यदि {x^{frac{3}{4}(log_3 x)^2 + log_3 x - fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: ${x^{\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}} = 3^{1/2}}$.दोनों पक्षों में $\log_3$ लेने पर:$(\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 +

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एक धनात्मक पूर्णांक मान

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(A) दिया गया समीकरण: ${x^{\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}} = 3^{1/2}}$.दोनों पक्षों में $\log_3$ लेने पर:$(\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{1/2})$.माना $y = \log_3 x$. तब:$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$.$4$ से गुणा करने पर:$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$.$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$.मानों की जाँच करने पर,$y = 1$ एक मूल है: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.$(y-1)$ से विभाजित करने पर,$(y-1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ प्राप्त होता है।$(y-1)(3y+1)(y+2) = 0$.अतः,$y = 1, y = -1/3, y = -2$.चूँकि $y = \log_3 x$,इसलिए $x = 3^1 = 3$,$x = 3^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$,और $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.तीनों मान धनात्मक हैं,लेकिन केवल $x = 3$ एक पूर्णांक है। अतः,केवल एक धनात्मक पूर्णांक मान है।

यदि ${x^{\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}} = \sqrt{3}}$ हो,तब $x$ है:

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