Parabola Questions in Hindi

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है। यहाँ $a = 1$ है,अतः अभिलंब $y + tx = 2t + t^3$ है।
यदि $t_1$ और $t_2$ को जोड़ने वाली जीवा शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,तो शीर्ष और बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं की प्रवणता का गुणनफल $-1$ होता है। प्रवणता $m_1 = \frac{2}{t_1}$ और $m_2 = \frac{2}{t_2}$ है।
अतः,$\frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -4$.
चूंकि जीवा अभिलंब है,$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.
$t_2 = -\frac{4}{t_1}$ रखने पर,$-\frac{4}{t_1} = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \sqrt{2}$ (न्यून कोण के लिए)।
अभिलंब की प्रवणता $m = -t_1 = -\sqrt{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ के लिए $\tan(\pi - \theta) = |m| = \sqrt{2}$।
अतः,$\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\theta = \cot^{-1}(\sqrt{2})$।

(A) माना जीवा $y = mx + c$ है। रेखा और परवलय $y^2 = 4ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(mx + c)^2 = 4ax$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$ में सरल हो जाते हैं।
माना बिंदु $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ हैं। तब $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$ और $y_1y_2 = \frac{4ac}{m}$ है।
चूंकि जीवा शीर्ष $(0,0)$ पर समकोण अंतरित करती है,$OA$ और $OB$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है,इसलिए $\frac{y_1}{x_1} \times \frac{y_2}{x_2} = -1$,जिसका अर्थ है $y_1y_2 = -x_1x_2$ है।
मान रखने पर,$\frac{4ac}{m} = -\frac{c^2}{m^2}$,जिससे $c = -4am$ प्राप्त होता है।
जीवा का समीकरण $y = mx - 4am$ है।
माना $(h, k)$ मूल बिंदु से इस रेखा पर लंब का पाद है। लंब रेखा की प्रवणता $-\frac{1}{m}$ है,इसलिए $\frac{k}{h} = -\frac{1}{m}$,जिससे $m = -\frac{h}{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(h, k)$ रेखा $y = mx - 4am$ पर स्थित है,इसलिए $k = mh - 4am = m(h - 4a)$ है।
$m = -\frac{h}{k}$ रखने पर,$k = -\frac{h}{k}(h - 4a)$,जो $k^2 = -h^2 + 4ah$ में सरल हो जाता है।
अतः,$h^2 + k^2 - 4ah = 0$ है। $(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ है।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
प्रथम परवलय $y^2 = 4a(x - l_1)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1}$।
दूसरे परवलय $x^2 = 4a(y - l_2)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = 4a \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x_1}{2a}$।
चूंकि परवलय $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए इस बिंदु पर उनकी प्रवणता (slope) समान होनी चाहिए।
अतः,$\frac{2a}{y_1} = \frac{x_1}{2a}$।
इससे $x_1 y_1 = 4a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु का बिंदुपथ $xy = 4a^2$ है।

(C) परवलय का शीर्ष $(h, k) = (2, 2)$ है।
चूंकि नाभिलंब के सिरे $(-2, 0)$ और $(6, 0)$ हैं,इसलिए परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
परवलय नीचे की ओर खुलता है,इसलिए इसका समीकरण $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के रूप में है।
शीर्ष $(2, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x - 2)^2 = -4a(y - 2)$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $(-2, 0)$ और $(6, 0)$ के बीच की दूरी है,जो $|6 - (-2)| = 8$ है।
अतः,$4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(x - 2)^2 = -8(y - 2)$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 4x + 4 = -8y + 16$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 8y - 12 = 0$ हो जाता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होने वाली परवलय $y^2 = 4ax$ की जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$y^2 = x$,इसलिए $4a = 1 \Rightarrow a = 1/4$।
जीवा का समीकरण $y y_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ है।
$(x_1, y_1) = (2, 1)$ और $a = 1/4$ रखने पर:
$y(1) - 2(1/4)(x + 2) = 1^2 - 4(1/4)(2)$
$y - 1/2(x + 2) = 1 - 2$
$y - 1/2x - 1 = -1$
$y = 1/2x \Rightarrow x = 2y$।
$x = 2y$ को $y^2 = x$ में रखने पर:
$y^2 = 2y \Rightarrow y(y - 2) = 0$।
अतः,$y = 0$ या $y = 2$।
यदि $y = 0$,तो $x = 0$। बिंदु $A = (0, 0)$।
यदि $y = 2$,तो $x = 4$। बिंदु $B = (4, 2)$।
जीवा $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$।

(C) माना नाभीय जीवा के सिरे $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,इसलिए $t_1t_2 = -1$ है।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1) = (at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ है।
$t_1t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x_1 = -a$ और $y_1 = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।
$P$ और $Q$ पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_2, y_2) = (a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2 + 2), -at_1t_2(t_1 + t_2))$ है।
$t_1t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,$x_2 = a(t_1^2 + t_2^2 + 1)$ और $y_2 = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $y_1 = y_2$ है।

(A) परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब $l$ नाभीय खंडों $SP$ और $SQ$ का हरात्मक माध्य होता है।
अतः,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{2}{l}$.
दिया है $SP = 3$ और $SQ = 2$,इसलिए $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
नाभिलंब $L = 2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(B) मान लीजिए कि परवलय $y^2 = 4ax$ के दो अभिलंब बिंदुओं $t_1$ और $t_2$ पर हैं। बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
यदि अभिलंब $(h, k)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $at^3 + (2a - h)t + k = 0$। मान लीजिए मूल $t_1, t_2, t_3$ हैं।
दिया गया है कि अभिलंब समकोण पर हैं,इसलिए उनकी प्रवणता का गुणनफल $m_1 m_2 = -1$ है। चूंकि $m = -t$,हमारे पास $(-t_1)(-t_2) = -1$ है,अर्थात $t_1 t_2 = -1$।
$t_1$ और $t_2$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 2a t_1 t_2$ है।
$t_1 t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y(t_1 + t_2) = 2x - 2a$ मिलता है,या $2x - 2a - y(t_1 + t_2) = 0$।
इस रेखा के $t_1$ और $t_2$ से स्वतंत्र एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,$(t_1 + t_2)$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $y = 0$।
समीकरण में $y = 0$ रखने पर,हमें $2x - 2a = 0$ मिलता है,जो $x = a$ देता है।
अतः,निश्चित बिंदु $(a, 0)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y^2 + 4y - 6x - 2 = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y + 2)^2 = 6(x + 1)$ प्राप्त होता है।
माना $Y = y + 2$ और $X = x + 1$,तो समीकरण $Y^2 = 6X$ हो जाता है।
परवलय की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
$Y^2 = 4aX$ के लिए नियता $X = -a$ है,जहाँ $4a = 6$ अर्थात $a = 1.5$ है।
अतः $x + 1 = -1.5$,जिसे हल करने पर $2x + 2 = -3$ अर्थात $2x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना नाभीय जीवा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। नाभीय जीवा की लंबाई $L = 4a \csc^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
नाभीय जीवा की शीर्ष $(0,0)$ से दूरी $p$,मूल बिंदु से नाभि $(a,0)$ से गुजरने वाली रेखा की लंबवत दूरी है।
नाभीय जीवा का समीकरण $(x - a) \sin \theta - y \cos \theta = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $p = |\frac{-a \sin \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}}| = |a \sin \theta|$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{p}{a}$,जिसका अर्थ है $\csc \theta = \frac{a}{p}$।
इस मान को लंबाई के सूत्र में रखने पर: $L = 4a (\frac{a}{p})^2 = \frac{4a^3}{p^2}$।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
यदि यह स्पर्श रेखा बिंदु $(h, k)$ से गुजरती है,तो $k = mh + \frac{a}{m}$,जो द्विघात समीकरण $m^2h - km + a = 0$ में बदल जाता है।
मान लीजिए कि दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m$ और $2m$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $m + 2m = 3m = \frac{k}{h}$ और मूलों का गुणनफल $m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{h}$ है।
पहले समीकरण से,$m = \frac{k}{3h}$।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2(\frac{k}{3h})^2 = \frac{a}{h}$।
$2(\frac{k^2}{9h^2}) = \frac{a}{h}$।
$2k^2 = 9ah$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $2y^2 = 9ax$ या $y^2 = \frac{9}{2}ax$ प्राप्त होता है।

(A) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। परवलय के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
यदि अभिलंब $P(h, k)$ से गुजरता है,तो $k = mh - 2am - am^3$,जो $am^3 + (2a - h)m + k = 0$ में सरल हो जाता है।
माना इस त्रिघात समीकरण के मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं। ये तीन अभिलंबों की प्रवणताएँ दर्शाते हैं।
ये अभिलंब परवलय की अक्ष ($x$-अक्ष) के साथ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ कोण बनाते हैं,जहाँ $\tan \theta_i = m_i$ है।
कोणों का योग $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = C$ (अचर) है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) = \tan C$।
सर्वसमिका $\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) = \frac{S_1 - S_3}{1 - S_2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $S_1 = \sum m_i = 0$,$S_2 = \sum m_i m_j = \frac{2a - h}{a}$,और $S_3 = m_1 m_2 m_3 = -\frac{k}{a}$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{0 - (-k/a)}{1 - (2a - h)/a} = \tan C$।
यह $\frac{k}{h - a} = \tan C$ में सरल हो जाता है।
अतः,$k = (h - a) \tan C$,जो $(a, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(B) अभिलंब का प्राचलिक रूप में समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
इसे व्यवस्थित करने पर,$at^3 + (2a - x)t - y = 0$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक त्रिघात समीकरण है,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 + t_3 = 0$ है,जिसका अर्थ है $t_1 + t_3 = -t_2$ $(i)$।
$x = 2a$ पर,समीकरण $at^3 + (2a - 2a)t - y = 0$ हो जाता है,इसलिए $y = at^3$।
$x = 2a$ पर कोटि $at_1^3, at_2^3, at_3^3$ हैं।
दिया गया है कि ये समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2at_2^3 = at_1^3 + at_3^3$,या $2t_2^3 = t_1^3 + t_3^3$।
सर्वसमिका $t_1^3 + t_3^3 = (t_1 + t_3)(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$ का उपयोग करते हुए,$t_1 + t_3 = -t_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2t_2^3 = -t_2(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$।
$-t_2$ से विभाजित करने पर,$-2t_2^2 = t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t_1^2 + t_3^2 = (t_1 + t_3)^2 - 2t_1t_3 = t_2^2 - 2t_1t_3$ है,इसलिए:
$-2t_2^2 = t_2^2 - 2t_1t_3 - t_1t_3 = t_2^2 - 3t_1t_3$।
$-3t_2^2 = -3t_1t_3$,इसलिए $t_2^2 = t_1t_3$।
अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $\tan \phi = -t$।
अतः,$(-\tan \phi_2)^2 = (-\tan \phi_1)(-\tan \phi_3)$,जो $\tan^2 \phi_2 = \tan \phi_1 \tan \phi_3$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$\tan \phi_1, \tan \phi_2, \tan \phi_3$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4a(x - h)$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = mh + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,$m = 2$,$c = -3$,और $h = \frac{1}{3}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$-3 = 2(\frac{1}{3}) + \frac{a}{2}$
$-3 = \frac{2}{3} + \frac{a}{2}$
$-3 - \frac{2}{3} = \frac{a}{2}$
$-\frac{11}{3} = \frac{a}{2}$
$a = -\frac{22}{3}$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $S: y^2 - 4x = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (2)^2 - 4(-1) = 4 + 4 = 8$,और $T = y(2) - 2(x - 1) = 2y - 2x + 2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(y^2 - 4x)(8) = (2y - 2x + 2)^2$
$8(y^2 - 4x) = 4(y - x + 1)^2$
$2(y^2 - 4x) = (y - x + 1)^2$
रेखा $x = 2$ पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 2$ रखें:
$2(y^2 - 8) = (y - 2 + 1)^2$
$2y^2 - 16 = (y - 1)^2$
$2y^2 - 16 = y^2 - 2y + 1$
$y^2 + 2y - 17 = 0$
मान लीजिए मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। तब $y_1 + y_2 = -2$ और $y_1 y_2 = -17$ है।
अंतःखंड की लंबाई $|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1 y_2}$ है।
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(-2)^2 - 4(-17)} = \sqrt{4 + 68} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है कि $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूँकि निरपेक्ष पद $3$ है,$c = 3$ है। चूँकि अग्रणी गुणांक इकाई है,$a = 1$ है। अतः,$f(x) = x^2 + bx + 3$ है।
चूँकि परवलय रेखा $x = 1$ के परितः सममित है,शीर्ष $x = 1$ पर है। अवकलज $f'(x) = 2x + b$ है। $f'(1) = 0$ रखने पर,$2(1) + b = 0$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद $f(x) = x^2 - 2x + 3$ है।
इसे $y = (x - 1)^2 + 2$ या $(x - 1)^2 = 1(y - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय के मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$h = 1$,$k = 2$,और $4a = 1$ है,जिसका अर्थ है $a = 1/4$ है।
परवलय $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ की नाभि $(h, k + a)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,नाभि $(1, 2 + 1/4) = (1, 9/4)$ प्राप्त होती है।

(D) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर चर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
परवलय की नाभि $S(a, 0)$ है।
नाभीय त्रिज्या $SP$ है। $SP$ का मध्य बिंदु $M(x, y)$ निम्न है:
$x = \frac{at^2 + a}{2}, y = \frac{2at + 0}{2} = at$.
$y = at$ से,हमें $t = \frac{y}{a}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{a(\frac{y}{a})^2 + a}{2} = \frac{\frac{y^2}{a} + a}{2} = \frac{y^2 + a^2}{2a}$.
$2ax = y^2 + a^2 \implies y^2 = 2ax - a^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$.
यह एक परवलय है जिसका शीर्ष $(\frac{a}{2}, 0)$ है।
इस नए परवलय का नाभिलंब $4A = 2a$ है,जो मूल परवलय के नाभिलंब $(4a)$ का आधा है।
नियता $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \implies x = 0$ है,जो $y$-अक्ष है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
शीर्ष $A(0, 0)$ है।
रेखा $PA$ का समीकरण $y = \frac{2}{t}x$ है।
नियता का समीकरण $x = -a$ है।
$D$ ज्ञात करने के लिए,$x = -a$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $y = -\frac{2a}{t}$। अतः,$D = (-a, -\frac{2a}{t})$।
$M$,$P(at^2, 2at)$ से नियता $x = -a$ पर लंब का पाद है,अतः $M = (-a, 2at)$।
$MD$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (-a, 2at)$ और $(x_2, y_2) = (-a, -\frac{2a}{t})$।
$(x + a)^2 + (y - 2at)(y + \frac{2a}{t}) = 0$।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर:
$(x + a)^2 + (-2at)(\frac{2a}{t}) = 0$।
$(x + a)^2 - 4a^2 = 0$।
$(x + a)^2 = 4a^2$।
$x + a = \pm 2a$।
$x = a$ या $x = -3a$।
अतः,निर्देशांक $(a, 0)$ और $(-3a, 0)$ हैं।

(D) माना जीवा $y = mx + c$ है। चूँकि यह परवलय $y^2 = 4ax$ को काटती है,शीर्ष $(0, 0)$ को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण $y^2 = 4ax \left(\frac{y-mx}{c}\right)$ है।
चूँकि जीवा शीर्ष पर समकोण अंतरित करती है,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $0$ है।
$1 + \frac{4am}{c} = 0 \implies c = -4am$.
अतः,जीवा $y = mx - 4am$ है,जो हमेशा निश्चित बिंदु $(4a, 0)$ से होकर गुजरती है।
शीर्ष से जीवा $y = mx - 4am$ पर डाले गए लंब के पाद का बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ है,जो एक वृत्त है।
जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ $y^2 = 2a(x - 4a)$ है,जो एक परवलय है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) बिंदुओं $(3, 0)$ और $(4, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{1 - 0}{4 - 3} = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस जीवा के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $1$ होगी।
परवलय $y = (x - 3)^2$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने हेतु अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(x - 3)$।
ढाल को $1$ के बराबर रखने पर:
$2(x - 3) = 1$ $\Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$।
$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = \frac{7}{2}$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$y = (\frac{7}{2} - 3)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$।
स्पर्श बिंदु $(\frac{7}{2}, \frac{1}{4})$ है।
ढाल $m = 1$ और बिंदु $(\frac{7}{2}, \frac{1}{4})$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - \frac{1}{4} = 1(x - \frac{7}{2})$
$4x - 4y = 13$।

(D) दिया गया परवलय: $y^2 - 2y - 4x - 7 = 0$
$(y - 1)^2 = 4x + 8 = 4(x + 2)$
शीर्ष $A = (-2, 1)$ और नाभिलंब की लंबाई $L = 4$ है।
नए परवलय के लिए,शीर्ष $A(-2, 1)$ है,नाभिलंब की लंबाई $2L = 8$ है,और अक्ष दिए गए परवलय के अक्ष $(y = 1)$ के लंबवत है।
अतः,नए परवलय का अक्ष $x = -2$ है।
नए परवलय का समीकरण $(x + 2)^2 = \pm 4(2)(y - 1)$ होगा।
स्थिति $1$: $(x + 2)^2 = 8(y - 1) \implies x^2 + 4x - 8y + 12 = 0$.
स्थिति $2$: $(x + 2)^2 = -8(y - 1) \implies x^2 + 4x + 8y - 4 = 0$.
दोनों समीकरण मान्य हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) एक रेखा परवलय को स्पर्श करती है यदि रेखा के समीकरण को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = 0$ हो।
$(A) x^2 + 4y = 0$ के लिए:
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 4(1 - x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. (स्पर्श करती है)
$(B) x^2 - x + y = 0$ के लिए:
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - x + 1 - x = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$. (स्पर्श करती है)
$(C) 4x^2 - 3x + y = 0$ के लिए:
$y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4x^2 - 3x + 1 - x = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0$. (स्पर्श करती है)
चूंकि सभी विकल्प शर्त को पूरा करते हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(A) बिंदु $(1/2, 2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1/2)$ है,जिसे $y = mx - m/2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के परवलय $y = -x^2/2 + 2$ की स्पर्शरेखा होने के लिए,हम $y$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$mx - m/2 + 2 = -x^2/2 + 2$
$x^2/2 + mx - m/2 = 0$
$x^2 + 2mx - m = 0$
स्पर्शरेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$D = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 0$
$4m^2 + 4m = 0$
$4m(m + 1) = 0$
अतः,$m = 0$ या $m = -1$ है।
यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y = 2$ प्राप्त होती है,जो परवलय को $(0, 2)$ पर स्पर्श करती है लेकिन वक्र $y = \sqrt{4 - x^2}$ के लिए छेदक रेखा नहीं है (यह वृत्त की स्पर्शरेखा है)।
यदि $m = -1$ है,तो रेखा $y - 2 = -1(x - 1/2)$ प्राप्त होती है,जिसे $y = -x + 5/2$ या $2x + 2y - 5 = 0$ के रूप में सरल किया जा सकता है। यह रेखा वक्र $y = \sqrt{4 - x^2}$ को दो बिंदुओं पर काटती है,इसलिए यह एक छेदक रेखा है।

(D) दी गई रेखा $y = 2x - 3$ है। $x = 1$ पर,$y = 2(1) - 3 = -1$ है।
चूंकि परवलय $y = x^2 + px + q$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरता है,इसलिए $-1 = 1^2 + p(1) + q$,जो $p + q = -2$ या $q = -2 - p$ में सरल हो जाता है।
परवलय $y = x^2 + px + q$ का शीर्ष $x = -p/2$ पर है।
शीर्ष का $y$-निर्देशांक $y_v = (-p/2)^2 + p(-p/2) + q = p^2/4 - p^2/2 + q = q - p^2/4$ है।
शीर्ष की $x$-अक्ष से दूरी $|y_v| = |q - p^2/4|$ है।
$q = -2 - p$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d(p) = |(-2 - p) - p^2/4| = |- (p^2/4 + p + 2)|$ प्राप्त होता है।
दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(p) = p^2/4 + p + 2$ का विश्लेषण करते हैं।
$f'(p) = p/2 + 1 = 0$ रखने पर,$p = -2$ प्राप्त होता है।
$p = -2$ के लिए,$q = -2 - (-2) = 0$ है।
दूरी $|0 - (-2)^2/4| = |-1| = 1$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) परवलय $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है। परवलय पर सामान्य बिंदु $P(2t^2, 4t)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2t} = \frac{2}{t}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम दूरी के लिए,$P$ पर स्पर्शरेखा रेखा $x + y + 4 = 0$ के समानांतर होनी चाहिए,जिसकी ढाल $-1$ है।
$\frac{2}{t} = -1$ रखने पर,हमें $t = -2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ का मान $(2(-2)^2, 4(-2)) = (8, -8)$ है।
बिंदु $P(8, -8)$ से रेखा $x + y + 4 = 0$ की दूरी $d = \frac{|8 - 8 + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
परवलय और उसके प्रतिबिंब के बीच की न्यूनतम दूरी,बिंदु $P$ से परावर्तन की रेखा तक की दूरी की दोगुनी होती है,जो $2 \times (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ है।

(B) परवलय की नाभि $(2, 0)$ और नियता $x = -2$ है। शीर्ष $(0, 0)$ है। परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है।
आपतित किरण $y = -4$ रेखा के अनुदिश चलती है। $y^2 = 8x$ में $y = -4$ रखने पर,$16 = 8x$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, -4)$ हैं।
परवलय के परावर्तन गुण के अनुसार,अक्ष के समांतर आने वाली किरण परावर्तित होकर नाभि से होकर गुजरती है। परावर्तित किरण $x = 2$ रेखा है।
$x = 2$ को $y^2 = 8x$ में रखने पर,$y^2 = 16$,जिससे $y = \pm 4$ प्राप्त होता है। बिंदु $P(2, -4)$ के अलावा दूसरा बिंदु $Q(2, 4)$ है।

(B) माना परवलय $x^2 = 4ay$ का शीर्ष $A(0, 0)$ है।
माना जीवा का दूसरा सिरा $P(x_1, y_1) = (2at, at^2)$ है।
जीवा $AP$ की ढाल $m = \frac{at^2 - 0}{2at - 0} = \frac{t}{2}$ है।
दिया गया है कि ढाल $\tan\alpha$ है,इसलिए $\frac{t}{2} = \tan\alpha$,जिसका अर्थ है $t = 2\tan\alpha$।
जीवा $AP$ की लंबाई $\sqrt{(2at - 0)^2 + (at^2 - 0)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + a^2t^4} = at\sqrt{4 + t^2}$ है।
$t = 2\tan\alpha$ रखने पर:
$AP = a(2\tan\alpha)\sqrt{4 + (2\tan\alpha)^2} = 2a\tan\alpha \sqrt{4(1 + \tan^2\alpha)} = 2a\tan\alpha \sqrt{4\sec^2\alpha} = 2a\tan\alpha (2\sec\alpha) = 4a\tan\alpha \sec\alpha$.

(C) रेखा का समीकरण $y = \sqrt{3}x - 3$ है,जिसे $\frac{y - 0}{x - \sqrt{3}} = \sqrt{3} = \tan(60^{\circ})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $P(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का प्राचलिक रूप $\theta = 60^{\circ}$ के साथ:
$x = \sqrt{3} + r \cos(60^{\circ}) = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$
$y = 0 + r \sin(60^{\circ}) = \frac{r\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को परवलय $2y^2 = 2x + 3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = 2(\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 3$
$\frac{3r^2}{2} = 2\sqrt{3} + r + 3$
$3r^2 - 2r - (6 + 4\sqrt{3}) = 0$
मान लीजिए कि $r_1 = PA$ और $r_2 = -PB$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों का योग $r_1 + r_2 = \frac{2}{3}$ और गुणनफल $r_1 r_2 = -\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3}$ है।
हमें $|PA - PB| = |r_1 - r_2|$ ज्ञात करना है।
$|r_1 - r_2| = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1 r_2}$ का उपयोग करने पर:
$|r_1 - r_2| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{24 + 16\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{76 + 48\sqrt{3}}}{3}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 8$,अतः $a = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $x + y = 6$ है,जिसे $y = -x + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -1$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के अभिलंब होने की शर्त $c = -2am - am^3$ है।
मान रखने पर: $c = -2(2)(-1) - 2(-1)^3 = 4 + 2 = 6$। यह पुष्टि करता है कि रेखा अभिलंब है।
$m$ ढाल वाले अभिलंब के लिए संपर्क बिंदु $(am^2, -2am)$ होता है।
$a = 2$ और $m = -1$ रखने पर,हमें बिंदु $(2(-1)^2, -2(2)(-1)) = (2, 4)$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 12$,अतः $a = 3$ प्राप्त होता है।
परवलय पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,नाभीय दूरी $x + a$ होती है।
नाभीय दूरी $12$ दी गई है,इसलिए $x + 3 = 12$,जिसका अर्थ है $x = 9$।
$x = 9$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 12x$ में रखने पर,$y^2 = 12(9) = 108$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm \sqrt{108} = \pm 6\sqrt{3}$।
इसलिए,बिंदु $(9, 6\sqrt{3})$ या $(9, -6\sqrt{3})$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही बिंदु $(9, 6\sqrt{3})$ है।

(C) रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्शरेखा की शर्त $k = \frac{a}{m}$ है,जहाँ $m = -\frac{a}{b}$ और $k = -\frac{c}{b}$ है।
अतः,$-\frac{c}{b} = \frac{a}{-\frac{a}{b}} = -b$।
इस प्रकार,$c = b^2$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. परवलय नीचे की ओर खुलता है,इसलिए $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$a < 0$ है।
$2$. $y$-अंतःखंड $x = 0$ पर $y$ का मान है। ग्राफ से,परवलय $y$-अक्ष को मूल बिंदु के नीचे काटता है,इसलिए $c < 0$ है।
$3$. शीर्ष का $x$-निर्देशांक $x = -(-b) / (2a) = b / (2a)$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. ग्राफ से,शीर्ष $y$-अक्ष के दाईं ओर स्थित है,इसलिए शीर्ष का $x$-निर्देशांक धनात्मक है,अर्थात $b / (2a) > 0$ है।
$5$. चूंकि $a < 0$ है,इसलिए अनुपात $b / (2a)$ के धनात्मक होने के लिए,$b$ को भी ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$b < 0$ है।
$6$. इसलिए,$a < 0, b < 0, c < 0$ है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ $(h, k)$ है। परवलय $y^2 = 16x$ पर एक बिंदु $(x, y)$ बिंदु $P$ से समान दूरी पर है यदि वह $P$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित हो।
अतः,दूरी की शर्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$x = \frac{y^2}{16}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $(\frac{y^2}{16} - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
यह $y$ में एक चतुर्थ घात समीकरण में सरल हो जाता है: $\frac{y^4}{256} - \frac{hy^2}{8} + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2$,जो $\frac{y^4}{256} + (1 - \frac{h}{8})y^2 - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0$ है।
एक चतुर्थ घात समीकरण के अधिकतम $4$ वास्तविक मूल हो सकते हैं।
इसलिए,एक वृत्त एक परवलय को अधिकतम $4$ बिंदुओं पर काट सकता है।

(B) माना $P(h, k)$ वह बिंदु है जहाँ से $y^2 = 4x$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
परवलय $y^2 = 4x$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ के रूप में होती है।
यदि यह $P(h, k)$ से गुजरती है,तो $k = mh + \frac{1}{m}$,जो $m^2h - mk + 1 = 0$ में बदल जाता है।
माना $m_1$ और $m_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$।
दिया गया है कि $m_1 = 2m_2$,इसलिए:
$3m_2 = \frac{k}{h} \Rightarrow m_2 = \frac{k}{3h}$।
$2m_2^2 = \frac{1}{h} \Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{2h}$।
$m_2$ का मान रखने पर:
$2(\frac{k}{3h})^2 = \frac{1}{h} \Rightarrow 2k^2 = 9h$।
अतः,$P(h, k)$ का बिंदुपथ $2y^2 = 9x$ है।

(D) परवलय $y^2 = 16x$ के लिए,$4a = 16$,अतः $a = 4$ है।
बिंदु $Q(36, -24)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $(36, -24) = (at_2^2, 2at_2)$।
$2at_2 = -24$ $\Rightarrow 2(4)t_2 = -24$ $\Rightarrow t_2 = -3$।
अभिलंब के प्राचल के लिए संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ है।
$t_2 = -3$ रखने पर,$-3 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \Rightarrow t_1^2 - 3t_1 + 2 = 0$।
$t_1$ के लिए हल करने पर,$(t_1 - 1)(t_1 - 2) = 0$,अतः $t_1 = 1$ या $t_1 = 2$।
बिंदु $P(at_1^2, 2at_1)$ की नाभीय दूरी $a(1 + t_1^2)$ है।
$t_1 = 1$ के लिए,नाभीय दूरी $= 4(1 + 1^2) = 8$।
$t_1 = 2$ के लिए,नाभीय दूरी $= 4(1 + 2^2) = 20$।
अधिकतम नाभीय दूरी $20$ है।

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के किसी भी अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^{3}$ है।
यदि यह $(h, k)$ से गुजरता है,तो $k=mh-2am-am^{3}$,या $am^{3}+(2a-h)m+k=0$ होगा।
यह $m$ में एक त्रिघात समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ हैं।
तब $m_{1}+m_{2}+m_{3}=0$ और $m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}=\frac{2a-h}{a}$ होगा।
तीनों अभिलंबों के पाद $P, Q, R$ के निर्देशांक $(am_{1}^{2}, -2am_{1}), (am_{2}^{2}, -2am_{2}), (am_{3}^{2}, -2am_{3})$ हैं।
मान लीजिए $G(\bar{x}, \bar{y})$ त्रिभुज $\Delta PQR$ का केंद्रक है।
तब $\bar{x} = \frac{a(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2})}{3} = \frac{a}{3}[(m_{1}+m_{2}+m_{3})^{2}-2(m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1})] = \frac{a}{3}[0 - 2(\frac{2a-h}{a})] = \frac{2}{3}(h-2a)$ होगा।
और $\bar{y} = \frac{-2a(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{3} = -\frac{2a}{3}(0) = 0$ होगा।
अतः,$\Delta PQR$ का केंद्रक $G(\frac{2}{3}(h-2a), 0)$ है,जो रेखा $y=0$ पर स्थित है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=32x$ है।
इसे मानक रूप $y^2=4ax$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a=32$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=8$.
परवलय $y^2=4ax$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t$ जीवा के एक सिरे का प्राचल है।
नाभिलंब जीवा की न्यूनतम लंबाई,नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई होती है,जो $4a$ है।
अतः,न्यूनतम लंबाई $= 4 \times 8 = 32 \text{ units}$.
इस प्रकार,$PQ$ की लंबाई कभी भी $32$ इकाई से कम नहीं हो सकती है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S(3, -4)$ से दूरी,बिंदु $P$ की नियता $y - 4 = 0$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP = PM$
$\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 4)^2} = |y - 4|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + y^2 + 8y + 16 = y^2 - 8y + 16$
$(x - 3)^2 = -8y - 8y$
$(x - 3)^2 = -16y$

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $3y^2 + 4y - 6x + 8 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3(y^2 + \frac{4}{3}y) = 6x - 8$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $3(y + \frac{2}{3})^2 = 6x - \frac{20}{3}$.
$(y + \frac{2}{3})^2 = 2(x - \frac{10}{9})$.
यह $Y^2 = 4AX$ के रूप में है,जहाँ $Y = y + \frac{2}{3}$,$X = x - \frac{10}{9}$,और $4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$ है।
परवलय की अक्ष $Y = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = -\frac{2}{3}$।
अक्ष पर कोई भी बिंदु $(a, -\frac{2}{3})$ है।
$Y^2 = 4AX$ की अक्ष पर स्थित बिंदु $(X_0, 0)$ से $3$ वास्तविक अभिलंब खींचने के लिए,$X_0 > 2A$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $x - \frac{10}{9} > 1 \implies x > \frac{19}{9}$।
अतः,बिंदु $(a, -\frac{2}{3})$ है जहाँ $a > \frac{19}{9}$।

(A) रेखा का समीकरण $y - \sqrt{3}x + 3 = 0$ है। इसे प्राचल रूप में $\frac{x - \sqrt{3}}{\cos \theta} = \frac{y - 0}{\sin \theta} = r$ के रूप में लिखा जा सकता है।
ढाल $\tan \theta = \sqrt{3}$ है,इसलिए $\theta = 60^\circ$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
प्राचल निर्देशांक $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ और $y = \frac{\sqrt{3}r}{2}$ हैं।
इन मानों को परवलय $y^2 = -x - 2$ में रखने पर:
$(\frac{\sqrt{3}r}{2})^2 = -(\sqrt{3} + \frac{r}{2}) - 2$
$\frac{3r^2}{4} = -\sqrt{3} - \frac{r}{2} - 2$
$3r^2 + 2r + 4(\sqrt{3} + 2) = 0$।
चूँकि $PA \cdot PB = |r_1 r_2|$,मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$|r_1 r_2| = |\frac{c}{a}| = \frac{4(\sqrt{3} + 2)}{3}$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$ है।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शीर्ष $(h, k) = (-1, 2)$ मिलता है और $4a = 4$,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
परवलय का अक्ष $y - 2 = 0$ है,जो $x$-अक्ष के समानांतर है।
परवलय के प्रकाशीय गुण के अनुसार,परवलय के अक्ष के समानांतर चलने वाली प्रकाश की कोई भी किरण परावर्तन के बाद उसके फोकस से होकर गुजरती है।
परवलय का फोकस $(h + a, k) = (-1 + 1, 2) = (0, 2)$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,परावर्तित किरण को बिंदु $(0, 2)$ से गुजरना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण $2\{(x - 1)^2 + (y - 3)^2\} = (x + y - 1)^2$ है।
इसे $2$ से विभाजित करने पर,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{x + y - 1}{\sqrt{2}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का समीकरण है जहाँ नाभि $S(1, 3)$ और नियता $x + y - 1 = 0$ है।
नाभि $S(1, 3)$ से नियता $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $2d$ होती है।
अतः,लंबाई $= 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$।

(C) माना बिंदु $T$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(h, k)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $ky = 2a(x + h)$ होता है।
दिए गए परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$4a = 8$,अतः $a = 2$ है।
इस प्रकार,स्पर्श जीवा का समीकरण $ky = 4(x + h)$ होगा।
चूँकि जीवा $PQ$ बिंदु $(-2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x = -2$ और $y = 3$ रखने पर:
$3k = 4(-2 + h)$
$3k = 4h - 8$
$T$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए $(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$3y = 4x - 8$
$y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = \frac{4}{3}$ और $c = -\frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m + c = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 8$,अतः $a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदु $P(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $x_1 + a$ होती है।
दिया गया है कि नाभीय दूरी $4$ है,इसलिए $x_1 + 2 = 4$,जिसका अर्थ है $x_1 = 2$।
$x_1 = 2$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 8x$ में रखने पर,$y^2 = 8(2) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm 4$।
इस प्रकार,बिंदु के निर्देशांक $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के सिरे $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
बिंदु $(a, 2a)$ के लिए:
$y(2a) = 2a(x + a)$
$y = x + a$
$x - y + a = 0$
बिंदु $(a, -2a)$ के लिए:
$y(-2a) = 2a(x + a)$
$-y = x + a$
$x + y + a = 0$
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x - y + a = 0$ और $x + y + a = 0$ हैं।

(C) माना परवलय की नाभि $F = (3, 2)$ है।
परवलय के नाभिलंब के अंत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ परवलय का अक्ष नियता (directrix) से मिलता है।
यह प्रतिच्छेदन बिंदु $x + y = 2$ रेखा पर स्थित है।
अक्ष नाभि $(3, 2)$ से होकर गुजरता है और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से भी गुजरता है।
विकल्पों की जांच करने पर,रेखा $x - y = 1$ बिंदु $(3, 2)$ से होकर गुजरती है क्योंकि $3 - 2 = 1$ है। अतः,$x - y = 1$ सही अक्ष है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है। $a=1$ रखने पर,$y = mx - 2m - m^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब $(3, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = 3m - 2m - m^3$,जो $m^3 - m = 0$ में सरल हो जाता है।
$m$ के लिए हल करने पर,$m(m-1)(m+1) = 0$,अतः $m = 0, 1, -1$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं के निर्देशांक $(am^2, -2am)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$m=0$ के लिए,$P = (0, 0)$.
$m=1$ के लिए,$Q = (1, -2)$.
$m=-1$ के लिए,$R = (1, 2)$.
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{5}$.
$PR = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$.
$QR = \sqrt{(1-1)^2 + (2-(-2))^2} = 4$.
यहाँ $(QR)^2 = 16$ और $(PQ)^2 + (PR)^2 = 5 + 5 = 10$ है,इसलिए $(QR)^2 > (PQ)^2 + (PR)^2$ है।
अतः,$\Delta PQR$ एक अधिककोण त्रिभुज है।

(A) $y = x^2$ पर बिंदु $(x_i, x_i^2)$ हैं।
$x_1 = -1$,इसलिए $y_1 = 1$.
$y_3 = 9 \Rightarrow x_3^2 = 9$. चूँकि $x_1, x_2, x_3$ वर्धमान समांतर श्रेणी में हैं,$x_3 = 3$.
सार्व अंतर $d = \frac{3 - (-1)}{2} = 2$.
अतः,$x_2 = 1$,और $y_2 = 1$.
बिंदु $A(-1, 1)$,$B(1, 1)$,और $C(3, 9)$ हैं।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण: $A$ पर $y = -2x - 1$,$B$ पर $y = 2x - 1$,और $C$ पर $y = 6x - 9$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $P(0, -1)$,$Q(2, 3)$,और $R(1, -3)$.
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |0(3 - (-3)) + 2(-3 - (-1)) + 1(-1 - 3)| = 4$.