बिंदु (1/2, 2) से गुजरने वाली और परवलय y = -f | vedclass

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Question

(A) बिंदु $(1/2, 2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1/2)$ है,जिसे $y = mx - m/2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।इस रेखा

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$2x + 2y - 5 = 0$

Vedclass · Answer

(A) बिंदु $(1/2, 2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1/2)$ है,जिसे $y = mx - m/2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।इस रेखा के परवलय $y = -x^2/2 + 2$ की स्पर्शरेखा होने के लिए,हम $y$ का मान परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$mx - m/2 + 2 = -x^2/2 + 2$$x^2/2 + mx - m/2 = 0$$x^2 + 2mx - m = 0$स्पर्शरेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:$D = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 0$$4m^2 + 4m = 0$$4m(m + 1) = 0$अतः,$m = 0$ या $m = -1$ है।यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y = 2$ प्राप्त होती है,जो परवलय को $(0, 2)$ पर स्पर्श करती है लेकिन वक्र $y = \sqrt{4 - x^2}$ के लिए छेदक रेखा नहीं है (यह वृत्त की स्पर्शरेखा है)।यदि $m = -1$ है,तो रेखा $y - 2 = -1(x - 1/2)$ प्राप्त होती है,जिसे $y = -x + 5/2$ या $2x + 2y - 5 = 0$ के रूप में सरल किया जा सकता है। यह रेखा वक्र $y = \sqrt{4 - x^2}$ को दो बिंदुओं पर काटती है,इसलिए यह एक छेदक रेखा है।

बिंदु $(1/2, 2)$ से गुजरने वाली और परवलय $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ की स्पर्शरेखा तथा वक्र $y = \sqrt{4 - x^2}$ की छेदक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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