De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $Z^2 + Z|Z| + |Z|^2 = 0$ है।
चूँकि $Z \neq 0$,$|Z|^2$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{Z}{|Z|}\right)^2 + \left(\frac{Z}{|Z|}\right) + 1 = 0$.
माना $u = \frac{Z}{|Z|}$ है,जहाँ $|u| = 1$ है।
समीकरण $u^2 + u + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के मूल $u = \omega$ और $u = \omega^2$ हैं।
अतः,$\frac{Z}{|Z|} = \omega$ या $\frac{Z}{|Z|} = \omega^2$ है।
इस प्रकार,$Z = |Z|\omega$ या $Z = |Z|\omega^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $|Z| > 0$ है।

(B) पहला घातांक $a = \frac{1}{3}$ और $r = \frac{2}{3}$ वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है।
इसका योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1$ है।
अतः,$\omega^{\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\right)} = \omega^1 = \omega$.
दूसरा घातांक $a = \frac{1}{2}$ और $r = \frac{3}{4}$ वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है।
इसका योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1-3/4} = 2$ है।
अतः,$\omega^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\ldots\right)} = \omega^2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $\omega + \omega^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $z^3+2z^2+2z+1=0$ को $(z+1)(z^2+z+1)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
इसके मूल $-1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$ है।
$z=-1$ के लिए जाँचने पर: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$। अतः,$-1$ उभयनिष्ठ मूल नहीं है।
$z=\omega$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$। अतः,$\omega$ उभयनिष्ठ मूल है।
$z=\omega^2$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$। अतः,$\omega^2$ उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$1+i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1-i\sqrt{3} = -2\omega$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
चूँकि $n = 3r+1$,इसलिए $\omega^n = \omega^{3r+1} = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^{6r+2} = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$।
अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

(A) इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.
मान लीजिए $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n}}$ और $z_2 = e^{i \frac{2\pi r_2}{n}}$.
मूल बिंदु पर $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण उनके कोणांकों का अंतर है: $\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = |\frac{2\pi r_1}{n} - \frac{2\pi r_2}{n}| = \frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2|$.
चूँकि यह कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2| = \frac{\pi}{2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{2}{n} |r_1 - r_2| = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4 |r_1 - r_2|$.
चूँकि $|r_1 - r_2|$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $|r_1 - r_2| = k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः,$n$ का रूप $4k$ होगा।

(C) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\sum_{k=1}^6 -i \left[ \cos \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) + i \sin \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) \right]$
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$-i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}} = -i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} + e^{i \frac{4 \pi}{7}} + \dots + e^{i \frac{12 \pi}{7}} \right]$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ और सार्व अनुपात $r = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ है,जहाँ $n = 6$ पद हैं:
$-i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} \frac{1 - (e^{i \frac{2 \pi}{7}})^6}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - e^{i \frac{14 \pi}{7}}}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right]$
चूँकि $e^{i \frac{14 \pi}{7}} = e^{i 2 \pi} = 1$:
$-i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - 1}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i (-1) = i$

(D) चूंकि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ इकाई के $23^{rd}$ मूल हैं,वे समीकरण $\alpha^{23} - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं,जिसका अर्थ है $\alpha^{23} = 1$।
अब,योग $S = \alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47}$ पर विचार करें।
प्रत्येक $k = 1, 2, \ldots, 23$ के लिए $\alpha_k^{23} = 1$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $\alpha_k^{47} = \alpha_k^{23 \times 2 + 1} = (\alpha_k^{23})^2 \cdot \alpha_k = (1)^2 \cdot \alpha_k = \alpha_k$।
अतः,$S = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23}$।
इकाई के $n^{th}$ मूलों का योग $n > 1$ के लिए $0$ होता है।
इस प्रकार,$\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23} = 0$।

(A) माना $Z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
हम $Z$ को ध्रुवीय रूप में $Z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चौथा मूल ज्ञात करने के लिए,हम $Z^{1/4} = (e^{i \frac{\pi}{3}})^{1/4} = e^{i \frac{\pi}{12}}$ की गणना करते हैं।
परिभाषा $\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $e^{i \frac{\pi}{12}} = \operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,चौथा मूल $\operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ है।

(B) माना $\omega = a$ है। इकाई के $n$ वें मूल $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ हैं।
हम जानते हैं कि $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \ldots (x-\omega^{n-1})$ होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(x^n - 1) = \ln(x-1) + \ln(x-\omega) + \ln(x-\omega^2) + \ldots + \ln(x-\omega^{n-1})$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} = \frac{1}{x-1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i}$।
योग को अलग करने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i} = \frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} - \frac{1}{x-1}$।
$x = 2$ रखने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-\omega^i} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - \frac{1}{2-1} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - 1$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{n \cdot 2^{n-1} - (2^n - 1)}{2^n - 1} = \frac{n \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 2^{n-1} + 1}{2^n - 1} = \frac{(n-2) 2^{n-1} + 1}{2^n - 1}$।

(C) चूंकि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - 1)(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1})$।
दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1}) = \frac{x^n - 1}{x - 1}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = -1$ रखने पर,हमें $(-1 - \alpha_1)(-1 - \alpha_2) \ldots (-1 - \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-1 - 1}$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर के $(n-1)$ पदों से $(-1)$ कॉमन लेने पर,हमें $(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक सम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $(-1)^n = 1$ होता है।
अतः,$(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{1 - 1}{-2} = 0$।
चूंकि $(-1)^{n-1} \neq 0$,इसलिए $(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $a = \cos \left(\frac{8 \pi}{11}\right) + i \sin \left(\frac{8 \pi}{11}\right) = e^{i \frac{8 \pi}{11}}$.
चूँकि $a^{11} = e^{i 8 \pi} = 1$,$a$ इकाई का $11$वाँ मूल है।
इकाई के सभी $11$वें मूलों का योग $1 + a + a^2 + \dots + a^{10} = 0$ होता है।
अतः,$a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 + a^8 + a^9 + a^{10} = -1$.
चूँकि $a^{11} = 1$,हमारे पास $a^{10} = \bar{a}$,$a^9 = \bar{a^2}$,$a^8 = \bar{a^3}$,$a^7 = \bar{a^4}$,और $a^6 = \bar{a^5}$ है।
इन मानों को योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a + \bar{a}) + (a^2 + \bar{a^2}) + (a^3 + \bar{a^3}) + (a^4 + \bar{a^4}) + (a^5 + \bar{a^5}) = -1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$ का उपयोग करते हुए,$2 \operatorname{Re}(a) + 2 \operatorname{Re}(a^2) + 2 \operatorname{Re}(a^3) + 2 \operatorname{Re}(a^4) + 2 \operatorname{Re}(a^5) = -1$ होता है।
इसलिए,$2 \operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -1$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण $x^6-1=0$ है,जिसका अर्थ है $x^6=1$.
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^6=1$.
साथ ही,$\alpha \neq 1$ क्योंकि $\alpha$ अवास्तविक है।
अंश को $\alpha^2(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha^6-1 = (\alpha-1)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1) = 0$ और $\alpha \neq 1$ होने के कारण,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$ है।
अतः $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = -(\alpha+1)$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-(\alpha+1)}{\alpha+1} = -1$।

(C) इकाई के $n$ वें मूल समीकरण $z^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
हम $z^n - 1$ का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$z^n - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
हम जानते हैं कि $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1) = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
दोनों पक्षों को $(z - 1)$ से विभाजित करने पर:
$z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
$z = 1$ रखने पर:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \ldots + 1 + 1 = (1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1})$.
चूंकि बाईं ओर $n$ पद हैं,इसलिए योग $n$ है।
अतः,$(1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1}) = n$.

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$10$ वें पद $(n = 10)$ के लिए,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ होगा।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$ होता है।
$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $n = 9$ रखने पर:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
यूलर के सूत्र $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करते हुए:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(C) हमारे पास है,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 - (r+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$
चूंकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 + (r+1) + 1)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 2r + 1 + r + 1 + 1) = \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 3r + 3)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$
$= \left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$
$= \frac{n^2(n-1)^2}{4} + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2} + \frac{3n(n-1)}{2}$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n(n-1) + 2(2n-1) + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n^2 - n + 4n - 2 + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} (n^2 + 3n + 4)$

(C) माना $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,और $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$ है।
दिया है $x+y+z=0$,हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3=3xyz$ होता है।
मान रखने पर,$(\cos \alpha+i \sin \alpha)^3+(\cos \beta+i \sin \beta)^3+(\cos \gamma+i \sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)(\cos \gamma+i \sin \gamma)$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma)+i(\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma) = 3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)+3 i \sin (\alpha+\beta+\gamma)$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma=3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)$ और $\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma=3 \sin (\alpha+\beta+\gamma)$।
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$4(\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma) - 3(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma) = 3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$।
चूंकि $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$,हमें $\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma = \frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma = -\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)$।
अंत में,व्यंजक $\left(\frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 = \frac{9}{16}(\cos^2(\alpha+\beta+\gamma) + \sin^2(\alpha+\beta+\gamma)) = \frac{9}{16}$ हो जाता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^4-1)(x^7+1) = 0$.
स्थिति $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$.
मूल $k=0, 1, 2, 3$ के लिए $x = e^{i(2k\pi/4)}$ हैं। ये $1, i, -1, -i$ हैं। कुल $4$ भिन्न मूल हैं।
स्थिति $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$.
मूल $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के लिए $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ हैं। कुल $7$ भिन्न मूल हैं।
कुल भिन्न हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,उभयनिष्ठ मूलों की जाँच करते हैं:
यदि $x^4=1$ और $x^7=-1$ है,तो $|x|=1$ होगा।
यदि $x$ एक उभयनिष्ठ मूल है,तो $x^4=1$ और $x^7=-1$ होगा।
तब $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$.
चूँकि $x^8 = x^7 \cdot x = 1$,हमारे पास $(-1) \cdot x = 1$ है,इसलिए $x = -1$।
जाँचें कि क्या $x = -1$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$(-1)^4 = 1$ (सत्य) और $(-1)^7 = -1$ (सत्य)।
अतः,$x = -1$ एकमात्र उभयनिष्ठ मूल है।
कुल भिन्न हल = ($x^4-1=0$ के मूलों की संख्या) + ($x^7+1=0$ के मूलों की संख्या) - (उभयनिष्ठ मूलों की संख्या)
कुल = $4 + 7 - 1 = 10$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \sqrt{3} \pm i$ प्राप्त होते हैं।
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ और $\beta = 2(\cos \frac{-\pi}{6} + i \sin \frac{-\pi}{6})$ है।
अतः $\alpha^{2024} - \beta^{2024} = 2^{2024} [2i \sin(\frac{2024\pi}{6})] = -i \sqrt{3} \cdot 2^{2024}$ है।
इस प्रकार,$\frac{2}{\sqrt{3}} |\alpha^{2024} - \beta^{2024}| = 2^{2025}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+2x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$.
माना $\alpha = -1+i$ और $\beta = -1-i$.
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ और $\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
अतः $\alpha^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{45\pi}{4} + i \sin \frac{45\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
इसी प्रकार,$\beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{75\pi}{4} + i \sin \frac{75\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
योग करने पर,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7.5} (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -2^8 = -256$.

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^2+1=0$ है।
इसे $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
$x^2-x+1=0$ के मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ हैं।
शर्तों के अनुसार $\alpha=\omega, \beta=\omega^2$ और $\gamma=-\omega, \delta=-\omega^2$ प्राप्त होते हैं।
अब,$\alpha^{2023}+\beta^{2023}+\gamma^{2022}+\delta^{2022} = \omega^{2023} + (\omega^2)^{2023} + (-\omega)^{2022} + (-\omega^2)^{2022}$
$= \omega + \omega^2 + 1 + 1 = -1 + 2 = 1$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$1 + i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ और $1 - i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
अब $\alpha^{12} = (2e^{i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$।
इसी प्रकार,$\beta^{12} = (2e^{-i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{-i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$।
इसलिए,$\alpha^{12} + \beta^{12} = 2^{12} + 2^{12} = 2 \times 2^{12} = 2^{13}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{2015}$ और $\beta^{2015}$ हैं।
$\alpha^{2015} = \omega^{2015} = \omega^{3 \times 671 + 2} = \omega^2$।
$\beta^{2015} = (\omega^2)^{2015} = \omega^{4030} = \omega^{3 \times 1343 + 1} = \omega$।
नए मूलों का योग $\alpha^{2015} + \beta^{2015} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^{2015} \cdot \beta^{2015} = \omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-3x^2+3x+7=0$।
इसे $(x-1)^3 + 8 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए $(x-1)^3 = -8$।
अतः,$x-1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$।
मूल $\alpha = -1, \beta = 1-2\omega, \gamma = 1-2\omega^2$ हैं।
माना $y = x-h$,इसलिए $x = y+h$। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(y+h-1)^3 + 8 = 0$।
$y^2$ और $y$ पदों के अनुपस्थित होने के लिए,$h-1 = 0$ होना चाहिए,इसलिए $h=1$।
नए मूल $\alpha-h = -2, \beta-h = -2\omega, \gamma-h = -2\omega^2$ हैं।
हमें $S = \frac{\alpha-h}{\beta-h} + \frac{\beta-h}{\gamma-h} + \frac{\gamma-h}{\alpha-h}$ की गणना करनी है।
$S = \frac{-2}{-2\omega} + \frac{-2\omega}{-2\omega^2} + \frac{-2\omega^2}{-2} = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega} + \omega^2 = \omega^2 + \omega^2 + \omega^2 = 3\omega^2$।

(C) माना $z = (\sqrt{3}-i)^{2/5} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{2/5}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$5$ मान $z_k = 2^{2/5} [\cos(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15}) + i \sin(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15})]$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
समीकरण $z^5 = (\sqrt{3}-i)^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$ के मूलों का गुणनफल $(-1)^{n-1} c$ होता है।
यहाँ $n=5$ और $c = 2 - 2\sqrt{3}i$ है।
अतः,गुणनफल $= (-1)^{5-1} (2 - 2\sqrt{3}i) = 2 - 2\sqrt{3}i = 2(1 - \sqrt{3}i)$.

(B) माना $z_1 = 1+\sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$.
इसी प्रकार,$z_2 = 1-\sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3}$.
अतः,$(1+\sqrt{3}i)^{2023} + (1-\sqrt{3}i)^{2023} = 2^{2023} (e^{i2023\pi/3} + e^{-i2023\pi/3})$.
चूंकि $\frac{2023\pi}{3} = 674\pi + \frac{\pi}{3}$,
$e^{i2023\pi/3} = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,योग $= 2^{2023} (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{2023}(1) = 2^{2023}$.

(C) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ लेने पर,$\alpha+\beta = -1$ और $\alpha\beta = 1$ प्राप्त होता है।
किसी भी $n$ के लिए,$\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n}$ होता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^n = 1$ और $\omega^{2n} = 1$,इसलिए $\alpha^n+\beta^n = 1+1 = 2$ होगा।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n} = -1$ होगा।
हमें $S = \sum_{n=1}^{12} (\alpha^n+\beta^n)^2$ का मान ज्ञात करना है।
$n=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ ($8$ पद) के लिए,मान $(-1)^2 = 1$ है।
$n=3, 6, 9, 12$ ($4$ पद) के लिए,मान $(2)^2 = 4$ है।
अतः,$S = 8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2-2x+2=0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$.
माना $\alpha = 1+i$ और $\beta = 1-i$.
ध्रुवीय रूप में बदलने पर:
$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$.
$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
अतः,$\alpha^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{i(2020\pi/4)} = 2^{1010} e^{i(505\pi)}$.
चूंकि $e^{i(505\pi)} = \cos(505\pi) + i \sin(505\pi) = -1 + 0 = -1$,
$\alpha^{2020} = -2^{1010}$.
इसी प्रकार,$\beta^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{-i(505\pi)} = 2^{1010} (-1) = -2^{1010}$.
इसलिए,$\alpha^{2020} + \beta^{2020} = -2^{1010} - 2^{1010} = -2 \cdot 2^{1010} = -2^{1011}$.

(B) माना $z = i^{1/4}$,जिसका अर्थ है $z^4 = i = e^{i\pi/2}$.
समीकरण $z^4 - i = 0$ है।
इस समीकरण के मूल $z_k = e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{4}\right)}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
ये मूल $e^{i\pi/8}, e^{i5\pi/8}, e^{i9\pi/8}, e^{i13\pi/8}$ हैं।
इनमें से कोई भी मूल एक-दूसरे के संयुग्मी नहीं हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,बहुपद $z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - i = 0$ के लिए,दो-दो मूलों के गुणनफलों का योग $z^2$ का गुणांक है,जो $0$ है।
अतः,योग $0$ है।

(A) दिया गया है,$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^n=1$।
हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $(e^{i\pi/6})^n = 1$ हो जाता है,जो $e^{in\pi/6} = 1$ है।
$e^{i\theta} = 1$ के लिए,$\theta$ को $2\pi$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
इस प्रकार,किसी पूर्णांक $k$ के लिए $\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$।
$n = 12k$।
$k=1$ के लिए,$n=12$।
अतः,$n=12$ वह मान है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) माना $z_1 = (-1)^{1/4}$ है। हम $-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi) = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ लिख सकते हैं।
अतः,$z_1 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
मान $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$ हैं।
माना $z_2 = (-i)^{1/2}$ है। हम $-i = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)}$ लिख सकते हैं।
अतः,$z_2 = e^{i(\frac{3\pi}{4} + n\pi)}$ जहाँ $n = 0, 1$ है।
मान $e^{i3\pi/4}$ और $e^{i7\pi/4}$ हैं।
उभयनिष्ठ मान $e^{i3\pi/4}$ और $e^{i7\pi/4}$ हैं।
$e^{i3\pi/4}$ के लिए,$\alpha = \frac{3\pi}{4}$,इसलिए $\tan \alpha = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ है।
$e^{i7\pi/4}$ के लिए,$\alpha = \frac{7\pi}{4}$,इसलिए $\tan \alpha = \tan(\frac{7\pi}{4}) = -1$ है।
अतः,$\tan \alpha = -1$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(z-4)^3=8 i$ है। मान लीजिए $w = z-4$,तो $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$।
मूल $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ हैं,जहाँ $k=0, 1, 2$ है।
$k=0$ के लिए,$w_0 = \sqrt{3} + i$।
$k=1$ के लिए,$w_1 = -\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए,$w_2 = -2 i$।
चूँकि $z = w+4$,मूल $z_0 = 4+\sqrt{3}+i$,$z_1 = 4-\sqrt{3}+i$,और $z_2 = 4-2 i$ हैं।
$a-2 i, b+i, c+i$ के साथ तुलना करने पर,$a=4, b=4+\sqrt{3}, c=4-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $abc = 4(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4(16-3) = 52$।
इसलिए,$\sqrt{abc} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$।

(D) दिया गया है कि $A_n = \cos \left(\frac{\pi}{2^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
अतः,$A_1 A_2 A_3 A_4 = e^{i \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\right)}$.
घातांकों का योग: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
इसलिए,$(A_1 A_2 A_3 A_4)^4 = (e^{i \pi \frac{15}{16}})^4 = e^{i \pi \frac{15}{4}}$.
$e^{i \frac{15\pi}{4}} = e^{i (4\pi - \frac{\pi}{4})} = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) + i \sin(4\pi - \frac{\pi}{4})$.
$= \cos(\frac{\pi}{4}) - i \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

(C) माना $z_1 = \sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$ है। तब $z_1^{2016} = 2^{2016}(\cos(-336\pi) + i\sin(-336\pi)) = 2^{2016}$ है।
माना $z_2 = -\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$ है। तब $z_2^{2019} = 2^{2019}(\cos(-\frac{3365\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3365\pi}{2})) = -i 2^{2019}$ है।
योग $2^{2016} - i 2^{2019}$ है।
अतः,काल्पनिक भाग $-2^{2019}$ है।

(B) दिया गया है,$i z^4 + 1 = 0$.
$i z^4 = -1$.
$z^4 = \frac{-1}{i} = i$.
हम जानते हैं कि $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
अतः,$z^4 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$z = \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
इस प्रकार,$z$ का वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z) = \cos \frac{\pi}{8}$ है।

(A) दिया गया है $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ है।
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$.
$\frac{1+z^4}{1-z^3} = \frac{1 + \cos 4\alpha + i \sin 4\alpha}{1 - \cos 3\alpha - i \sin 3\alpha}$
$= \frac{2 \cos^2 2\alpha + 2i \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} - 2i \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}}$
$= \frac{2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha)}{2 \sin \frac{3\alpha}{2} (\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2})}$
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \left| \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}} \right| \times \frac{|\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha|}{|\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2}|}$
चूँकि $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$ और $|\sin \theta - i \cos \theta| = 1$,
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}}$.

(A) दिया गया है कि,$n=8$।
हमें $(\sqrt{3}+i)^8+(\sqrt{3}-i)^8$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में बदलें: $\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$ और $\sqrt{3}-i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$।
अतः,$(\sqrt{3}+i)^8 = (2e^{i\pi/6})^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3}$।
और $(\sqrt{3}-i)^8 = (2e^{-i\pi/6})^8 = 2^8 e^{-i8\pi/6} = 256 e^{-i4\pi/3}$।
दोनों का योग करने पर: $256(e^{i4\pi/3} + e^{-i4\pi/3}) = 256(2 \cos \frac{4\pi}{3})$।
चूंकि $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$,
अतः व्यंजक $256 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -256$ हो जाता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^7+1)(x^4-1) = 0$
इसका अर्थ है $x^7 = -1$ या $x^4 = 1$।
$x^4 = 1$ के लिए,मूल $1, -1, i, -i$ हैं। मूल $i$ का कोणांक $\frac{\pi}{2}$ है,जो प्रथम चतुर्थांश की सीमा पर है।
$x^7 = -1$ के लिए,मूल $e^{i(\frac{(2k+1)\pi}{7})}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
कोणांक $\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \pi, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ में स्थित कोणांक $\frac{\pi}{7}$ और $\frac{3\pi}{7}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ मूल हैं।

(B) दिया गया है $z+\frac{1}{z}=1$,जिसका अर्थ है $z^2-z+1=0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $E = \frac{(z^{20}+1)(z^{40}+1)(z^{60}+1)}{z^{60}}$.
$z = -\omega$ के लिए:
$z^{20} = \omega^2, z^{40} = \omega, z^{60} = 1$.
मान रखने पर:
$E = \frac{(\omega^2+1)(\omega+1)(1+1)}{1} = 2(\omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 2(1 + 0) = 2$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-4x+8=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$ हैं।
ध्रुवीय रूप में बदलने पर: $\alpha, \beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \pm i\sin \frac{\pi}{4})$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$\alpha^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} + i\sin \frac{n\pi}{2})$ और $\beta^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} - i\sin \frac{n\pi}{2})$।
दोनों को जोड़ने पर,$\alpha^{2n} + \beta^{2n} = 2^{3n} \cdot 2 \cos \frac{n\pi}{2} = 2^{3n+1} \cos \frac{n\pi}{2}$।

(A) दिया गया है $\alpha = \omega + 2\omega^2 - 3$.
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
इस मान को $\alpha$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = (\omega + \omega^2) + \omega^2 - 3 = -1 + \omega^2 - 3 = \omega^2 - 4$.
अतः,$\omega^2 = \alpha + 4$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(\omega^2)^3 = (\alpha + 4)^3$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^6 = 1$.
अतः,$1 = \alpha^3 + 3(\alpha^2)(4) + 3(\alpha)(4^2) + 4^3$.
$1 = \alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 64$.
दोनों पक्षों से $61$ घटाने पर:
$\alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 3 = 1 - 64 = -63$.

(C) समीकरण $x^2+2x+4=0$ को $(x+1)^2+3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\alpha = -1 + \sqrt{3}i = 2\text{cis}(\frac{2\pi}{3})$.
अतः $\beta = -1 - \sqrt{3}i = 2\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\alpha^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(\frac{4\pi}{3})$ और $\beta^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(-\frac{4\pi}{3})$.
अब,$\alpha^{2024}-\beta^{2024} = 2^{2024}(\text{cis}(\frac{4\pi}{3}) - \text{cis}(-\frac{4\pi}{3}))$.
$= 2^{2024}(i\sin(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = 2^{2024}(-i\sqrt{3}) = -2^{2024}\sqrt{3}i$.
$ik$ के साथ तुलना करने पर,$k = -2^{2024}\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
हमें गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n$ ज्ञात करना है।
$P = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$.
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ है।
अतः,$P = e^{i \pi (1)} = e^{i \pi}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(C) माना $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{9} = \frac{5 \pi}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = \frac{1+\cos \frac{5 \pi}{18}+i \sin \frac{5 \pi}{18}}{1+\cos \frac{5 \pi}{18}-i \sin \frac{5 \pi}{18}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} + i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}}{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} - i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}} = \frac{\cos \frac{5 \pi}{36} + i \sin \frac{5 \pi}{36}}{\cos \frac{5 \pi}{36} - i \sin \frac{5 \pi}{36}} = \frac{e^{i 5 \pi / 36}}{e^{-i 5 \pi / 36}} = e^{i 5 \pi / 18}$.
चूंकि $z^n = 1$ दिया गया है,$(e^{i 5 \pi / 18})^n = e^{i 5 n \pi / 18} = 1$.
इसका अर्थ है कि $\frac{5 n \pi}{18} = 2 k \pi$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
$n = \frac{36 k}{5}$.
$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान प्राप्त करने के लिए,$k=5$ रखने पर,$n = 36$ प्राप्त होता है।