समीकरण $x + \frac{1}{x} = 2$ का हल क्या होगा?

यदि दिए गए समीकरण $({m^2} + 1){x^2} + 2amx + {a^2} - {b^2} = 0$ के मूल समान हैं,तो:

समीकरण $[x^2] - 2x + 1 = 0$ के हलों का योग ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

मान लीजिए कि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_7$ समीकरण $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ के मूल हैं और $|\alpha_1| \geq |\alpha_2| \geq \ldots \geq |\alpha_7|$ है। तो $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6$ का मान $..................$ है।

मान लीजिए $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $g(x) = p(x^3)$ को परिभाषित करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $g$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$II.$ $g$ के दो से अधिक भिन्न वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$III.$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है।

यदि $\alpha$ समीकरण $x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8=0$ का एक बहुल मूल (multiple root) है,तो $3\alpha^2-2\alpha+1=$