सम्मिश्र संख्या $z = -1 - i \sqrt{3}$ का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया है $z = -1 - i \sqrt{3}$।
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r$ मापांक है और $\theta$ कोणांक है।
यहाँ,$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = -\sqrt{3}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(r \cos \theta)^{2} + (r \sin \theta)^{2} = (-1)^{2} + (-\sqrt{3})^{2}$
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = 1 + 3$
$r^{2} = 4 \Rightarrow r = 2$ (चूँकि $r > 0$)।
अतः,मापांक $2$ है।
अब,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ और $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों ऋणात्मक हैं,सम्मिश्र संख्या $III$ चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = |\frac{-\sqrt{3}}{-1}| = \sqrt{3}$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{3}$।
$III$ चतुर्थांश में,कोणांक $\theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$ है।
अतः,मापांक $2$ है और कोणांक $-\frac{2\pi}{3}$ है।