Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - 18x + 9 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો $G.M.$ (ભૂમિતિ મધ્યક) $\sqrt{\alpha \beta}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$G.M. = \sqrt{9} = 3$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 10x + 11 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 10$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 11$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(H.M.)$ શોધવાનું સૂત્ર $H.M. = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$H.M. = \frac{2 \times 11}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$ મળે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$.
$\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^2}$.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
$-bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
$2a^2c = ab^2 + bc^2$.
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) સમીકરણ $x^2 - 2ax + b^2 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $2a$ છે.
તેથી,બીજનો $A.M.$ એ $A = \frac{2a}{2} = a$ છે.
સમીકરણ $x^2 - 2bx + a^2 = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $a^2$ છે.
તેથી,બીજનો $G.M.$ એ $G = \sqrt{a^2} = |a|$ છે.
ધારો કે $a > 0,$ તો આપણને $A = a$ અને $G = a$ મળે છે.
આમ,$A = G$.

(C) આપેલ છે કે $A.M. = 8$ અને $G.M. = 5$.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A.M. = \frac{\alpha + \beta}{2} = 8$ હોવાથી,$\alpha + \beta = 16$ મળે.
$G.M. = \sqrt{\alpha\beta} = 5$ હોવાથી,$\alpha\beta = 25$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 - 16x + 25 = 0$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 6x + (\alpha^2 + 1) = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 2$ અને $c = \alpha^2 + 1$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{\alpha^2 + 1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણાકાર $-\alpha$ છે,તેથી $\frac{\alpha^2 + 1}{2} = -\alpha$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\alpha^2 + 1 = -2\alpha$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0$ મળે છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(\alpha + 1)^2 = 0$.
આમ,$\alpha = -1$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 3(\lambda - 2)x + \lambda + 4 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 2$ અને $b = 3(\lambda - 2)$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + (-\alpha) = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$.
$0 = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $3(\lambda - 2) = 0$.
તેથી,$\lambda - 2 = 0$,જે $\lambda = 2$ આપે છે.

(D) ધારો કે ચાર વાસ્તવિક બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. સમીકરણ $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ છે.
$x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\sum \alpha = 4, \sum \alpha\beta = a, \sum \alpha\beta\gamma = -b, \alpha\beta\gamma\delta = 1$.
વાસ્તવિક ધન બીજ માટે,$AM-GM$ અસમતા મુજબ:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} \ge (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4}$.
કિંમતો મુકતા: $\frac{4}{4} \ge (1)^{1/4} \implies 1 \ge 1$.
અહીં $AM = GM$ હોવાથી,બધા બીજ સમાન હોવા જોઈએ: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
હવે,$a$ અને $b$ ની ગણતરી કરતા:
$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} \times (1 \times 1) = 6$.
$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \implies b = -4$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -4$.

(B) ધારો કે પ્રથમ બીજ $\alpha$ છે.
બીજું બીજ પ્રથમ બીજનું વ્યસ્ત હોવાથી,બીજું બીજ $\frac{1}{\alpha}$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = 13$,અને $c = k$ છે.
તેથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{k}{5}$ થાય.
$1 = \frac{k}{5}$.
$k = 5$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 + 3x + 7 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$b = 3$,અને $c = 7$ મળે છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{4}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{4}$.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4} \times \frac{4}{7} = -\frac{3}{7}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મળે.
ધારો કે સમીકરણ $cx^2 + bx + a = 0$ ના બીજ $\alpha'$ અને $\beta'$ છે.
તેથી,$\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c}$ અને $\alpha'\beta' = \frac{a}{c}$ મળે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\alpha'\beta' = \frac{a}{c} = \frac{1}{c/a} = \frac{1}{\alpha\beta}$.
વળી,$\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c} = \frac{-b/a}{c/a} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે નવા બીજ $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ અને $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S_1 + S_2 = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $S_1 S_2 = (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = \alpha \beta + 2 + \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{c}{a} + 2 + \frac{a}{c} = \frac{c^2 + 2ac + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - [-\frac{b(a+c)}{ac}]x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$.
$ac$ વડે ગુણતા,આપણને $acx^2 + b(a+c)x + (a+c)^2 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
હવે,$(\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
વળી,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a + b)^2 - 4\left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right) = a^2 + b^2 + 2ab - 2a^2 - 2b^2 = 2ab - a^2 - b^2 = -(a - b)^2$.
જરૂરી સમીકરણ $x^2 - [(\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2]x + [(\alpha + \beta)^2 \cdot (\alpha - \beta)^2] = 0$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + b^2 + 2ab) - (a^2 + b^2 - 2ab) = 4ab$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $(a + b)^2 \cdot (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$.
આમ,સમીકરણ $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ માટે,$a = \lambda$,$b = 2$,અને $c = 3\lambda$ છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{2}{\lambda}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \frac{3\lambda}{\lambda} = 3$.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો છે:
$-\frac{2}{\lambda} = 3$.
બંને બાજુ $\lambda$ વડે ગુણતા,$-2 = 3\lambda$ મળે.
તેથી,$\lambda = -\frac{2}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x + \lambda = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -6$ $(i)$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \lambda$ $(ii)$ છે.
આપણને $3\alpha + 2\beta = -20$ $(iii)$ પણ આપેલ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\beta = -6 - \alpha$ મળે. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$3\alpha + 2(-6 - \alpha) = -20$
$3\alpha - 12 - 2\alpha = -20$
$\alpha = -8$.
હવે,$(i)$ નો ઉપયોગ કરીને $\beta$ શોધો:
$\beta = -6 - (-8) = 2$.
અંતે,$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\lambda = \alpha \beta = (-8)(2) = -16$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3x + 4 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 3/2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 2$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (3/2)^2 - 2(2) = 9/4 - 4 = -7/4$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (2)^2 = 4$ થાય.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-7/4)x + 4 = 0$,એટલે કે $x^2 + 7/4x + 4 = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$4x^2 + 7x + 16 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^2 - a(x + 1) - b = 0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - ax - a - b = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ સાથે સરખાવતા:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = a$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = -(a + b)$
આપણે $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ ની કિંમત શોધવાની છે:
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\alpha\beta + \alpha + \beta + 1$
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$= -(a + b) + a + 1$
$= -a - b + a + 1$
$= 1 - b$

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + m^4 + m^2 + 1 = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$b = -2(m^2 + 1)$,અને $c = m^4 + m^2 + 1$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \left( \frac{m^4 + m^2 + 1}{2} \right)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = m^4 - m^4 + 2m^2 - m^2 + 1 - 1 = m^2$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $p\alpha$ અને $q\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$p\alpha + q\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(p + q) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(p + q)}$
વળી,$p\alpha \cdot q\alpha = \frac{c}{a} \implies pq\alpha^2 = \frac{c}{a}$
બીજા સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$pq \left( -\frac{b}{a(p + q)} \right)^2 = \frac{c}{a}$
$pq \cdot \frac{b^2}{a^2(p + q)^2} = \frac{c}{a}$
બંને બાજુ $a^2(p + q)^2$ વડે ગુણતા:
$pqb^2 = ac(p + q)^2$
$pqb^2 - (p + q)^2ac = 0$

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,તેથી $a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ થાય. તેવી જ રીતે,$a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\beta\alpha}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મૂકતા:
$E = -\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મળે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ મળે.
આપેલ શરત મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$
બંને બાજુ $a^2$ વડે ગુણતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$-ab = b^2 - 2ac$
$2ac = b^2 + ab$
$2ac = b(a + b)$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 - 2x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = 2$ અને $\alpha \beta = 3$.
આપણે $\frac{1}{\alpha^2}$ અને $\frac{1}{\beta^2}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha \beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^2} = \frac{2^2 - 2(3)}{3^2} = \frac{4 - 6}{9} = -\frac{2}{9}$ છે.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha \beta)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - (-\frac{2}{9})x + \frac{1}{9} = 0$.
$9$ વડે ગુણતા,આપણને $9x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 + px + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = 1$.
આપેલ છે કે $\gamma, \delta$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\gamma + \delta = -q$ અને $\gamma \delta = 1$.
પદાવલિ $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ ધ્યાનમાં લો:
$= (\alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2)(\alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2)$
$= (1 + p\gamma + \gamma^2)(1 - p\delta + \delta^2)$.
ચૂક $\gamma$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,એટલે કે $1 + \gamma^2 = -q\gamma$.
તે જ રીતે,$\delta^2 + 1 = -q\delta$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (-q\gamma + p\gamma)(-q\delta - p\delta)$
$= \gamma(p - q) \times \delta(-p - q)$
$= -\gamma \delta (p - q)(p + q)$
$= -1(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = p$ અને $\alpha\beta = q$.
આપેલ છે કે $\alpha', \beta'$ એ $x^2 - p'x + q' = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha' + \beta' = p'$ અને $\alpha'\beta' = q'$.
ધારો કે $S = (\alpha - \alpha')^2 + (\beta - \alpha')^2 + (\alpha - \beta')^2 + (\beta - \beta')^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S = 2(\alpha^2 + \beta^2) + 2(\alpha'^2 + \beta'^2) - 2(\alpha' + \beta')(\alpha + \beta)$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha^2 + \beta^2 = p^2 - 2q$ અને $\alpha'^2 + \beta'^2 = p'^2 - 2q'$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 2(p^2 - 2q) + 2(p'^2 - 2q') - 2(p')(p) = 2\{p^2 - 2q + p'^2 - 2q' - pp'\}$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ ..... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a}$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-\frac{b}{a})^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\alpha^3 = \frac{c}{a}$ અને $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ મૂકતા:
$\frac{c}{a} + (\frac{c}{a})^2 + 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a}) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} + \frac{c^2}{a^2} - \frac{3bc}{a^2} = -\frac{b^3}{a^3}$
આખા સમીકરણને $a^3$ વડે ગુણતા:
$a^2c + ac^2 - 3abc = -b^3$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો $A.M.$ (સમાંતર મધ્યક) $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 2A$.
બીજનો $G.M.$ (ગુણોત્તર મધ્યક) $G = \sqrt{\alpha \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = G^2$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})t + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $(x - a)(x - b) - c = 0$ ના બીજ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (a + b)x + ab - c = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha + \beta = a + b$ અને $\alpha\beta = ab - c$.
હવે,સમીકરણ $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta + c = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં $(\alpha + \beta)$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
$(x - a)(x - b) = 0$.
આમ,સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + 8 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = p$ અને $\alpha \beta = 8$ મળે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = 2$ છે,તેથી $(\alpha - \beta)^2 = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા: $p^2 - 2^2 = 4(8)$.
$p^2 - 4 = 32$.
$p^2 = 36$.
તેથી,$p = \pm 6$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
આમ,$-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$.
ગોઠવતા,$2a^2c = ab^2 + bc^2$.
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
હવે,પદ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ ને ધ્યાનમાં લો.
લસાઅ લેતા,$\frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}}$ મળે.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા,$\frac{-\frac{2b}{a}}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\frac{2b}{\sqrt{ac}}$ મળે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે કારણ કે તે એકબીજાના વ્યસ્ત છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\alpha \times \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a}$.
$1 = \frac{c}{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = c$,અથવા $a - c = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ અને $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ થાય.
આપેલ છે કે $\alpha^2, \beta^2$ એ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ અને $\alpha^2\beta^2 = q$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,$-p = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A})$ મળે.
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$.
તેથી,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = -p$ થાય.
તેથી,$-p = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-p = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{(-1)^2 - 2(1)}{1} = \frac{1 - 2}{1} = -1$.
આમ,$-p = -1$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + ax + b = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = b$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)$.
આને $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta]$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)[(-a)^2 - 3(b)]$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)(a^2 - 3b) = -a^3 + 3ab$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$ થાય.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો તેમના તફાવત કરતા ત્રણ ગણો છે: $\alpha + \beta = 3(\alpha - \beta)$.
$\alpha + \beta = -p$ મૂકતા,આપણને $-p = 3(\alpha - \beta)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha - \beta = -\frac{p}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા,$(-\frac{p}{3})^2 = (-p)^2 - 4q$.
$\frac{p^2}{9} = p^2 - 4q$.
$4q = p^2 - \frac{p^2}{9} = \frac{8p^2}{9}$.
$36q = 8p^2$,જેનું સાદું રૂપ $2p^2 = 9q$ થાય છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 2k + 1$,$b = -(7k + 3)$,અને $c = k + 2$ છે.
બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1$ થાય.
તેથી,$\frac{c}{a} = 1 \Rightarrow \frac{k + 2}{2k + 1} = 1$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k + 2 = 2k + 1$.
$2 - 1 = 2k - k$.
$k = 1$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $l$ અને $2l$ છે.
બીજનો સરવાળો: $l + 2l = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow 3l = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow l = -\frac{b}{3a}$ $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $l \times 2l = \frac{c}{a} \Rightarrow 2l^2 = \frac{c}{a}$ $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
$2b^2 = 9ac$

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 2$ અને $\alpha^3 + \beta^3 = 98$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.
આને $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $98 = 2((2)^2 - 3\alpha\beta)$.
$49 = 4 - 3\alpha\beta$.
$3\alpha\beta = 4 - 49 = -45$.
$\alpha\beta = -15$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$x^2 - 2x - 15 = 0$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
આપણે $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha\beta$ સામાન્ય લેતા:
$\alpha\beta(\beta + \alpha) + \alpha\beta = \alpha\beta(\alpha + \beta + 1)$.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{c}{a} \left( -\frac{b}{a} + 1 \right)$
$= \frac{c}{a} \left( \frac{a - b}{a} \right)$
$= \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $mx^2 + 6x + (2m - 1) = 0$ માટે,$a = m$ અને $c = 2m - 1$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $-1$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{2m - 1}{m} = -1$.
બંને બાજુ $m$ વડે ગુણતા,આપણને $2m - 1 = -m$ મળે છે.
બંને બાજુ $m$ ઉમેરતા,આપણને $3m - 1 = 0$ મળે છે.
આમ,$3m = 1$,જેનો અર્થ છે કે $m = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + ax + b = 0$ ના બીજ $p$ અને $q$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$p + q = -a$ અને $pq = b$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $p^2q$ અને $pq^2$ હોય.
ધારો કે નવા બીજ $\alpha = p^2q$ અને $\beta = pq^2$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = p^2q + pq^2 = pq(p + q) = (b)(-a) = -ab$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = (p^2q)(pq^2) = p^3q^3 = (pq)^3 = b^3$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-ab)x + b^3 = 0$,એટલે કે $x^2 + abx + b^3 = 0$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x + 1 = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-4, c=1$ મળે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b/a = -(-4)/1 = 4$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = c/a = 1/1 = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^3 + \beta^3 = (4)^3 - 3(1)(4)$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 64 - 12 = 52$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 35x + 2 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$2\alpha^2 - 35\alpha + 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha^2 - 35\alpha = -2$.
$\alpha$ વડે ભાગતા,આપણને $2\alpha - 35 = -\frac{2}{\alpha}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$\beta$ માટે,$2\beta - 35 = -\frac{2}{\beta}$.
હવે,આ કિંમતોને $(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3$ માં મૂકતા:
$(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3 = \left(-\frac{2}{\alpha}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{\beta}\right)^3$
$= \left(-\frac{8}{\alpha^3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{\beta^3}\right)$
$= \frac{64}{(\alpha \beta)^3}$
કારણ કે $\alpha \beta = 1$,તેથી અભિવ્યક્તિ $\frac{64}{1^3} = 64$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $3p^2 = 5p + 2$ અને $3q^2 = 5q + 2$ જ્યાં $p \ne q$.
આનો અર્થ એ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 5x - 2 = 0$ ના ભિન્ન બીજ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -5$,અને $c = -2$.
તેથી,બીજનો ગુણાકાર $pq = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + bx - c = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha + \beta = -b$ અને $\alpha \beta = -c$.
આનો અર્થ એ છે કે $b = -(\alpha + \beta)$ અને $c = -\alpha \beta$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $b$ અને $c$ હોય.
બીજનો સરવાળો = $b + c = -(\alpha + \beta) - \alpha \beta = -[(\alpha + \beta) + \alpha \beta]$.
બીજનો ગુણાકાર = $bc = [ -(\alpha + \beta) ] \times [ -\alpha \beta ] = \alpha \beta(\alpha + \beta)$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (-[(\alpha + \beta) + \alpha \beta])x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.
$x^2 + [(\alpha + \beta) + \alpha \beta]x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
પદાવલિ $(1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) + \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$= 1 - \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} - \frac{bc}{a^2} + \frac{c^2}{a^2}$
$= \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2}$
$= \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2a^2}$
અહીં $a, b, c$ ભિન્ન હોવાથી,અંશ હંમેશા ધન રહે છે અને $2a^2 > 0$ હોવાથી,આ પદાવલિ હંમેશા ધન છે.

(A) ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$ અને $x_2 = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{\alpha}{\alpha - 1} \times \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$.
યોગ-વિયોગની રીતથી,$\frac{(\alpha + 1) + (\alpha - 1)}{(\alpha + 1) - (\alpha - 1)} = \frac{c + a}{c - a} \implies \alpha = \frac{c + a}{c - a}$.
બીજનો સરવાળો: $\frac{2\alpha^2 - 1}{\alpha^2 - \alpha} = -\frac{b}{a}$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $(a + b + c)^2 = b^2 - 4ac$ મળે છે.

(B) ધારો કે $ax^2 + 2bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n}$ છે.
તેથી $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
સંબંધ $\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{4b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$px^2 + 2qx + r = 0$ માટે,$\frac{4q^2}{pr} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{4b^2}{ac} = \frac{4q^2}{pr}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx - c = 0$ છે જ્યાં $b, c > 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b$.
કારણ કે $b > 0$,તેથી $-b < 0$,એટલે કે $\alpha + \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -c$.
કારણ કે $c > 0$,તેથી $-c < 0$,એટલે કે $\alpha \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી,બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - (p + 1)x + pq = 0$ છે.
જેহেতু $p$ અને $q$ એ સમીકરણના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $p + q = -(\text{coefficient of } x) / (\text{coefficient of } x^2)$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$p + q = p + 1$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા,આપણને $q = 1$ મળે છે.