Parabola Questions in Hindi

(A) परवलय $y^2 = 4x$ का फोकस $S(1, 0)$ है।
फोकस से निकलने वाली किरणों के लिए परावर्तित किरणें परवलय के अक्ष के समानांतर होती हैं।
बिंदुओं $A(t_1^2, 2t_1)$ और $B(t_2^2, 2t_2)$ के संगत परावर्तित किरणों के बीच की दूरी $2|t_1 - t_2|$ है।
चूंकि किरणें $SA$ और $SB$ लंबवत हैं,इसलिए उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।
$SA$ का ढाल $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ और $SB$ का ढाल $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2 - 1}$ है।
$m_1 m_2 = -1$ लेने पर,हमें $t_1t_2 = -1$ प्राप्त होता है।
इस स्थिति में,दूरी $2|t_1 - t_2| = 4a = 4(1) = 4$ होती है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,$4a = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित किसी बिंदु $(x, y)$ की नाभीय दूरी $x + a$ होती है।
दिया गया है कि नाभीय दूरी $4$ है,इसलिए $x + 2 = 4$,जिसका अर्थ है $x = 2$।
$x = 2$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 8(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 = 16$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \pm 4$ है।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(2, \pm 4)$ हैं।

(D) चूंकि परवलय का अक्ष $y$-अक्ष के समांतर है,इसका समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के रूप में है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
दिया गया शीर्ष $(h, k) = (1, 2)$ है,इसलिए समीकरण $(x - 1)^2 = 4a(y - 2)$ हो जाता है।
चूंकि परवलय $(0, 6)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0 - 1)^2 = 4a(6 - 2)$
$1 = 4a(4)$
$1 = 16a$
$a = 1/16$.
नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ द्वारा दी जाती है।
$|4a| = 4 \times (1/16) = 1/4$.

(A) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ है। वृत्त का केंद्र $C(x_1, 0)$ है।
चूंकि वृत्त परवलय को $P$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $CP$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत है।
$CP$ और परवलय के अक्ष के बीच का कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(x_1 - 2\cos 60^{\circ}, 2\sin 60^{\circ}) = (x_1 - 1, \sqrt{3})$ हैं।
चूंकि $P$,$y^2 = 4ax$ पर स्थित है,इसलिए $3 = 4a(x_1 - 1)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब $CP$ की ढाल $m_n = \frac{\sqrt{3} - 0}{(x_1 - 1) - x_1} = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि अभिलंब स्पर्शरेखा के लंबवत है,$m_t \times m_n = -1$ होगा।
$\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)(-\sqrt{3}) = -1$ $\Rightarrow -2a = -1$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$।
नाभिलंब $4a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है।
$y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,$2y = 2(1)(x + 1)$,जो सरल होकर $y = x + 1$ हो जाता है।
बिंदु $A$ और $B$ ज्ञात करने के लिए जहाँ स्पर्श रेखा अक्षों को काटती है:
$x$-अक्ष के लिए,$y = 0$ रखने पर: $0 = x + 1 \implies x = -1$। अतः,बिंदु $A$ $(-1, 0)$ है।
$y$-अक्ष के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y = 0 + 1 \implies y = 1$। अतः,बिंदु $B$ $(0, 1)$ है।
त्रिभुज $\Delta AOB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(-1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
आधार $OA = |-1| = 1$ और ऊँचाई $OB = |1| = 1$ है।
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,अर्ध-नाभिलंब (semi-latus rectum) की लंबाई $2a$ होती है।
दिए गए परवलय $y^2 = 16x$ के लिए,$4a = 16$,इसलिए $a = 4$। अर्ध-नाभिलंब $2a = 8$ है।
यदि नाभीय जीवा को नाभि द्वारा $a$ और $c$ लंबाई के दो भागों में विभाजित किया जाता है,तो इन भागों का हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) अर्ध-नाभिलंब के बराबर होता है।
अतः,$b = \frac{2ac}{a+c} = 8$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है। परवलय $y = x^2 - 100$ दिया गया है,इसलिए $x^2 = y + 100$ है।
वृत्त के समीकरण में $x^2$ का मान रखने पर: $(y + 100) + y^2 = r^2$,जो सरल होकर $y^2 + y + (100 - r^2) = 0$ हो जाता है।
वृत्त के परवलय के अंतर्गत होने के लिए,वृत्त को परवलय को स्पर्श करना चाहिए। यह तब होता है जब $y$ में द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = 0$ हो।
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(100 - r^2) = 0$.
$1 - 400 + 4r^2 = 0 \implies 4r^2 = 399 \implies r^2 = \frac{399}{4}$.
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \frac{399\pi}{4}$ है।
क्षेत्रफल $\frac{a\pi}{b}$ दिया गया है,जहाँ $a = 399$ और $b = 4$ है,जो सह-अभाज्य हैं।
अतः $a + b = 399 + 4 = 403$.

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = y$ है,जो $x^2 = 4ay$ के रूप में है,जहाँ $4a = 1$,इसलिए $a = 1/4$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - am^2$ है,जो $y = mx - \frac{m^2}{4}$ हो जाता है।
यदि यह स्पर्श रेखा $(h, k)$ बिंदु से गुजरती है,तो $k = mh - \frac{m^2}{4}$,जो $m^2 - 4hm + 4k = 0$ में सरल हो जाता है।
मान लीजिए कि $(h, k)$ से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। तो $m_1 + m_2 = 4h$ और $m_1m_2 = 4k$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}| = 1$ है।
अतः,$(m_1 - m_2)^2 = (1 + m_1m_2)^2$ है।
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ का उपयोग करते हुए,हमें $(4h)^2 - 4(4k) = (1 + 4k)^2$ प्राप्त होता है।
$16h^2 - 16k = 1 + 8k + 16k^2$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $16x^2 - 16y = 1 + 8y + 16y^2$ या $16y^2 - 16x^2 + 24y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $16y^2 - 16x^2 + ky + 1 = 0$ से करने पर,हमें $k = 24$ प्राप्त होता है।

(B) माना जीवा बिंदुओं $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ को जोड़ती है।
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,$OP$ और $OQ$ की ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,जिससे $t_1 t_2 = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि जीवा $P$ पर अभिलंब है,$P$ पर अभिलंब की ढाल $-t_1$ है। जीवा $PQ$ की ढाल $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
अभिलंब की ढाल और जीवा की ढाल की तुलना करने पर: $-t_1 = \frac{2}{t_1 + t_2} \implies -t_1^2 - t_1 t_2 = 2$.
$t_1 t_2 = -4$ रखने पर,$-t_1^2 + 4 = 2 \implies t_1^2 = 2 \implies t_1 = \pm \sqrt{2}$.
अतः जीवा की ढाल $m = \mp \sqrt{2}$ है। परिमाण के रूप में $\sqrt{2}$ सही उत्तर है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
$(3, 0)$ बिंदु रखने पर,$0 = 3m - 2m - m^3$ प्राप्त होता है।
$m^3 - m = 0 \Rightarrow m(m-1)(m+1) = 0$.
अतः,अभिलंब की ढाल $m = 0, 1, -1$ है।
अभिलंब के बिंदुओं के निर्देशांक $(am^2, -2am)$ हैं।
$m=0$ के लिए,$P = (0, 0)$.
$m=1$ के लिए,$Q = (1, -2)$.
$m=-1$ के लिए,$R = (1, 2)$.
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{5}$,$PR = \sqrt{5}$,$QR = 4$.
यहाँ $(QR)^2 = 16$ और $(PQ)^2 + (PR)^2 = 10$ है,इसलिए $(QR)^2 > (PQ)^2 + (PR)^2$ है।
अतः,$\Delta PQR$ एक अधिककोण त्रिभुज है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $(ap^2, 2ap)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -px + 2ap + ap^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को पुनः $(aq^2, 2aq)$ पर मिलता है,इसलिए यह बिंदु अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x = aq^2$ और $y = 2aq$ रखने पर:
$2aq = -p(aq^2) + 2ap + ap^3$
$a$ से विभाजित करने पर:
$2q = -pq^2 + 2p + p^3$
$pq^2 - 2q + p^3 - 2p = 0$
$p$ और $q$ के बीच संबंध $q = -p - \frac{2}{p}$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^2 + pq + 2 = 0$ होगा।

(A) परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदुओं $B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_1^2, 2t_1)$ और $(t_2^2, 2t_2)$ मान लीजिए।
$B(t_1^2, 2t_1)$ और $C(t_2^2, 2t_2)$ से गुजरने वाली रेखा $P(5, -2)$ से भी गुजरती है।
रेखा $BC$ की ढाल $m = \frac{2t_1 - 2t_2}{t_1^2 - t_2^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ है।
चूंकि रेखा $P(5, -2)$ से गुजरती है,ढाल $m = \frac{2t_1 - (-2)}{t_1^2 - 5} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ भी है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ $\Rightarrow t_1^2 - 5 = (t_1 + t_2)(t_1 + 1) = t_1^2 + t_1 + t_1t_2 + t_2$.
यह सरल होकर $t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ हो जाता है।
रेखाओं $AB$ और $AC$ की ढाल $m_{AB} = \frac{2}{t_1 + 1}$ और $m_{AC} = \frac{2}{t_2 + 1}$ हैं।
ढालों का गुणनफल $m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{(t_1 + 1)(t_2 + 1)} = \frac{4}{t_1t_2 + t_1 + t_2 + 1}$ है।
$t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ प्रतिस्थापित करने पर,$m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{-5 + 1} = \frac{4}{-4} = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,रेखाएं $AB$ और $AC$ लंबवत हैं,जिसका अर्थ है $\angle BAC = 90^\circ$। अतः,$\Delta ABC$ हमेशा एक समकोण त्रिभुज है।

(B) दिए गए शंकु $C$ का समीकरण $25((x - 1)^2 + (y + 1)^2) = (3x - 4y)^2$ है।
$25$ से भाग देने पर,हमें $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{3x - 4y}{5}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S = (1, -1)$ नाभि है और $3x - 4y = 0$ नियता है।
उत्केंद्रता $e = 1$ होने के कारण,शंकु $C$ एक परवलय है।
परवलय की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता होती है।
अतः,वक्र $E$ रेखा $3x - 4y = 0$ है।
बिंदु $(2, -1)$ और रेखा $3x - 4y = 0$ के बीच की न्यूनतम दूरी लंबवत दूरी $d = \frac{|3(2) - 4(-1)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$ है।
$d = \frac{|6 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.

(B) परवलय का समीकरण $y = x^2$ है। वृत्त और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के $x$-निर्देशांकों का योग $0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(17, 289), (-2, 4), (13, 169)$ हैं।
$17 - 2 + 13 + x_4 = 0 \implies x_4 = -28$.
चौथा बिंदु $(-28, 784)$ है।
$y = x^2$ की नियता $y = -\frac{1}{4}$ है।
लंबवत दूरियों का योग $= (289 + \frac{1}{4}) + (4 + \frac{1}{4}) + (169 + \frac{1}{4}) + (784 + \frac{1}{4}) = 1246 + 1 = 1247$.

(C) दिया गया समीकरण $4x^3 + 4y^3 = xy(xy + 16)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4x^3 + 4y^3 - x^2y^2 - 16xy = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(4x - y^2)(x^2 - 4y) = 0$ प्राप्त होता है।
यह दो परवलयों $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ का संयुक्त समीकरण है।
रेखा $x + \alpha y + \beta = 0$ इन दोनों परवलयों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
$y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $x + y + 1 = 0$ है।
$x + y + 1 = 0$ की तुलना $x + \alpha y + \beta = 0$ से करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रखें:
$-x^2 + 4x + 2 = x^2 + 5x + \frac{17}{8}$
$2x^2 + x + \frac{1}{8} = 0$
सरल बनाने के लिए $8$ से गुणा करें:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
$(4x + 1)^2 = 0$
$x = -\frac{1}{4}$
चूंकि $x$ के लिए केवल एक वास्तविक हल है,इसलिए परवलय $P_1$ और $P_2$ एक बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
जब दो परवलय एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो वे स्पर्श बिंदु पर ठीक एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा साझा करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $1$ है.

(D) दिया गया समीकरण $9x^2 + 24xy + 16y^2 - 4x + 3y = 0$ है।
इसे $(3x + 4y)^2 - 4x + 3y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $L = 3x + 4y$ और $M = 4x - 3y$ है। ध्यान दें कि $L$ और $M$ परस्पर लंबवत हैं क्योंकि उनकी ढाल $-3/4$ और $4/3$ है।
रेखाओं का मानकीकरण करने पर: $\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2 = \frac{4x - 3y}{5}$ प्राप्त होता है।
यह $Y^2 = 4aX$ के रूप में है,जहाँ $Y = \frac{3x + 4y}{5}$ और $X = \frac{4x - 3y}{5}$ है।
यहाँ,$4a = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 1$ है।

(C) मान लीजिए कि परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=2$) पर बिंदु $P, Q, R, T$ को क्रमशः $t_1, t_2, t_4, t_3$ मापदंडों द्वारा दर्शाया गया है।
चूंकि $PS$ और $QS$ नाभीय जीवाएं हैं,हमारे पास $t_1 t_3 = -1$ और $t_2 t_4 = -1$ है।
जीवा $PQ$ का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 4 t_1 t_2$ है।
चूंकि $PQ$ बिंदु $(-2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $3(t_1 + t_2) = -4 + 4 t_1 t_2$ प्राप्त होता है।
$t_1 = -1/t_3$ और $t_2 = -1/t_4$ प्रतिस्थापित करने पर,$3(-1/t_3 - 1/t_4) = -4 + 4/(t_3 t_4)$ मिलता है।
$t_3 t_4$ से गुणा करने पर,$-3(t_4 + t_3) = -4 t_3 t_4 + 4$ मिलता है,जो सरल होकर $3(t_3 + t_4) = 4 t_3 t_4 - 4$ हो जाता है।
जीवा $TR$ का समीकरण $y(t_3 + t_4) = 2x + 4 t_3 t_4$ है।
इसकी तुलना $3(t_3 + t_4) = 4 t_3 t_4 - 4$ की शर्त से करने पर,हम कह सकते हैं कि रेखा $TR$ बिंदु $(-2, 3)$ से होकर गुजरती है।

(A) माना नाभीय जीवा $PQ$ है,जहाँ $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ है। चूँकि $PQ$ नाभीय जीवा है,$t_1t_2 = -1$ होगा।
$P$ और $Q$ पर अभिलंब $R(h, k)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जहाँ $h = a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2 + 2)$ और $k = -at_1t_2(t_1 + t_2)$ है।
$t_1t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = a(t_1^2 + t_2^2 + 1)$ और $k = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।
$(t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2 = t_1^2 + t_2^2 - 2$ होने के कारण,$t_1^2 + t_2^2 = (k/a)^2 + 2$ होगा।
इसे $h$ में रखने पर:
$h = a((k/a)^2 + 3) = k^2/a + 3a$।
अतः,$k^2 = a(h - 3a)$। इस प्रकार,अभीष्ट बिंदुपथ $y^2 = a(x - 3a)$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि स्पर्श रेखा $(h, k)$ से गुजरती है,इसलिए $k = mh + \frac{a}{m}$ होगा।
इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2h - mk + a = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{h}$ है।
दिया गया है कि $\cot \theta_1 + \cot \theta_2 = c$,जिसे $\frac{1}{\tan \theta_1} + \frac{1}{\tan \theta_2} = c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका सरलीकरण $\frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{\tan \theta_1 \tan \theta_2} = c$ होता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर: $\frac{k/h}{a/h} = c$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{k}{a} = c$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $k = ac$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y = ac$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ हैं। इन्हें एक साथ हल करने पर,हमें $x = 0$ या $x = 4a$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4a, 4a)$ हैं।
$(4a, 4a)$ बिंदु पर,$y^2 = 4ax$ के लिए अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} = m_1$ प्राप्त होता है।
$x^2 = 4ay$ के लिए अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = 2 = m_2$ प्राप्त होता है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ जो $a$ से स्वतंत्र है। इसलिए,कोण $a$ के सभी मानों के लिए स्थिर है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है $(1)$.
परवलय $y^2 = 4c(x - b)$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = m(x - b) - 2cm - cm^3$ है,जो सरल होकर $y = mx - (b + 2c)m - cm^3$ हो जाता है $(2)$.
उभयनिष्ठ अभिलंब के लिए,समीकरण $(1)$ और $(2)$ को एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। अचर पदों की तुलना करने पर:
$-2am - am^3 = -(b + 2c)m - cm^3$
$(c - a)m^3 + (b + 2c - 2a)m = 0$
चूंकि उभयनिष्ठ अभिलंब $x$-अक्ष नहीं है,इसलिए $m \neq 0$। $m$ से विभाजित करने पर:
$(c - a)m^2 + (b + 2c - 2a) = 0$
$m^2 = \frac{2a - 2c - b}{c - a} = \frac{2(a - c) - b}{c - a} = -2 + \frac{b}{a - c}$.
वास्तविक अभिलंब के लिए $m^2 > 0$ होना चाहिए,अतः:
$-2 + \frac{b}{a - c} > 0$
$\frac{b}{a - c} > 2$.

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूंकि $PQ$ एक अभिलंब जीवा है,हमारे पास संबंध $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \quad \dots(1)$ है।
$OP$ और $OQ$ की ढाल $m_1 = \frac{2}{t_1}$ और $m_2 = \frac{2}{t_2}$ है।
चूंकि $PQ$ शीर्ष $O(0,0)$ पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$\frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -4 \quad \dots(2)$.
$(1)$ से $t_2$ का मान $(2)$ में रखने पर,$t_1(-t_1 - \frac{2}{t_1}) = -4$ प्राप्त होता है।
$-t_1^2 - 2 = -4$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \pm \sqrt{2}$।
अभिलंब की ढाल $m = -t_1$ है।
अतः,अभिलंब जीवा की ढाल $m = \mp \sqrt{2}$ है,जो विकल्प $\pm \sqrt{2}$ को दर्शाता है।

(C) नाभि $S(3, 5)$ है और नियता $x + y - 4 = 0$ है।
परवलय का अक्ष नाभि से होकर गुजरता है और नियता के लंबवत होता है। चूंकि नियता की ढाल $-1$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $1$ होगी।
अक्ष का समीकरण $y - 5 = 1(x - 3)$ है,जो $x - y + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
नियता का पाद $Z$,अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$x - y + 2 = 0$
$x + y - 4 = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर $2x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ है। $x = 1$ को $x + y = 4$ में रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$Z = (1, 3)$ है।
शीर्ष $V$,रेखाखंड $SZ$ का मध्य बिंदु है,जहाँ $S(3, 5)$ और $Z(1, 3)$ हैं।
$V = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right) = (2, 4)$.

(C) दिए गए परवलय $x_1 = cy^2 + ay + b$ और $x_2 = cy - y^2$ बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श करते हैं।
चूँकि $(0, 1)$ दोनों वक्रों पर स्थित है:
$x_2$ के लिए: $0 = c(1) - (1)^2 \Rightarrow c = 1$.
$x_1$ के लिए: $0 = c(1)^2 + a(1) + b$ $\Rightarrow 1 + a + b = 0$ $\Rightarrow a + b = -1$.
अब,$y = 1$ पर अवकलज $\frac{dx}{dy}$ ज्ञात करें:
$x_1$ के लिए: $\frac{dx_1}{dy} = 2cy + a = 2(1)(1) + a = 2 + a$.
$x_2$ के लिए: $\frac{dx_2}{dy} = c - 2y = 1 - 2(1) = -1$.
चूँकि वक्र स्पर्श करते हैं,$(0, 1)$ पर उनकी स्पर्श रेखाएँ समान हैं,इसलिए $y = 1$ पर $\frac{dx_1}{dy} = \frac{dx_2}{dy}$.
$2 + a = -1 \Rightarrow a = -3$.
$a + b = -1$ का उपयोग करने पर,$-3 + b = -1 \Rightarrow b = 2$.
अंत में,$2a + b - c = 2(-3) + 2 - 1 = -6 + 2 - 1 = -5$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 - 2y - 4x + 5 = 0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(y-1)^2 - 1 - 4x + 5 = 0$,जो सरल होकर $(y-1)^2 = 4(x-1)$ हो जाता है।
यह एक परवलय है जिसका शीर्ष $V(1, 1)$ और नाभि $F(2, 1)$ है।
आपतित किरण $x = 2$ रेखा के अनुदिश यात्रा करती है,जो नाभि $F(2, 1)$ से गुजरती है और $y$-अक्ष के समानांतर है।
परवलय के परावर्तन गुण के अनुसार,परवलय की अक्ष के समानांतर आने वाली कोई भी प्रकाश किरण दर्पण से टकराने के बाद नाभि से होकर गुजरती है,और इसके विपरीत,नाभि से गुजरने वाली कोई भी किरण परावर्तन के बाद परवलय की अक्ष के समानांतर हो जाती है।
इस परवलय की अक्ष $y = 1$ रेखा है।
चूंकि आपतित किरण नाभि $F(2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए परावर्तित किरण परवलय की अक्ष के समानांतर होगी,जो $y = 1$ है।
अतः,परावर्तित किरण $y = k$ के रूप की एक क्षैतिज रेखा है।
दी गई आकृति के अनुसार,परावर्तित किरणें $y = 3$ और $y = -1$ हैं। विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$y = -1$ एक सही परावर्तित किरण है।

(A) वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-10)^2 = 1$ है,जिसका केंद्र $C(2, 10)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ पर बिंदु $P(t^2, 2t)$ मानिए।
न्यूनतम दूरी के लिए,$P$ पर अभिलंब केंद्र $C(2, 10)$ से गुजरना चाहिए।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{t}$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-t$ होगी।
रेखा $CP$ की ढाल $\frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ है।
अतः,$-t = \frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ $\Rightarrow -t^3 + 2t = 2t - 10$ $\Rightarrow t^3 = 10$ $\Rightarrow t = (10)^{1/3}$।
यहाँ $\alpha = t^2 = (10)^{2/3}$ और $\beta = 2t = 2(10)^{1/3}$ है।
इसलिए,$\alpha \beta = (10)^{2/3} \times 2(10)^{1/3} = 2(10) = 20$।

(B) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है,जहाँ $T = ky - 2a(x + h)$ और $S_1 = k^2 - 4ah$ है।
अतः,समीकरण $ky - 2a(x + h) = k^2 - 4ah$ है।
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,हम $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$k(0) - 2a(0 + h) = k^2 - 4ah$
$-2ah = k^2 - 4ah$
$k^2 = 2ah$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2ax$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है, इसलिए $a = 1$ है।
वह बिंदु जहाँ से स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ है।
स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है, जो $y(2) = 2(1)(x - 1)$ यानी $y = x - 1$ हो जाता है।
इसे व्यवस्थित करने पर, $x - y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $\frac{2}{a} \sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)(a^2 + y_1^2)} = \frac{2}{1} \sqrt{(4 - 4(1)(-1))(1^2 + 2^2)} = 2 \sqrt{(8)(5)} = 4\sqrt{10}$ है।
बिंदु $(-1, 2)$ से रेखा $x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखाओं और स्पर्श जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a} = \frac{(4 - 4(1)(-1))^{3/2}}{2(1)} = \frac{8^{3/2}}{2} = 8\sqrt{2}$ है।

(B) माना परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है और $P(at_{1}^{2}, 2at_{1}), Q(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ जीवा $PQ$ के सिरे हैं।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ के निर्देशांक $(at_{1}t_{2}, a(t_{1} + t_{2}))$ हैं।
नाभि $S(a, 0)$ से $P$ की दूरी $SP = a(1 + t_{1}^{2})$ है।
इसी प्रकार,नाभि $S$ से $Q$ की दूरी $SQ = a(1 + t_{2}^{2})$ है।
नाभि $S$ से $T$ की दूरी $ST = \sqrt{(at_{1}t_{2} - a)^{2} + (a(t_{1} + t_{2}) - 0)^{2}}$ है।
$ST^{2} = a^{2}(1 + t_{1}^{2})(1 + t_{2}^{2}) = SP \cdot SQ$ प्राप्त होता है।
अतः,$SP, ST, SQ$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) रेखा का समीकरण $x + by + c = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + k$ से तुलना करने पर,$m = -\frac{1}{b}$ और $k = -\frac{c}{b}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,यहाँ $4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है।
रेखा $y = mx + k$ के परवलय $y^2 = 4ax$ का अभिलंब होने की शर्त $k = -2am - am^3$ है।
मान रखने पर: $-\frac{c}{b} = -2(3)(-\frac{1}{b}) - 3(-\frac{1}{b})^3$।
$-\frac{c}{b} = \frac{6}{b} + \frac{3}{b^3}$।
$-b^3$ से गुणा करने पर: $cb^2 = -6b^2 - 3$।
$b^2(c + 6) = -3$।
$b^2 = \frac{-3}{c + 6}$।
चूंकि $b^2 > 0$,इसलिए $\frac{-3}{c + 6} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $c + 6 < 0$।
अतः,$c < -6$।

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है,जिसका ढाल $1$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए,वक्र $x = y^2$ की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।
$x = y^2$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 2y$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = 1$ है,इसलिए $\frac{1}{2y} = 1$,जिससे $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = \frac{1}{2}$ को $x = y^2$ में रखने पर,हमें $x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्र पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।
न्यूनतम दूरी बिंदु $P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
दूरी $= \frac{|\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

(C) चूंकि मूल बिंदु उभयनिष्ठ शीर्ष है,इसलिए दो परवलयों के समीकरण $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4by$ मानिए।
नाभिलंब की लंबाई $3$ दी गई है,इसलिए $4a = 3$ और $4b = 3$,अर्थात $a = b = \frac{3}{4}$।
परवलयों के समीकरण $y^2 = 3x$ और $x^2 = 3y$ हैं।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y = mx + c$ है।
$y^2 = 3x$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $(mx + c)^2 = 3x$,या $m^2x^2 + (2mc - 3)x + c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा होने के कारण विविक्तकर शून्य होगा: $(2mc - 3)^2 - 4m^2c^2 = 0$,जो सरल होकर $9 - 12mc = 0$ देता है,अर्थात $c = \frac{3}{4m}$।
$x^2 = 3y$ के लिए,$y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर $x^2 = 3(mx + c)$,या $x^2 - 3mx - 3c = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर को शून्य रखने पर: $(-3m)^2 - 4(1)(-3c) = 0$,जो $9m^2 + 12c = 0$ देता है,इसलिए $c = -\frac{3m^2}{4}$।
$c$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{3}{4m} = -\frac{3m^2}{4}$ $\Rightarrow m^3 = -1$ $\Rightarrow m = -1$।
अतः $c = \frac{3}{4(-1)} = -\frac{3}{4}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -x - \frac{3}{4}$ है,जिसे सरल करने पर $4(x + y) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिसका अर्थ है $a = 2$। नाभि $F$ $(2, 0)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (-8, 0)$ के लिए स्पर्श जीवा $PQ$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $y(0) = 2(2)(x - 8)$ प्राप्त होता है,जो $0 = 4(x - 8)$ में सरल हो जाता है,इसलिए $x = 8$।
$x = 8$ के लिए,$y^2 = 8(8) = 64$,इसलिए $y = \pm 8$। अतः,बिंदु $P(8, 8)$ और $Q(8, -8)$ हैं।
त्रिभुज $PFQ$ के शीर्ष $P(8, 8)$,$F(2, 0)$ और $Q(8, -8)$ हैं।
आधार $PQ$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा खंड है जिसकी लंबाई $|8 - (-8)| = 16$ है।
$F(2, 0)$ से रेखा $x = 8$ तक त्रिभुज की ऊंचाई $|8 - 2| = 6$ है।
$\triangle PFQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ वर्ग इकाई।

(C) मान लीजिए परवलय $x^2 = 4y$ पर बिंदु $P(2t, t^2)$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ है। इसका केंद्र $C(-3, 0)$ है।
दूरी $PC$ को न्यूनतम होने के लिए,रेखा $PC$ को $P$ पर परवलय का अभिलंब होना चाहिए।
$P(2t, t^2)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = t$ है।
इसलिए,$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{t}$ है।
$P(2t, t^2)$ और $C(-3, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा $PC$ की ढाल $\frac{t^2 - 0}{2t - (-3)} = \frac{t^2}{2t + 3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{t^2}{2t + 3} = -\frac{1}{t}$.
$t^3 = -2t - 3 \Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 + 2(-1) + 3 = 0$.
$t = -1$ के लिए,बिंदु $P(-2, 1)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $t = -1$ है।
$(-2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x + 2)$ है।
$y - 1 = -x - 2 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए, $4a = 8$, अतः $a = 2$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(at^2, 2at)$ की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ होती है।
नाभीय दूरी $8$ दी गई है, इसलिए $2(1 + t^2) = 8$, जिसका अर्थ है $1 + t^2 = 4$, अतः $t^2 = 3$ और $t = \pm\sqrt{3}$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर, हमें $m = -t$ और $c = 2at + at^3 = at(2 + t^2)$ प्राप्त होता है।
$a = 2$ और $t = \sqrt{3}$ रखने पर:
$|c| = |2(\sqrt{3})(2 + 3)| = |2\sqrt{3}(5)| = 10\sqrt{3}$।

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(4t^2 + 3, 8t^3 - 1)$ हैं।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24t^2}{8t} = 3t$ है।
मान लीजिए कि बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(4\lambda^2 + 3, 8\lambda^3 - 1)$ हैं।
रेखा $PQ$ की ढाल $\frac{8\lambda^3 - 8t^3}{4\lambda^2 - 4t^2} = \frac{2(\lambda^3 - t^3)}{\lambda^2 - t^2} = \frac{2(\lambda - t)(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{(\lambda - t)(\lambda + t)} = \frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t}$ है।
चूंकि $PQ$,$P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए इसकी ढाल $3t$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t} = 3t.$
$2\lambda^2 + 2\lambda t + 2t^2 = 3t\lambda + 3t^2.$
$2\lambda^2 - t\lambda - t^2 = 0.$
$(2\lambda + t)(\lambda - t) = 0.$
चूंकि $\lambda \neq t$ (क्योंकि $Q$ एक अलग बिंदु है),हमें $\lambda = -t/2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -t/2$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,$x = 4(-t/2)^2 + 3 = t^2 + 3$ और $y = 8(-t/2)^3 - 1 = -t^3 - 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(t^2 + 3, -t^3 - 1)$ हैं।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $P(t)$ पर अभिलंब $y = -tx + 2t + t^3$ होगा।
चूंकि यह अभिलंब $Q(t_1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $t_1^2 = -t(t_1) + 2t + t^3$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2 = (-t - \frac{2}{t})^2 = t^2 + \frac{4}{t^2} + 4$ प्राप्त होता है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग करने पर,$t^2 + \frac{4}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{4}{t^2}} = 4$।
अतः,$t_1^2$ का न्यूनतम मान $4 + 4 = 8$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = -4x$ है,जो $y^2 = -4ax$ के रूप में है जहाँ $a = 1$ है।
मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(-t^2, 2t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(-t^2, -2t)$ हैं,जहाँ $t > 0$ (क्योंकि $P$ द्वितीय चतुर्थांश में है)।
मान लीजिए $R(h, k)$ वह बिंदु है जो $PQ$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$R$ के निर्देशांक हैं:
$h = \frac{2(-t^2) + 1(-t^2)}{2 + 1} = -t^2$
$k = \frac{2(-2t) + 1(2t)}{2 + 1} = \frac{-4t + 2t}{3} = -\frac{2t}{3}$
$k = -\frac{2t}{3}$ से,हमें $t = -\frac{3k}{2}$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$h = -(-\frac{3k}{2})^2 = -\frac{9k^2}{4}$
$4h = -9k^2$
$9k^2 = -4h$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$R$ का बिंदुपथ $9y^2 = -4x$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ,जो एक-दूसरे के साथ $\alpha$ कोण बनाती हैं,निम्न है:
$\tan^2 \alpha (x + a)^2 = y^2 - 4ax$
परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y) = (-2, -1)$ है।
इन मानों को बिंदुपथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^2 \alpha (-2 + 1)^2 = (-1)^2 - 4(1)(-2)$
$\tan^2 \alpha (-1)^2 = 1 + 8$
$\tan^2 \alpha (1) = 9$
$\tan^2 \alpha = 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\tan \alpha| = 3$

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 6$,इसलिए $a = \frac{3}{2}$ है।
नाभि $S = (\frac{3}{2}, 0)$ है और शीर्ष $V = (0, 0)$ है।
माना नाभि से गुजरने वाली जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - \frac{3}{2})$ है,जिसे $mx - y - \frac{3m}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
शीर्ष $(0, 0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|m(0) - 0 - \frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{\sqrt{5}}{2}$,इसलिए $\frac{|\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{9m^2}{4(m^2 + 1)} = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
$9m^2 = 5(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 9m^2 = 5m^2 + 5$ $\Rightarrow 4m^2 = 5$ है।
$m^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,ढाल $\frac{\sqrt{5}}{2}$ हो सकता है।

(B) कथन $-2$ के लिए: परवलय $y^2 = -2x$ है,इसलिए $4a = -2$,जिसका अर्थ है $a = -1/2$। रेखा $y = mx + c$ के $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = a/m$ है। यहाँ,$c = (-1/2)/m = -1/(2m)$। स्पर्श बिंदु $(a/m^2, 2a/m) = (-1/(2m^2), -1/m)$ है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$ के लिए: रेखा $x = 2y + 2$ है। $y^2 + 2x = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 + 2(2y + 2) = 0$ प्राप्त होता है,जो $y^2 + 4y + 4 = 0$ या $(y + 2)^2 = 0$ में सरल हो जाता है। इससे $y = -2$ प्राप्त होता है। $y = -2$ को $x = 2y + 2$ में रखने पर,हमें $x = 2(-2) + 2 = -2$ प्राप्त होता है। अतः,रेखा परवलय से केवल $(-2, -2)$ बिंदु पर मिलती है। यह कथन $-2$ के अनुरूप है। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ इसकी सही व्याख्या है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के नाभिलंब के सिरे $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ होते हैं।
$a = 1$ के लिए,सिरे $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
नाभिलंब के सिरों पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3a, 0)$ होता है।
$a = 1$ रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(1), 0) = (3, 0)$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $y^2 = -4ax$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,$4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है। परवलय $y^2 = -4x$ है,इसलिए यह बाईं ओर खुलता है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx - \frac{1}{m}$ है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
स्पर्शरेखा $y = mx - \frac{1}{m}$ के लिए,अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $0 = mx - \frac{1}{m}$ है,जिससे $x = \frac{1}{m^2}$ प्राप्त होता है।
सभी $m \neq 0$ के लिए $m^2 > 0$ होता है,इसलिए $x = \frac{1}{m^2} > 0$ है। अतः,भुज हमेशा धनात्मक (गैर-ऋणात्मक) होता है। कथन $2$ सत्य है।
कथन $2$ स्पर्शरेखा के एक गुण का वर्णन करता है,लेकिन यह कथन $1$ में दिए गए स्पर्शरेखा के समीकरण के लिए तार्किक व्युत्पत्ति या व्याख्या नहीं है। इसलिए,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = 8y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय का शीर्ष $C = (0, 0)$ है।
नाभिलंब के सिरे $A = (-2a, a) = (-4, 2)$ और $B = (2a, a) = (4, 2)$ हैं।
हमें शीर्षों $A(-4, 2)$,$B(4, 2)$,और $C(0, 0)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2 - 0) + 4(0 - 2) + 0(2 - 2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2) + 4(-2) + 0| = \frac{1}{2} |-8 - 8| = \frac{1}{2} |-16| = 8$।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $x^2 = 8y$ है।
जब $x = 4$ है,तो समीकरण में मान रखने पर: $4^2 = 8y \Rightarrow 16 = 8y \Rightarrow y = 2$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, 2)$ है।
$x^2 = 8y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$।
$x = 4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \left. \frac{x}{4} \right|_{x=4} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ होगी।
$(4, 2)$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - 2 = -1(x - 4)$।
$y - 2 = -x + 4$।
$x + y = 6$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है।
दिया गया है कि जीवा $PQ$ परवलय के अक्ष ($x$-अक्ष) के लंबवत है और एक सिरा $P(4, -2)$ है,इसलिए $Q$ का $x$-निर्देशांक भी $4$ होगा।
चूँकि $Q$ परवलय $y^2 = x$ पर स्थित है,$x = 4$ रखने पर $y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $y = \pm 2$ मिलता है। चूँकि $P(4, -2)$ है,इसलिए $Q(4, 2)$ होगा।
परवलय $y^2 = x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$Q(4, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} \Big|_{(4, 2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ है।
$Q$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है।
अतः,अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{1/4} = -4$ है।

(B) शीर्ष $(2, 0)$ पर है और नाभि $(4, 0)$ पर है।
चूंकि अक्ष $x$-अक्ष है,परवलय का समीकरण $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ होगा।
यहाँ $a = 4 - 2 = 2$ है,इसलिए समीकरण $y^2 = 8(x - 2)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $B$ के लिए: $y^2 = 6^2 = 36$ और $8(8 - 2) = 48$ है।
चूंकि $36 \neq 48$,इसलिए बिंदु $(8, 6)$ परवलय पर स्थित नहीं है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है। मान लीजिए बिंदु $C$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं।
शीर्षों $A(4, -4)$,$B(9, 6)$ और $C(t^2, 2t)$ वाले $\Delta ACB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |4(6 - 2t) + 9(2t - (-4)) + t^2(-4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 8t + 18t + 36 - 10t^2|$
$= \frac{1}{2} |-10t^2 + 10t + 60| = |-5t^2 + 5t + 30|$
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $f(t) = -5t^2 + 5t + 30$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = -10t + 5 = 0 \implies t = \frac{1}{2}$.
$t = \frac{1}{2}$ को क्षेत्रफल के व्यंजक में रखने पर:
$\text{Area} = |-5(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 30| = |-\frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{120}{4}| = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4}$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) परवलय $y^2 = 4b(x - c)$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = m(x - c) - 2bm - bm^3$ है।
परवलय $y^2 = 8ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 4am - 2am^3$ है।
इन दोनों परवलयों के लिए $m \neq 0$ ढाल वाला एक उभयनिष्ठ अभिलंब होने के लिए,समीकरणों को एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$m^2 = \frac{c}{2a - b} - 2$.
उभयनिष्ठ अभिलंब के अस्तित्व के लिए,$m^2 > 0$ होना आवश्यक है,इसलिए $\frac{c}{2a - b} > 2$।
विकल्प $(B)$ $(a=1, b=1, c=3)$ की जाँच करने पर:
$m^2 = \frac{3}{2(1) - 1} - 2 = 1 > 0$।
अतः,$(1, 1, 3)$ एक मान्य विकल्प है।