Parabola Questions in Hindi

(B) माना $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(h, 0)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
चूंकि अभिलंब $(h, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = mh - 2am - am^3$ प्राप्त होता है।
यदि $m \neq 0$ हो,तो $h = 2a + am^2$ या $am^2 = h - 2a$ मिलता है।
तीन वास्तविक अभिलंबों के लिए,$m$ में त्रिघात समीकरण के तीन वास्तविक मूल होने चाहिए।
यह तब होता है जब बिंदु $(h, 0)$ परवलय के इवोल्यूट के अंदर स्थित हो,जिसका अर्थ है $h > 2a$।
अतः,$x$-निर्देशांक $2a$ से बड़ा होना चाहिए।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
बिंदु $(a, 2a)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(2a) = 2a(x + a) \implies y = x + a \implies x - y + a = 0$ है।
बिंदु $(a, -2a)$ के लिए,स्पर्श रेखा $y(-2a) = 2a(x + a) \implies -y = x + a \implies x + y + a = 0$ है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x - y + a = 0$ और $x + y + a = 0$ हैं।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,नाभीय जीवा के अंतिम बिंदुओं को $(x_1, y_1) = (at^2, 2at)$ और $(x_2, y_2) = (a/t^2, -2a/t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
यहाँ,$x_1 = at^2$ और $x_2 = a/t^2$ है।
$x_1$ और $x_2$ का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $\sqrt{x_1 x_2}$ है।
इसलिए,$G.M.$ का वर्ग $(\sqrt{x_1 x_2})^2 = x_1 x_2$ होगा।
मान रखने पर,$x_1 x_2 = (at^2) \times (a/t^2) = a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$G.M.$ का वर्ग $a^2$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -8y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4ay$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-4a = -8
\implies a = 2$।
$x^2 = -4ay$ रूप वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $y = a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,नियता का समीकरण $y = 2$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4a(x + a)$ है।
माना $X = x + a$,तब $x = X - a$। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^2 = 4aX$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4aX$ को स्पर्श करने की शर्त $c' = \frac{a}{m}$ है,जहाँ $c'$ $Y$-अक्ष पर अंतःखंड है।
$y = mx + c$ में $x = X - a$ रखने पर,हमें $y = m(X - a) + c = mX + (c - am)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $y = mX + c'$ से करने पर,हमें $c' = c - am$ प्राप्त होता है।
$c'$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$c - am = \frac{a}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = am + \frac{a}{m}$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = -ay$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = -4Ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4A = a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = a/4$।
परवलय $x^2 = -4Ay$ नीचे की ओर खुलता है,जिसका शीर्ष $(0, 0)$ और नाभि $(0, -A)$ है।
परवलय $x^2 = -4Ay$ के लिए नियता का समीकरण $y = A$ होता है।
$A = a/4$ प्रतिस्थापित करने पर,नियता का समीकरण $y = a/4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है।
मान लीजिए $(x_1, y_1)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
$y^2 = 4ax$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1}$ है।
अभिलंब की लंबाई (subnormal) का सूत्र $|y_1 \cdot \frac{dy}{dx}|$ है।
ढाल का मान रखने पर,अभिलंब की लंबाई $= |y_1 \cdot \frac{2a}{y_1}| = 2a$ प्राप्त होती है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ है।
दी गई रेखा $x + y = K$ है,जिसे $y = -x + K$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = -1$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
इस समीकरण में $a = 3$ और $m = -1$ रखने पर:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - (3)(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$x + y = 9$
इसकी तुलना $x + y = K$ से करने पर,हमें $K = 9$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्र $y = x$ और $y^2 = 4x$ हैं।
$y = x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$m_1 = \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है।
$y^2 = 4x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
बिंदु $(4, 4)$ पर,ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 1/2}{1 + (1)(1/2)} \right| = \left| \frac{1/2}{3/2} \right| = \frac{1}{3}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(a, 2a)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{2a}{2a} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ है।
बिंदु $(a, 2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 2a = -1(x - a)$।
$y - 2a = -x + a$।
अतः,$x + y - 3a = 0$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $y^2 = 6x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 6$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6}{2y} = \frac{3}{y}$
अब,बिंदु $(2, -3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) ज्ञात करते हैं:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, -3)} = \frac{3}{-3} = -1$
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -3)$ से गुजरने वाली और $m = -1$ प्रवणता वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-3) = -1(x - 2)$
$y + 3 = -x + 2$
$x + y + 1 = 0$

(A) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = at^2$ और $y = 2at$ हैं।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के लंबवत होने के लिए,ढाल अपरिभाषित (अर्थात $\frac{dy}{dx} \to \infty$) होनी चाहिए।
यह तब होता है जब हर (denominator) $t = 0$ हो।
$t = 0$ को प्राचलिक समीकरणों में रखने पर:
$x = a(0)^2 = 0$
$y = 2a(0) = 0$
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 0)$ है।

(B) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^2 = 16x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 16$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{8}{4} = 2$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(1, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1)$।
$2$ से गुणा करने पर: $2y - 8 = -x + 1$,जिसे सरल करने पर $x + 2y = 9$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
बिंदु $(at^2, 2at)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
$1$. अधःस्पर्शक (Subtangent) की लंबाई = $|\frac{y}{m}| = |\frac{2at}{1/t}| = 2at^2$।
$2$. स्पर्श रेखा (Tangent) की लंबाई = $|y \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}| = |2at \sqrt{1 + t^2}| = 2at\sqrt{t^2 + 1}$।
$3$. अधोलंब (Subnormal) की लंबाई = $|y \cdot m| = |2at \cdot \frac{1}{t}| = 2a$।
$4$. अभिलंब (Normal) की लंबाई = $|y \sqrt{1 + m^2}| = |2at \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}}| = |2at \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t}| = 2a\sqrt{t^2 + 1}$।
अतः,लंबाइयाँ $2at\sqrt{t^2 + 1}, 2at^2, 2a\sqrt{t^2 + 1}, 2a$ हैं।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $x^2 = -4y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$।
बिंदु $(-4, -4)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-4, -4)} = -\frac{-4}{2} = 2$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (-4, -4)$ से गुजरने वाली और $m = 2$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y - (-4) = 2(x - (-4))$ प्राप्त होता है।
$y + 4 = 2(x + 4)$।
$y + 4 = 2x + 8$।
$2x - y + 4 = 0$।

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = at^2$ और $y = 2at$ हैं।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ है।
इसलिए,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
बिंदु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $(y - 2at) = \frac{1}{t}(x - at^2)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $t$ से गुणा करने पर,हमें $ty - 2at^2 = x - at^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $ty = x + at^2$ प्राप्त होता है।

(D) वक्रों के समीकरण $y^2 = 4x \dots (i)$ और $x^2 = 4y \dots (ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ से $x = y^2/4$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$(y^2/4)^2 = 4y \implies y^4/16 = 4y \implies y^4 - 64y = 0 \implies y(y^3 - 64) = 0$.
इससे $y = 0$ या $y = 4$ प्राप्त होता है। यदि $y = 0$,तो $x = 0$। यदि $y = 4$,तो $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4, 4)$ हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} = m_1$.
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = m_2$.
$(4, 4)$ पर: $m_1 = \frac{2}{4} = 1/2$ और $m_2 = \frac{4}{2} = 2$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + (2)(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = 3/4$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3/4)$।

(C) माना $P(x, y)$ परवलय $y = x^2$ पर एक बिंदु है और $Q(0, c)$ दिया गया बिंदु है।
चूंकि $P$ परवलय पर स्थित है,$y = x^2$। दूरी $PQ$ इस प्रकार है: $PQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - c)^2}$।
दूरी को न्यूनतम करने के लिए,हम $Z = PQ^2 = x^2 + (x^2 - c)^2$ को न्यूनतम करते हैं।
$Z = x^2 + x^4 - 2cx^2 + c^2 = x^4 + x^2(1 - 2c) + c^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dZ}{dx} = 4x^3 + 2x(1 - 2c) = 2x(2x^2 + 1 - 2c)$।
$\frac{dZ}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $c \leq \frac{1}{2}$ है,तो $x = 0$ एकमात्र वास्तविक समाधान है,और न्यूनतम दूरी $x = 0$ पर है,$PQ = \sqrt{0^2 + (0 - c)^2} = c$।
यदि $c > \frac{1}{2}$ है,तो $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ न्यूनतम मान देता है। $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ को $Z$ में रखने पर:
$Z = (\frac{2c - 1}{2}) + (\frac{2c - 1}{2} - c)^2 = \frac{2c - 1}{2} + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2c - 1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4c - 2 + 1}{4} = \frac{4c - 1}{4}$।
अतः,$PQ = \sqrt{\frac{4c - 1}{4}} = \frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$।

(B) माना परवलय पर एक बिंदु $(x, x^2)$ है। बिंदु $(0, c)$ से दूरी का वर्ग $d^2 = z = x^2 + (x^2 - c)^2$ द्वारा दिया जाता है।
माना $t = x^2$ है। चूँकि $0 \leq x \leq 5$,इसलिए $0 \leq t \leq 25$ है। तब $z = t + (t - c)^2 = t^2 + t(1 - 2c) + c^2$ होगा।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dz}{dt} = 2t + 1 - 2c$ प्राप्त होता है।
$\frac{dz}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $t = c - 1/2$ प्राप्त होता है।
यदि $0 \leq c - 1/2 \leq 25$ (अर्थात $1/2 \leq c \leq 51/2$),तो न्यूनतम दूरी $t = c - 1/2$ पर प्राप्त होती है।
न्यूनतम दूरी $= \sqrt{t + (t - c)^2} = \sqrt{(c - 1/2) + (-1/2)^2} = \sqrt{c - 1/2 + 1/4} = \sqrt{c - 1/4}$।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = t^2$ और $y = 2t$ हैं।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2$।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ है।
$t = 1$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{1}{1} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -1$ होगी।
$t = 1$ पर,बिंदु के निर्देशांक $x = (1)^2 = 1$ और $y = 2(1) = 2$ हैं।
$(1, 2)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण है:
$y - 2 = -1(x - 1)$
$y - 2 = -x + 1$
$x + y - 3 = 0$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y = \frac{a^3 x^2}{3} + \frac{a^2 x}{2} - 2a$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$.
अतः,शीर्ष $(h, k) = \left( -\frac{3}{4a}, -\frac{35a}{16} \right)$ है।
$h = -\frac{3}{4a} \Rightarrow a = -\frac{3}{4h}$ और $k = -\frac{35a}{16}$.
$a$ का मान रखने पर,$k = -\frac{35}{16} \left( -\frac{3}{4h} \right) = \frac{105}{64h}$.
इस प्रकार,$hk = \frac{105}{64}$,अतः बिंदुपथ $xy = \frac{105}{64}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ की नियता (directrix) $x = -a$ होती है,जो $x = -2$ है।
परवलय का एक मानक गुण यह है कि दो लंबवत स्पर्शरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु हमेशा नियता पर स्थित होता है।
चूंकि यह बिंदु दी गई स्पर्शरेखा $y = x + 2$ और नियता $x = -2$ दोनों पर स्थित है,इसलिए रेखा के समीकरण में $x = -2$ रखने पर:
$y = (-2) + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, 0)$ है।

(B) परवलय का नाभि $S = (0,0)$ है।
परवलय की नियता रेखा $x = 2$ है।
परवलय का अक्ष वह रेखा है जो नाभि से होकर गुजरती है और नियता के लंबवत होती है। चूँकि नियता $x = 2$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) है,इसलिए अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
परवलय का शीर्ष,नाभि और अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु होता है।
अक्ष $(y = 0)$ और नियता $(x = 2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,0)$ है।
शीर्ष $(0,0)$ और $(2,0)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0)$ है।
अतः,परवलय का शीर्ष $(1,0)$ पर स्थित है।

(D) परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,नियता का समीकरण $x = -a$ होता है।
दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ के लिए,$4a = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतः,नियता का समीकरण $x = -1$ है।
इस प्रकार,$P$ का बिंदुपथ $x = -1$ है।

(C) प्रथम परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 1$ है।
$y^2 = 4x$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{1}{m} \quad (1)$ है।
दूसरे परवलय का समीकरण $x^2 = -32y$ है,जो $x^2 = 4Ay$ के रूप में है,जहाँ $4A = -32$,अतः $A = -8$ है।
$x^2 = 4Ay$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - Am^2$ है। $A = -8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = mx - (-8)m^2 = mx + 8m^2 \quad (2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा दोनों परवलयों के लिए उभयनिष्ठ है,समीकरण $(1)$ और $(2)$ के अंतःखंडों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{m} = 8m^2$.
यह $8m^3 = 1$ में सरल होता है,जिसका अर्थ है $m^3 = \frac{1}{8}$।
घनमूल लेने पर,$m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) किसी बिंदु से वक्र की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है।
परवलय ${y^2} = 8x$ के लिए,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
बिंदु $P(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ पर परवलय का अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 2$ रखने पर,अभिलंब $y = -tx + 4t + 2t^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब वृत्त के केंद्र $C(0, -6)$ से गुजरता है,इसलिए:
$-6 = -t(0) + 4t + 2t^3
$ $\Rightarrow 2t^3 + 4t + 6 = 0
$ $\Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$।
निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है।
$t = -1$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(2(-1)^2, 4(-1)) = (2, -4)$ है।
दूरी $CP$ अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है:
$r^2 = CP^2 = (2 - 0)^2 + (-4 - (-6))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$।
केंद्र $P(2, -4)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 8$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 8
$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 8
$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 8y + 12 = 0$।

(A) परवलय का समीकरण ${y^2} = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$.
बिंदु $P(16, 16)$ के लिए,$y_1^2 = 16x_1$ है,जो संतुष्ट होता है।
$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,इसलिए $16y = 8(x + 16)$,जो सरल होकर $2y = x + 16$ हो जाता है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = -16$ मिलता है,इसलिए $A = (-16, 0)$.
$P(x_1, y_1)$ पर अभिलंब $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ है,इसलिए $y - 16 = -\frac{16}{8}(x - 16)$,जो सरल होकर $y - 16 = -2(x - 16)$ या $y = -2x + 48$ हो जाता है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$2x = 48$,इसलिए $x = 24$ मिलता है,अतः $B = (24, 0)$.
वृत्त $A(-16, 0)$,$B(24, 0)$ और $P(16, 16)$ से गुजरता है। चूंकि $A$ और $B$ $x$-अक्ष पर हैं,केंद्र $C$ का $x$-निर्देशांक $\frac{-16 + 24}{2} = 4$ होगा।
मान लीजिए $C = (4, k)$ है। चूंकि $CA = CP$,हमारे पास $(4 - (-16))^2 + (k - 0)^2 = (4 - 16)^2 + (k - 16)^2$ है।
$20^2 + k^2 = (-12)^2 + (k - 16)^2 \Rightarrow 400 + k^2 = 144 + k^2 - 32k + 256$.
$400 = 400 - 32k \Rightarrow k = 0$। अतः,$C = (4, 0)$।
$PC$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$।
$PB$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 24} = \frac{16}{-8} = -2$।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{4}{3} - (-2)}{1 + (\frac{4}{3})(-2)} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{8}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{-\frac{5}{3}} \right| = |-2| = 2$.

(A) परवलय के नाभिलंब की लंबाई $L.R. = 2 \times d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ नाभि $(x_1, y_1)$ से नियता $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी है।
दूरी $d$ की गणना $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ के रूप में की जाती है।
दी गई नाभि $(3, 3)$ और नियता $3x - 4y - 2 = 0$ के लिए:
$d = \left| \frac{3(3) - 4(3) - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{9 - 12 - 2}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{-5}{5} \right| = 1$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $L.R. = 2 \times 1 = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: ${y^2} - 2x - 2y + 5 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: ${y^2} - 2y = 2x - 5$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: ${y^2} - 2y + 1 = 2x - 5 + 1$
${(y - 1)^2} = 2x - 4$
${(y - 1)^2} = 2(x - 2)$
यह ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ के रूप में है,जहाँ $4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$,शीर्ष $(h, k) = (2, 1)$ है।
नाभि $(h + a, k) = (2 + \frac{1}{2}, 1) = (\frac{5}{2}, 1)$ है।
नियता $x = h - a = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(C) दिया गया है $x = t^2 + t + 1$ और $y = t^2 - t + 1$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1)$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x - y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x - y}{2}$।
$t$ का मान $x + y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + y = 2\left(\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 + 1\right) = 2\left(\frac{(x - y)^2}{4} + 1\right) = \frac{(x - y)^2}{2} + 2$।
$2$ से गुणा करने पर: $2(x + y) = (x - y)^2 + 4$।
विस्तार करने पर: $2x + 2y = x^2 - 2xy + y^2 + 4$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$।
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, h = -1, b = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$,इसलिए यह वक्र एक परवलय को दर्शाता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $L(1, 2)$ और $L'(1, -2)$ हैं।
$L(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 2(x + 1)$ है,जो सरल होकर $y = x + 1$ हो जाता है।
$L'(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $-2y = 2(x + 1)$ है,जो सरल होकर $y = -(x + 1)$ हो जाता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर:
$x + 1 = -(x + 1)$
$2(x + 1) = 0$
$x = -1$
$x = -1$ को $y = x + 1$ में रखने पर,हमें $y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 0)$ है।

(B) माना $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर दो बिंदु हैं।
तब $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ $T(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अब,$SP = \sqrt{(at_1^2 - a)^2 + (2at_1 - 0)^2} = a(t_1^2 + 1)$.
$SQ = a(t_2^2 + 1)$.
$ST = \sqrt{(at_1t_2 - a)^2 + (a(t_1 + t_2) - 0)^2} = a\sqrt{(1 + t_1^2)(1 + t_2^2)}$.
अतः,$ST^2 = a^2(1 + t_1^2)(1 + t_2^2) = SP \cdot SQ$.
चूँकि $ST^2 = SP \cdot SQ$,इसलिए $SP, ST, SQ$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। इस परवलय की नाभि $(a, 0)$ पर स्थित है।
रेखा $x - y - a = 0$ के समीकरण में नाभि के निर्देशांक $(a, 0)$ रखने पर,हमें $a - 0 - a = 0$ प्राप्त होता है,जो $0 = 0$ है।
अतः,यह रेखा नाभि से होकर गुजरती है,इसलिए यह परवलय की नाभि-जीवा (focal chord) है।
परवलय का एक मानक गुण यह है कि किसी भी नाभि-जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं नियता (directrix) पर समकोण $(\frac{\pi}{2})$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) परवलय ${y^2} = 4ax$ के लिए,$4a = 12$,अतः $a = 3$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,जो $(3, 6)$ और $(3, -6)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
बिंदु $(3, 6)$ के लिए,स्पर्श रेखा $6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3$ है।
बिंदु $(3, -6)$ के लिए,स्पर्श रेखा $-6y = 6(x + 3) \implies y = -(x + 3)$ है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर: $x + 3 = -(x + 3) \implies 2x + 6 = 0 \implies x = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि परवलय ${y^2} = 12x$ के लिए नियता का समीकरण $x = -a$ अर्थात $x = -3$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएँ नियता पर मिलती हैं।

(C) माना $P(at^2, 2at)$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर कोई बिंदु है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $T(-at^2, 0)$ पर मिलती है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $G(2a + at^2, 0)$ पर मिलता है।
नाभि $S$,$(a, 0)$ पर है।
$SP = \sqrt{(at^2 - a)^2 + (2at - 0)^2} = a(t^2+1)$.
$ST = |x_S - x_T| = |a - (-at^2)| = a(1 + t^2)$.
$SG = |x_G - x_S| = |(2a + at^2) - a| = a(1 + t^2)$.
अतः,$ST = SG = SP$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का ढाल रूप $y = mx - 2am - am^3$ है।
दिए गए परवलय $y^2 = x$ के लिए,$4a = 1$ है,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{4}$।
अभिलंब समीकरण में $a$ का मान रखने पर,हमें $y = mx - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(C, 0)$ से गुजरता है,हम $x = C$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = mC - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$।
यह $m(C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2) = 0$ में सरल हो जाता है।
एक हल $m = 0$ है। अन्य दो अभिलंबों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,द्विघात समीकरण $C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2 = 0$ के $m^2$ के लिए दो भिन्न वास्तविक हल होने चाहिए।
इसके लिए $C - \frac{1}{2} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $C > \frac{1}{2}$।

(B) बिंदुओं $(au^2, 2au)$ और $(av^2, 2av)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$y - 2au = \frac{2av - 2au}{av^2 - au^2}(x - au^2)$
$y - 2au = \frac{2a(v - u)}{a(v - u)(v + u)}(x - au^2)$
$y - 2au = \frac{2}{v + u}(x - au^2)$
चूंकि यह एक नाभीय जीवा है,इसलिए इसे नाभि $(a, 0)$ से गुजरना चाहिए।
समीकरण में $(a, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 - 2au = \frac{2}{v + u}(a - au^2)$
$-2au = \frac{2a(1 - u^2)}{v + u}$
$-u(v + u) = 1 - u^2$
$-uv - u^2 = 1 - u^2$
$-uv = 1$
$uv + 1 = 0$

(D) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ हैं।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{1}{t}$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $-t$ होगी।
बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 2at = -t(x - at^2)$
$tx + y = 2at + at^3$।
$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु $N$ के लिए $y = 0$ रखने पर:
$tx = 2at + at^3 \implies x = 2a + at^2$।
बिंदु $M$,$P$ का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप है,अतः $M$ के निर्देशांक $(at^2, 0)$ हैं।
अधोलंब (subnormal) की लंबाई $MN = |x_N - x_M| = |(2a + at^2) - at^2| = 2a$ है।

(B) शंकु परिच्छेद की उत्केंद्रता $e$ को बिंदु की नाभि से दूरी और नियता (directrix) से दूरी के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परवलय के लिए,नाभि से दूरी नियता से दूरी के बराबर होती है।
इसलिए,उत्केंद्रता $e = 1$ होती है।

(B) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$
चूंकि अभिलंब $x$-अक्ष को $(x + 1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है,हम $X = x + 1$ और $Y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 - y = -\frac{dx}{dy}(x + 1 - x)$
$-y = -\frac{dx}{dy}(1)$
$y = \frac{dx}{dy}$
$y \, dy = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int dx$
$\frac{y^2}{2} = x + C$
चूंकि शांकव मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = 0 + C$ है,इसलिए $C = 0$ है।
अतः,शांकव का समीकरण $y^2 = 2x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 2$ प्राप्त होता है,जो नाभिलंब की लंबाई है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $2$ है।

(B) विकल्प $(A): x = 3 \cos t, y = 4 \sin t$
$t$ को विलुप्त करने पर,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त (ellipse) है।
विकल्प $(B): x^2 - 2 = -2 \cos t \Rightarrow x^2 = 2 - 2 \cos t = 2(1 - \cos t)$.
साथ ही,$y = 4 \cos^2 \frac{t}{2} = 2(1 + \cos t)$.
पहले समीकरण से,$\cos t = 1 - \frac{x^2}{2}$.
$y$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y = 2(1 + 1 - \frac{x^2}{2}) = 2(2 - \frac{x^2}{2}) = 4 - x^2$.
यह $x^2 = -(y - 4)$ है,जो एक परवलय (parabola) है।
विकल्प $(C): \sqrt{x} = \tan t, \sqrt{y} = \sec t$
$\sec^2 t - \tan^2 t = 1$ का उपयोग करके $t$ को विलुप्त करने पर,$y - x = 1$ प्राप्त होता है,जो एक सीधी रेखा है।
विकल्प $(D): x = \sqrt{1 - \sin t}, y = \sin \frac{t}{2} + \cos \frac{t}{2}$
$x^2 = 1 - \sin t$ और $y^2 = 1 + \sin t$.
दोनों को जोड़ने पर,$x^2 + y^2 = 2$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श जीवा (chord of contact) का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और बिंदु $(2, 3)$ है,इसलिए स्पर्श जीवा का समीकरण $3y = 2(x + 2)$ है,जिसे $3y = 2x + 4$ या $x = \frac{3y - 4}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे परवलय के समीकरण $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 4(\frac{3y - 4}{2})$
$y^2 = 2(3y - 4)$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 2)(y - 4) = 0$
अतः,$y = 2$ या $y = 4$ है।
यदि $y = 2$ है,तो $x = \frac{3(2) - 4}{2} = 1$ है।
यदि $y = 4$ है,तो $x = \frac{3(4) - 4}{2} = 4$ है।
अतः स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ और $(4, 4)$ हैं।

(C) परवलय $y^2 = 4x$ के $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $P(h, k)$ से गुजरती है,इसलिए $k = mh + \frac{1}{m}$,जो $m^2h - mk + 1 = 0$ में बदल जाता है।
मान लीजिए $m_1 = \tan \theta_1$ और $m_2 = \tan \theta_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ और $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$ है।
दिया गया है कि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
सूत्र $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = 1$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर,$\frac{k/h}{1 - 1/h} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{k}{h-1} = 1 \Rightarrow k = h - 1$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y = x - 1$ या $x - y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है,जिसे $y + tx = 2t + t^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस अभिलंब की ढाल $-t$ है। दिया गया है कि अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अतः,$-t = 1$,जिससे $t = -1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at) = (1, -2)$ हैं।
यदि $t_1$ पर अभिलंब परवलय को पुनः $t_2$ पर मिलता है,तो $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ होता है।
$t_1 = -1$ रखने पर,हमें $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (3^2, 2(3)) = (9, 6)$ हैं।
अभिलंब जीवा $PQ$ की लंबाई बिंदु $P(1, -2)$ और $Q(9, 6)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.

(B) माना नाभीय जीवा के सिरों के प्राचल $t_1$ और $t_2$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
चूंकि यह एक नाभीय जीवा है,इसलिए प्राचलों का गुणनफल $t_1t_2 = -1$ होता है।
हमारे पास $x_1 = at_1^2$ और $x_2 = at_2^2$ है,अतः $x_1x_2 = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$।
हमारे पास $y_1 = 2at_1$ और $y_2 = 2at_2$ है,अतः $y_1y_2 = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$।
अतः,$x_1x_2 + y_1y_2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के $t_1$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को $t_2$ बिंदु पर काटता है,इसलिए $t_2 = -(t_1 + \frac{2}{t_1})$ संबंध प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_2^2 = (t_1 + \frac{2}{t_1})^2 = (t_1 - \frac{2}{t_1})^2 + 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(t_1 - \frac{2}{t_1})^2 \geq 0$,इसलिए $t_2^2 \geq 8$ होगा।

(A) माना उभयनिष्ठ नाभि $(h, k)$ है।
नाभि $(h, k)$ और नियता $L = 0$ वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = L^2$ होता है।
प्रथम परवलय के लिए नियता $y = 0$ ($x$-अक्ष) है,अतः समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = y^2$ है।
दूसरे परवलय के लिए नियता $x = 0$ ($y$-अक्ष) है,अतः समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = x^2$ है।
उभयनिष्ठ जीवा ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को घटाते हैं:
$((x - h)^2 + (y - k)^2 - y^2) - ((x - h)^2 + (y - k)^2 - x^2) = 0$
यह $x^2 - y^2 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $x^2 = y^2$,या $y = \pm x$।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की ढाल $m = 1$ और $m = -1$ है,जिसे $\pm 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $P(at^2, 2at)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है $....(1)$
परवलय की नाभि $S(a, 0)$ है।
स्पर्शरेखा $(1)$ के लंबवत और $S(a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $-t$ है। इसका समीकरण $tx + y = at$ है $....(2)$
शीर्ष $O(0, 0)$ और $P(at^2, 2at)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{2}{t}$ है। इसका समीकरण $y = \frac{2}{t}x$ या $2x - ty = 0$ है $....(3)$
$R(h, k)$ के बिंदुपथ के लिए,$(2)$ और $(3)$ से $t$ का विलोपन करने पर:
$(3)$ से,$t = \frac{2h}{k}$ प्राप्त होता है।
इसे $(2)$ में रखने पर: $(\frac{2h}{k})h + k = a(\frac{2h}{k})$।
$k$ से गुणा करने पर: $2h^2 + k^2 = 2ah$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $2x^2 + y^2 - 2ax = 0$ प्राप्त होता है।