શ્રેણી sumlimits_{r = 0}^n {(-1)^r , ^nC_r le | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ છે.સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,આપણને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{mn} - 1}{2^{mn}(2^n - 1)}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \sum\limits_{k = 1}^m \frac{(2^k - 1)^r}{2^{kr}} \right)}$ છે.સરવાળાનો ક્રમ બદલતા,આપણને મળે છે:$\sum\limits_{k = 1}^m \sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (-1)^r \left( \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^r}$.દ્વિપદી પ્રમેય $\sum\limits_{r=0}^n {^nC_r x^r = (1+x)^n}$ નો ઉપયોગ કરતા:$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( 1 - \frac{2^k - 1}{2^k} \right)^n$.$= \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{2^k - 2^k + 1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \left( \frac{1}{2^k} \right)^n = \sum\limits_{k = 1}^m \frac{1}{2^{nk}}$.આ $m$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2^n}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2^n}$ છે.સરવાળો $S_m = a \frac{1 - r^m}{1 - r} = \frac{1}{2^n} \frac{1 - (1/2^n)^m}{1 - 1/2^n} = \frac{2^{nm} - 1}{2^{nm}(2^n - 1)}$ છે.

શ્રેણી $\sum\limits_{r = 0}^n {(-1)^r \, ^nC_r \left( \frac{1}{2^r} + \frac{3^r}{2^{2r}} + \frac{7^r}{2^{3r}} + \frac{15^r}{2^{4r}} + \dots + m \text{ પદો} \right)}$ નો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ માં $x^{499}$ અને $x^{500}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં ચાર ક્રમિક પદોના સહગુણકો છે. તો $p^2-\alpha^2+6\alpha+2p$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{n}$ દ્વિપદી સહગુણકો હોય,તો $(C_0+C_1)-(C_2+C_3)+(C_4+C_5)-(C_6+C_7)+\ldots=$

$(1 - x)^5(1 + x + x^2 + x^3)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{13}$ નો સહગુણક શોધો :-

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module