$(1 + t^2)^{10}(1 + t^{10})(1 + t^{20})$ ના વિસ્તરણમાં $t^{20}$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,તો $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ ની કિંમત શોધો.

અઋણ પૂર્ણાંકો $s$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{જો } r \leq s \\ 0 & \text{જો } r > s \end{cases}$. ધન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે,ધારો કે $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,જ્યાં કોઈપણ અઋણ પૂર્ણાંક $p$ માટે,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે

શ્રેણી $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum\limits_{n = 0}^4 {{{\left( {1009 - 2n} \right)}^4} \binom{4}{n} {\left( { - 1} \right)^n}}$ ની કિંમત શું છે?

ધારો કે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$. જ્યારે $P(x^{12})$ ને $P(x)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શું મળે?