Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(B) दी गई शर्तें $|Z| \leq 3$ और $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ हैं।
$|Z| \leq 3$ मूल बिंदु पर केंद्रित $3$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।
$-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश (दायां अर्ध-तल) में क्षेत्र को दर्शाता है।
अतः,$Z$ का बिंदु पथ $r = 3$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त है।
क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (3)^2 = \frac{9 \pi}{2}$ है।

(C) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z - 3i}{z + 4} = \frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy} \times \frac{(x + 4) - iy}{(x + 4) - iy} = \frac{x(x + 4) - xyi + i(y - 3)(x + 4) + y(y - 3)}{(x + 4)^2 + y^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x^2 + 4x + y^2 - 3y}{(x + 4)^2 + y^2}$ है और काल्पनिक भाग $\frac{4y - 3x - 12}{(x + 4)^2 + y^2}$ है।
चूँकि $\operatorname{Arg}(w) = \frac{\pi}{2}$,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0$ और $4y - 3x - 12 > 0$.
इससे $3x - 4y < -12 < 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $Z^3+i Z^2+2 i=0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$Z=i$ एक मूल है क्योंकि $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$।
बहुपद को $(Z-i)$ से विभाजित करने पर,हमें $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $Z^2+2iZ-2=0$ को हल करने पर: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$।
मूल $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,और $Z_3 = -1-i$ हैं।
आर्गंड तल में इन बिंदुओं को निरूपित करने पर: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,और $C(-1, -1)$।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$।
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
चूंकि $AB = AC = \sqrt{5}$ है,इसलिए त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) दिया गया है $x^3-a^3=0 \Rightarrow (x-a)(x^2+ax+a^2)=0$.
चूंकि $a>0$,वास्तविक मूल $\alpha = a$ है।
अन्य मूल $\beta = a \omega = a(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ और $\gamma = a \omega^2 = a(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ हैं।
पहला वक्र $|z - \beta| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है,जो केंद्र $\beta = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ और त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ वाला एक वृत्त है।
दूसरा वक्र $|z - \gamma| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है,जो केंद्र $\gamma = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ और त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ वाला एक वृत्त है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}))^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}))^2} = a\sqrt{3}$ है।
त्रिज्याओं का योग $R_1 + R_2 = a\sqrt{3}$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी $d$ त्रिज्याओं के योग $R_1 + R_2$ के बराबर है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(A) $z_3 = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{(2+3i)+(4-5i)}{2} = 3-i$.
दिया गया है $5z_1+xz_2+yz_3=0$.
मान रखने पर: $5(2+3i) + x(4-5i) + y(3-i) = 0$.
$(10+15i) + (4x-5xi) + (3y-yi) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहित करने पर: $(10+4x+3y) + i(15-5x-y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x+3y = -10$ $(i)$
$5x+y = 15$ (ii)
(ii) से,$y = 15-5x$.
$(i)$ में मान रखने पर: $4x + 3(15-5x) = -10$.
$4x + 45 - 15x = -10$.
$-11x = -55 \Rightarrow x = 5$.
$y = 15 - 5(5) = 15-25 = -10$.
अतः,$x+y = 5-10 = -5$.

(C) चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle C = 90^{\circ}$ है,इसलिए $AC = BC$ है।
घूर्णन के गुण का उपयोग करते हुए,सदिश $\vec{CA}$ को $\vec{CB}$ को $90^{\circ}$ ($i.e., \frac{\pi}{2}$ रेडियन) वामावर्त दिशा में घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$z_1 - z_3 = i(z_2 - z_3)$।
साथ ही,समद्विबाहु होने के कारण,$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ है।
अब,सदिश $\vec{BA} = z_1 - z_2$ और $\vec{BC} = z_3 - z_2$ पर विचार करें।
$\triangle ABC$ में,$\angle B = 45^{\circ}$ और $AC = BC$ है।
घूर्णन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$।
इसी प्रकार,$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = 1 - i$।
इन दोनों का गुणा करने पर,$\frac{(z_1 - z_2)(z_2 - z_1)}{(z_3 - z_2)(z_3 - z_1)} = (1+i)(1-i) = 2$।
अतः,$(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$ प्राप्त होता है।

(D) तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के एक समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त निम्नलिखित है:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
यहाँ दिया गया है कि शीर्ष $z_1, z_2$ और $0$ हैं,इसलिए $z_3 = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$

(A) दिया गया समीकरण: $\bar{z} z^3+z \bar{z}^3=350$
$\Rightarrow z \bar{z}(z^2+\bar{z}^2)=350$
माना $z=x+iy$,तो $\bar{z}=x-iy$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(x+iy)(x-iy)[(x+iy)^2+(x-iy)^2]=350$
$(x^2+y^2)[(x^2-y^2+2ixy)+(x^2-y^2-2ixy)]=350$
$(x^2+y^2) \cdot 2(x^2-y^2)=350$
$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=175$
चूँकि $x, y \in \mathbb{Z}$ है,इसलिए $x^2+y^2=25$ और $x^2-y^2=7$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
आयत के शीर्ष $(4,3), (4,-3), (-4,-3),$ और $(-4,3)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $6$ और $8$ है।
क्षेत्रफल $= 6 \times 8 = 48$ वर्ग इकाई।

(A) माना $z = x + iy$. तब $iz = -y + ix$ और $z + iz = (x - y) + i(x + y)$.
त्रिभुज के शीर्ष $(x, y)$,$(-y, x)$ और $(x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(C) दिए गए वक्रों के समीकरण:
$|z|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1$ $(i)$
$|z-2|=1 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$ $(ii)$
$|z-1|=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$
$(x-2)^2 = x^2$
$x^2-4x+4 = x^2$
$4x = 4 \Rightarrow x=1$
समीकरण $(i)$ में $x=1$ रखने पर:
$1^2+y^2=1$ $\Rightarrow y^2=0$ $\Rightarrow y=0$
अतः,$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,0)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $(1,0)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करता है:
$(1-1)^2+0^2 = 0^2+0^2 = 0$
चूँकि यह तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए उभयनिष्ठ बिंदु $(1,0)$ है।

(A) कार्तीय तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा दिया जाता है ... $(i)$
माना $z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ है।
तब $z + \bar{z} = 2x$ और $z \bar{z} = x^2 + y^2$ होगा।
साथ ही,$y = \frac{z - \bar{z}}{2i} = -\frac{i}{2}(z - \bar{z})$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z \bar{z} + 2g(\frac{z + \bar{z}}{2}) + 2f(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + c = 0$
$z \bar{z} + g(z + \bar{z}) - if(z - \bar{z}) + c = 0$
$z \bar{z} + (g - if)z + (g + if)\bar{z} + c = 0$
माना $b = g + if$,तो $\bar{b} = g - if$ होगा।
इन मानों को रखने पर,हमें $z \bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ प्राप्त होता है।
यह सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दी गई असमिका $|z - (2 + 2i)| \leq 1$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
असमिका में $z$ का मान रखने पर,हमें $|(x - 2) + i(y - 2)| \leq 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1^2$ प्राप्त होता है।
यह सम्मिश्र तल में $(2, 2)$ केंद्र और $r = 1$ त्रिज्या वाली एक बंद वृत्तीय डिस्क को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) शर्त $(i)$ के लिए, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.
इसके शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.
$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (वृत्त $C_1$).
शर्त $(ii)$ के लिए, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि $\frac{z+i}{z+1}$ धनात्मक काल्पनिक भाग के साथ शुद्ध काल्पनिक है।
मान लीजिए $z+i = x+i(y+1)$ और $z+1 = (x+1)+iy$.
$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.
वास्तविक भाग $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (वृत्त $C_2$).
$C_1$ और $C_2$ के समीकरणों को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.
$y = -6x$ को $x^2 + y^2 + x + y = 0$ में रखने पर:
$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.
$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ या $x = \frac{5}{37}$.
$x = \frac{5}{37}$ के लिए, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.
मूल बिंदु के अलावा प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ है।

(C) माना सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = z$,$z_2 = z e^{i \pi / 3}$,और $z_3 = z(1 + e^{i \pi / 3})$ हैं।
$PQ = |z_2 - z_1| = |z e^{i \pi / 3} - z| = |z| |e^{i \pi / 3} - 1| = |z| \cdot 1 = |z|$.
$QR = |z_3 - z_2| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
$PR = |z_3 - z_1| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z| = |z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
चूँकि $PQ = QR = PR = |z|$,अतः $\triangle PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.

(D) प्रतिबंध $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ या $\pi$ का अर्थ है कि सदिश $(z-z_1)$ और $(z-z_2)$ संरेख हैं।
इसका मतलब है कि बिंदु $z$,बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
विशेष रूप से,यदि $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ है,तो बिंदु $z$ रेखाखंड $\overline{AB}$ के बाहर रेखा पर स्थित है।
यदि $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\pi$ है,तो बिंदु $z$ रेखाखंड $\overline{AB}$ पर स्थित है।
अतः,$z$ का बिंदु पथ बिंदुओं $A$ और $B$ से गुजरने वाली सीधी रेखा है।

(A) माना $Z = x + iy$.
तब $\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1) - iy$ से गुणा करने पर:
$\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + 2iy}{(x+1)^2 + y^2}$.
दिया है $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
चूँकि $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$,इसलिए $1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
यह $x^2 + y^2 - 1 = 2y$ में सरल होता है,अर्थात $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$।

(C) दिए गए बिंदु $A(3-i)$ और $B(2+i)$ हैं।
आर्गंड समतल में,ये निर्देशांक $A(3, -1)$ और $B(2, 1)$ के अनुरूप हैं।
दिया गया समीकरण $|z-3+i|=|z-2-i|$ है।
इसे $|z-(3-i)|=|z-(2+i)|$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $P$ सम्मिश्र संख्या $z$ को दर्शाने वाला बिंदु है। तो यह समीकरण उन बिंदुओं $P$ के समूह को दर्शाता है जिनके लिए $P$ की $A$ से दूरी,$P$ की $B$ से दूरी के बराबर है,अर्थात $PA = PB$ है।
दो निश्चित बिंदुओं $A$ और $B$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक होता है।

(B) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
चूँकि $z=x iy$,हमारे पास $\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x^2 3y^2 10y 3=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|z|=1$,हम $z = x + iy$ लिख सकते हैं जहाँ $x^2 + y^2 = 1$ है।
तब,$\frac{1+z^2}{2iz} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z} + z\right)$।
चूँकि $|z|=1$,हमारे पास $\frac{1}{z} = \bar{z} = x - iy$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2i} (x - iy + x + iy) = \frac{1}{2i} (2x) = \frac{x}{i} = -ix$।
अतः,$\frac{1+z^2}{2iz} = -ix$।
काल्पनिक भाग लेने पर,$a = \operatorname{Im}(-ix) = -x$।
चूँकि $x = \operatorname{Re}(z)$,हमारे पास $a = -\operatorname{Re}(z)$ है।

(D) दिया गया है $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.
समान पदों $a^2 |\omega_1|^2$ और $b^2 |\omega_2|^2$ को हटाने पर,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b \neq 0$,इसलिए $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.
इसका अर्थ है $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.
मान लीजिए $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. तब $\omega_1 = z \omega_2$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.
चूंकि $\omega_2 \neq 0$,इसलिए $|\omega_2|^2 \neq 0$,अतः $z + \bar{z} = 0$.
इसका अर्थ है $2 \text{Re}(z) = 0$,इसलिए $\text{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.
अतः,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।

(A) दिया गया है: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ और $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$.
माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$.
समीकरणों को $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 \text{Re}(z_1 \bar{z_3})$.
चूंकि $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$,हमारे पास $16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$ है।
इसी प्रकार,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$ है।
अब,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$ है।
और $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$ है।
अतः,$2097 - 2032 = 65$ है।
विकल्पों की जांच करने पर: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $z_1 = \cos A + i \sin A$,$z_2 = \cos B + i \sin B$,और $z_3 = \cos C + i \sin C$ है।
दिया गया है कि $\cos A + \cos B + \cos C = 0$ और $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,इसलिए $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
इसका संयुग्मी लेने पर,$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|z|=1$ के लिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ होता है,इसलिए $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0$,अतः $z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0$ है।
ध्रुवीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = 0$
$\sum (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i \sum (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 0$
$\sum \cos (A+B) + i \sum \sin (A+B) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,हमें $\cos (A+B) + \cos (B+C) + \cos (C+A) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $w = \frac{z-2}{z-4i}$ है। दी गई शर्तें $\operatorname{Re}(w) = 0$ और $\operatorname{Im}(w) = 1$ हैं।
इसका अर्थ है $w = 0 + 1i = i$।
अतः, $\frac{z-2}{z-4i} = i$।
दोनों पक्षों को $(z-4i)$ से गुणा करने पर, हमें $z-2 = i(z-4i)$ प्राप्त होता है।
$z-2 = iz - 4i^2$।
चूंकि $i^2 = -1$, इसलिए $z-2 = iz + 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $z - iz = 4 + 2$।
$z(1-i) = 6$।
$z = \frac{6}{1-i} = \frac{6(1+i)}{2} = 3(1+i)$।
चूंकि $z$ का एक अद्वितीय मान है, इसलिए बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^4 = P$ जहाँ $|P| = 1$.
माना $w = \frac{1+iz}{1-iz}$. तब $w^4 = P$.
चूँकि $|P| = 1$,हमारे पास $|w|^4 = 1$ है,जिसका अर्थ है $|w| = 1$.
अतः,$\left|\frac{1+iz}{1-iz}\right| = 1$.
इसका तात्पर्य है $|1+iz| = |1-iz|$.
माना $z = x+iy$. तब $|1+i(x+iy)| = |1-i(x+iy)|$.
$|1-y+ix| = |1+y-ix|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1-y)^2 + x^2 = (1+y)^2 + x^2$.
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$.
$-2y = 2y$ $\Rightarrow 4y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
अतः,$z$ एक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। चूँकि $z$ वास्तविक है,समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(C) दिया गया है $|1 + iz| = |1 - iz|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|1 + i(x + iy)| = |1 - i(x + iy)|$
$|1 + ix - y| = |1 - ix + y|$
$|(1 - y) + ix| = |(1 + y) - ix|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$
$-2y = 2y$
$4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
चूंकि $z = x + iy$ और $y = 0$, इसलिए $z = x$.
साथ ही, $\bar{z} = x - iy = x - i(0) = x$.
अतः, $z = \bar{z}$.

(A) माना $z = x+iy$. दिया गया व्यंजक $\frac{(x-2)+i(y-1)}{(x+1)+i(y-2)}$ है।
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,अंश और हर के संयुग्मी के गुणनफल का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{[(x-2)+i(y-1)][(x+1)-i(y-2)]}{(x+1)^2+(y-2)^2}$.
काल्पनिक भाग: $(x+1)(y-1) - (x-2)(y-2) = 0$.
विस्तार करने पर: $(xy - x + y - 1) - (xy - 2x - 2y + 4) = 0$.
$xy - x + y - 1 - xy + 2x + 2y - 4 = 0$.
$x + 3y - 5 = 0$.
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $z \neq -(1-2i)$,जिसका अर्थ है $x \neq -1$ और $y \neq 2$.
अतः,बिंदुपथ रेखा $x+3y-5=0$ है,जिसमें बिंदु $(-1,2)$ शामिल नहीं है।

(A) माना $z = x + iy$.
तब,आर्गंड समतल में आयत के शीर्ष $(x, y), (x, -y), (-x, -y),$ और $(-x, y)$ हैं।
आयत की भुजाओं की लंबाई $|2x|$ और $|2y|$ है।
आयत का क्षेत्रफल $4|xy|$ है।
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $2\sqrt{3}$ है,इसलिए $4|xy| = 2\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $|xy| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
विकल्प $A$ के लिए,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ और $y = \sqrt{3}$.
अतः $|xy| = |\frac{1}{2} \times \sqrt{3}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$ एक संभावित हल है।

(A) दिया गया है $A = \{z : |z| \leq 2\}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,या $x^2 + y^2 \leq 4$।
दिया गया है $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$।
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$
$(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$
$(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$
$2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$।
अतः,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 \text{ और } x + y \geq 2\}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (सत्य)। $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (सत्य)।
अतः,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ समुच्चय $A \cap B$ में आता है।

(D) दिया गया समीकरण $z^2(1-z^2)=16$ है,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है।
इसे $z^2 - z^4 = 16$,या $z^4 - z^2 + 16 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $z^2 = w$ है। तब $w^2 - w + 16 = 0$ होगा।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2} = \frac{1 \pm 3i\sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $w = z^2$,इसलिए $|w| = |z^2| = |z|^2$ है।
$w$ का मापांक ज्ञात करने पर:
$|w| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{63}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$ है।
अतः,$|z|^2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 2$ है।

(A) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ है।
$z = ix$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
अतः,$\sinh(ix) = i \sin x$.

(C) दिया गया है $|Z-1| \leq 2$,जो $1$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाली एक डिस्क है।
$|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ में $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ का उपयोग करने पर,यह $|\omega Z + \omega| = r$ अर्थात $|Z+1| = r$ बन जाता है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = |1 - (-1)| = 2$ है।
कोई उभयनिष्ठ हल न होने के लिए,वृत्त को डिस्क के बाहर होना चाहिए,जो $r < 0$ का संकेत देता है। विकल्पों के अनुसार $r > 4$ सही शर्त है।

(C) दिया गया है $z = x + iy$।
समीकरण $|z - 1| + |z + i| = 2$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x - 1) + iy| + |x + i(y + 1)| = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y + 1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 + 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$-2x - 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$-2$ से विभाजित करने पर: $x + y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$।
सरल करने पर: $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$।

(D) प्रतिबंध $\operatorname{Arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{2}$ एक अर्धवृत्ताकार चाप को दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ को जोड़ता है। \\ यहाँ,$z_1 = 3$ और $z_2 = -2i$ है। \\ बिंदुपथ $(3, 0)$ और $(0, -2)$ से गुजरने वाला एक अर्धवृत्त है। \\ यह जांचने के लिए कि क्या मूल बिंदु $(0, 0)$ इस चाप पर स्थित है,हम $z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं: \\ $\operatorname{Arg}\left(\frac{0 - 3}{0 + 2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{-3}{2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{3i}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$. \\ चूंकि $z = 0$ पर शर्त पूरी होती है,इसलिए बिंदुपथ मूल बिंदु को शामिल करने वाला एक अर्धवृत्ताकार चाप है।

(C) दिया गया है $z=x+iy$. समीकरण $|z-2|+|z-2i|=4$ है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(x-2)+iy|+|x+(y-2)i|=4$ प्राप्त होता है।
यह $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{x^2+(y-2)^2} = 4$ को दर्शाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-2)^2+y^2 = 16 + x^2+(y-2)^2 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
सरल करने पर: $x^2-4x+4+y^2 = 16+x^2+y^2-4y+4 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4x+4y-16 = -8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4$ से विभाजित करने पर: $x-y+4 = 2\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
पुनः वर्ग करने पर: $(x-y+4)^2 = 4(x^2+y^2-4y+4)$.
$x^2+y^2+16-2xy+8x-8y = 4x^2+4y^2-16y+16$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2+3y^2+2xy-8x-8y=0$.

(A) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.

(C) दिया गया है $z=x+iy$ और $\operatorname{Im}\left(\frac{z-3i}{iz+4}\right)=0$ है।
$z=x+iy$ रखने पर, $\frac{x+i(y-3)}{i(x+iy)+4} = \frac{x+i(y-3)}{(4-y)+ix}$ प्राप्त होता है।
काल्पनिक भाग ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4-y)-ix$ से गुणा करें।
हर $(4-y)^2+x^2$ हो जाता है।
अंश $[x+i(y-3)][(4-y)-ix] = x(4-y)-ix^2+i(y-3)(4-y)+x(y-3)$ हो जाता है।
अंश का सरलीकरण: $4x-xy-ix^2+i(-y^2+7y-12)+xy-3x = x - i(x^2+y^2-7y+12)$ है।
काल्पनिक भाग शून्य होने के लिए, $i$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $-(x^2+y^2-7y+12) = 0$, जिसका अर्थ है $x^2+y^2-7y+12=0$ है।
साथ ही, हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए $(4-y)^2+x^2 \neq 0$, जिसका अर्थ है $(x,y) \neq (0,4)$।

(A) माना $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
व्यंजक में मान रखने पर: $\frac{\bar{z}-1}{z-i} = \frac{(x-1) - iy}{x + i(y-1)}$.
वास्तविक भाग प्राप्त करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $x - i(y-1)$ से गुणा करें।
$\frac{((x-1) - iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x(x-1) - y(y-1) + i(\dots)}{x^2 + (y-1)^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x^2 - x - y^2 + y}{x^2 + (y-1)^2} = 2$ है।
$x^2 - x - y^2 + y = 2(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + 3y^2 + x - 5y + 2 = 0$.
यह समीकरण $(-1, 1)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(D) दिया गया है,$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$.
माना $z = x+iy$.
तब $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1 = 0$ प्राप्त होता है.
इस प्रकार,$z$ का बिंदुपथ $x-y+1 = 0$ है.

(D) दिया गया है $\left|\frac{z+3i}{3z+i}\right| < 1$,जहाँ $z = x + iy$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{|z+3i|^2}{|3z+i|^2} < 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|x + i(y+3)|^2 < |3x + i(3y+1)|^2$।
$x^2 + (y+3)^2 < (3x)^2 + (3y+1)^2$।
$x^2 + y^2 + 6y + 9 < 9x^2 + 9y^2 + 6y + 1$।
$8x^2 + 8y^2 - 8 > 0$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 > 1$ बनता है।
चूँकि बिंदु $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ इस असमिका को संतुष्ट करता है:
$\left(\frac{k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{k-2}{k}\right)^2 > 1$।
$\frac{k^2 - 2k + 1 + k^2 - 4k + 4}{k^2} > 1$।
$2k^2 - 6k + 5 > k^2$।
$k^2 - 6k + 5 > 0$।
$(k-1)(k-5) > 0$।
अतः,$k \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$।

(C) दिया गया समीकरण: $\left|\frac{z-2i}{z+2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर: $\left|\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)} \right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2+(y-2)^2}{x^2+(y+2)^2}=4$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4(x^2+y^2+4y+4)$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+4y^2+16y+16$.
$3x^2+3y^2+20y+12=0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2+y^2+\frac{20}{3}y+4=0$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}-4 = \frac{100-36}{9} = \frac{64}{9}$.
अतः,$x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2$.
वृत्त की त्रिज्या $\frac{8}{3}$ है।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया है,$\left|\frac{z + 2i}{2z + i}\right| < 1$.
इसका अर्थ है $|z + 2i| < |2z + i|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|x + i(y + 2)| < |2x + i(2y + 1)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y + 2)^2 < (2x)^2 + (2y + 1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 > 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
यह $x$-अक्ष को दर्शाता है।