De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $x^6 = (\sqrt{3} - i)^5$ है।
माना $z = \sqrt{3} - i$.
ध्रुवीय रूप में $z = 2e^{-i\pi/6}$.
अतः $z^5 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
समीकरण $x^6 = 2^5 e^{-i5\pi/6}$ है।
$x^n = A$ प्रकार के समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $(-1)^{n-1} A$ होता है।
यहाँ $n = 6$ और $A = 2^5 e^{-i5\pi/6}$.
मूलों का गुणनफल $= -2^5 e^{-i5\pi/6} = 2^5 e^{i\pi/6} = 16(\sqrt{3} + i) = \frac{2^6}{\sqrt{3} - i}$.

(D) माना $z_1 = 1+\sqrt{3}i$ है। हम इसे ध्रुवीय रूप में $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_1^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{3}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{3})) = 64(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 64(1+0) = 64$ है।
माना $z_2 = \sqrt{3}+i$ है। हम इसे ध्रुवीय रूप में $z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z_2^6 = 2^6(\cos(6 \times \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \times \frac{\pi}{6})) = 64(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 64(-1+0) = -64$ है।
अतः,$(1+\sqrt{3}i)^6-(\sqrt{3}+i)^6 = 64 - (-64) = 64 + 64 = 128$ है।

(C) सबसे पहले,$\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ का सरलीकरण करें। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $(e^{i\pi/3})^n = -1 = e^{i\pi}$,इसलिए $n\pi/3 = \pi + 2k\pi$। न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$n/3 = 1 \implies n = 3$। अतः,$p = 3$।
अब,$\frac{1-\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}$ को सरल करें। $1-\sqrt{3}i$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{(1-\sqrt{3}i)^2}{1+3} = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i4\pi/3}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $(e^{i4\pi/3})^m = \operatorname{cis}(2\pi/3) = e^{i2\pi/3}$,इसलिए $4m\pi/3 = 2\pi/3 + 2k\pi$। $2\pi/3$ से भाग देने पर,$2m = 1 + 3k$ मिलता है। $k=1$ के लिए,$2m = 4 \implies m = 2$। अतः,$q = 2$।
अंत में,$\sqrt{p^2+q^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$।

(D) दिया गया समीकरण $(\sqrt{3}-i)^{n}=2^{n}$ है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{3}-i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें।
मापांक $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है।
कोणांक $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है,जिसका अर्थ है $\theta = -\frac{\pi}{6}$ (क्योंकि यह चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है)।
अतः,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\pi/6}$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(2e^{-i\pi/6})^n = 2^n$.
$2^n e^{-in\pi/6} = 2^n$.
$2^n$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-in\pi/6} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $-\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$n = -12k$.
चूंकि $n \in N$ (प्राकृत संख्याएँ),$n$ का सबसे छोटा धनात्मक मान $k = -1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $n = 12$ है।

(B) माना $z = 1+\sqrt{5}+i \sqrt{10-2 \sqrt{5}}$.
हम $z$ को ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में लिख सकते हैं।
यहाँ,$r = |z| = \sqrt{(1+\sqrt{5})^2 + (10-2\sqrt{5})} = \sqrt{1+5+2\sqrt{5} + 10-2\sqrt{5}} = \sqrt{16} = 4$.
तब $z = 4(\frac{1+\sqrt{5}}{4} + i \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4})$.
ध्यान दें कि $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$ और $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
अतः,$z = 4(\cos 36^\circ + i \sin 36^\circ) = 4e^{i \pi/5}$.
तब $z^5 = (4e^{i \pi/5})^5 = 4^5 e^{i \pi} = 1024(\cos \pi + i \sin \pi) = 1024(-1 + 0) = -1024$.

(A) $z = -8-8 \sqrt{3} i$ लें। ध्रुवीय रूप में $z = 16(\cos(\frac{4 \pi}{3}) + i \sin(\frac{4 \pi}{3}))$ है।
$z^{1/4} = 2(\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{k \pi}{2}))$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
$k=0$ के लिए: $1 + i \sqrt{3}$।
$k=1$ के लिए: $-\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए: $-1 - i \sqrt{3}$।
$k=3$ के लिए: $\sqrt{3} - i$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) माना $z = (1+i)^{3/4}$. पहले,$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $1+i = \sqrt{2} e^{i(\pi/4 + 2k\pi)}$.
अतः,$z = (\sqrt{2})^{3/4} e^{i \frac{3}{4}(\pi/4 + 2k\pi)} = 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$.
इन चार मानों का गुणनफल $P = \prod_{k=0}^{3} 2^{3/8} e^{i(\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})} = (2^{3/8})^4 e^{i \sum_{k=0}^{3} (\frac{3\pi}{16} + \frac{3k\pi}{2})}$ है।
$P = 2^{3/2} e^{i (4 \cdot \frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{3(4)}{2})} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + 9\pi)} = 2^{3/2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + \pi)} = 2^{3/2} e^{i (7\pi/4)}$.
चूँकि $e^{i(7\pi/4)} = \cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
$P = 2^{3/2} \cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}} = 2^1 (1-i) = 2(1-i)$.

(D) दिया गया व्यंजक: $Z = \frac{(\cos a+i \sin a)^6}{(\sin b+i \cos b)^8}$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,अंश $(\cos a+i \sin a)^6 = \cos(6a) + i \sin(6a) = e^{i6a}$ है।
हर के लिए,$\sin b + i \cos b = i(\cos b - i \sin b) = i e^{-ib}$ है।
अतः,$(\sin b + i \cos b)^8 = i^8 (e^{-ib})^8 = 1 \cdot e^{-i8b} = e^{-i8b}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Z = \frac{e^{i6a}}{e^{-i8b}} = e^{i(6a+8b)}$.
यूलर सूत्र का उपयोग करते हुए: $Z = \cos(6a+8b) + i \sin(6a+8b)$.
अतः वास्तविक भाग $\cos(6a+8b)$ है।

(D) डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$[r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$.
दिया गया व्यंजक: $[\sqrt{2}(\cos 56^{\circ} 15^{\prime} + i \sin 56^{\circ} 15^{\prime})]^8$.
यहाँ,$r = \sqrt{2}$,$\theta = 56^{\circ} 15^{\prime} = 56.25^{\circ}$,और $n = 8$.
प्रमेय लागू करने पर:
$= (\sqrt{2})^8 [\cos(8 \times 56.25^{\circ}) + i \sin(8 \times 56.25^{\circ})]$.
$= 2^4 [\cos(450^{\circ}) + i \sin(450^{\circ})]$.
चूंकि $450^{\circ} = 360^{\circ} + 90^{\circ}$,इसलिए $\cos(450^{\circ}) = \cos(90^{\circ}) = 0$ और $\sin(450^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
$= 16(0 + i(1)) = 16i$.

(B) दिया गया है $z = \cos \theta + i \sin \theta$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^r = (\cos \theta + i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) + i \sin(r \theta)$।
संयुग्मी $\bar{z} = \cos \theta - i \sin \theta$ है।
अतः,$(\bar{z})^r = (\cos \theta - i \sin \theta)^r = \cos(r \theta) - i \sin(r \theta)$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$z^r + (\bar{z})^r = (\cos(r \theta) + i \sin(r \theta)) + (\cos(r \theta) - i \sin(r \theta)) = 2 \cos(r \theta)$।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ और $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cosh x + \sinh x)^n = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^n$
$= \left( \frac{2e^x}{2} \right)^n = (e^x)^n = e^{nx}$.
हाइपरबोलिक फलनों की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$e^{nx} = \cosh nx + \sinh nx$.

(D) दिया गया व्यंजक $(\sin \theta - i \cos \theta)^3$ है।
व्यंजक से $-i$ कॉमन लेने पर:
$(\sin \theta - i \cos \theta) = -i (\cos \theta + i \sin \theta)$.
अब,इसका घन करने पर:
$[-i (\cos \theta + i \sin \theta)]^3 = (-i)^3 (\cos \theta + i \sin \theta)^3$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$:
$= (-i)^3 (\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta)$.
चूंकि $(-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$,इसलिए व्यंजक $i(\cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) = i \cos 3 \theta - \sin 3 \theta$ हो जाता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(\cos 4 + i \sin 4 + 1)^{2020}$।
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ और $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 4 + 1) + i \sin 4 = 2 \cos^2 2 + 2i \sin 2 \cos 2$।
$2 \cos 2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)$।
इसकी घात $2020$ करने पर:
$[2 \cos 2 (\cos 2 + i \sin 2)]^{2020} = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 2 + i \sin 2)^{2020}$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos(2020 \times 2) + i \sin(2020 \times 2)) = 2^{2020} \cos^{2020} 2 (\cos 4040 + i \sin 4040)$।
अतः वास्तविक भाग $2^{2020} \cos^{2020} 2 \cos 4040$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(1-i \sqrt{3})^9$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $2^9 \left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^9$
$= 2^9 \left(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^9$
ध्रुवीय रूप का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$2^9 \left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right]^9$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$:
$= 2^9 [\cos(-3\pi) + i \sin(-3\pi)]$
$= 2^9 [\cos(3\pi) - i \sin(3\pi)]$
चूंकि $\cos(3\pi) = -1$ और $\sin(3\pi) = 0$:
$= 2^9 [-1 - 0] = -2^9$

(D) दिया गया व्यंजक: $z = \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2020}$
हम जानते हैं कि $\cos \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ और $\sin \frac{5 \pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
अतः,$z = \left(\cos \frac{5 \pi}{12} + i \sin \frac{5 \pi}{12}\right)^{2020}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$:
$z = \cos \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right) + i \sin \left(2020 \times \frac{5 \pi}{12}\right)$
$z = \cos \left(\frac{2525 \pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{2525 \pi}{3}\right)$
चूंकि $\frac{2525 \pi}{3} = 842 \pi - \frac{\pi}{3}$,
$z = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$z = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$.

(C) दिया गया व्यंजक $E = \frac{(\sin \frac{\pi}{8} + i \cos \frac{\pi}{8})^8}{(\sin \frac{\pi}{8} - i \cos \frac{\pi}{8})^8}$ है।
अंश से $i$ और हर से $-i$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$E = \frac{[i(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})]^8}{[(-i)(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})]^8}$.
चूंकि $i^8 = 1$ और $(-i)^8 = 1$,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$E = \frac{(\cos \frac{\pi}{8} - i \sin \frac{\pi}{8})^8}{(\cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8})^8}$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{(e^{-i\pi/8})^8}{(e^{i\pi/8})^8} = \frac{e^{-i\pi}}{e^{i\pi}}$.
चूंकि $e^{i\pi} = -1$ और $e^{-i\pi} = -1$,
$E = \frac{-1}{-1} = 1$.

(D) दिया गया है $z = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)\theta) + i \sin((2m-1)\theta)$।
अतः,$\text{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)\theta)$।
हमें $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)\theta) = \sin \theta + \sin 3\theta + \sin 5\theta + \dots + \sin 29\theta$ की गणना करनी है।
यह समांतर श्रेणी में साइन का योग है जहाँ प्रथम पद $a = \theta$,सार्व अंतर $d = 2\theta$,और पदों की संख्या $n = 15$ है।
योग के लिए सूत्र $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2\theta / 2)}{\sin(2\theta / 2)} \sin(\theta + (15-1)2\theta / 2) = \frac{\sin(15\theta)}{\sin \theta} \sin(\theta + 14\theta) = \frac{\sin^2(15\theta)}{\sin \theta}$।
$\theta = 2^{\circ}$ पर,$15\theta = 30^{\circ}$।
$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
मूलों को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर:
$\alpha = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ और $\beta = 2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(\cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3}\right) + 2^n \left(\cos \left(-\frac{n\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{n\pi}{3}\right)\right)$।
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\sin(-\theta) = -\sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(2 \cos \frac{n\pi}{3}\right) = 2^{n+1} \cos \left(\frac{n\pi}{3}\right)$।

(A) माना $z = \left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}\right)^{10} + \left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}\right)^{10}$.
माना $2 = r \cos \theta$ और $\sqrt{5} = r \sin \theta$. तब $r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{3}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
व्यंजक $z = \left(\frac{\cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - i \sin \theta}\right)^{10} + \left(\frac{\cos \theta - i \sin \theta}{\cos \theta + i \sin \theta}\right)^{10}$ हो जाता है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (e^{i2\theta})^{10} + (e^{-i2\theta})^{10} = 2 \cos(20\theta)$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{2}{3}$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$.
अतः,$|z| = 2 \cos(20 \cos^{-1}(\frac{2}{3}))$,क्योंकि $20\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है जहाँ कोसाइन धनात्मक होता है।

(A) माना $z = \frac{1+\cos (3 \theta)+i \sin (3 \theta)}{1+\cos (3 \theta)-i \sin (3 \theta)}$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos (2A) = 2\cos^2 A$ और $\sin (2A) = 2\sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2\cos^2(\frac{3\theta}{2}) + i 2\sin(\frac{3\theta}{2})\cos(\frac{3\theta}{2})}{2\cos^2(\frac{3\theta}{2}) - i 2\sin(\frac{3\theta}{2})\cos(\frac{3\theta}{2})}$
$z = \frac{2\cos(\frac{3\theta}{2}) [\cos(\frac{3\theta}{2}) + i\sin(\frac{3\theta}{2})]}{2\cos(\frac{3\theta}{2}) [\cos(\frac{3\theta}{2}) - i\sin(\frac{3\theta}{2})]}$
$z = \frac{\cos(\frac{3\theta}{2}) + i\sin(\frac{3\theta}{2})}{\cos(\frac{3\theta}{2}) - i\sin(\frac{3\theta}{2})} = \frac{e^{i(3\theta/2)}}{e^{-i(3\theta/2)}} = e^{i(3\theta/2 + 3\theta/2)} = e^{i(3\theta)}$.
अतः,$z^{20} = (e^{i(3\theta)})^{20} = e^{i(60\theta)} = \cos(60\theta) + i\sin(60\theta)$.

(B) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^6-x^5+1=0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$x^6(x^5-1) - 1(x^5-1) = 0$
$(x^6-1)(x^5-1) = 0$
इसका अर्थ है $x^6=1$ या $x^5=1$।
मूल $x = \operatorname{cis}(\frac{2k\pi}{6})$ जहाँ $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ या $x = \operatorname{cis}(\frac{2r\pi}{5})$ जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$k=1$ के लिए,$x = \operatorname{cis}(\frac{2\pi}{6}) = \operatorname{cis}(\frac{\pi}{3})$।
अतः,$\operatorname{cis}(\frac{\pi}{3})$ एक सम्मिश्र मूल है।

(D) हमारे पास है,$S = \sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S = \sum_{k=1}^6 (-i) \left( \cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7} \right)$
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$.
$S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$S = -i \left( \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 \right)$
चूंकि $\omega$ इकाई का $7$ वां मूल है,$1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = 0$.
अतः,$\omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = -1$.
इस मान को $S$ में रखने पर:
$S = -i (-1) = i$.

(A) दिया गया है कि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
हमें गुणनफल $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ ज्ञात करना है।
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.
घातांक में योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.
अतः,$P = e^{i \pi}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(B) माना $S = 1+3z+5z^2+7z^3+9z^4+11z^5+13z^6$.
$z$ से गुणा करने पर,हमें $zS = z+3z^2+5z^3+7z^4+9z^5+11z^6+13z^7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z$,$x^7=1$ का एक मूल है,इसलिए $z^7=1$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-z)S = 1+2z+2z^2+2z^3+2z^4+2z^5+2z^6-13z^7$.
$z^7=1$ होने के कारण,यह $(1-z)S = 1+2(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)-13$ में सरल हो जाता है।
गुणधर्म $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0$ का उपयोग करने पर,$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1-z)S = 1+2(-1)-13 = 1-2-13 = -14$.
इसलिए,$S = \frac{-14}{1-z}$.

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = n(n+1 + \frac{1}{\omega})(n+1 + \frac{1}{\omega^2})$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।
अतः,$T_n = n(n+1 + \omega^2)(n+1 + \omega) = n((n+1)^2 + (n+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$T_n = n((n+1)^2 - (n+1) + 1) = n(n^2 + 2n + 1 - n - 1 + 1) = n(n^2 + n + 1) = n^3 + n^2 + n$।
$10$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{10} (n^3 + n^2 + n) = \sum n^3 + \sum n^2 + \sum n$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = (\frac{10 \times 11}{2})^2 = 3025$।
$\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$।
$\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$।
कुल योग $= 3025 + 385 + 55 = 3465$।

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}+\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1+\omega+\omega^2 = 0$ है।
दूसरे पद के अंश और हर को $\omega$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} + \frac{a\omega+b \omega^2+c}{b\omega+c \omega^2+a} = (1+\omega) \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -\omega^2 \left( \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} \right) = -1$.

(A) हमें $\cos \left(\sum_{k=1}^7(k-\omega)(k-\omega^2) \frac{\pi}{175}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^2+\omega+1=0$ और $\omega^3=1$,इसलिए $(k-\omega)(k-\omega^2) = k^2 - k(\omega+\omega^2) + \omega^3 = k^2 - k(-1) + 1 = k^2+k+1$ है।
अतः,व्यंजक $\cos \left(\frac{\pi}{175} \sum_{k=1}^7 (k^2+k+1)\right)$ हो जाता है।
योग की गणना: $\sum_{k=1}^7 k^2 = \frac{7(8)(15)}{6} = 140$,$\sum_{k=1}^7 k = \frac{7(8)}{2} = 28$,और $\sum_{k=1}^7 1 = 7$ है।
योग $= 140 + 28 + 7 = 175$ है।
इसलिए,$\cos \left(\frac{\pi}{175} \times 175\right) = \cos(\pi) = -1$।

(A) दिया गया है कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega^2 = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^{3k} + (1-\omega^2+\omega)^{3k} = (1-\omega+\omega^2)^{3k+1} + (1+\omega-\omega^2)^{3k+1}$
$(-2\omega)^{3k} + (-2\omega^2)^{3k} = (-2\omega)^{3k+1} + (-2\omega^2)^{3k+1}$
$(-2)^{3k} \omega^{3k} + (-2)^{3k} \omega^{6k} = (-2)^{3k+1} \omega^{3k+1} + (-2)^{3k+1} \omega^{2(3k+1)}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3k} = 1$ और $\omega^{6k} = 1$:
$(-2)^{3k}(1+1) = (-2)^{3k} \cdot (-2) \cdot (\omega + \omega^2)$
$2 = -2(\omega + \omega^2)$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,हमें $2 = -2(-1) = 2$ प्राप्त होता है।
यह कथन सभी $k \in N$ के लिए सत्य है। अतः,$k = r$ जहाँ $r \in N$।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
सबसे पहले,$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
अब इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin \left[ (\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4} \right]$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ है:
$\sin \left[ (-1) \pi - \frac{\pi}{4} \right] = \sin \left( -\frac{5\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) दिया गया समीकरण: $8z^3 - 12z^2 + 6z - 28 = 0$ ...$(i)$
निरीक्षण द्वारा,$z = 2$ एक मूल है क्योंकि $8(8) - 12(4) + 6(2) - 28 = 0$.
समीकरण को $(z - 2)$ से विभाजित करने पर:
$(z - 2)(8z^2 + 4z + 14) = 0$
$(z - 2)(4z^2 + 2z + 7) = 0$
$4z^2 + 2z + 7 = 0$ के लिए,मूल $z = \frac{-1 \pm 3\sqrt{3}i}{4}$ प्राप्त होते हैं।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\frac{3\omega + 1}{2} = \frac{-1 + 3i\sqrt{3}}{4}$ और $\frac{3\omega^2 + 1}{2} = \frac{-1 - 3i\sqrt{3}}{4}$।
इस प्रकार,मूल $2, \frac{3\omega + 1}{2}, \frac{3\omega^2 + 1}{2}$ हैं।

(A) दिया गया व्यंजक: $(-1+i \sqrt{3})^{60}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $2^{60} \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{60}$
मान लीजिए $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है।
तब व्यंजक हो जाता है: $2^{60} \times \omega^{60}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{60} = (\omega^3)^{20} = 1^{20} = 1$।
अतः,$(-1+i \sqrt{3})^{60} = 2^{60} \times 1 = 2^{60}$।

(B) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
$\omega$ की घातों को सरल करने पर: $\omega^{10} = \omega$ और $\omega^{11} = \omega^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2(2-\omega)^2(2-\omega^2)^2 = [(2-\omega)(2-\omega^2)]^4$
$= [4 - 2(\omega+\omega^2) + \omega^3]^4$
चूंकि $\omega+\omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है:
$= [4 - 2(-1) + 1]^4 = 7^4$.

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$,जिसका अर्थ है $1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^5+(1+\omega-\omega^2)^5 = (-\omega-\omega)^5+(-\omega^2-\omega^2)^5$
$= (-2\omega)^5+(-2\omega^2)^5$
$= -32\omega^5 - 32\omega^{10}$
$= -32(\omega^5+\omega^{10})$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^5 = \omega^2$ और $\omega^{10} = \omega$ है।
$= -32(\omega^2+\omega)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $\omega^2+\omega = -1$ है।
$= -32(-1) = 32$.

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं।
$\therefore 1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(x+y)^2+(x\omega+y\omega^2)^2+(x\omega^2+y\omega)^2$
$= (x^2+y^2+2xy) + (x^2\omega^2+y^2\omega^4+2xy\omega^3) + (x^2\omega^4+y^2\omega^2+2xy\omega^3)$
$= x^2+y^2+2xy + x^2\omega^2+y^2\omega+2xy + x^2\omega+y^2\omega^2+2xy$
$= x^2(1+\omega+\omega^2) + y^2(1+\omega+\omega^2) + 6xy$
चूँकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए:
$= x^2(0) + y^2(0) + 6xy = 6xy$.

(C) दिया गया है,$z^3+27 i=0$.
चूंकि $27 i = (-3 i)^3$,हमारे पास $z^3 - (-3 i)^3 = 0$ है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ का उपयोग करने पर,$(z - (-3 i))(z^2 + z(-3 i) + (-3 i)^2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(z + 3 i)(z^2 - 3 i z - 9) = 0$.
स्थिति $1$: $z + 3 i = 0 \Rightarrow z = -3 i$.
स्थिति $2$: $z^2 - 3 i z - 9 = 0$.
द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{3 i \pm \sqrt{(-3 i)^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{-9 + 36}}{2} = \frac{3 i \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}$.
अतः,मूल $-3 i$,$\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$,और $\frac{-3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{3 \sqrt{3} + 3 i}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $z^5-1=0$ है,जिसके मूल $1, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $z^5-1=(z-1)(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)(z-\alpha_3)(z-\alpha_4)$।
$z=\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega^5-1=(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(\omega-1)(\omega-\alpha_1)(\omega-\alpha_2)(\omega-\alpha_3)(\omega-\alpha_4)+\omega = \omega^5-1+\omega$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^5 = \omega^3 \times \omega^2 = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $\omega^2+\omega-1$ है।
इकाई के घनमूल के गुणधर्म $1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2+\omega=-1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,मान $-1-1=-2$ है।

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$,जिसका अर्थ है कि $\omega^{-1}=\omega^2$ है।
व्यंजक में $\omega^{-1}=\omega^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^5-2(1+\omega-\omega^2)^4$
$1+\omega^2=-\omega$ और $1+\omega=-\omega^2$ का उपयोग करने पर:
$(-\omega-\omega)^5-2(-\omega^2-\omega^2)^4$
$=(-2\omega)^5-2(-2\omega^2)^4$
$=-32\omega^5-2(16\omega^8)$
$=-32\omega^2-32\omega^2$
$=-64\omega^2$
चूंकि $\omega^2=\omega^{-1}$,इसलिए परिणाम $-64\omega^{-1}$ है।

(C) इकाई के $11$ वें मूल समीकरण $x^{11} - 1 = 0$ के मूल हैं।
Vieta के सूत्रों के अनुसार,बहुपद समीकरण $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $(-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}$ होता है।
यहाँ,$n = 11$,$a_{11} = 1$,और $a_0 = -1$ है।
अतः,मूलों का गुणनफल $(-1)^{11} \cdot \frac{-1}{1} = (-1) \cdot (-1) = 1$ है।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
व्यंजक में मान रखने पर:
$\sin \left\{(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}\right\}$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,इसलिए:
$\sin \left\{-\pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left(-\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ है।
ये बिंदु सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त $|z| = 1$ पर स्थित हैं।
किन्हीं दो मूलों के बीच की दूरी $|1 - \omega| = \sqrt{3}$ है।
चूँकि सभी शीर्षों के जोड़ों के बीच की दूरी समान है,इसलिए बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चूंकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ और $\omega^3=1$ है।
सामान्य पद $T_r = \left(r+\frac{1}{\omega}\right)\left(r+\frac{1}{\omega^2}\right)$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,हमें $T_r = r^2 + r\left(\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2}\right) + \frac{1}{\omega^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,इसलिए $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} = \omega^2 + \omega = -1$ है।
साथ ही,$\frac{1}{\omega^3} = 1$ है।
अतः,$T_r = r^2 - r + 1$ है।
योग $\sum_{r=1}^n (r^2 - r + 1) = \sum_{r=1}^n r^2 - \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n 1$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n$।
$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 3(n+1) + 6]}{6}$।
$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 + 6]}{6} = \frac{n[2n^2 + 4]}{6} = \frac{2n(n^2+2)}{6} = \frac{n(n^2+2)}{3}$।

(D) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1+\omega+\omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
व्यंजक $r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$ का विस्तार करने पर,हमें $r[(r+1)^2 - (r+1)(\omega+\omega^2) + \omega^3]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega+\omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है,यह व्यंजक $r[(r+1)^2 + (r+1) + 1] = r(r^2+3r+3) = r^3+3r^2+3r$ बन जाता है।
अब,$\sum_{r=1}^9 (r^3+3r^2+3r) = \sum_{r=1}^9 r^3 + 3\sum_{r=1}^9 r^2 + 3\sum_{r=1}^9 r$ की गणना करने पर:
$\sum_{r=1}^9 r^3 = [\frac{9(10)}{2}]^2 = 2025$.
$3\sum_{r=1}^9 r^2 = 3 \times \frac{9(10)(19)}{6} = 855$.
$3\sum_{r=1}^9 r = 3 \times \frac{9(10)}{2} = 135$.
योग: $2025 + 855 + 135 = 3015$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$x$,$1$ के अलावा इकाई का घनमूल है,इसलिए $x = \omega$ या $x = \omega^2$। चूँकि $\omega^3 = 1$ और $\omega^2 + \omega + 1 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
सामान्य पद $T_n = \left(x^n + \frac{1}{x^n}\right)^2$ पर विचार करें।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $x^n = 1$,इसलिए $T_n = (1 + 1)^2 = 4$। ऐसे $4$ पद हैं $(n=3, 6, 9, 12)$।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $x^n$,$\omega$ या $\omega^2$ है,इसलिए $T_n = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$। ऐसे $8$ पद हैं।
कुल योग $8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$ है।

(D) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
हमें व्यंजक $\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega}-\frac{1}{1+\omega}$ का मान ज्ञात करना है।
पहले दो पदों को सरल करने पर:
$\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega} = \frac{2+\omega+1+2 \omega}{(1+2 \omega)(2+\omega)} = \frac{3+3 \omega}{2+5 \omega+2 \omega^2}$.
चूंकि $1+\omega = -\omega^2$,अंश $-3 \omega^2$ होगा।
साथ ही,$2+5 \omega+2 \omega^2 = 2(1+\omega^2)+5 \omega = 2(-\omega)+5 \omega = 3 \omega$ है।
अतः,पहले दो पदों का योग $\frac{3(1+\omega)}{3 \omega} = \frac{1+\omega}{\omega} = \frac{-\omega^2}{\omega} = -\omega$ है।
अब,तीसरा पद घटाने पर:
$-\frac{1}{1+\omega} = -\frac{1}{-\omega^2} = \frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।
इस प्रकार,कुल योग $-\omega + \omega = 0$ है।

(B) माना दिया गया व्यंजक $E = \left[\frac{51+73 \omega+87 \omega^2}{73+87 \omega+51 \omega^2}+\frac{51+73 \omega+87 \omega^2}{87+51 \omega+73 \omega^2}\right]^{15}$ है।
माना $A = 51+73 \omega+87 \omega^2$,$B = 73+87 \omega+51 \omega^2$,और $C = 87+51 \omega+73 \omega^2$ है।
ध्यान दें कि $B = \omega^2 A$ और $C = \omega A$ है।
अतः,व्यंजक $\left[\frac{A}{\omega^2 A} + \frac{A}{\omega A}\right]^{15} = \left[\frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega}\right]^{15}$ हो जाता है।
चूंकि $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ और $\frac{1}{\omega} = \omega^2$,हमें $(\omega + \omega^2)^{15}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ है।
अतः,$(-1)^{15} = -1$।

(B) माना $S = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2} + \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$.
ध्यान दें कि $c+a \omega+b \omega^2 = \omega^2(c \omega + a \omega^2 + b) = \omega^2(b+c \omega+a \omega^2)$.
अतः,व्यंजक $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{\omega^2(b+c \omega+a \omega^2)} + \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ हो जाता है।
$\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2} (\frac{1}{\omega^2} + 1) = \frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2} (\omega + 1)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
$a=1, b=0, c=0$ जैसे विशिष्ट मानों के लिए गणना करने पर $\frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्तर $-1$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $\frac{1}{\omega} = \omega^2$,$\frac{1}{\omega^2} = \omega$.
$k=1$ के लिए,$(\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=2$ के लिए,$(\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=3$ के लिए,$(\omega^3 + \frac{1}{\omega^3})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
$k=4$ के लिए,$(\omega^4 + \frac{1}{\omega^4})^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=5$ के लिए,$(\omega^5 + \frac{1}{\omega^5})^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$.
$k=6$ के लिए,$(\omega^6 + \frac{1}{\omega^6})^2 = (1 + 1)^2 = 4$.
इन मानों का योग: $1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.