Parabola Questions in Hindi

(A) परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
$y^2 = 18x$ की तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 18$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 18/4 = 9/2$।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर किसी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(at^2, 2at)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए बिंदु $(2, 6)$ के लिए,हमारे पास $at^2 = 2$ और $2at = 6$ है।
$2at = 6$ से,हमें $at = 3$ प्राप्त होता है।
$a = 9/2$ को $at = 3$ में रखने पर,हमें $(9/2)t = 3$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 3 \times (2/9) = 6/9 = 2/3$ प्राप्त होता है।
अतः,प्राचल $t$ का मान $2/3$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = a/m$ है।
दी गई रेखा $2x - y + 2 = 0$ है,जिसे $y = 2x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$m = 2$ और $c = 2$ है।
शर्त की जाँच करने पर: $a/m = 4/2 = 2$,जो $c$ के बराबर है। अतः,रेखा एक स्पर्श रेखा है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्श रेखा $y = mx + c$ का स्पर्श बिंदु $(a/m^2, 2a/m)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 4$ और $m = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
स्पर्श बिंदु = $(4/2^2, 2(4)/2) = (4/4, 8/2) = (1, 4)$.

(A) परवलय की नाभि $(0, -3)$ है और नियता $y = 3$ है।
चूँकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है और नियता एक क्षैतिज रेखा है,इसलिए परवलय $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
ऐसे परवलय का मानक रूप $x^2 = 4ay$ होता है।
नाभि $(0, a)$ है और नियता $y = -a$ है।
$(0, -3)$ की तुलना $(0, a)$ से करने पर,हमें $a = -3$ प्राप्त होता है।
$a = -3$ को समीकरण $x^2 = 4ay$ में रखने पर,हमें $x^2 = 4(-3)y$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 = -12y$ हो जाता है।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 + 4y = -4x$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y + 2)^2 = -4x + 4$,जो $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ में सरल हो जाता है।
इसे $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ के साथ तुलना करने पर,$h = 1$,$k = -2$,और $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(h - a, k) = (1 - 1, -2) = (0, -2)$ है।
दिया गया बिंदु $P(-3, 2)$ है।
$y^2 + 4x + 4y = 0$ के लिए बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलन द्वारा ज्ञात की जाती है: $2y \frac{dy}{dx} + 4 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$।
$y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2(2) \frac{dy}{dx} + 4 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $8 \frac{dy}{dx} = -4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -1/2$।
अभिलंब की ढाल $m$,स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: $m = -1 / (-1/2) = 2$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = -12x$ है। $y^2 = -4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 12$,अतः $a = 3$.
नाभि के निर्देशांक $(-a, 0) = (-3, 0)$ हैं।
नाभिलंब की रेखा $x = -3$ है। नाभिलंब का ऊपरी सिरा $(-3, 6)$ है।
$y^2 = -12x$ का अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = -12$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{y}$.
बिंदु $(-3, 6)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{-6}{6} = -1$.
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = 1$.
बिंदु $(-3, 6)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 6 = 1(x + 3)$ अर्थात $y = x + 9$ है।
अक्ष ($x$-अक्ष) पर प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए $y = 0$ रखने पर,$0 = x + 9$,अतः $x = -9$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-9, 0)$ है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 4x$
$t$ का मान $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = \frac{(4x)^2}{4} = \frac{16x^2}{4} = 4x^2$
$x^2 = \frac{1}{4}y$
यह परवलय का मानक रूप $x^2 = 4ay$ है,जहाँ $a = \frac{1}{16}$।

(D) चरण $1$: दिए गए परवलय के नाभिलंब का ऊपरी सिरा ज्ञात कीजिए।
परवलय $y^2 = -4ax$ के नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(-a, \pm 2a)$ होते हैं।
दिए गए परवलय $y^2 = -12x$ से तुलना करने पर,$4a = 12$,अतः $a = 3$ है।
इसलिए,इसके नाभिलंब का ऊपरी सिरा $(-3, 6)$ है।
चरण $2$: इस बिंदु पर परवलय के अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
परवलय का समीकरण $y^2 = -12x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = -12$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{y}$।
$(-3, 6)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \frac{-6}{6} = -1$ है।
$(-3, 6)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
चरण $3$: अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
अभिलंब वह रेखा है जो $(-3, 6)$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता $m = 1$ है।
बिंदु-प्रवणता रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - 6 = 1(x - (-3))$
$y - 6 = x + 3$
$x - y + 9 = 0$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श-जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ परवलय $y^2 = -x$ दिया गया है,इसलिए $4a = -1$ अर्थात $a = -1/4$ है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए स्पर्श-जीवा का समीकरण $y(3) = 2(-1/4)(x + 2)$ होगा।
$3y = -1/2(x + 2)$.
$6y = -(x + 2)$.
$6y + x + 2 = 0$.

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। जीवा का एक अंत बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती है,जीवा का ढाल $m = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ है।
$P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब मूल बिंदु से गुजरता है,$0 = 2at + at^3$ प्राप्त होता है।
$a \neq 0$ और $t \neq 0$ लेने पर,$t^2 = -2$ मिलता है।
वास्तविक परवलय के लिए,ढाल $m = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
दी गई रेखा $x + y = k$ है,जिसे $y = -x + k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = -x + k$ की तुलना $y = -tx + 2at + at^3$ से करने पर,हमें $t = 1$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ और $a = 1$ का मान $k$ के व्यंजक में रखने पर:
$k = 2at + at^3 = 2(1)(1) + 1(1)^3 = 2 + 1 = 3$।
अतः,$k$ का मान $3$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 - 4y - 2x - 8 = 0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2 - 4y = 2x + 8$
$y^2 - 4y + 4 = 2x + 8 + 4$
$(y - 2)^2 = 2x + 12$
$(y - 2)^2 = 2(x + 6)$.
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = 2$ है।

(C) परवलय का शीर्ष $x$-अक्ष पर $(p, 0)$ है।
नाभि $x$-अक्ष पर $(q, 0)$ है।
शीर्ष से नाभि की दूरी $a = q - p$ है।
शीर्ष $(h, k)$ और $x$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ होता है।
$h = p$,$k = 0$,और $a = q - p$ रखने पर:
$(y - 0)^2 = 4(q - p)(x - p)$
$y^2 = -4(p - q)(x - p)$.

(B) दिया गया परवलय का समीकरण $x^2 + 4y = 0$ है।
इसे $4y = -x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $y = -\frac{1}{4}x^2$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} \times 2x = -\frac{x}{2}$।
बिंदु $(2, -1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $(m_t)$ है:
$m_t = -\frac{2}{2} = -1$।
अभिलंब की प्रवणता $(m_n)$ स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$।
अतः,अभिलंब की प्रवणता $1$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,जो $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
बिंदु $(1, 2)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(2) = 2(1)(x + 1) \implies y = x + 1$ है।
बिंदु $(1, -2)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(-2) = 2(1)(x + 1) \implies -y = x + 1$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $0 = 2(x + 1) \implies x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ को $y = x + 1$ में रखने पर,$y = -1 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 0)$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। यहाँ, $a = 1$ है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है।
जीवा शीर्ष $(0, 0)$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा जिसका ढाल $m = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, उसका समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x = \sqrt{3}y$ है।
$x = \sqrt{3}y$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 4(\sqrt{3}y) \implies y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$.
$y(y - 4\sqrt{3}) = 0$.
अतः, $y = 0$ या $y = 4\sqrt{3}$।
यदि $y = 0$, तो $x = 0$। यदि $y = 4\sqrt{3}$, तो $x = \sqrt{3}(4\sqrt{3}) = 12$।
जीवा के अंतिम बिंदु $(0, 0)$ और $(12, 4\sqrt{3})$ हैं।
जीवा की लंबाई $L = \sqrt{(12 - 0)^2 + (4\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ द्वारा दिया जाता है।
किसी दिए गए बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाले अभिलंब के लिए,समीकरण $y_1 = mx_1 - 2am - am^3$ हो जाता है,जो $am^3 + (2a - x_1)m + y_1 = 0$ में सरल हो जाता है।
यह $m$ में एक त्रिघात समीकरण है। चूंकि एक त्रिघात समीकरण के अधिकतम $3$ वास्तविक मूल हो सकते हैं,इसलिए परवलय पर किसी भी बिंदु से अधिकतम $3$ अभिलंब खींचे जा सकते हैं।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 8x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,$4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित किसी बिंदु $(x, y)$ की नाभीय दूरी $x + a$ होती है।
चूंकि नाभीय दूरी $4$ दी गई है,इसलिए $x + a = 4$ होगा।
$a = 2$ रखने पर,$x + 2 = 4$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$x = 2$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 8x$ में रखने पर:
$y^2 = 8(2) = 16$।
अतः,$y = \pm 4$।
बिंदु $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।
विकल्पों को देखने पर,$(2, 4)$ विकल्प $A$ में दिया गया है।

(C) दिया गया है,$x = t^2 + t + 1 \quad (i)$ और $y = t^2 - t + 1 \quad (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1) \quad (iii)$.
$(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर,$x - y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x - y}{2} \quad (iv)$.
$(iv)$ को $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y = 2 \left[ \left( \frac{x - y}{2} \right)^2 + 1 \right]$
$x + y = 2 \left[ \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{4} + 1 \right]$
$x + y = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{2} + 2$
$2x + 2y = x^2 + y^2 - 2xy + 4$
$x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$
यह समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में है,जहाँ $a=1, h=-1, b=1, g=-1, f=-1, c=4$.
विविक्तकर $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
चूंकि $h^2 - ab = 0$,इसलिए यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
मान $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $a = 1$ को सूत्र में रखने पर:
$y(2) = 2(1)(x + 1)$
$2y = 2(x + 1)$
$y = x + 1$
$x - y + 1 = 0$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
शीर्ष $(0, 0)$ पर परवलय को स्पर्श करने वाले $a$ त्रिज्या के वृत्त का केंद्र $(a, 0)$ होगा। अतः वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
माना बिंदु $P = (a, 2a)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ होती है।
वृत्त $(x - a)^2 + y^2 - a^2 = 0$ के लिए,$P(a, 2a)$ रखने पर:
$L = \sqrt{(a - a)^2 + (2a)^2 - a^2} = \sqrt{0 + 4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = ax$ है। मानक रूप $y^2 = 4Ax$ से तुलना करने पर,$4A = a$,अतः $A = \frac{a}{4}$ प्राप्त होता है।
शीर्ष के निर्देशांक $(0, 0)$ हैं।
नाभिलंब वह जीवा है जो नाभि $(A, 0)$ से गुजरती है और परवलय की अक्ष के लंबवत होती है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(A, 2A)$ और $(A, -2A)$ हैं,जो $(\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ और $(\frac{a}{4}, -\frac{a}{2})$ हैं।
माना शीर्ष $O(0, 0)$ है और नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L(\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ और $L'(\frac{a}{4}, -\frac{a}{2})$ हैं।
$OL$ की ढाल $m_1 = \frac{a/2}{a/4} = 2$ है।
$OL'$ की ढाल $m_2 = \frac{-a/2}{a/4} = -2$ है।
माना $OL$ और $OL'$ के बीच का कोण $\theta$ है। $OL$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ है,जहाँ $\tan \alpha = 2$,अतः $\alpha = \tan^{-1}(2)$।
शीर्ष पर अंतरित कोण $\theta = 2\alpha = 2 \tan^{-1}(2)$ है।
यह मान $\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{3}$ या $\frac{\pi}{4}$ के बराबर नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर हम इसे फिर से लिख सकते हैं:
$x = a(y^2 + \frac{b}{a}y) + c$
$x = a(y^2 + \frac{b}{a}y + \frac{b^2}{4a^2}) + c - \frac{b^2}{4a}$
$x - (c - \frac{b^2}{4a}) = a(y + \frac{b}{2a})^2$
$(y + \frac{b}{2a})^2 = \frac{1}{a}(x - (c - \frac{b^2}{4a}))$
यह मानक रूप $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ में है,जहाँ $4p = \frac{1}{a}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $|4p|$ द्वारा दी जाती है।
अतः,लंबाई $|\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|}$ होगी।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,परवलय $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा बिंदु $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए:
$3 = m(2) + \frac{1}{m}$
$3 = 2m + \frac{1}{m}$
$m$ से गुणा करने पर:
$3m = 2m^2 + 1$
$2m^2 - 3m + 1 = 0$ है।
यह $m$ में एक द्विघात समीकरण है,जिसके मूल $m_1$ और $m_2$ हैं।
द्विघात समीकरण $am^2 + bm + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{b}{a}$ और गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$m_1 + m_2 = \frac{3}{2}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{2}$ है।
हमें $\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{3/2}{1/2} = 3$।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $4y^2 + 6x = 8y + 7$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4(y^2 - 2y) = -6x + 7$.
दोनों पक्षों में $4(1)^2 = 4$ जोड़ने पर:
$4(y^2 - 2y + 1) = -6x + 7 + 4$.
$4(y - 1)^2 = -6x + 11$.
$4$ से भाग देने पर:
$(y - 1)^2 = -\frac{6}{4}(x - \frac{11}{6})$.
$(y - 1)^2 = -\frac{3}{2}(x - \frac{11}{6})$.
यह समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जहाँ शीर्ष $(h, k) = (\frac{11}{6}, 1)$ है।
परवलय के शीर्ष पर स्पर्श रेखा,परवलय के अक्ष के लंबवत और शीर्ष से गुजरने वाली रेखा होती है।
चूँकि परवलय $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,इसका अक्ष क्षैतिज $(y = k)$ है।
अतः,शीर्ष पर स्पर्श रेखा शीर्ष $(\frac{11}{6}, 1)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
इस ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = h$ अर्थात $x = \frac{11}{6}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है।
परवलय का अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
जीवा $PQ$ परवलय के अक्ष के लंबवत है,इसलिए $PQ$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
चूंकि $P(4, -2)$ है,रेखा $PQ$ का समीकरण $x = 4$ है।
$Q$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,$x = 4$ को $y^2 = x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4 \implies y = 2$ या $y = -2$।
चूंकि $P(4, -2)$ है,इसलिए दूसरा अंत्यबिंदु $Q(4, 2)$ होगा।
अब,$y^2 = x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $Q(4, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$Q(4, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$m_n = -\frac{1}{1/4} = -4$।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = 8y$ है। इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर,$4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$.
परवलय का शीर्ष $V(0, 0)$ है।
$x^2 = 4ay$ के लिए नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ होते हैं।
$a = 2$ रखने पर,अंतिम बिंदु $L_1(4, 2)$ और $L_2(-4, 2)$ प्राप्त होते हैं।
त्रिभुज $V(0, 0)$,$L_1(4, 2)$ और $L_2(-4, 2)$ द्वारा निर्मित होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(2 - 2) + 4(2 - 0) + (-4)(0 - 2)| = \frac{1}{2} |0 + 8 + 8| = \frac{1}{2} |16| = 8$ वर्ग इकाई।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
$a = 1$ और $m = 1$ रखने पर,$y = 1(x) + \frac{1}{1}$ प्राप्त होता है,जो $y = x + 1$ में सरल हो जाता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1) = (\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ होता है।
$a = 1$ और $m = 1$ रखने पर,स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1) = (\frac{1}{1^2}, \frac{2(1)}{1}) = (1, 2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श बिंदु एक निश्चित बिंदु $(1, 2)$ है,इसलिए बिंदुपथ स्वयं वह बिंदु ही है,जो दिए गए किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $4y^2 = x$ है,जिसे $y^2 = \frac{1}{4}x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = \frac{1}{4}$,अतः $a = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
मान रखने पर,$y = \sqrt{3}x + \frac{1/16}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}x + \frac{1}{16\sqrt{3}}$।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले स्पर्श बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ होते हैं।
$a = \frac{1}{16}$ और $m = \sqrt{3}$ रखने पर:
$x = \frac{1/16}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{16 \times 3} = \frac{1}{48}$।
$y = \frac{2(1/16)}{\sqrt{3}} = \frac{1/8}{\sqrt{3}} = \frac{1}{8\sqrt{3}}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( \frac{1}{48}, \frac{1}{8\sqrt{3}} \right)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$ प्राप्त होता है।
$m$ ढाल वाले परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
यहाँ $m = -1/4$ और $a = 4$ दिया गया है,मान रखने पर:
$y = (-1/4)x - 2(4)(-1/4) - 4(-1/4)^3$
$y = -x/4 + 2 - 4(-1/64)$
$y = -x/4 + 2 + 1/16$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$16y = -4x + 32 + 1$
$16y = -4x + 33$
$4x + 16y = 33$

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए नियता का समीकरण $x = -a$ होता है।
$a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $x = -1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y^2 - 2y - 12x - 11 = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2 - 2y + 1) - 1 - 12x - 11 = 0$
$(y - 1)^2 = 12x + 12$
$(y - 1)^2 = 12(x + 1)$
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $h = -1, k = 1$ और $4a = 12 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + at^2$ और $y = k + 2at$ हैं।
मान रखने पर: $x = -1 + 3t^2$ और $y = 1 + 2(3)t = 1 + 6t$।
अतः,$x = 3t^2 - 1$ और $y = 6t + 1$।

(B) परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a = 8$ दी गई है,जिसका अर्थ है $a = 2$.
चूंकि नाभि $(3, 0)$ है और $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
ऐसे परवलय का मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ होता है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
नाभि $(h + a, k) = (3, 0)$ दी गई है,इसलिए $k = 0$ और $h + a = 3$ है।
$a = 2$ रखने पर,$h + 2 = 3$,जिससे $h = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $(h, k) = (1, 0)$ है।

(B) दिए गए समीकरण $x + y = 1$ और $y = x - x^2$ हैं।
पहले समीकरण से,$y = 1 - x$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - x = x - x^2$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$।
अब,$x = 1$ का मान $y = 1 - x$ में रखने पर:
$y = 1 - 1 = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए,बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ है।
चूंकि यह $(3, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = -3t + 2t + t^3$ है,जो $t^3 - t = 0$ में सरल होता है।
अतः,$t(t-1)(t+1) = 0$,जिससे $t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = -1$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $P(0, 0), Q(1, 2), R(1, -2)$ हैं।
$(A)$ परिवृत्त त्रिज्या $R_{c} = \frac{abc}{4\Delta}$। भुजाएँ $PQ = \sqrt{5}, PR = \sqrt{5}, QR = 4$ हैं। क्षेत्रफल $\Delta = 2$। $R_{c} = 5/2$। अतः $A \to P$।
$(B)$ $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= 2$। अतः $B \to S$।
$(C)$ केंद्रक $G = (2/3, 0)$। अतः $C \to R$।
$(D)$ परिकेंद्र $O_{c} = (5/2, 0)$। अतः $D \to Q$।
अतः,$A \to P, B \to S, C \to R, D \to Q$।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 - 6y + 24x - 63 = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(y - 3)^2 - 9 + 24x - 63 = 0$ प्राप्त होता है।
$(y - 3)^2 = -24x + 72$.
$(y - 3)^2 = -24(x - 3)$.
यह $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप का परवलय है,जहाँ $4a = -24$,इसलिए $a = -6$ है।
परवलय की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ परवलय की नियता $x - h = -a$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$h = 3$,$k = 3$,और $a = -6$ है।
अतः,$x - 3 = -(-6) = 6$ है।
$x = 9$,जिसे $x - 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिया गया समीकरण: $y^2 - 12y = -8x - 20$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 6)^2 - 36 = -8x - 20$
$(y - 6)^2 = -8x + 16$
$(y - 6)^2 = -8(x - 2)$
इस समीकरण की तुलना $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ से करने पर,
$h = 2, k = 6$ और $4a = 8 \implies a = 2$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $(h, k) = (2, 6)$ है।
नाभि $(h - a, k) = (2 - 2, 6) = (0, 6)$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= 4a = 8$ है।
अक्ष $y - k = 0 \implies y = 6$ है।
विकल्प $C$ में नाभिलंब की लंबाई $4$ दी गई है,जो गलत है। सही लंबाई $8$ है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है।
इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 8$,अतः $a = 2$ प्राप्त होता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 4)$ है।
$y^2 = 8x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 8$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{y}$।
बिंदु $(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $(m_t)$ $\frac{4}{4} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $(m_n)$ $-\frac{1}{m_t} = -1$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर और $m_n$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - 4 = -1(x - 2)$ प्राप्त होता है।
$y - 4 = -x + 2$।
$x + y = 6$।

(D) नियता $(3x + 4y + 15 = 0)$ और शीर्ष पर स्पर्शरेखा $(3x + 4y - 5 = 0)$ के बीच की दूरी,शीर्ष से नाभि तक की दूरी $a$ के बराबर होती है।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी का सूत्र $a = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर: $a = \frac{|15 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 4 \times 4 = 16$.

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -8y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $-4a = -8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय $x^2 = -4ay$ की नाभि $(0, -a)$ होती है और नियता का समीकरण $y = a$ होता है।
यहाँ,नाभि $(0, -2)$ है और नियता $y = 2$ है।
नाभि $(0, -2)$ और नियता $y = 2$ के बीच की दूरी $|2 - (-2)| = |4| = 4$ है।
वैकल्पिक रूप से,परवलय $x^2 = 4ay$ (या $x^2 = -4ay$) के लिए नाभि और नियता के बीच की दूरी $2a$ होती है।
$a = 2$ रखने पर,दूरी $2 \times 2 = 4$ प्राप्त होती है।

(C) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक,जिसका बिंदुपथ ज्ञात करना है,$(h, k)$ हैं।
चूंकि $P$,$(0, 0)$ और $(x, y)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1 : 3$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र के अनुसार $P$ के निर्देशांक हैं:
$h = \frac{1 \cdot x + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{x}{4} \implies x = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{y}{4} \implies y = 4k$
दिया गया है कि $(x, y)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित है,इसलिए $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $y^2 = x$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4bx$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4b$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2b}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(bt_1^2, 2bt_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2b}{2bt_1} = \frac{1}{t_1}$ है।
अतः,$(bt_1^2, 2bt_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -t_1$ है।
$(bt_1^2, 2bt_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 2bt_1) = -t_1(x - bt_1^2)$ है।
चूंकि बिंदु $(bt_2^2, 2bt_2)$ इस अभिलंब पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2bt_2 - 2bt_1) = -t_1(bt_2^2 - bt_1^2)$
$2b(t_2 - t_1) = -t_1b(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$b(t_2 - t_1)$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $t_2 \neq t_1$ और $b \neq 0$):
$2 = -t_1(t_2 + t_1)$
$2 = -t_1t_2 - t_1^2$
$t_1t_2 = -t_1^2 - 2$
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = -8x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = -4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय $y^2 = -4ax$ की नाभि $(-a, 0)$ पर होती है।
$a = 2$ रखने पर,नाभि $(-2, 0)$ प्राप्त होती है।
चूंकि $2x + y + \lambda = 0$ एक नाभिलंब जीवा है,इसलिए इसे नाभि $(-2, 0)$ से गुजरना चाहिए।
जीवा के समीकरण में $x = -2$ और $y = 0$ रखने पर:
$2(-2) + 0 + \lambda = 0$
$-4 + \lambda = 0$
$\lambda = 4$.

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है और नाभि $S(a, 0)$ है।
बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है।
यह स्पर्श रेखा अक्ष $(y=0)$ को बिंदु $Q(-at^2, 0)$ पर काटती है।
नाभीय दूरी $SP = a + at^2$ और $SQ = a + at^2$ है।
अतः $\triangle SPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें $\angle SPQ = \angle SQP = \alpha$ है।
स्पर्श रेखा और अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\triangle SPQ$ में बाह्य कोण के गुणधर्म से $\theta = \alpha / 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2 - 4x = 8y - 12$
$x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4$
$(x - 2)^2 = 8y - 8$
$(x - 2)^2 = 8(y - 1)$.
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।

(A) मान लीजिए परवलय $y^2 = 8x$ पर बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ हैं।
मान लीजिए $PQ$ का मध्यबिंदु $(h, k)$ है।
चूंकि $P = (1, 0)$ और $Q = (2t^2, 4t)$,मध्यबिंदु $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{2t^2 + 1}{2} \implies 2t^2 = 2h - 1$
$k = \frac{4t + 0}{2} = 2t \implies t = \frac{k}{2}$
$t = \frac{k}{2}$ को समीकरण $2t^2 = 2h - 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{k}{2})^2 = 2h - 1$
$2(\frac{k^2}{4}) = 2h - 1$
$\frac{k^2}{2} = 2h - 1$
$k^2 = 4h - 2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 4x - 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $y^2 - 4x + 2 = 0$।

(B) चरण $1$: दिए गए समीकरणों को एक साथ हल करें।
दिया गया है कि रेखा $2y - x + k = 0$ परवलय $x^2 + 4y = 0$ को स्पर्श करती है।
रेखा के समीकरण से,$2y = x - k$,इसलिए $y = \frac{x - k}{2}$।
परवलय के समीकरण $x^2 + 4y = 0$ में $y = \frac{x - k}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 4\left(\frac{x - k}{2}\right) = 0$
$x^2 + 2(x - k) = 0$
$x^2 + 2x - 2k = 0$
चरण $2$: स्पर्श रेखा की स्थिति का उपयोग करें।
रेखा के परवलय को स्पर्श करने के लिए,द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,$D = b^2 - 4ac$।
यहाँ,$a = 1, b = 2, c = -2k$ है।
$D = (2)^2 - 4(1)(-2k) = 0$
$4 + 8k = 0$
$8k = -4$
$k = -1/2$.

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
माना $Q(at^2, 2at)$ परवलय पर स्थित एक बिंदु है।
जीवा $OQ$ के मध्यबिंदु $P(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{0 + at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$
$y = \frac{0 + 2at}{2} = at$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{a}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$x = \frac{a}{2} \left(\frac{y}{a}\right)^2 = \frac{a}{2} \cdot \frac{y^2}{a^2} = \frac{y^2}{2a}$
$y^2 = 2ax$
दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है।
$a = 1$ का मान बिंदुपथ के समीकरण $y^2 = 2ax$ में रखने पर,हमें $y^2 = 2x$ प्राप्त होता है।