Parabola Questions in Hindi

(D) दिया गया परवलय समीकरण $x^2 = 4y$ और जीवा का समीकरण $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ है।
जीवा के समीकरण से,$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + 4$ प्राप्त होता है।
इस मान को परवलय के समीकरण में रखने पर: $x^2 = 4(\frac{x}{\sqrt{2}} + 4) = 2\sqrt{2}x + 16$.
अतः,$x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$.
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तब $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$ और $x_1x_2 = -16$.
मूलों का अंतर $|x_1 - x_2| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-16)} = \sqrt{8 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$y$-निर्देशांकों का अंतर $|y_1 - y_2| = |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}}| = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

(D) परवलय का समीकरण ${y^2} = -4(x - {a^2})$ है।
परवलय का शीर्ष $V = ({a^2}, 0)$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
${y^2} = -4(0 - {a^2}) = 4{a^2}$.
अतः,$y = \pm 2a$. प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (0, 2a)$ और $Q = (0, -2a)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $V({a^2}, 0)$,$P(0, 2a)$ और $Q(0, -2a)$ हैं।
$y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $P$ और $Q$ के बीच की दूरी है,जो $|2a - (-2a)| = 4|a|$ है।
शीर्ष $V$ से $y$-अक्ष तक की ऊँचाई ${a^2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4|a| \times {a^2} = 2|a|^3 = 250$.
अतः,$|a|^3 = 125$,जिसका अर्थ है $|a| = 5$।

(B) $\Delta PXQ$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $X$ पर स्पर्शरेखा जीवा $PQ$ के समानांतर होती है।
जीवा $PQ$ की ढाल $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $2y \frac{dy}{dx} = 4$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल को जीवा की ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{2}{y} = 2 \Rightarrow y = 1$।
चूंकि $X$,$y^2 = 4x$ पर स्थित है,$y = 1$ के लिए,$1^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$। अतः,$X = (\frac{1}{4}, 1)$।
शीर्षों $P(4, -4)$,$Q(9, 6)$,और $X(\frac{1}{4}, 1)$ वाले $\Delta PXQ$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P(y_X - y_Q) + x_X(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_X)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(1 - 6) + \frac{1}{4}(6 - (-4)) + 9(-4 - 1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-20 + 2.5 - 45| = \frac{1}{2} |-62.5| = 31.25 = \frac{125}{4}$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया परवलय समीकरण $x^2 = 8y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$।
चूंकि स्पर्शरेखा $x-$अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल $\tan \theta$ है।
अतः,$\frac{x}{4} = \tan \theta$,जिससे $x = 4 \tan \theta$ प्राप्त होता है।
$x = 4 \tan \theta$ को परवलय समीकरण $x^2 = 8y$ में रखने पर,$(4 \tan \theta)^2 = 8y$ प्राप्त होता है,जिससे $16 \tan^2 \theta = 8y$,अर्थात $y = 2 \tan^2 \theta$।
स्पर्श बिंदु $(4 \tan \theta, 2 \tan^2 \theta)$ है।
$(x_1, y_1)$ बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है,जहाँ $m = \tan \theta$ है।
$y - 2 \tan^2 \theta = \tan \theta (x - 4 \tan \theta)$
$y - 2 \tan^2 \theta = x \tan \theta - 4 \tan^2 \theta$
$y = x \tan \theta - 2 \tan^2 \theta$।
वैकल्पिक रूप से,$\tan \theta$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\tan \theta \neq 0$):
$x = y \cot \theta + 2 \tan \theta$।

(C) एक रेखा और एक वक्र के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
दी गई रेखा $y = x$ है,जिसका ढाल $m = 1$ है।
वक्र $y^2 = x - 2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
स्पर्श रेखा के ढाल को रेखा के ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$।
$y = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 = x - 2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x - 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$।
अतः,वक्र पर बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।
न्यूनतम दूरी बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ से रेखा $x - y = 0$ की लंबवत दूरी है।
दूरी $d = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{9-2}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}}$।

(B) दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ और $x^2 + y^2 = 5$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4x$ रखने पर: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x - 1) = 0$.
चूँकि प्रतिच्छेदन प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 4(1) = 4$,अतः $y = 2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $y > 0$ है)।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(1, 2)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2(x + x_1)$ है।
$(1, 2)$ रखने पर: $2y = 2(x + 1) \Rightarrow y = x + 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$x = \frac{3}{4}$ के लिए,$y = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
अतः,स्पर्श रेखा $\left( \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \right)$ से होकर गुजरती है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $S(a, 0) = (4, 0)$ है।
माना नाभीय जीवा का एक सिरा $A(at_1^2, 2at_1) = (1, 4)$ है।
चूंकि $a = 4$,इसलिए $4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $y > 0$ है)।
नाभीय जीवा के लिए,सिरों के प्राचलों का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है। अतः,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -2$ है।
$t$ प्राचल वाली नाभीय जीवा की लंबाई $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है।
$t = t_1 = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2})^2 = 4(\frac{1}{2} + 2)^2 = 4(\frac{5}{2})^2 = 4 \times \frac{25}{4} = 25$.

(D) दिया गया वक्र $y = (x - 2)^2 - 1$ है,जिसे $(x - 2)^2 = y + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $(x - 2)^2 = y + 1$ के लिए स्पर्श जीवा (chord of contact) का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x - 2)(x_1 - 2) = \frac{1}{2}(y + y_1 + 2)$
$2(x - 2)(x_1 - 2) = y + y_1 + 2$
$2(x_1 - 2)x - y - (4x_1 + y_1 - 6) = 0 \quad ......(i)$
हमें दिया गया है कि स्पर्श जीवा रेखा $x - y - 3 = 0$ है $\quad ......(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = \frac{-1}{-1} = \frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3}$
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = 1$ से,$2x_1 - 4 = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3} = 1$ से,$4x_1 + y_1 = 9$ प्राप्त होता है।
$x_1 = \frac{5}{2}$ रखने पर: $4(\frac{5}{2}) + y_1 = 9$ $\Rightarrow 10 + y_1 = 9$ $\Rightarrow y_1 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{5}{2}, -1 \right)$ है।

(C) रेखा $y=mx+4$ परवलय $y^{2}=4x$ की स्पर्शरेखा है। $y=mx+c$ से तुलना करने पर,जहाँ $c=4$,स्पर्शरेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ के अनुसार $4=\frac{1}{m}$,इसलिए $m=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=\frac{1}{4}x+4$ परवलय $x^{2}=2by$ की भी स्पर्शरेखा है। रेखा के समीकरण से $y$ का मान परवलय के समीकरण में रखने पर,$x^{2}=2b(\frac{1}{4}x+4)$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $x^{2}-\frac{b}{2}x-8b=0$ में सरल हो जाता है।
चूँकि रेखा स्पर्शरेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = (-\frac{b}{2})^{2} - 4(1)(-8b) = 0$.
$\frac{b^{2}}{4} + 32b = 0$.
$b^{2} + 128b = 0$.
$b(b+128) = 0$.
चूँकि $b \neq 0$,इसलिए $b=-128$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय $y^2=x$ है। मान लीजिए $P$ बिंदु $(t^2, t)$ है जहाँ $t>0$ है।
रेखा $y=mx$,$P(t^2, t)$ से गुजरती है,इसलिए $t=m(t^2)$,जिससे $m=1/t$ प्राप्त होता है।
$P(t^2, t)$ पर $y^2=x$ की स्पर्श रेखा $ty = \frac{1}{2}(x+t^2)$ है।
$x$-अंतःखंड $Q$ ज्ञात करने के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = \frac{1}{2}(x+t^2)$,इसलिए $x = -t^2$। अतः,$Q$ बिंदु $(-t^2, 0)$ है।
$\Delta OPQ$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(t^2, t)$,और $Q(-t^2, 0)$ हैं।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_O(y_P-y_Q) + x_P(y_Q-y_O) + x_Q(y_O-y_P)| = 4$ है।
$\frac{1}{2} |0(t-0) + t^2(0-0) + (-t^2)(0-t)| = 4$।
$\frac{1}{2} |t^3| = 4 \implies t^3 = 8 \implies t = 2$।
चूँकि $m = 1/t$,इसलिए $m = 1/2 = 0.5$ प्राप्त होता है।

(B) माना परवलय $x^{2}=4y$ पर स्थित बिंदु $Q(2t, t^{2})$ है।
माना बिंदु $P(h, k)$,$A(0, -1)$ और $Q(2t, t^{2})$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक:
$h = \frac{1(2t) + 2(0)}{1+2} = \frac{2t}{3} \Rightarrow t = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1(t^{2}) + 2(-1)}{1+2} = \frac{t^{2}-2}{3} \Rightarrow 3k = t^{2}-2$
$t = \frac{3h}{2}$ को समीकरण $3k = t^{2}-2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3k = \left(\frac{3h}{2}\right)^{2} - 2$
$3k = \frac{9h^{2}}{4} - 2$
$12k = 9h^{2} - 8$
$9h^{2} - 12k = 8$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $9x^{2}-12y=8$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=8x$ है,जो $y^{2}=4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a=8$,इसलिए $a=2$ है।
परवलय पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(at^{2}, 2at) = (2t^{2}, 4t)$ होते हैं।
बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, -2\right)$ के लिए,$4t_{1}=-2$,जिससे $t_{1}=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
नाभीय जीवा के लिए,अंतिम बिंदुओं के प्राचलों का गुणनफल $t_{1}t_{2}=-1$ होता है।
$t_{1}=-\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2t_{2}^{2}, 4t_{2}) = (2(2)^{2}, 4(2)) = (8, 8)$ हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ होता है।
बिंदु $B(8, 8)$ और $a=2$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y(8) = 2(2)(x+8)$ है।
$8y = 4(x+8)$ $\Rightarrow 2y = x+8$ $\Rightarrow x-2y+8=0$।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ है।
$y^{2}=4ax$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(at^{2}, 2at)} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2at = \frac{1}{t}(x - at^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $ty - 2at^{2} = x - at^{2}$ अर्थात $ty = x + at^{2}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है,जो $-t$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 2at = -t(x - at^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $y - 2at = -tx + at^{3}$ अर्थात $y = -tx + 2at + at^{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y^{2}=4x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
अतः,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा $y=x+1$ है,जो $y=mx+c$ के रूप में है।
रेखा की ढाल $1$ है।
रेखा $y=x+1$ वक्र की स्पर्श रेखा होगी यदि रेखा की ढाल,स्पर्श रेखा की ढाल के बराबर हो।
इस प्रकार,हमारे पास $\frac{2}{y} = 1 \Rightarrow y=2$ होना चाहिए।
रेखा के समीकरण $y=x+1$ में $y=2$ रखने पर,हमें $2 = x+1 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $y=x+1$ वक्र को बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श करती है।
सही उत्तर $A$ है।

(A) माना $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर कोई बिंदु है। माना $D$ बिंदु $(h, k)$ और $(0, c)$ के बीच की दूरी है।
$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2} + (k-c)^{2}}$.
चूंकि $(h, k)$ परवलय $y=x^{2}$ पर स्थित है,इसलिए $k=h^{2}$ है,अर्थात $h^{2}=k$.
इस मान को दूरी के सूत्र में रखने पर,हमें $D(k) = \sqrt{k + (k-c)^{2}}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(k) = k + (k-c)^{2} = k + k^{2} - 2kc + c^{2} = k^{2} + k(1-2c) + c^{2}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करेंगे।
$k$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(k) = 2k + 1 - 2c$.
$f'(k) = 0$ रखने पर,हमें $2k = 2c - 1$,या $k = \frac{2c-1}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $c \leq \frac{1}{2}$ है,तो न्यूनतम दूरी शीर्ष $(0, 0)$ पर होती है,जो $c$ है। यदि $c > \frac{1}{2}$ है,तो न्यूनतम दूरी $k = \frac{2c-1}{2}$ पर होती है।
$k = \frac{2c-1}{2}$ को $D(k)$ में रखने पर:
$D = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (\frac{2c-1}{2} - c)^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4c-2+1}{4}} = \frac{\sqrt{4c-1}}{2}$.

(C) दिया गया वक्र $x^{2}=2 y$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु के लिए,उसके निर्देशांक $(x, y) = (x, x^{2}/2)$ मान लें।
बिंदु $(x, x^{2}/2)$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D = \sqrt{(x-0)^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(x) = D^{2} = x^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2} = x^{2} + x^{4}/4 - 5x^{2} + 25 = x^{4}/4 - 4x^{2} + 25$ को न्यूनतम करेंगे।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = x^{3} - 8x$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$x(x^{2} - 8) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 0$ या $x = \pm 2\sqrt{2}$ मिलता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$f''(x) = 3x^{2} - 8$ है।
$x = 0$ के लिए,$f''(0) = -8 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \pm 2\sqrt{2}$ के लिए,$f''(2\sqrt{2}) = 3(8) - 8 = 16 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,दूरी $x = \pm 2\sqrt{2}$ पर न्यूनतम है।
$x = \pm 2\sqrt{2}$ के लिए,$y = (\pm 2\sqrt{2})^{2} / 2 = 8/2 = 4$ है।
इसलिए,$(0, 5)$ के सबसे निकटतम बिंदु $(\pm 2\sqrt{2}, 4)$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही उत्तर $(2\sqrt{2}, 4)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $y^{2}=8x$ है।
इसे परवलय के मानक समीकरण $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=2$.
चूंकि समीकरण $y^{2}=4ax$ के रूप में है,इसलिए सममिति का अक्ष $x$-अक्ष (अर्थात $y=0$) है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
नियता का समीकरण $x=-a$ है,जो $x=-2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4 \times 2 = 8$ है।

(A) परवलय की नाभि $(2, 0)$ है,जो $x$-अक्ष पर स्थित है। अतः,$x$-अक्ष परवलय का अक्ष है।
चूंकि नियता $x = -2$ (जो $x = -a$ के रूप में है) है,परवलय दाईं ओर खुलता है और इसका समीकरण $y^{2} = 4ax$ के रूप का है।
यहाँ,शीर्ष $(0, 0)$ से नाभि $(2, 0)$ तक की दूरी $a = 2$ है।
मानक समीकरण $y^{2} = 4ax$ में $a = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^{2} = 4(2)x = 8x$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है और नाभि $(0, 2)$ पर है।
चूंकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
ऐसे परवलय के समीकरण का मानक रूप $x^{2} = 4ay$ होता है।
यहाँ,शीर्ष से नाभि की दूरी $a = 2$ है।
समीकरण में $a = 2$ रखने पर,हमें $x^{2} = 4(2)y$ प्राप्त होता है,जो $x^{2} = 8y$ के रूप में सरल होता है।

(A) चूंकि परवलय $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और इसका शीर्ष मूल बिंदु पर है,इसलिए समीकरण $x^2 = 4ay$ या $x^2 = -4ay$ के रूप का है।
चूंकि परवलय बिंदु $(2, -3)$ से होकर गुजरता है,जो चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए यह नीचे की ओर खुलता है।
अतः,समीकरण $x^2 = -4ay$ के रूप का है।
बिंदु $(2, -3)$ को समीकरण में रखने पर:
$2^2 = -4a(-3)$
$4 = 12a$
$a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$a = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x^2 = -4(\frac{1}{3})y$
$x^2 = -\frac{4}{3}y$
$3x^2 = -4y$.

(N/A) दिया गया समीकरण $y^{2}=12x$ है।
यहाँ,$x$ का गुणांक धनात्मक है। अतः,परवलय दाईं ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4a=12 \Rightarrow a=3$.
$\therefore$ नाभि के निर्देशांक $= (a, 0) = (3, 0)$.
चूँकि दिए गए समीकरण में $y^{2}$ शामिल है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
नियता का समीकरण $x = -a$ है,अर्थात $x = -3$ या $x + 3 = 0$.
नाभिलंब की लंबाई $= 4a = 4 \times 3 = 12$.

(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2}=6y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a=6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=\frac{3}{2}$।
चूंकि $y$ का गुणांक धनात्मक है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
$1$. नाभि के निर्देशांक: $(0, a) = (0, \frac{3}{2})$।
$2$. परवलय का अक्ष: चूंकि समीकरण में $x^{2}$ शामिल है,इसलिए अक्ष $y$-अक्ष $(x=0)$ है।
$3$. नियता का समीकरण: $y = -a$,अतः $y = -\frac{3}{2}$।
$4$. नाभिलंब की लंबाई: $4a = 6$।

(N/A) दिया गया समीकरण $y^{2} = -8x$ है।
यहाँ,$x$ का गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए परवलय बाईं ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $y^{2} = -4ax$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-4a = -8 \Rightarrow a = 2$।
$\therefore$ नाभि के निर्देशांक $(-a, 0) = (-2, 0)$ हैं।
चूँकि समीकरण में $y^{2}$ शामिल है,परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
नियता का समीकरण $x = a$ है,अर्थात $x = 2$।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4(2) = 8$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2} = -16y$ है।
यहाँ,$y$ का गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना मानक रूप $x^{2} = -4ay$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-4a = -16 \Rightarrow a = 4$.
$\therefore$ नाभि के निर्देशांक $(0, -a) = (0, -4)$ हैं।
चूंकि समीकरण में $x^{2}$ शामिल है,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष (अर्थात $x = 0$) है।
नियता का समीकरण $y = a$ है,जो $y = 4$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4(4) = 16$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $y^{2}=10x$ है।
यहाँ,$x$ का गुणांक धनात्मक है।
अतः,परवलय दाईं ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4a=10 \Rightarrow a=\frac{5}{2}$.
$\therefore$ नाभि के निर्देशांक $= (a, 0) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$.
चूँकि दिए गए समीकरण में $y^{2}$ शामिल है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
नियता का समीकरण $x = -a$ है,अर्थात $x = -\frac{5}{2}$.
नाभिलंब की लंबाई $= 4a = 10$.

(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2}=-9y$ है।
यहाँ,$y$ का गुणांक ऋणात्मक है।
अतः,परवलय नीचे की ओर खुलता है।
इस समीकरण की तुलना $x^{2}=-4ay$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-4a = -9 \Rightarrow a = \frac{9}{4}$.
$\therefore$ फोकस के निर्देशांक $(0, -a) = (0, -\frac{9}{4})$ हैं।
चूंकि समीकरण में $x^{2}$ शामिल है,इसलिए परवलय का अक्ष $y$-अक्ष है।
नियता का समीकरण $y = a$ अर्थात $y = \frac{9}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 9$ है।

(A) परवलय की नाभि $(a, 0) = (6, 0)$ है,इसलिए $a = 6$ है।
नियता $x = -a$ है,जो $x = -6$ है।
चूंकि नाभि $x$-अक्ष पर स्थित है और नियता $x$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ के रूप का है।
समीकरण में $a = 6$ रखने पर,हमें $y^{2} = 4(6)x$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $y^{2} = 24x$ है।

(A) नाभि $(0, -3)$ है और नियता $y = 3$ है।
चूंकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $y$-अक्ष परवलय का अक्ष है।
चूंकि नाभि $(0, -a)$ है और नियता $y = a$ है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
ऐसे परवलय का मानक समीकरण $x^{2} = -4ay$ है।
यहाँ,$a = 3$ है।
समीकरण में $a$ का मान रखने पर,हमें $x^{2} = -4(3)y$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^{2} = -12y$ हो जाता है।

(A) परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है और नाभि $(3, 0)$ है।
चूंकि नाभि धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
ऐसे परवलय का मानक समीकरण $y^{2} = 4ax$ होता है।
यहाँ नाभि $(a, 0) = (3, 0)$ है,इसलिए $a = 3$ है।
समीकरण में $a = 3$ रखने पर,$y^{2} = 4 \times 3 \times x$,अर्थात $y^{2} = 12x$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है और नाभि $(-2, 0)$ है।
चूंकि नाभि ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है।
ऐसे परवलय का मानक समीकरण $y^{2} = -4ax$ होता है।
यहाँ नाभि $(-a, 0) = (-2, 0)$ है,इसलिए $a = 2$ है।
समीकरण में $a = 2$ रखने पर,$y^{2} = -4(2)x$ प्राप्त होता है,जो $y^{2} = -8x$ के बराबर है।

(A) चूँकि शीर्ष $(0, 0)$ है और परवलय का अक्ष $x$-अक्ष है,इसलिए परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप का है।
परवलय बिंदु $(2, 3)$ से गुजरता है,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
बिंदु $(2, 3)$ को समीकरण $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 = 4a(2)$
$9 = 8a$
$a = \frac{9}{8}$
अतः,परवलय का समीकरण है:
$y^2 = 4 \left( \frac{9}{8} \right) x$
$y^2 = \frac{9}{2} x$
$2y^2 = 9x$

(B) चूंकि शीर्ष $(0, 0)$ है और परवलय $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए परवलय का समीकरण $x^{2} = 4ay$ के रूप का है।
परवलय बिंदु $(5, 2)$ से होकर गुजरता है।
बिंदु $(5, 2)$ को समीकरण $x^{2} = 4ay$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5)^{2} = 4 \times a \times 2$
$25 = 8a$
$a = \frac{25}{8}$
$a$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:
$x^{2} = 4 \left( \frac{25}{8} \right) y$
$x^{2} = \frac{25}{2} y$
$2x^{2} = 25y$

(A) $x^{2}=4y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
माना $(h, k)$ वक्र $x^{2}=4y$ के अभिलंब का स्पर्श बिंदु है। $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{h}{2}$ है।
अतः,$(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{2}{h}$ है।
$(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-k = -\frac{2}{h}(x-h)$ है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2-k = -\frac{2}{h}(1-h)$,जिसे सरल करने पर $k = 2 + \frac{2}{h}(1-h) = 2 + \frac{2}{h} - 2 = \frac{2}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(h, k)$ वक्र $x^{2}=4y$ पर स्थित है,इसलिए $h^{2}=4k$ है। $k = \frac{2}{h}$ रखने पर,$h^{2} = 4(\frac{2}{h}) = \frac{8}{h}$ प्राप्त होता है,जिससे $h^{3}=8$,अर्थात $h=2$ मिलता है।
तब $k = \frac{2}{2} = 1$ है।
बिंदु $(2, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-1 = -\frac{2}{2}(x-2)$ है,जिसे सरल करने पर $y-1 = -(x-2)$ अर्थात $x+y=3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $x^{2}=4y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है। चूंकि यह बिंदु वक्र पर स्थित है,$h^{2} = 4k$,इसलिए $k = \frac{h^{2}}{4}$।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T} = \frac{h}{2}$ है।
$(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $m_{N} = -\frac{2}{h}$ है।
$(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - k = -\frac{2}{h}(x - h)$ है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 - \frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h}(1 - h)$
$2 - \frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h} + 2$
$-\frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h}$
$h^{3} = 8 \Rightarrow h = 2$।
यदि $h = 2$ है,तो $k = \frac{2^{2}}{4} = 1$।
अभिलंब की ढाल $m_{N} = -\frac{2}{2} = -1$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -1(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 1 = -x + 2$,अर्थात $x + y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+1$ है।
परवलय $y^{2}=4x$ के समीकरण में $y=mx+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(mx+1)^{2}=4x$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$m^{2}x^{2}+2mx+1=4x$
$m^{2}x^{2}+x(2m-4)+1=0......(i)$
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है,यह वक्र को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इसलिए,द्विघात समीकरण $(i)$ के मूल समान होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = b^{2}-4ac = 0$
$(2m-4)^{2}-4(m^{2})(1)=0$
विविक्तकर का विस्तार करने पर:
$4m^{2}-16m+16-4m^{2}=0$
$-16m+16=0$
$16m=16$
$m=1$
अतः,$m$ का आवश्यक मान $1$ है।
सही उत्तर $A$ है।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $x^{2}=4y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = 4 \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
वक्र पर किसी भी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{h}{2}$ है।
इसलिए,$(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{2}{h}$ होगी।
$(h, k)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - k = -\frac{2}{h}(x - h)$.
चूंकि अभिलंब $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए:
$2 - k = -\frac{2}{h}(1 - h) \Rightarrow 2 - k = -\frac{2}{h} + 2 \Rightarrow k = \frac{2}{h}$.
चूंकि बिंदु $(h, k)$ वक्र $x^{2} = 4y$ पर स्थित है,इसलिए $h^{2} = 4k$ होगा।
$k = \frac{2}{h}$ को $h^{2} = 4k$ में रखने पर:
$h^{2} = 4 \left(\frac{2}{h}\right) \Rightarrow h^{3} = 8 \Rightarrow h = 2$.
अब,$k$ का मान ज्ञात करते हैं:
$k = \frac{2}{h} = \frac{2}{2} = 1$.
स्पर्श बिंदु $(2, 1)$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{2}{h} = -\frac{2}{2} = -1$ है।
अभिलंब का समीकरण:
$y - 1 = -1(x - 2)$
$y - 1 = -x + 2$
$x + y = 3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = 2x$ है। इसे $y^{2} = 4Ax$ से तुलना करने पर,$4A = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = 1/2$ है।
परवलय $y^{2} = 4Ax$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब $(a, 0)$ से होकर गुजरता है यदि $a > 2A$ हो।
$A$ का मान रखने पर:
$a > 2 \times (1/2)$
$a > 1$.
अतः,तीन अलग-अलग अभिलंबों के बिंदु $(a, 0)$ से गुजरने के लिए,$a$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।

(A) चूंकि फोकस से शीर्ष की दूरी $5 \, cm$ है,इसलिए हमारे पास $a = 5$ है।
यदि मूल बिंदु को शीर्ष पर लिया जाए और दर्पण का अक्ष धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश हो,तो परवलयिक खंड का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है।
$a = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^{2} = 4(5)x = 20x$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि दर्पण $45 \, cm$ गहरा है,इसलिए $x = 45$ है।
समीकरण में $x = 45$ रखने पर,हमें $y^{2} = 20 \times 45 = 900$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \pm 30$ है।
दूरी $AB$,$x = 45$ पर जीवा की कुल लंबाई है,जो $2|y| = 2 \times 30 = 60 \, cm$ है।

(A) मान लीजिए परवलय का शीर्ष सबसे निचले बिंदु $O(0,0)$ पर है और अक्ष $Y$-अक्ष के अनुदिश ऊर्ध्वाधर है। परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ है।
कुल लंबाई $12 \, m$ है,इसलिए सिरे $x = 6 \, m$ और $x = -6 \, m$ पर हैं। केंद्र में अधिकतम विक्षेपण $3 \, cm = 0.03 \, m$ है। अतः,परवलय $(6, 0.03)$ से होकर गुजरता है।
इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर: $(6)^2 = 4a(0.03) \implies 36 = 0.12a \implies a = \frac{36}{0.12} = 300$.
समीकरण $x^2 = 4(300)y = 1200y$ है।
हमें $x$ ज्ञात करना है जब ऊपर से विक्षेपण $1 \, cm$ हो। चूंकि कुल विक्षेपण $3 \, cm$ है,शीर्ष $O$ से ऊंचाई $y = 3 \, cm - 1 \, cm = 2 \, cm = 0.02 \, m$ है।
समीकरण में $y = 0.02$ रखने पर: $x^2 = 1200(0.02) = 24$.
अतः,$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, m$.

(A) निर्देशांक तल का मूल बिंदु परवलयाकार परावर्तक के शीर्ष पर इस प्रकार लिया जाता है कि परावर्तक का अक्ष धनात्मक $x-$अक्ष के अनुदिश हो।
परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ के रूप में है (क्योंकि यह दाईं ओर खुलता है)।
परावर्तक की गहराई $5 \, cm$ है,इसलिए किनारे पर स्थित बिंदु का $x-$निर्देशांक $5$ है। व्यास $20 \, cm$ है,इसलिए किनारे पर स्थित बिंदु का $y-$निर्देशांक $10$ (व्यास का आधा) है।
अतः,परवलय बिंदु $A(5, 10)$ से होकर गुजरता है।
इसे समीकरण $y^{2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$10^{2} = 4a(5)$
$100 = 20a$
$a = \frac{100}{20} = 5$
इसलिए,परवलय का फोकस $(a, 0) = (5, 0)$ है।

(A) मान लीजिए कि परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और इसकी धुरी धनात्मक $y-$अक्ष के अनुदिश है। परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ के रूप में है।
मेहराब $10 \, m$ ऊँची है और आधार पर $5 \, m$ चौड़ी है। इसका अर्थ है कि परवलय बिंदु $(\frac{5}{2}, 10)$ से होकर गुजरता है।
इस बिंदु को समीकरण में रखने पर:
$(\frac{5}{2})^2 = 4a(10)$
$\frac{25}{4} = 40a$
$a = \frac{25}{160} = \frac{5}{32}$
अतः,परवलय का समीकरण $x^2 = 4(\frac{5}{32})y$ है,जो सरल होकर $x^2 = \frac{5}{8}y$ हो जाता है।
हमें शीर्ष से $y = 2 \, m$ की दूरी पर मेहराब की चौड़ाई ज्ञात करनी है।
$x^2 = \frac{5}{8} \times 2 = \frac{5}{4}$
$x = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \frac{2.236}{2} = 1.118 \, m$.
मेहराब की कुल चौड़ाई $2x = 2 \times 1.118 = 2.236 \, m \approx 2.23 \, m$ है।

(A) शीर्ष (vertex) केबल के सबसे निचले बिंदु पर है। निर्देशांक तल का मूल बिंदु परवलय के शीर्ष के रूप में लिया जाता है,जबकि इसकी ऊर्ध्वाधर धुरी को धनात्मक $y-$ अक्ष के साथ लिया जाता है।
यहाँ,$AB$ और $OC$ क्रमशः केबल से जुड़े सबसे लंबे और सबसे छोटे तार हैं। $DF$ सड़क से जुड़ा सहायक तार है,जो मध्य से $18 \, m$ दूर है।
यहाँ,$AB = 30 \, m$,$OC = 6 \, m$,और $BC = \frac{100}{2} = 50 \, m$.
परवलय का समीकरण $x^{2} = 4ay$ के रूप में है (क्योंकि यह ऊपर की ओर खुल रहा है)।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(50, 30-6) = (50, 24)$ हैं।
चूंकि $A(50, 24)$ परवलय पर एक बिंदु है,$(50)^{2} = 4a(24)$.
$\Rightarrow a = \frac{50 \times 50}{4 \times 24} = \frac{625}{24}$.
$\therefore$ परवलय का समीकरण $x^{2} = 4 \times \frac{625}{24} \times y$ है,जो $6x^{2} = 625y$ के रूप में सरल होता है।
बिंदु $D$ का $x-$ निर्देशांक $18$ है।
अतः,$x = 18$ पर,$6(18)^{2} = 625y$.
$\Rightarrow y = \frac{6 \times 324}{625} = \frac{1944}{625} = 3.1104 \, m$.
$\therefore DE = 3.11 \, m$ (लगभग)।
$DF = DE + EF = 3.11 \, m + 6 \, m = 9.11 \, m$.
इस प्रकार,मध्य से $18 \, m$ दूर सड़क से जुड़े सहायक तार की लंबाई लगभग $9.11 \, m$ है।

(A) दिया गया परवलय $x^{2}=12y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ से तुलना करने पर, हमें $4a=12$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a=3$.
परवलय की नाभि $S(0, a) = (0, 3)$ है।
नाभिलंब वह रेखाखंड है जो परवलय की अक्ष के लंबवत नाभि से होकर गुजरता है। $y=3$ के लिए, $x^{2}=12(3)=36$, इसलिए $x=\pm 6$.
नाभिलंब के सिरे $A(-6, 3)$ और $B(6, 3)$ हैं।
परवलय का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
शीर्षों $(0, 0)$, $(-6, 3)$, और $(6, 3)$ वाले $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3-3) + (-6)(3-0) + 6(0-3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 - 18 - 18| = \frac{1}{2} |-36| = 18 \text{ unit}^{2}$.

(A) माना $OAB$ परवलय $y^{2}=4ax$ के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।
माना $AB$ एक जीवा है जो $x$-अक्ष के लंबवत है और उसे बिंदु $C(k, 0)$ पर काटती है।
परवलय के समीकरण से,$x=k$ के लिए,$y^{2}=4ak$,अतः $y=\pm 2\sqrt{ak}$.
इस प्रकार,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(k, 2\sqrt{ak})$ और $(k, -2\sqrt{ak})$ हैं।
भुजा $AB$ की लंबाई $= 2\sqrt{ak} - (-2\sqrt{ak}) = 4\sqrt{ak}$.
चूँकि $OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है,$OA=AB$,अतः $OA^{2}=AB^{2}$.
$OA^{2} = k^{2} + (2\sqrt{ak})^{2} = k^{2} + 4ak$.
$AB^{2} = (4\sqrt{ak})^{2} = 16ak$.
समीकरण करने पर: $k^{2} + 4ak = 16ak \Rightarrow k^{2} = 12ak$.
चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $k = 12a$.
भुजा की लंबाई $AB = 4\sqrt{a(12a)} = 4\sqrt{12a^{2}} = 4(2\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ है। इसका शीर्ष $O(0,0)$ पर है।
माना समबाहु त्रिभुज $OAB$ है, जहाँ $A$ और $B$ परवलय पर स्थित हैं।
माना $A$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ हैं, जहाँ $t > 0$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए $B$ के निर्देशांक $(2t^2, -4t)$ होंगे।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई $AB = 4t - (-4t) = 8t$ है।
कोण $\angle AOx = 30^{\circ}$ है क्योंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष शीर्ष पर बने कोण को समद्विभाजित करता है।
अतः, $\tan 30^{\circ} = \frac{4t}{2t^2} = \frac{2}{t}$ है।
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$, जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
भुजा की लंबाई $s = 8t = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (16\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (256 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (768) = 192\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
मान लीजिए $P = (3t^{2}, 6t)$ है। चूंकि $N$ अक्ष ($x$-अक्ष) पर लंब का पाद है,इसलिए $N = (3t^{2}, 0)$ है।
$PN$ का मध्य-बिंदु $M = (3t^{2}, 3t)$ है।
$M$ से होकर जाने वाली और अक्ष के समानांतर रेखा $y=3t$ है।
चूंकि $Q$ परवलय $y^{2}=12x$ पर स्थित है और इसका $y$-निर्देशांक $3t$ है,इसलिए $(3t)^{2} = 12x_Q$,जिससे $9t^{2} = 12x_Q$,अर्थात $x_Q = \frac{3}{4}t^{2}$ प्राप्त होता है। अतः $Q = (\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ है।
रेखा $NQ$,$N(3t^{2}, 0)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ से होकर गुजरती है।
$NQ$ की ढाल $m = \frac{3t-0}{\frac{3}{4}t^{2}-3t^{2}} = \frac{3t}{-\frac{9}{4}t^{2}} = -\frac{4}{3t}$ है।
रेखा $NQ$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{4}{3t}(x - 3t^{2})$ है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर: $y = -\frac{4}{3t}(-3t^{2}) = 4t$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y$-अंतःखंड $\frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $4t = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ है।
अब,$MQ$,$M(3t^{2}, 3t)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ के बीच की क्षैतिज दूरी है,इसलिए $MQ = |3t^{2} - \frac{3}{4}t^{2}| = \frac{9}{4}t^{2}$ है।
$t = \frac{1}{3}$ रखने पर,$MQ = \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^{2} = \frac{9}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) परवलय $y^{2}=4a(x-h)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=m(x-h)+\frac{a}{m}$ होता है।
परवलय $y^{2}=4(x+1)$ के लिए,$a=1$ और $h=-1$ है। स्पर्श रेखा $L_{1}$ का समीकरण $y=m(x+1)+\frac{1}{m}$ है,जिसे $y=mx+m+\frac{1}{m}$ लिखा जा सकता है।
परवलय $y^{2}=8(x+2)$ के लिए,$a=2$ और $h=-2$ है। स्पर्श रेखा $L_{2}$ का समीकरण $y=m'(x+2)+\frac{2}{m'}$ है,जिसे $y=m'x+2m'+\frac{2}{m'}$ लिखा जा सकता है।
चूंकि $L_{1}$ और $L_{2}$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m \cdot m' = -1$,अतः $m' = -\frac{1}{m}$।
$m'$ का मान $L_{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$y = -\frac{1}{m}x + 2(-\frac{1}{m}) + \frac{2}{-1/m} = -\frac{1}{m}x - \frac{2}{m} - 2m = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
$y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$mx + m + \frac{1}{m} = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(m+\frac{1}{m})x + (m+\frac{1}{m}) + 2(m+\frac{1}{m}) = 0$.
$(m+\frac{1}{m})(x+3) = 0$.
वास्तविक स्पर्श रेखाओं के लिए $m+\frac{1}{m} \neq 0$ होता है,इसलिए $x+3=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परवलय $y^{2}=4x$ है।
रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का दर्पण प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है।
समीकरण $y^{2}=4x$ में $x$ को $y$ और $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें बिंदु पथ $C$ के रूप में $x^{2}=4y$ प्राप्त होता है।
$x^{2}=4y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
बिंदु $P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,1)} = \frac{2}{2} = 1$ है।
$P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = 1(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 1 = x - 2$ या $x - y = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना परवलय $y^{2}=4ax$ की नाभि $S(a, 0)$ है और परवलय पर एक गतिशील बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ है।
रेखाखंड $SP$ के मध्य-बिंदु $M(h, k)$ के लिए:
$h = \frac{at^{2}+a}{2}$ और $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ से,$t = \frac{k}{a}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $h$ के समीकरण में रखने पर:
$h = \frac{a(\frac{k}{a})^{2}+a}{2} = \frac{\frac{k^{2}}{a}+a}{2} = \frac{k^{2}+a^{2}}{2a}$.
$2ah = k^{2}+a^{2} \Rightarrow k^{2} = 2ah - a^{2} = 2a(h - \frac{a}{2})$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$ प्राप्त होता है।
यह $Y^{2} = 4AX$ के रूप का परवलय है,जहाँ $Y=y$,$X=x-\frac{a}{2}$,और $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^{2} = 4AX$ की नियता $X = -A$ होती है।
मान रखने पर: $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow x = 0$.

(C) दिया गया परवलय $y^{2}=6x$ है,इसलिए $4a=6$,जिसका अर्थ है $a=\frac{3}{2}$।
रेखा $2x+y=1$ की ढाल $m_{L}=-2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ का मान $m \times (-2) = -1$ होगा,जिससे $m=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
$a=\frac{3}{2}$ और $m=\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $y=\frac{1}{2}x+\frac{3/2}{1/2} = \frac{1}{2}x+3$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y=x+6$ या $x-2y+6=0$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए बिंदुओं की जाँच करें:
$(-6,0)$ के लिए: $-6-2(0)+6=0$ (उस पर स्थित है)।
$(4,5)$ के लिए: $4-2(5)+6=4-10+6=0$ (उस पर स्थित है)।
$(5,4)$ के लिए: $5-2(4)+6=5-8+6=3 \neq 0$ (उस पर स्थित $\text{नहीं}$ है)।
$(0,3)$ के लिए: $0-2(3)+6=0$ (उस पर स्थित है)।
अतः,बिंदु $(5,4)$ स्पर्श रेखा पर स्थित नहीं है।