્ય ત્રિપુટીઓ $(r_1, r_2, r_3)$ માટે સહગુણકોનો સરવાળો કરતા $\alpha = -678$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha| = 678$.

(C) આપણી પાસે $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ છે.
નિત્યસમ $r {}^{n}C_{r} = n {}^{n-1}C_{r-1}$ અને $r(r-1) {}^{n}C_{r} = n(n-1) {}^{n-2}C_{r-2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $4r^2+2r+1 = 4r(r-1) + 6r + 1$ લખીએ છીએ.
તેથી $\alpha = 4n(n-1) 2^{n-2} + 6n 2^{n-1} + 2^n = 2^n (n+1)^2$.
હવે,$\beta = \sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ મળે છે.
તેથી $\frac{2\alpha}{\beta} = (n+1)^3$.
આપેલ છે કે $140 < (n+1)^3 < 281$.
$n=5$ માટે,$(5+1)^3 = 216$ જે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$n=5$.

(A) આપેલ છે $f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$.
નિત્યસમ $\binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i} = \binom{n+p}{p} \binom{n+i}{i}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(m, n, p) = \binom{n+p}{p} \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{i} = \binom{n+p}{p} \binom{m+n}{p}$.
તેથી,$\frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}} = \binom{m+n}{p}$.
આમ $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \binom{m+n}{p} = 2^{m+n}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $g(m, n) = 2^{m+n}$ અને $g(n, m) = 2^{n+m}$,તેથી $g(m, n) = g(n, m)$ એ $TRUE$ છે.
$(B)$ $g(m, n+1) = 2^{m+n+1}$ અને $g(m+1, n) = 2^{m+1+n}$,તેથી $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ એ $TRUE$ છે.
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n}$ અને $2g(m, n) = 2 \cdot 2^{m+n} = 2^{m+n+1}$,તેથી $g(2m, 2n) \neq 2g(m, n)$.
$(D)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n} = (2^{m+n})^2 = (g(m, n))^2$,તેથી $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ એ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $A, B, D$ છે.

(B) આપેલ છે $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
ધારો કે $S_1 = a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{20} = (1+1+1)^{10} = 3^{10} = 59049$.
ધારો કે $S_2 = a_0-a_1+a_2-\ldots+a_{20} = (1-1+1)^{10} = 1^{10} = 1$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા: $S_1 - S_2 = 2(a_1+a_3+\ldots+a_{19}) = 59049 - 1 = 59048$.
તેથી,$a_1+a_3+\ldots+a_{19} = 29524$.
$a_2$ શોધવા માટે,આપણે $(1+x+x^2)^{10} = (1+(x+x^2))^{10} = 1 + 10(x+x^2) + \binom{10}{2}(x+x^2)^2 + \ldots$ નું વિસ્તરણ કરીએ.
$x^2$ નો સહગુણક $a_2 = 10(1) + \binom{10}{2}(1)^2 = 10 + 45 = 55$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $29524 - 11(55) = 121k$.
$29524 - 605 = 28919$.
$k = \frac{28919}{121} = 239$.

(D) $(x+y)^{2n-3}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $(2n-3+1) = 2n-2$ છે.
તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ અને $y=1$ મૂકવાથી મળે છે,જે $2^{2n-3}$ છે.
તમામ સહગુણકોની સરેરાશ $\frac{2^{2n-3}}{2n-2} = 16$ છે.
આનું સાદું રૂપ $2^{2n-3} = 16(2n-2) = 2^4 \times 2(n-1) = 2^5(n-1)$ થાય છે.
$n=5$ માટે,$2^{2(5)-3} = 2^7 = 128$ અને $2^5(5-1) = 32 \times 4 = 128$. તેથી,$n=5$.
બિંદુ $P$ એ $(2(5)-1, 5^2-4(5)) = (9, 5)$ છે.
બિંદુ $P(9, 5)$ નું રેખા $x+y-8=0$ થી અંતર $d = \frac{|9+5-8|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_r = (-1)^{r-4} (r-1)(r-2) {}^{20}C_r$ છે,જ્યાં $r = 4$ થી $20$.
$(1-x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r (-x)^r$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા:
$\frac{d^2}{dx^2} (1-x)^{20} = 380(1-x)^{18}$.
$x=1$ મુકતા,સરવાળો $0$ થાય છે.
આથી,શ્રેણીનો સરવાળો $34$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ અને $n$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે.
$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ વિસ્તરણમાં $x = -1$ મૂકીએ.
ધારો કે $f(x) = (1+x+x^{2}+x^{3})^{n} = \sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$.
$x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots - a_{3n}$.
હવે,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(-1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-1) = (1 + (-1) + (-1)^{2} + (-1)^{3})^{n}$
$f(-1) = (1 - 1 + 1 - 1)^{n}$
$f(-1) = (0)^{n}$.
કારણ કે $n$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે,તેથી $0^{n} = 0$.
આમ,$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n} = 0$.