De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(D) माना $z_1 = 1-\sqrt{3}i$ और $z_2 = \sqrt{3}+i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$z_1 = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\pi/3}$.
$z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\pi/6}$.
अब,$z_1^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = 2^9(\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi)) = 2^9(-1) = -2^9$.
$z_2^9 = 2^9 e^{i3\pi/2} = 2^9(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2^9(0 - i) = -i2^9$.
अतः,$|z_1^9 + z_2^9| = |-2^9 - i2^9| = |2^9(-1-i)| = 2^9|-1-i|$.
$|z_1^9 + z_2^9| = 2^9 \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = 2^9 \sqrt{2} = 2^9 \cdot 2^{1/2} = 2^{19/2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
साथ ही,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है।
व्यंजक $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ है।
चूंकि $\omega^{3k} = 1$,यह $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ बन जाता है।
योग को अलग करने पर: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$।
चूंकि $2022$,$3$ का गुणज है,इसलिए $3$ पदों पर $\omega$ की घातों का योग $0$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ और $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$ है।
कुल योग $0 + 0 + 2 \times 2022 = 4044$ है।

(B) दिया गया है,$k(\cos \theta+i \sin \theta)=2+2 \sqrt{3} i$.
मापांक और कोणांक की तुलना करने पर,$k = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
साथ ही,$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{3}$.
अब,हमें $\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta]$ का मान ज्ञात करना है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$6\theta = 6(\frac{\pi}{3}) = 2\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 2\pi + i \sin 2\pi] = \frac{1}{\sqrt{3}}[1 + i(0)] = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) माना $z = \sqrt{3} + i$.
तब,मापांक $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.
कोणांक $\theta = \arg(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय रूप $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{10} = 2^{10}(\cos \frac{10\pi}{6} + i \sin \frac{10\pi}{6})$.
कोण को सरल करने पर,$\frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.
$z^{10} = 1024(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
चूंकि $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$z^{10} = 1024(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 - 512i\sqrt{3}$.
$a+bi$ के साथ तुलना करने पर,$a = 512$ और $b = -512\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास है,
$\sum_{r=1}^{16}\left(\sin \frac{2 r \pi}{17}+i \cos \frac{2 r \pi}{17}\right) = i \sum_{r=1}^{16}\left(\cos \frac{2 r \pi}{17} - i \sin \frac{2 r \pi}{17}\right)$
$= i \sum_{r=1}^{16} e^{-\frac{i 2 r \pi}{17}}$
मान लीजिए $K = e^{-\frac{2 i \pi}{17}}$ है। तब योग $i \sum_{r=1}^{16} K^r$ है।
यह $16$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$i \left[ K \frac{1-K^{16}}{1-K} \right] = i \frac{K-K^{17}}{1-K}$
चूँकि $K^{17} = e^{-2 i \pi} = \cos(2 \pi) - i \sin(2 \pi) = 1$,
अतः व्यंजक $i \frac{K-1}{1-K} = i(-1) = -i$ हो जाता है।

(D) माना $z = \sqrt{3}-i$. ध्रुवीय रूप में,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
हम $w = z^{3/7} = (2e^{-i\frac{\pi}{6} + 2k\pi i})^{3/7}$ के सभी मानों का गुणनफल ज्ञात करना चाहते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
यह $w_k = 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ के रूप में सरल हो जाता है।
इन $7$ मानों का गुणनफल $P = \prod_{k=0}^{6} 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ है।
$P = (2^{3/7})^7 \cdot e^{i \sum_{k=0}^{6} (-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{7\pi}{14} + \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{\pi}{2} + 18\pi)} = 8 \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = 8(-i) = -8i$.

(C) दिया गया है $|Z|=2$ और $\operatorname{amp}(Z)=\theta$, हम $Z=2e^{i\theta}$ लिख सकते हैं।
तब $Z_1 = \frac{2e^{i\theta}}{2} e^{i\alpha} = e^{i(\theta+\alpha)}$।
अब, $Z_1^n = (e^{i(\theta+\alpha)})^n = e^{in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))$।
इसी प्रकार, $Z_1^{-n} = e^{-in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha))$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{Z_1^n-Z_1^{-n}}{Z_1^n+Z_1^{-n}} = \frac{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) - (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) + (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}$
$= \frac{2i\sin(n(\theta+\alpha))}{2\cos(n(\theta+\alpha))} = i\tan(n(\theta+\alpha))$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $z = \sqrt{3} + i$ है। हम $z$ को ध्रुवीय रूप में $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः $z^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3}))$।
इसी प्रकार,$(\sqrt{3}-i)^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) - i \sin(\frac{n\pi}{3}))$।
इन दोनों का योग करने पर,हमें $2^{2n} \times 2 \cos(\frac{n\pi}{3}) = 2^{2n+1} \cos(\frac{n\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
$n=1$ के लिए,$(\sqrt{3}+i)^2 + (\sqrt{3}-i)^2 = (2+2\sqrt{3}i) + (2-2\sqrt{3}i) = 4$।
विकल्प $C$ में $n=1$ रखने पर,$(-1)^{1+1} 2^{2(1)} = 1 \times 4 = 4$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
ध्रुवीय रूप में,$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
कोण $\theta = -\frac{\pi}{3}$ है।
घनमूल $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right)$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2$.
$k=0$ के लिए: $\theta_0 = -20^\circ$ (चतुर्थ चतुर्थांश)।
$k=1$ के लिए: $\theta_1 = 100^\circ$ (द्वितीय चतुर्थांश)।
$k=2$ के लिए: $\theta_2 = 220^\circ$ (तृतीय चतुर्थांश)।
कोई भी मूल प्रथम चतुर्थांश में नहीं है।

(B) माना $z = \sqrt{3} + i$. ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$. कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^{10} = 2^{10}(\cos \frac{10\pi}{6} + i \sin \frac{10\pi}{6}) = 1024(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
चूंकि $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $z^{10} = 1024(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 - 512i\sqrt{3}$.
इसी प्रकार,$\bar{z} = \sqrt{3} - i$ के लिए,$\bar{z}^{10} = 1024(\cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3})) = 1024(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 + 512i\sqrt{3}$.
इन दोनों का योग करने पर,$(\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} = (512 - 512i\sqrt{3}) + (512 + 512i\sqrt{3}) = 1024$.

(C) माना $z = -1 - \sqrt{3}i$.
सबसे पहले,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें:
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
$\theta = \text{arg}(z) = \frac{4\pi}{3}$.
अतः,$z = 2e^{i(4\pi/3 + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$.
$z^{3/4} = 2^{3/4} e^{i(\pi + 3k\pi/2)}$.
वास्तविक मान के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\sin(\pi + \frac{3k\pi}{2}) = 0$.
इसके लिए $k$ सम होना चाहिए।
$k \in \{0, 1, 2, 3\}$ के लिए,$k=0$ और $k=2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$2$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(C) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
सबसे पहले,$z$ का ध्रुवीय रूप ज्ञात करें।
मापांक $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$.
अतः,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(2025 \times -\frac{\pi}{3}) + i \sin(2025 \times -\frac{\pi}{3}))$.
$2025 \times -\frac{\pi}{3} = -675\pi$.
चूंकि $-675\pi = -674\pi - \pi$,कोण $-\pi$ के समतुल्य है।
$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(-\pi) + i \sin(-\pi)) = 2^{2025}(-1 + 0i) = -2^{2025}$.

(C) दिया गया है कि $Z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,$x^3 = i$ का एक हल है।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$Z^3 = r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta)$।
चूंकि $Z^3 = i$,इसलिए $r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = i$।
हम जानते हैं कि $i = \cos(\pi / 2) + i \sin(\pi / 2)$।
अतः,$r^9(\cos \theta + i \sin \theta)^9 = (r^3(\cos \theta + i \sin \theta)^3)^3$।
चूंकि $Z^3 = i$,यह व्यंजक $(i)^3$ हो जाता है।
मान की गणना करने पर: $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$।

(B) हमारे पास $(-64 i)^{5 / 6} = (64)^{5 / 6} \times (-i)^{5 / 6}$ है।
चूँकि $-i = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)}$,इसलिए:
$(-64 i)^{5 / 6} = 32 \times (e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)})^{5 / 6} = 32 \times e^{i(\frac{15\pi}{12} + \frac{10k\pi}{6})}$.
$k = 3$ के लिए,घातांक $i(\frac{15\pi}{12} + 5\pi) = i(\frac{5\pi}{4} + 5\pi) = i(\frac{25\pi}{4})$ हो जाता है।
चूँकि $\frac{25\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$,इसलिए $e^{i(6\pi + \pi/4)} = e^{i\pi/4} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})$.
अतः,मान $32(\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = 16\sqrt{2}(1+i)$ है।

(C) माना $Z = (\sqrt{3} - i)^{\frac{1}{6}}$,अतः $Z^6 = \sqrt{3} - i$.
$\sqrt{3} - i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर:
$Z^6 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}) \right) = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$.
व्यापक रूप का उपयोग करने पर,$Z^6 = 2 \operatorname{cis}(2K\pi - \frac{\pi}{6})$ जहाँ $K = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
$6^{th}$ मूल लेने पर,$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{2K\pi - \frac{\pi}{6}}{6} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{K\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right)$.
$K = 5$ के लिए:
$Z = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{60\pi - \pi}{36} \right) = 2^{\frac{1}{6}} \operatorname{cis} \left( \frac{59\pi}{36} \right)$.

(D) माना $Z = (\sqrt{3}-i)^{\frac{2}{5}}$.
सबसे पहले,$\sqrt{3}-i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
तब,$Z = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{\frac{2}{5}} = 2^{\frac{2}{5}}(\cos(-\frac{\pi}{15}) + i \sin(-\frac{\pi}{15}))$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$2^{-\frac{3}{5}}(1+i\sqrt{3}) = 2^{-\frac{3}{5}} \cdot 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{\frac{2}{5}}(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक का मुख्य मान है।

(C) दिया गया समीकरण $\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)^m=1$ है।
सबसे पहले,आधार का सरलीकरण करने पर: $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{i\pi/3}$.
अतः,समीकरण $(e^{i\pi/3})^m = 1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $e^{im\pi/3} = 1$.
यह तभी संभव है जब $\frac{m\pi}{3} = 2n\pi$ हो,अर्थात $m = 6n$.
हमें $2022 < m < 2029$ दिया गया है।
$6$ के गुणजों की जाँच करने पर: $2022/6 = 337$ और $2028/6 = 338$.
अतः,$2022$ और $2029$ के बीच $6$ का गुणज $2028$ है।
इसलिए,$m = 2028$.

(B) दिया गया व्यंजक: $(-32 i)^{\frac{2}{5}}$
हम $-i$ को $\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$(-32 i)^{\frac{2}{5}} = (32)^{\frac{2}{5}} (-i)^{\frac{2}{5}} = 4 (\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2})^{\frac{2}{5}}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$,हम मुख्य मान पर विचार करते हैं:
$= 4 (\cos(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}))$
$= 4 (\cos \frac{3 \pi}{5} + i \sin \frac{3 \pi}{5})$
$= 4 \operatorname{cis} \frac{3 \pi}{5}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = 0$ और $\sum_{k=0}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$ है।
चूंकि $\cos 0 = 1$ और $\sin 0 = 0$ है,इसलिए $\sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = -1$ और $\sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$ है।
दिया गया व्यंजक $\sum_{k=1}^{6} (\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}) = \sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} - i \sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7}$ है।
मान रखने पर,हमें $0 - i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(C) $n \in N$ दिया गया है,मान लीजिए $z = \left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1+\cos \theta-i \sin \theta}\right)^n$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \left(\frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right)^n$
$z = \left(\frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2})}\right)^n$
$z = \left(\frac{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}\right)^n$
घातांकीय रूप $e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$z = \left(\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}\right)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
$z = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)$.

(B) दिया गया है कि $z^{\frac{1}{5}} = 2 \cos \left(\frac{7 \pi}{5}\right) + 2i \sin \left(\frac{7 \pi}{5}\right)$.
डी मोइवर प्रमेय के अनुसार,यदि $w = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,$z^{\frac{1}{5}}$ का एक मूल है,तो $z = w^5 = r^5(\cos(5\theta) + i \sin(5\theta))$ होगा।
यहाँ,$r = 2$ और $\theta = \frac{7 \pi}{5}$ है।
अतः,$z = 2^5 \left(\cos \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right) + i \sin \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right)\right)$.
$z = 32(\cos(7 \pi) + i \sin(7 \pi))$.
चूंकि $\cos(7 \pi) = -1$ और $\sin(7 \pi) = 0$,इसलिए $z = 32(-1 + 0i) = -32$.

(D) दिया गया है $|a|=1$ और $\arg (a)=\theta$,अतः $a = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}$ है।
समीकरण $\left(\frac{1+i z}{1-i z}\right)^4 = e^{i\theta}$ है।
चौथा मूल लेने पर,$\frac{1+i z}{1-i z} = e^{i\left(\frac{2k\pi+\theta}{4}\right)} = \cos \phi + i \sin \phi$,जहाँ $\phi = \frac{2k\pi+\theta}{4}$ और $k=0,1,2,3$ है।
माना $\omega = \frac{2k\pi+\theta}{8}$ है। अतः $\phi = 2\omega$ है।
$\frac{1+iz}{1-iz} = \cos 2\omega + i \sin 2\omega$ पर योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{iz} = \frac{\cos 2\omega + i \sin 2\omega + 1}{\cos 2\omega + i \sin 2\omega - 1} = \frac{2\cos^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega}{-2\sin^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega} = \frac{2\cos \omega (\cos \omega + i \sin \omega)}{2i \sin \omega (\cos \omega + i \sin \omega)} = \frac{\cos \omega}{i \sin \omega} = \frac{1}{i \tan \omega}$ है।
अतः,$z = \tan \omega = \tan \left(\frac{2k\pi+\theta}{8}\right)$ जहाँ $k=0,1,2,3$ है।

(B) माना $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \pi / 16}}{e^{i \pi / 16}} = e^{-i \pi / 8}$.
अब,$z^{12} = (e^{-i \pi / 8})^{12} = e^{-i 12 \pi / 8} = e^{-i 3 \pi / 2}$.
$e^{-i 3 \pi / 2} = \cos(\frac{3 \pi}{2}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2}) = 0 + i(1) = i$.

(D) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
सबसे पहले,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
कोणांक $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$. चूंकि $z$ चौथे चतुर्थांश में है,$\theta = -\frac{\pi}{3}$ या $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
$z$ के घनमूल $z^{1/3} = 2^{1/3} \left[ \cos \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right]$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2$.
कोणांक $\theta_k = \frac{5\pi + 6k\pi}{9}$ हैं।
$k=0$ के लिए,$\theta_0 = \frac{5\pi}{9}$.
$k=1$ के लिए,$\theta_1 = \frac{11\pi}{9}$.
$k=2$ के लिए,$\theta_2 = \frac{17\pi}{9}$.
ये सभी धनात्मक हैं और $2\pi$ से कम हैं।
योग $\frac{5\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{33\pi}{9} = \frac{11\pi}{3}$ है।

(C) दिए गए व्यंजक पर विचार करें: $\left[\frac{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \frac{\pi}{12}}{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)-i \sin \frac{\pi}{12}}\right]^{72}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\left[\frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} + i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} - i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}\right]^{72}$
अंश और हर से $2 \cos \frac{\pi}{24}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left[\frac{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24})}{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24})}\right]^{72} = \left(\frac{\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}}{\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24}}\right)^{72}$
गुणधर्म $\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}} = e^{i2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\left(e^{i \frac{\pi}{24}} / e^{-i \frac{\pi}{24}}\right)^{72} = (e^{i \frac{2\pi}{24}})^{72} = (e^{i \frac{\pi}{12}})^{72}$
$= e^{i \frac{72\pi}{12}} = e^{i 6\pi}$
यूलर के सूत्र के अनुसार,$e^{i 6\pi} = \cos(6\pi) + i \sin(6\pi) = 1 + i(0) = 1$.

(C) माना $z = \sqrt{3}+i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ और $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ और $\bar{z} = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$z^7 + \bar{z}^7 = 2^7(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) + 2^7(\cos \frac{7\pi}{6} - i \sin \frac{7\pi}{6})$.
$= 2^7(2 \cos \frac{7\pi}{6}) = 2^8 \cos(\pi + \frac{\pi}{6})$.
$= -2^8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -256 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -128 \sqrt{3}$.

(D) इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
$12^{\text{th}}$ इकाई के मूल $e^{i \frac{k_1\pi}{6}}$ हैं और $30^{\text{th}}$ इकाई के मूल $e^{i \frac{k_2\pi}{15}}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $\gcd(n, m)$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
यहाँ,$\gcd(12, 30) = 6$ है।
अतः,कुल $6$ उभयनिष्ठ मूल हैं।

(C) माना $X = a+b\omega+c\omega^2$. ध्यान दें कि $\omega X = a\omega+b\omega^2+c$ और $\omega^2 X = a\omega^2+b+c\omega$.
दिया गया व्यंजक $\left(\frac{X}{c+a\omega+b\omega^2}\right)^k + \left(\frac{X}{b+a\omega^2+c\omega}\right)^l = 2$ है।
चूंकि $c+a\omega+b\omega^2 = \omega X$ और $b+a\omega^2+c\omega = \omega^2 X$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{X}{\omega X}\right)^k + \left(\frac{X}{\omega^2 X}\right)^l = 2$
$\left(\frac{1}{\omega}\right)^k + \left(\frac{1}{\omega^2}\right)^l = 2$
$\omega^{-k} + \omega^{-2l} = 2$
चूंकि $\omega^3 = 1$,हमारे पास $\omega^{-k} = 1$ और $\omega^{-2l} = 1$ होना चाहिए।
अतः,$k$,$3$ का गुणज है और $l$,$3$ का गुणज है।
इसलिए,$2k+l$,$3$ से विभाज्य है।

(B) माना $z = \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ है। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $z = \frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{2+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः दिया गया व्यंजक $z^4 + (\bar{z})^4 = \operatorname{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) + \operatorname{cis}\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -2 \times \frac{1}{2} = -1$ है।
इस प्रकार,$r \operatorname{cis} \theta = -1 = 1 \cdot \operatorname{cis}(\pi)$ है।
हमें $\sqrt{r \operatorname{cis} \theta} = \sqrt{-1} = \sqrt{\operatorname{cis}(\pi)}$ ज्ञात करना है।
$\operatorname{cis}(\pi)$ के वर्गमूल $k=0, 1$ के लिए $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right)$ हैं।
$k=0$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$ प्राप्त होता है।
$k=1$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ सही उत्तर है।

(A) माना $z_1 = 1 + \sqrt{3} i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ है।
अतः $z_1^{2022} = 2^{2022} e^{i(2022\pi/3)} = 2^{2022} e^{i(674\pi)} = 2^{2022} \times 1 = 2^{2022}$ है।
माना $z_2 = \sqrt{3} - i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$ है।
अतः $z_2^{2022} = 2^{2022} e^{-i(2022\pi/6)} = 2^{2022} e^{-i(337\pi)} = 2^{2022} \times (-1) = -2^{2022}$ है।
इसलिए,$z_1^{2022} - z_2^{2022} = 2^{2022} - (-2^{2022}) = 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023}$ है।

(B) दिया गया है $x=a+b$,$y=a \alpha+b \beta$,$z=a \beta+b \alpha$ जहाँ $\alpha=\omega$ और $\beta=\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं।
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,हमारे पास $x+y+z = (a+b) + (a\omega+b\omega^2) + (a\omega^2+b\omega) = a(1+\omega+\omega^2) + b(1+\omega+\omega^2) = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x+y+z=0$,तो $x^3+y^3+z^3=3xyz$ होता है।
$3xyz = 3(a+b)(a\omega+b\omega^2)(a\omega^2+b\omega)$
$= 3(a+b)(a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab\omega^2 + ab\omega + b^2)$
$= 3(a+b)(a^2 + ab(\omega^2+\omega) + b^2)$
चूँकि $\omega^2+\omega = -1$,
$= 3(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 3(a^3+b^3)$.

(C) दिया गया है कि $(1+\omega)$,$x^n-x=0$ का मूल है।
$x = 1+\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\omega)^n - (1+\omega) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है।
समीकरण में यह मान रखने पर: $(-\omega^2)^n - (-\omega^2) = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} + \omega^2 = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} = -\omega^2$.
इसे सत्य होने के लिए,$n$ को विषम होना चाहिए (ताकि $(-1)^n = -1$) और $\omega^{2n} = \omega^2$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2n \equiv 2 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है $2n = 3k + 2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
$n=3$ के लिए,$2(3) = 6 \equiv 0 \pmod{3}$ (असत्य)।
$n=5$ के लिए,$2(5) = 10 \equiv 1 \pmod{3}$ (असत्य)।
$n=7$ के लिए,$2(7) = 14 = 3(4) + 2 \equiv 2 \pmod{3}$ (सत्य)।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) माना इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $z_0, z_1, \ldots, z_{n-1}$ हैं जहाँ $z_0 = 1$ है। समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,दो-दो मूलों का योग $x^{n-2}$ का गुणांक बटा $x^n$ का गुणांक होता है।
$x^n - 1 = 0$ के लिए,$x^{n-1}$ का गुणांक $0$ है और $x^{n-2}$ का गुणांक $0$ है (जहाँ $n > 2$ है)।
माना $S = \sum_{0 \leq i < j \leq n-1} z_i z_j = 0$ है।
इस योग को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है: $z_0(\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$।
चूँकि $z_0 = 1$ और इकाई के सभी $n^{\text{th}}$ मूलों का योग $0$ है,इसलिए $1 + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = 0$,अतः $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = -1$ है।
इस मान को विस्तार में रखने पर: $1(-1) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$।
अतः,$\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 1$।

(C) $(A) \ \omega^{1010} + \omega^{2000} = \omega^2 + \omega = -1$.
$(B) \ (1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2) = (-2\omega^2)(-2\omega) = 4\omega^3 = 4$.
$(C) \ (2 + \omega^2 + \omega^4)^5 = (1 + (1 + \omega + \omega^2))^5 = 1^5 = 1$.
$(D) \ (3 + 5\omega + 3\omega^2)^3 = (3(-\omega) + 5\omega)^3 = (2\omega)^3 = 8\omega^3 = 8$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-V$ है।

(C) दिया गया है,$\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$
योगफल के अंदर के पद का विस्तार करने पर:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k\left(\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right)+\frac{1}{\omega^3}\right)=340$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\frac{1}{\omega}=\omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2}=\omega$ होता है।
साथ ही,$1+\omega+\omega^2=0 \implies \omega+\omega^2=-1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k(-1)+1\right)=340$
$\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)=340$
योगफल सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n = 340$
$\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] + n = 340$
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} + n = 340$
$n^3+2n = 1020$
मानों की जाँच करने पर,$n=10$ के लिए: $10^3 + 2(10) = 1000 + 20 = 1020$।
अतः,$n=10$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के काल्पनिक घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$,जहाँ $\omega^3 = 1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
अतः,$\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$ है।
साथ ही,$\alpha+\beta = -1$ और $\alpha\beta = 1$ है।
हमें व्यंजक $E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha^{10})(2-\alpha^{20})$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$ है,इसलिए $\alpha^{10} = (\alpha^3)^3 \cdot \alpha = \alpha$ और $\alpha^{20} = (\alpha^3)^6 \cdot \alpha^2 = \alpha^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha)(2-\alpha^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta = \alpha^2$ है,इसलिए
$E = (2-\alpha)(2-\alpha^2)(2-\alpha)(2-\alpha^2) = [(2-\alpha)(2-\alpha^2)]^2$ है।
आंतरिक पद का विस्तार करने पर: $(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2\alpha^2 - 2\alpha + \alpha^3 = 4 - 2(\alpha+\alpha^2) + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\alpha+\alpha^2=0$ है,इसलिए $\alpha+\alpha^2 = -1$ है।
अतः,$(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2(-1) + 1 = 4+2+1 = 7$ है।
इसलिए,$E = 7^2 = 49$ है।

(C) माना $z = \sqrt{3}+i$. तब $\bar{z} = \sqrt{3}-i$.
हमें प्राप्त होता है $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$.
अतः $z^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3} = 256(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 256(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$.
इसी प्रकार,$\bar{z}^8 = \overline{z^8} = -128 + 128\sqrt{3}i$.
अतः,$z^8 - \bar{z}^8 = (-128 - 128\sqrt{3}i) - (-128 + 128\sqrt{3}i) = -256\sqrt{3}i$.
$\alpha + i\beta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = -256\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\beta = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}(-256\sqrt{3}) = \frac{3}{2} \times 256 = 384$.

(D) हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ है।
$\omega^{1234}$ के लिए,$1234$ को $3$ से विभाजित करने पर: $1234 = 3 \times 411 + 1$,अतः $\omega^{1234} = \omega^1 = \omega$।
$\omega^{2021}$ के लिए,$2021$ को $3$ से विभाजित करने पर: $2021 = 3 \times 673 + 2$,अतः $\omega^{2021} = \omega^2$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos [(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [(-1) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-\pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-(\pi + \frac{\pi}{4})] = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n = 3k + 1$ या $n = 3k + 2$ होगा,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
स्थिति $(I)$: जब $n = 3k + 1$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+1} + \omega^{6k+2} = (\omega^3)^k \cdot \omega + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^2 = 1^k \cdot \omega + 1^{2k} \cdot \omega^2 = \omega + \omega^2$.
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
स्थिति $(II)$: जब $n = 3k + 2$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+2} + \omega^{6k+4} = (\omega^3)^k \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^4 = 1^k \cdot \omega^2 + 1^{2k} \cdot \omega = \omega^2 + \omega = -1$.
दोनों स्थितियों में,उन सभी $n$ के लिए जो $3$ के गुणज नहीं हैं,$\omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
$1+\omega+\omega^2=0$ से,हमें $1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(1-\omega+\omega^2\right)^6+\left(1-\omega^2+\omega\right)^6 = \left(-\omega-\omega\right)^6+\left(-\omega^2-\omega^2\right)^6$
$= (-2\omega)^6 + (-2\omega^2)^6$
$= 64\omega^6 + 64\omega^{12}$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$ और $\omega^{12} = (\omega^3)^4 = 1^4 = 1$ है।
$= 64(1) + 64(1) = 64 + 64 = 128$.

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ होता है।
योगफल के अंदर के व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\omega x+2)(\omega^2 x+2)-3 = \omega^3 x^2 + 2\omega x + 2\omega^2 x + 4 - 3$
$= x^2 + 2x(\omega + \omega^2) + 1$ (चूंकि $\omega^3=1$)
$= x^2 + 2x(-1) + 1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
अब,योगफल की गणना करने पर:
$\sum_{x=1}^{10} (x-1)^2 = \sum_{x=1}^{10} (x^2 - 2x + 1) = \sum_{x=1}^{10} x^2 - 2\sum_{x=1}^{10} x + \sum_{x=1}^{10} 1$
$= \frac{10(11)(21)}{6} - 2 \times \frac{10(11)}{2} + 10$
$= 385 - 110 + 10 = 285$.

(D) दिया गया है कि $x^2+x+1=0$,जिसके मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
ध्यान दें कि $\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ है।
अतः,$A_r$ के पद इस प्रकार हैं:
$k=1$ के लिए,$(x+\frac{1}{x})^3 = (-1)^3 = -1$।
$k=2$ के लिए,$(x^2+\frac{1}{x^2})^3 = (\omega^2+\omega)^3 = (-1)^3 = -1$।
$k=3$ के लिए,$(x^3+\frac{1}{x^3})^3 = (1+1)^3 = 8$।
इसलिए,$A_3 = (-1)(-1)(8) = 8$।
$k=4$ के लिए,$(x^4+\frac{1}{x^4})^3 = (\omega+\omega^2)^3 = -1$।
$k=5$ के लिए,$(x^5+\frac{1}{x^5})^3 = (\omega^2+\omega)^3 = -1$।
$k=6$ के लिए,$(x^6+\frac{1}{x^6})^3 = (1+1)^3 = 8$।
इसलिए,$A_6 = A_3 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot 8 = 8^2 = 64$।
सामान्यतः,$A_{3n} = 8^n$।
श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{A_{3n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8^n} = \frac{1/8}{1-1/8} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$।

(A) दिया गया है $z^2+z+1=0$,इसके मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
किसी भी $n$ के लिए जो $3$ से विभाज्य नहीं है,$z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।
$n$ जो $3$ से विभाज्य है,उसके लिए $z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^{3k} + \omega^{6k} = 1 + 1 = 2$ होता है।
योग में कुल $2020$ पद हैं।
$n$ जो $3$ का गुणज है,ऐसे पदों की संख्या $\lfloor \frac{2020}{3} \rfloor = 673$ है।
$n$ जो $3$ का गुणज नहीं है,ऐसे पदों की संख्या $2020 - 673 = 1347$ है।
योग $1347 \times (-1)^3 + 673 \times (2)^3 = -1347 + 5384 = 4037$ है।

(A) दिया गया है,$x = \omega^2 - \omega - 3$.
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 = -1 - \omega$.
प्रतिस्थापित करने पर,$x = (-1 - \omega) - \omega - 3 = -2\omega - 4$.
अतः $x + 4 = -2\omega$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 4)^2 = 4\omega^2$.
$x^2 + 8x + 16 = 4(-1 - \omega) = -4 - 4\omega$.
चूंकि $-4\omega = 2(x + 4)$,इसलिए $x^2 + 8x + 16 = -4 + 2x + 8$.
$x^2 + 6x + 12 = 0$.
अब,$x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 12x - 19$ को $x^2 + 6x + 12$ से विभाजित करने पर,
$x^4 + 6x^3 + 10x^2 - 12x - 19 = (x^2 + 6x + 12)(x^2 - 2) + 5$.
चूंकि $x^2 + 6x + 12 = 0$,इसलिए व्यंजक का मान $0(x^2 - 2) + 5 = 5$ है।

(B) हम जानते हैं कि घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
साथ ही,इकाई के घनमूलों से जुड़े गुणनखंडों का गुणनफल है:
$(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a+b+c)(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^3+b^3+c^3-3abc$

(D) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। ये समीकरण $z^3 = -i$ या $z^3 + i = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,त्रिघात समीकरण $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -b/a$ और दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a$ होता है।
यहाँ,$a = 1, b = 0, c = 0$ और $d = i$ है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 0$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर,हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (0)^2 - 2(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^8$ समीकरण $x^9-1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\omega$ इकाई का $9$ वां मूल है,इसलिए $\omega^9 = 1$ है।
हमें योग $S = \sum_{r=1}^8 \left(\omega^r\right)^{99}$ का मूल्यांकन करना है।
$S = \sum_{r=1}^8 \omega^{99r} = \sum_{r=1}^8 (\omega^9)^{11r}$।
चूंकि $\omega^9 = 1$,इसलिए $(\omega^9)^{11r} = (1)^{11r} = 1$ है।
अतः,$S = \sum_{r=1}^8 1 = 8$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) $z^2-z+1=0$ के मूल $z = -\omega^2, -\omega$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$. तो $\alpha^6 = 1$.
प्रत्येक पद का मान ज्ञात करने पर:
$n=2014: T_{2014} = -1$
$n=2015: T_{2015} = -1$
$n=2016: T_{2016} = 2$
$n=2017: T_{2017} = 1$
$n=2018: T_{2018} = -1$
अतः,$(-1)^1 + (-1)^2 + (2)^3 + (1)^4 + (-1)^5 = -1 + 1 + 8 + 1 - 1 = 8$.

(B) दिया गया है,$z^3+2z^2+2z+1=0$.
गुणनखंड करने पर: $(z^3+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1+2z)=0$.
$(z+1)(z^2+z+1)=0$.
मूल $z=-1$ और $z^2+z+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अब,$z^{2018}+z^{2017}+1=0$ में इन मूलों की जाँच करने पर:
$z=-1$ के लिए: $(-1)^{2018}+(-1)^{2017}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$.
$z=\omega$ के लिए: $\omega^{2018}+\omega^{2017}+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
$z=\omega^2$ के लिए: $(\omega^2)^{2018}+(\omega^2)^{2017}+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
$z=\omega$ और $z=\omega^2$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$z^4+z^2+1=0$ के लिए:
यदि $z=\omega$,तो $\omega^4+\omega^2+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
यदि $z=\omega^2$,तो $(\omega^2)^4+(\omega^2)^2+1 = \omega^8+\omega^4+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $z^4+z^2+1=0$ को संतुष्ट करते हैं।