${(1 + x + x^2 + x^3)^5}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના બેકી ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ માં $x^{499}$ અને $x^{500}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $C_{r}$ એ $(1+x)^{n}$,$n \in N$,$0 \leq r \leq n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક છે. જો $P_{n} = C_{0} - C_{1} + \frac{2^{2}}{3}C_{2} - \frac{2^{3}}{4}C_{3} + \dots + \frac{(-2)^{n}}{n+1}C_{n}$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{25} \frac{1}{P_{2n}}$ ની કિંમત શોધો.

$(1+x)^{100}+2x(1+x)^{99}+3x^2(1+x)^{98}+\dots+101x^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

$(1+2x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $6561$ છે. ધારો કે $R=(1+2x)^n=I+F$,જ્યાં $I \in N$ અને $0 < F < 1$. જો $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $1-\frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4}=$