De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $(x-1)^3+64=0$
$\Rightarrow (x-1)^3 = -64$
$\Rightarrow (x-1)^3 = (-4)^3$
माना $y = x-1$,तब $y^3 = (-4)^3$। मूल $y = -4, -4\omega, -4\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$x-1 = -4, -4\omega, -4\omega^2$।
मूल $x_1 = -3$,$x_2 = 1-4\omega$,और $x_3 = 1-4\omega^2$ हैं।
सम्मिश्र मूल $x_2 = 1-4\omega$ और $x_3 = 1-4\omega^2$ हैं।
सम्मिश्र मूलों का योग $= (1-4\omega) + (1-4\omega^2) = 2 - 4(\omega + \omega^2)$।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
योग $= 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ संख्या $2$ के अवास्तविक घनमूल हैं।
$2$ के घनमूल $2^{1/3}, 2^{1/3}\omega, 2^{1/3}\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अवास्तविक घनमूल $\alpha = 2^{1/3}\omega$ और $\beta = 2^{1/3}\omega^2$ हैं।
अब,$\alpha^6 + \beta^6 = (2^{1/3}\omega)^6 + (2^{1/3}\omega^2)^6$.
$= 2^2 \omega^6 + 2^2 \omega^{12}$.
$= 4(\omega^3)^2 + 4(\omega^3)^4$.
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $4(1)^2 + 4(1)^4 = 4 + 4 = 8$.

(A) दिया गया समीकरण $1+x+x^2=0$ है।
$(x-1)$ से गुणा करने पर,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3-1=0$,अतः $x^3=1$।
$1+x+x^2=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$।
हमें $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = \alpha = \omega$ और $\beta^4 = (\omega^2)^4 = \omega^8 = \omega^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\alpha^{-4}\beta^{-4} = (\alpha\beta)^{-4} = (\omega \cdot \omega^2)^{-4} = (\omega^3)^{-4} = (1)^{-4} = 1$।
अतः,$\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4} = \omega + \omega^2 + 1$।
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
व्यंजक $(x+1)(x+\omega)(x-\omega-1)$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $-\omega-1 = \omega^2$ क्योंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
अतः,व्यंजक $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$ होता है।
यहाँ,मूल $-1, -\omega, -\omega^2$ हैं।
इसलिए,$(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = x^3 - (-1-\omega-\omega^2)x^2 + (\omega+\omega^2+\omega^3)x - (1)(\omega)(\omega^2)$ है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $-1-\omega-\omega^2=0$ है।
साथ ही,$\omega+\omega^2+\omega^3 = -1 + 1 = 0$ है।
और $\omega^3 = 1$ है।
इसलिए,व्यंजक $x^3 - (0)x^2 + (0)x - 1 = x^3 - 1$ में सरल हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
चूँकि $n = 3r + 1$,इसलिए $\omega^n = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$।
अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $225+(3 \omega+8 \omega^2)^2+(3 \omega^2+8 \omega)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर: $225 + (9 \omega^2 + 64 \omega^4 + 48 \omega^3) + (9 \omega^4 + 64 \omega^2 + 48 \omega^3)$
$\omega^3 = 1$ और $\omega^4 = \omega$ गुणों का उपयोग करने पर: $225 + 9 \omega^2 + 64 \omega + 48 + 9 \omega + 64 \omega^2 + 48$
पदों को समूहित करने पर: $225 + 73(\omega^2 + \omega) + 96$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$: $225 + 73(-1) + 96$
अंतिम मान: $225 - 73 + 96 = 152 + 96 = 248$

(A) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
हम $-\omega^2$ के $7^{\text{th}}$ मूल ज्ञात कर रहे हैं।
यदि हम $z = -\omega^2$ लें,तो $z^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2 = 1+\omega$.
अतः,$z = -\omega^2$ का मान $1+\omega$ का एक $7^{\text{th}}$ मूल है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{14}+x^9-x^5-1=0$
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^9(x^5+1) - 1(x^5+1) = 0$
$(x^9-1)(x^5+1) = 0$
इसका अर्थ है $x^5 = -1$ या $x^9 = 1$।
$x^5 = -1$ के लिए,$x^5 = \cos(180^{\circ}) + i\sin(180^{\circ})$।
मूल $x = \cos(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5}) + i\sin(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5})$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।
$k=0$ के लिए,$x = \cos(36^{\circ}) + i\sin(36^{\circ})$।
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर,$\cos(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$।
अतः,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ एक मूल है।

(C) दिया गया है कि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,इसलिए $1+\omega+\omega^2=0$ है।
इकाई के चतुर्थ मूल $1, i, -1, -i$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = i$ है। तब $\alpha^2 = -1$ और $\alpha^3 = -i$ होगा।
व्यंजक $\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2$ में मान रखने पर:
$\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2 = i + i\omega - (-i)\omega^2$
$= i(1+\omega+\omega^2)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$ है,इसलिए व्यंजक $i(0) = 0$ हो जाता है।

(A) दिया गया समीकरण $(x-1)^5=32(x+1)^5$ है।
दोनों पक्षों को $(x+1)^5$ से विभाजित करने पर,$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5=32$ प्राप्त होता है।
माना $z = \frac{x-1}{x+1}$ है। तो $z^5 = 32 = 2^5 \cdot e^{i(2k\pi)}$,जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।
अतः,$z = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है।
मान वापस रखने पर,$\frac{x-1}{x+1} = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है।
माना $\alpha = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$ है। तो $\frac{x-1}{x+1} = \alpha$ है।
$x-1 = \alpha(x+1)$ $\Rightarrow x(1-\alpha) = 1+\alpha$ $\Rightarrow x = \frac{1+\alpha}{1-\alpha}$ है।
$\alpha$ का मान रखने पर,$x = \frac{1+2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}{1-2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}$ जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(z+1)^n = z^n$ है। चूँकि $z=0$ मूल नहीं है, हम लिख सकते हैं $(\frac{z+1}{z})^n = 1$।
माना $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ जहाँ $k = 1, 2, \ldots, n-1$ है।
तब $z+1 = z \omega_k \Rightarrow z(1 - \omega_k) = -1 \Rightarrow z = \frac{1}{\omega_k - 1}$।
$\omega_k = \cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $z = \frac{1}{\cos(\frac{2k\pi}{n}) - 1 + i \sin(\frac{2k\pi}{n})} = \frac{1}{-2 \sin^2(\frac{k\pi}{n}) + 2i \sin(\frac{k\pi}{n}) \cos(\frac{k\pi}{n})} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) [\cos(\frac{k\pi}{n}) + i \sin(\frac{k\pi}{n})]} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) e^{i \frac{k\pi}{n}}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) e^{-i \frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) (\cos(\frac{k\pi}{n}) - i \sin(\frac{k\pi}{n})) = \frac{1}{2} (-i \cot(\frac{k\pi}{n}) - 1)$।
अतः, $\operatorname{Re}(z_k) = -\frac{1}{2}$ और $\operatorname{Im}(z_k) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{k\pi}{n})$ है।
योग $n-1$ मूलों पर है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(|\cot(\frac{k\pi}{n})|) - 1}{-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (1 - \frac{k\pi}{n}) = (n-1) - \frac{\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)(1 - \frac{\pi}{2}) = \frac{n-1}{2}(2 - \pi)$।

(D) इकाई के $n$-वें मूल समीकरण $x^n - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1})$।
गुणनफल $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1) \ldots (1+2 \omega_{n-1})$ ज्ञात करने के लिए,हम $2^n$ को बाहर निकालते हैं:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$।
माना $x = -\frac{1}{2}$। तब $x^n - 1 = (-\frac{1}{2})^n - 1 = (-\frac{1}{2} - \omega_0)(-\frac{1}{2} - \omega_1) \ldots (-\frac{1}{2} - \omega_{n-1})$।
$(-1)^n$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(-1)^n (x^n - 1) = (\omega_0 + \frac{1}{2})(\omega_1 + \frac{1}{2}) \ldots (\omega_{n-1} + \frac{1}{2})$।
$x = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(-1)^n ((-\frac{1}{2})^n - 1) = (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$।
दोनों पक्षों को $2^n$ से गुणा करने पर:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1}) = 2^n (-1)^n ((-1)^n \frac{1}{2^n} - 1) = 1 + (-1)^{n-1} 2^n$।

(B) माना $z = 1+i\sqrt{3}$ है। हमें $z$ के $(2n)^{\text{th}}$ मूलों का गुणनफल ज्ञात करना है।
समीकरण $w^{2n} - z = 0$ के मूलों का गुणनफल $(-1)^{2n} \times (-z) = -z$ होता है।
अतः,गुणनफल $-(1+i\sqrt{3}) = -1-i\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
चूँकि $x = \omega^2 - \omega + 2$,हम $\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = (-1 - \omega) - \omega + 2 = 1 - 2\omega$.
अतः,$2\omega = 1 - x$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{1 - x}{2}$.
इसे $1 + \omega + \omega^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \left(\frac{1 - x}{2}\right) + \left(\frac{1 - x}{2}\right)^2 = 0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4 + 2(1 - x) + (1 - x)^2 = 0$.
$4 + 2 - 2x + 1 - 2x + x^2 = 0$.
$x^2 - 4x + 7 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $(x+1)^4 + 81 = 0$ है।
माना $y = x+1$,तब $y^4 = -81$।
हम $-81 = 81 e^{i(\pi + 2k\pi)}$ लिख सकते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
चौथा मूल लेने पर,$y = 3 e^{i(\frac{\pi + 2k\pi}{4})}$।
$k=0$ के लिए,$y = 3 e^{i\pi/4} = 3(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$।
अतः $x = y - 1 = -1 + \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$।
इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया है कि $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=2 \cos \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x+\frac{1}{x}+2=4 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+\frac{1}{x}=2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2 \cos 2 \theta$.
मान लीजिए $x = e^{i2\theta}$,तो $x^n + x^{-n} = 2 \cos(n \cdot 2\theta) = 2 \cos(2n\theta)$.
$n=6$ के लिए,$x^6 + x^{-6} = 2 \cos(2 \times 6 \theta) = 2 \cos 12 \theta$.

(D) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\omega + \omega^2 = -1$ है।
नए मूलों की गणना:
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
$\alpha^{19}$ और $\beta^7$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha^{19} + \beta^7)x + (\alpha^{19} \cdot \beta^7) = 0$ है।
मान रखने पर:
$x^2 - (\omega + \omega^2)x + (\omega \cdot \omega^2) = 0$.
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 - (-1)x + 1 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$ है।
इसी प्रकार,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
नए मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जो मूल समीकरण के समान ही हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+x+1=0$ है।

(A) दिया गया है कि $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है।
माना $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
चूंकि $\phi(x)$,$x^2 + x + 1$ से विभाज्य है,इसलिए $\phi(\omega) = 0$ होगा।
$\phi(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$।
इसी प्रकार,$\phi(\omega^2) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\omega - \omega^2) g(1) = 0$।
चूंकि $\omega \neq \omega^2$,इसलिए $g(1) = 0$ होगा।
$f(1) + \omega g(1) = 0$ में $g(1) = 0$ रखने पर,$f(1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(1) = 0$ और $g(1) = 0$ होने के कारण,$f(x)$ और $g(x)$ दोनों $(x-1)$ से विभाज्य हैं।

(D) माना $z = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
अतः,$\left( \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{50} = (\sqrt{3})^{50} e^{i \frac{50\pi}{6}} = 3^{25} e^{i \frac{25\pi}{3}}$.
चूंकि $\frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$,इसलिए $e^{i \frac{25\pi}{3}} = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$3^{25} (x + iy) = 3^{25} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $p = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,जहाँ $|p| = 1$ है।
तब $p^{4} = e^{i4\theta} = \cos(4\theta) + i \sin(4\theta)$।
$p^{4}$ का काल्पनिक भाग $\sin(4\theta)$ है।
हमें दिया गया है कि $\text{Im}(p^{4}) = 0$,इसलिए $\sin(4\theta) = 0$।
इसका अर्थ है कि $4\theta = n\pi$ किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,या $\theta = \frac{n\pi}{4}$।
$p$ के लिए इकाई वृत्त पर भिन्न मान प्राप्त करने हेतु,हम $\theta \in [0, 2\pi)$ पर विचार करते हैं।
$\theta$ के संभावित मान $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इस प्रकार,$\theta$ के $8$ मान प्राप्त होते हैं,जो $8$ भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $p$ के संगत हैं।

(C) दिया गया समीकरण $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ है।
चूंकि $x = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ एक मूल है,इसलिए $a_0 (e^{i \theta})^n + a_1 (e^{i \theta})^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ होगा।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$e^{i k \theta} = \cos k \theta + i \sin k \theta$।
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर करने पर,हमें $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta = 0$ प्राप्त होता है।

(B) यूलर के सूत्र $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ का उपयोग करते हुए, दिया गया समीकरण इस प्रकार है:
$e^{i\theta} \cdot e^{i2\theta} \cdot e^{i3\theta} \dots e^{in\theta} = 1$
$e^{i\theta(1 + 2 + 3 + \dots + n)} = 1$
चूंकि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है, हमें प्राप्त होता है:
$e^{i\frac{n(n+1)}{2}\theta} = 1$
$e^{i2k\pi} = 1$ के साथ तुलना करने पर, हमें मिलता है:
$\frac{n(n+1)}{2}\theta = 2k\pi$
$\theta = \frac{4k\pi}{n(n+1)}$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए $\alpha = e^{i(2\pi/3)}$ और $\beta = e^{-i(2\pi/3)}$.
अतः,$\alpha^{n}+\beta^{n} = e^{i(2n\pi/3)} + e^{-i(2n\pi/3)}$.
यूलर के सूत्र के अनुसार,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$.
इसलिए,$\alpha^{n}+\beta^{n} = 2\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$.

(A) दिया गया है,$z = \sin \theta - i \cos \theta$
$z = \cos \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{n} = e^{i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) + i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
तब,$\frac{1}{z^{n}} = z^{-n} = e^{-i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) - i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
इन्हें जोड़ने पर,$z^{n} + \frac{1}{z^{n}} = 2 \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{n \pi}{2} - n \theta\right)$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $x+\frac{1}{x}=2 \cos \theta$.
माना $x = \cos \theta + i \sin \theta$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$x^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$.
अतः,$\frac{1}{x^n} = \cos n \theta - i \sin n \theta$.
दोनों को जोड़ने पर:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \theta$.

(B) दिया गया है $Z_{r} = \sin \frac{2 \pi r}{11} - i \cos \frac{2 \pi r}{11}$.
इसे $Z_{r} = -i (\cos \frac{2 \pi r}{11} + i \sin \frac{2 \pi r}{11})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$Z_{r} = -i e^{i \frac{2 \pi r}{11}}$ प्राप्त होता है।
अब,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \sum_{r=0}^{10} (e^{i \frac{2 \pi}{11}})^{r}$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $11$ पद हैं और सार्व अनुपात $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{11}} \neq 1$ है।
इकाई के $n$ मूलों का योग $\sum_{r=0}^{n-1} e^{i \frac{2 \pi r}{n}} = 0$ होता है,जहाँ $n > 1$ है।
अतः,$\sum_{r=0}^{10} e^{i \frac{2 \pi r}{11}} = 0$.
इस प्रकार,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \times 0 = 0$.

(C) हम जानते हैं कि $|a+b\omega+c\omega^2|^2 = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.
इसे $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न शून्येतर पूर्णांक हैं,न्यूनतम मान के लिए हम $\{1, 2, 3\}$ का चयन करते हैं।
अतः,न्यूनतम मान $\frac{1}{2}(1+1+4) = 3$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का घनमूल है। तब $1+i\sqrt{3} = 2\omega^2$ और $1-i\sqrt{3} = 2\omega$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{2\omega^2}{2\omega}\right)^{64} + \left(\frac{2\omega}{2\omega^2}\right)^{64} = (\omega)^{64} + \left(\frac{1}{\omega}\right)^{64}$
चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{64} = (\omega^3)^{21} \cdot \omega = \omega$ और $\frac{1}{\omega^{64}} = \omega^2$ होगा।
अतः,व्यंजक $\omega + \omega^2$ बन जाता है।
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) इकाई के $1$ के अलावा घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i 2\pi/3}$ है।
दिया गया $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{\alpha}{\beta}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\alpha/\beta)} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}$ होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\alpha + \beta = \omega + \omega^{2} = -1$ है।
स्थिति $I$: यदि $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$ है,तो $S = \frac{\omega^{2}}{\omega + \omega^{2}} = \frac{\omega^{2}}{-1} = -\omega^{2}$।
स्थिति $II$: यदि $\alpha = \omega^{2}$ और $\beta = \omega$ है,तो $S = \frac{\omega}{\omega^{2} + \omega} = \frac{\omega}{-1} = -\omega$।
अतः,$S$ का मान $-\omega$ या $-\omega^{2}$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
ये मूल $-\omega$ और $-\omega^{2}$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$ और $\beta = -\omega^{2}$ है।
अतः,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = (-\omega)^{2013} + (-\omega^{2})^{2013}$ है।
चूँकि $2013$ एक विषम संख्या है,$(-\omega)^{2013} = -\omega^{2013} = -(\omega^{3})^{671} = -(1)^{671} = -1$ है।
इसी प्रकार,$(-\omega^{2})^{2013} = -(\omega^{2})^{2013} = -\omega^{4026} = -(\omega^{3})^{1342} = -(1)^{1342} = -1$ है।
इसलिए,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = -1 + (-1) = -2$ है।

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ है।
$\omega$ से गुणा करने पर: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dots + 3n\omega^{3n}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1 - \omega) = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{3n-1} - 3n\omega^{3n}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,गुणोत्तर श्रेणी $1 + \omega + \dots + \omega^{3n-1}$ का योग $\frac{1 - (\omega^3)^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ है।
अतः,$S(1 - \omega) = 0 - 3n(1) = -3n$।
इसलिए,$S = \frac{-3n}{1 - \omega} = \frac{3n}{\omega - 1}$।

(A) माना सामान्य पद $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ है,जहाँ $k=2$ से $n$ तक है।
चूंकि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,हमारे पास $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है,जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$।
पद का विस्तार करने पर: $T_k = (k-1)(k^2 - k(\omega + \omega^2) + \omega^3) = (k-1)(k^2 + k + 1) = k^3 - 1$।
योग $S = \sum_{k=2}^{n} (k^3 - 1)$ है।
इसे $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) - (1^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$।

(D) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^{201} = \cos\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right)$.
$z^{201} = \cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{67\pi}{2}\right)$.
चूंकि $\frac{67\pi}{2} = 33\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) = 0$ और $\sin\left(\frac{67\pi}{2}\right) = -1$.
अतः,$z^{201} = 0 + i(-1) = -i$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $(z^{201} - i)^{8} = (-i - i)^{8} = (-2i)^{8}$.
$(-2i)^{8} = (-2)^{8} \times i^{8} = 256 \times 1 = 256$.

(D) यहाँ $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,सरलीकरण के बाद $m^{10} = 49^{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 49$।

(D) दिया गया है $x^2+x+1=0$,जिसके मूल इकाई के घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $f(n) = (x^n + \frac{1}{x^n})^4$ है। चूंकि $x^3=1$,$f(n)$ प्रत्येक $3$ पदों के बाद दोहराता है।
$n=1$ के लिए,$(x+\frac{1}{x})^4 = (\omega+\omega^2)^4 = (-1)^4 = 1$ है।
$n=2$ के लिए,$(x^2+\frac{1}{x^2})^4 = (\omega^2+\omega)^4 = (-1)^4 = 1$ है।
$n=3$ के लिए,$(x^3+\frac{1}{x^3})^4 = (1+1)^4 = 2^4 = 16$ है।
मानों की श्रृंखला $1, 1, 16, 1, 1, 16, \dots$ है।
कुल $25$ पद हैं।
$(1, 1, 16)$ के पूर्ण चक्रों की संख्या $\lfloor 25/3 \rfloor = 8$ है।
$8$ चक्रों का योग $= 8 \times (1+1+16) = 8 \times 18 = 144$ है।
$25$ वां पद $n=1$ के अनुरूप है,जो $1$ है।
कुल योग $= 144 + 1 = 145$ है।