Hyperbola Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $(x-3)^2+(y+1)^2=(4x+3y)^2$ है।
इसे $\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} = 5 \left| \frac{4x+3y}{5} \right|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $SP = ePM$ के रूप में है,जहाँ $S(3, -1)$ नाभि है,$e = 5$ उत्केंद्रता है और $4x+3y=0$ नियता है।
अनुप्रस्थ अक्ष वह रेखा है जो नाभि $(3, -1)$ से गुजरती है और नियता $4x+3y=0$ के लंबवत है।
नियता की ढाल $m_1 = -4/3$ है।
चूँकि अनुप्रस्थ अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = 3/4$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण $y - (-1) = \frac{3}{4}(x - 3)$ है।
$4(y+1) = 3(x-3) \implies 4y+4 = 3x-9 \implies 3x-4y = 13$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $7x^2 - 49y^2 = 343$ है।
दोनों पक्षों को $343$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{7x^2}{343} - \frac{49y^2}{343} = \frac{343}{343}$
$\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{7} = 1$।
इसे अतिपरवलय के मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 49$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 7$।
अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm a, 0)$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,शीर्ष $(\pm 7, 0)$ हैं।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है,नाभि $(S) = (1, 2)$,उत्केंद्रता $(e) = \sqrt{3}$ और नियता $2x + y - 1 = 0$ है।
शांकव की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$,जहाँ $P(x, y)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है।
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{2^2 + 1^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = \frac{3}{5}(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y)$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 3(4x^2 + y^2 + 4xy - 4x - 2y + 1)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 12x^2 + 3y^2 + 12xy - 12x - 6y + 3$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$2y^2 - 12xy - 7x^2 + 2x - 14y + 22 = 0$.

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए।
शीर्ष $A^{\prime}$ के निर्देशांक $(-a, 0)$ हैं।
नाभि $S$ $(ae, 0)$ है और नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L$ और $L^{\prime}$ $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
भुजा $LL^{\prime}$ की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है।
चूंकि $\triangle A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,$A^{\prime}$ से $LL^{\prime}$ पर लंब की लंबाई $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा की लंबाई} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$ है।
$A^{\prime}(-a, 0)$ से रेखा $x = ae$ की दूरी $a(e+1)$ है।
अतः,$a(e+1) = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}$।
$b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करने पर,$a(e+1) = \sqrt{3}a(e-1)(e+1)$ प्राप्त होता है।
$a(e+1)$ से विभाजित करने पर,$1 = \sqrt{3}(e-1)$ मिलता है,जिसका अर्थ है $e = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
समीकरण $(i)$ एक अतिपरवलय को दर्शाता है और समीकरण $(ii)$ इसके संयुग्मी अतिपरवलय को दर्शाता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ का मान $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2$ का मान $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ है।
हम जानते हैं कि संयुग्मी अतिपरवलयों के लिए,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{25/16} + \frac{1}{25/9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
अब,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{e_1^2 + e_2^2}{e_1^2 e_2^2} = 1$.
अतः,$\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2} = 1$।

(B) $(0,0)$ केंद्र और $X$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 12$ दी गई है,इसलिए $a = 6$ है।
$a=6$ को समीकरण में रखने पर,$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(8,2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{8^2}{36} - \frac{2^2}{b^2} = 1$ होगा।
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$.
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(B) माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$ है और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$ है।
अतः,उनके बीच का संबंध $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ है।
दिया गया है $e_1 = \frac{5}{3}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{(\frac{5}{3})^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25}$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = \frac{16}{25}$
$\Rightarrow e_2^2 = \frac{25}{16}$
चूंकि उत्केंद्रता हमेशा $1$ से बड़ी होती है,इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेंगे:
$e_2 = \frac{5}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{c-12} + \frac{y^2}{7-c} = 1$ है।
इस समीकरण के अतिपरवलय होने के लिए,हरों (denominators) का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $(c-12)(7-c) < 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $(c-12)(c-7) > 0$ प्राप्त होता है।
इस असमिका को हल करने पर,हमें $c < 7$ या $c > 12$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का सहायक वृत्त $x^2+y^2=a^2$ होता है।
$\therefore a^2=16 \Rightarrow a=4$.
अतिपरवलय $(4 \sqrt{2}, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\frac{(4 \sqrt{2})^2}{16} - \frac{3^2}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{32}{16} - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow 2 - \frac{9}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है।
रेखा $x - 2y + 5 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखाएँ इस रेखा पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढाल $m$ को $m \times \frac{1}{2} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिससे $m = -2$ प्राप्त होता है।
ढाल $m$ वाली अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = -2, a^2 = 3, b^2 = 2$ रखने पर,हमें $y = -2x \pm \sqrt{3(-2)^2 - 2} = -2x \pm \sqrt{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,दो स्पर्श रेखाएँ $2x + y - \sqrt{10} = 0$ और $2x + y + \sqrt{10} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|\sqrt{10} - (-\sqrt{10})|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{2}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - 9y^2 - 20x - 18y - 34 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $5(x - 2)^2 - 9(y + 1)^2 = 45$,अर्थात $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y + 1)^2}{5} = 1$।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - k = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ के अनुसार: $y + 1 = 1(x - 2) \pm \sqrt{9 - 5}$।
$y + 1 = x - 2 \pm 2$।
स्थिति $1$: $x - y - 1 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$।
स्थिति $2$: $x - y - 5 = 0 \implies b^2 + c^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 26$।
अतः,$b^2 + c^2 = 2$ या $26$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $3 \sqrt{2} x - 4 y = 12$ को $y = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ और अचर पद $-3$ है,इसलिए $\sqrt{a^2 m^2 - b^2} = 3$,जिसका अर्थ है $a^2 m^2 - b^2 = 9$।
$m^2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ रखने पर,हमें $\frac{9}{8} a^2 - b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ दी गई है,हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{25}{16} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जो $\frac{b^2}{a^2} = \frac{9}{16}$ या $b^2 = \frac{9}{16} a^2$ देता है।
स्पर्श रेखा की शर्त में $b^2$ का मान रखने पर: $\frac{9}{8} a^2 - \frac{9}{16} a^2 = 9$।
$16$ से गुणा करने पर: $18 a^2 - 9 a^2 = 144$,इसलिए $9 a^2 = 144$,जिसका अर्थ है $a^2 = 16$।
तब $b^2 = \frac{9}{16} \times 16 = 9$।
अंत में,$a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
नाभि $(ae, 0) = (3, 0)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का सिरा $(3, \frac{5}{2})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{3x}{4} - \frac{y}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x = \frac{4}{3}$,अतः $(OA)^2 = \frac{16}{9}$।
बिंदु $B$ के लिए $x=0$ रखने पर,$y = -2$,अतः $(OB)^2 = 4$।
अतः,$(OA)^2 - (OB)^2 = \frac{16}{9} - 4 = -\frac{20}{9}$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 2$।
साथ ही,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = 4 - a^2$।
चूंकि अतिपरवलय $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ है।
माना $u = a^2$। तब $\frac{2}{u} - \frac{3}{4 - u} = 1 \implies u^2 - 9u + 8 = 0$।
हल करने पर,$(u - 8)(u - 1) = 0$। $a^2 < 4$ होने के कारण,$a^2 = 1$।
तब $b^2 = 3$। समीकरण $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ है।
विकल्प $C$ के लिए,$x = 2\sqrt{2}$ और $y = 3\sqrt{3}$ रखने पर,$\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$।
अतः,बिंदु $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ स्पर्श रेखा पर स्थित है।

(A) रेखा $Ax + By = k$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करती है यदि $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ हो।
दिए गए अतिपरवलय $7x^2 - 5y^2 = 232$ को $\frac{x^2}{(232/7)} - \frac{y^2}{(232/5)} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{232}{7}$ और $b^2 = \frac{232}{5}$ है।
रेखा $21x + 5y = k$ है,इसलिए $A = 21$ और $B = 5$ है।
शर्त $k^2 = a^2 A^2 - b^2 B^2$ में मान रखने पर:
$k^2 = \left(\frac{232}{7}\right)(21)^2 - \left(\frac{232}{5}\right)(5)^2$
$k^2 = 232 \times 63 - 232 \times 5 = 232(58) = 13456$
$k = 116$.

(A) दो रेखाओं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $a^2l_1l_2 - b^2m_1m_2 = n_1n_2$ है।
दिए गए अतिपरवलय $5x^2 - 6y^2 = 15$ को $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5/2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = \frac{5}{2}$ है।
रेखाओं $2x - ky + 3 = 0$ और $3x - y + 1 = 0$ के लिए,$l_1 = 2, m_1 = -k, n_1 = 3$ और $l_2 = 3, m_2 = -1, n_2 = 1$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$3(2)(3) - (\frac{5}{2})(-k)(-1) = (3)(1)$
$18 - \frac{5}{2}k = 3$
$15 = \frac{5}{2}k$
$k = \frac{15 \times 2}{5} = 6$.

(B) अतिपरवलय पर बिंदु $P$ को $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ मानिए।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
रेखाएँ $L_1: bx - ay = 0$ और $L_2: bx + ay = 0$ हैं।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ और $bx = ay \implies y = \frac{bx}{a}$ को हल करें।
$y$ का मान रखने पर: $x(\frac{\sec \theta}{a} - \frac{\tan \theta}{a}) = 1 \implies x = a(\sec \theta + \tan \theta)$.
अतः $y = b(\sec \theta + \tan \theta)$। इसलिए $Q = (a(\sec \theta + \tan \theta), b(\sec \theta + \tan \theta))$।
$CQ^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta + \tan \theta)^2$.
इसी प्रकार,$R$ के लिए,$bx = -ay$ के साथ हल करने पर:
$x = a(\sec \theta - \tan \theta)$ और $y = -b(\sec \theta - \tan \theta)$।
$CR^2 = (a^2+b^2)(\sec \theta - \tan \theta)^2$.
$CQ \cdot CR = (a^2+b^2)|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta| = a^2+b^2$.

(B) रेखा का समीकरण $y=mx+2$ है ... $(i)$
अतिपरवलय का समीकरण $4x^2-9y^2=36$ है ... $(ii)$
$(ii)$ को $36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$a^2=9$,$b^2=4$,और $c=2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2^2 = 9m^2 - 4$
$4 = 9m^2 - 4$
$9m^2 = 8$
$m^2 = \frac{8}{9}$
$m = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(C) दिया गया अतिपरवलय $5x^2 - 9y^2 = 90$ है,जिसे $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{10} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 10$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{18m^2 - 10}$ है।
यदि यह स्पर्श रेखा $P(h, k)$ से गुजरती है,तो $(k - mh)^2 = 18m^2 - 10$।
इसे सरल करने पर $m^2(h^2 - 18) - 2mhk + (k^2 + 10) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ है।
$\alpha + \beta = 90^\circ$ होने के कारण,$m_1 m_2 = 1$ है।
समीकरण से,$m_1 m_2 = \frac{k^2 + 10}{h^2 - 18} = 1$।
अतः $h^2 - k^2 = 28$।
इस प्रकार,बिंदुपथ $x^2 - y^2 = 28$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 5$ और $b^2 = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ है।
बिंदु $(1,1)$ से गुजरने पर,$1 = m \pm \sqrt{5m^2 - 4}$ प्राप्त होता है।
अतः $(1 - m)^2 = 5m^2 - 4$,जिसे हल करने पर $4m^2 + 2m - 5 = 0$ मिलता है।
ढाल $m_1$ और $m_2$ के लिए,$m_1 + m_2 = -\frac{1}{2}$ और $m_1m_2 = -\frac{5}{4}$ है।
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan \theta = 2\sqrt{21}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = 2$ है।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = 3$,या $b^2 = 3a^2$।
अतिपरवलय $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1$।
$b^2 = 3a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2} = 1$ हो जाता है,इसलिए $\frac{4}{a^2} = 1$,जिसका अर्थ है $a^2 = 4$।
अतः $b^2 = 3(4) = 12$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x - \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x - y = 2$,या $2x - y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $(0, 1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 0)$ यानी $y = mx + 1$ है।
अतिपरवलय $45x^2 - 4y^2 = 5$ में मान रखने पर:
$45x^2 - 4(mx + 1)^2 = 5$
$(45 - 4m^2)x^2 - 8mx - 9 = 0$
स्पर्श रेखा के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$(-8m)^2 - 4(45 - 4m^2)(-9) = 0$
$64m^2 + 1620 - 144m^2 = 0$
$80m^2 = 1620$ $\Rightarrow m^2 = \frac{81}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{9}{2}$
$m = \frac{9}{2}$ रखने पर,$y = \frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x - 2y + 2 = 0$
$m = -\frac{9}{2}$ रखने पर,$y = -\frac{9}{2}x + 1 \Rightarrow 9x + 2y - 2 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
दी गई स्पर्श रेखा $y = x + \sqrt{2}$ के लिए,$m = 1$ और $c = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\sqrt{2})^2 = a^2(1)^2 - 2$ $\Rightarrow 2 = a^2 - 2$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
चूँकि $a = 2$ है,इसलिए $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3/2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$।

(D) मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय $H$ पर कोई बिंदु है। नाभि $S(1, 2)$ है और नियता $x+y+1=0$ है।
शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,$\frac{PS}{PM} = e$,जहाँ $e = \sqrt{3}$ उत्केंद्रता है और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
अतः,$PS^2 = e^2 PM^2$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 \left( \frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}} \right)^2$.
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 3 \left( \frac{(x+y+1)^2}{2} \right)$.
$2(x^2+y^2-2x-4y+5) = 3(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y)$.
$2x^2+2y^2-4x-8y+10 = 3x^2+3y^2+6xy+6x+6y+3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2(x-1) - (y-2) \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{y-2}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x=2$ दिया गया है,जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होना चाहिए,जिसका अर्थ है हर $y-2 = 0$,इसलिए $y=2$।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ स्पर्श रेखा $x=2$ पर स्थित है,इसलिए $h=2$ है।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$y=k=2$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर $\frac{(x-1)^2}{1} - 0 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $(x-1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x-1 = \pm 1$।
अतः $x=2$ या $x=0$। चूंकि $h=2$ है,इसलिए $k=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$h+k = 2+2 = 4$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण: $3x^2 - 4y^2 = 300$.
$300$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 100$ और $b^2 = 75$.
रेखा $3x - my + 5 = 0$ को $y = \frac{3}{m}x + \frac{5}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = Mx + c$ से तुलना करने पर,$M = \frac{3}{m}$ और $c = \frac{5}{m}$.
स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2M^2 - b^2$ का उपयोग करने पर: $(\frac{5}{m})^2 = 100(\frac{3}{m})^2 - 75$.
$\frac{25}{m^2} = \frac{900}{m^2} - 75$.
$75 = \frac{875}{m^2} \Rightarrow m^2 = \frac{35}{3}$.
$Y$-अंतःखंड का वर्ग $c^2 = \frac{25}{m^2} = 25 \times \frac{3}{35} = \frac{15}{7}$.

(C) रेखा $y=x$ के लंबवत रेखा की ढाल $-1$ है। अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -x + c$ या $x + y - c = 0$ है।
दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 18$ है,जिसे मानक रूप में $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{9} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 18$ और $b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा $y = mx + c$ की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $c^2 = 18(-1)^2 - 9 = 18 - 9 = 9$,इसलिए $c = \pm 3$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x + y + 3 = 0$ और $x + y - 3 = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|3 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ इकाई।

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_0, y_0)$ है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 2$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
यह एक ज्ञात गुण है कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = k$ पर किसी भी बिंदु के लिए,स्पर्श जीवा और अनंतस्पर्शी द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिर होता है और यह $a b k$ के बराबर होता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए क्षेत्रफल $a b (2) = 2ab$ होगा।

(B) दिया गया वक्र $x=a \cosh(t)$ और $y=b \sinh(t)$ है,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ को दर्शाता है।
बिंदु $t$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{b \cosh(t)}{a \sinh(t)}$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $-\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)}$ होगी।
बिंदु $(a \cosh(t), b \sinh(t))$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - b \sinh(t) = -\frac{a \sinh(t)}{b \cosh(t)} (x - a \cosh(t))$।
सरल करने पर:
$ax \operatorname{sech}(t) + by \operatorname{cosech}(t) = a^2+b^2$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 2$ है।
इन मानों को नियामक वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 4 - 2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ पर स्थित है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$16(x - 3)^2 - 25(y - 2)^2 = 400$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
स्पर्श रेखा अनुप्रस्थ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $Y = mX \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है,जहाँ $X = x - 3$ और $Y = y - 2$ है।
मान रखने पर,$y - 2 = 1(x - 3) \pm \sqrt{25(1)^2 - 16} = x - 3 \pm 3$।
अतः $y - 2 = x$ या $y - 2 = x - 6$।
जो $x - y + 2 = 0$ या $x - y - 4 = 0$ देता है।
अतः विकल्प $A$ सही है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (2 a \sec \theta, 3 b \tan \theta)$ है।
$(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_0}{4 a^2} - \frac{y y_0}{9 b^2} = 1$ है।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{x (2 a \sec \theta)}{4 a^2} - \frac{y (3 b \tan \theta)}{9 b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x \sec \theta}{2 a} - \frac{y \tan \theta}{3 b} = 1$ हो जाता है।
अक्षों पर अंतःखंड $x = 2 a \cos \theta$ और $y = -3 b \cot \theta$ हैं।
चूंकि अंतःखंड इकाई लंबाई के हैं,इसलिए $|2 a \cos \theta| = 1$ और $|-3 b \cot \theta| = 1$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2 a}$ और $\cot \theta = -\frac{1}{3 b}$ है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\cot^2 \theta} = 1$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$(2 a)^2 - (-3 b)^2 = 1$,जिससे $4 a^2 - 9 b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बिंदु $(a, b)$ का बिंदुपथ $4 x^2 - 9 y^2 = 1$ है।

(B) माना अभिलंब जीवा के सिरे $P(a \sec \theta_1, b \tan \theta_1)$ और $Q(a \sec \theta_2, b \tan \theta_2)$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta_1}{a} - \frac{y \tan \theta_1}{b} = 1$ है।
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $\frac{a^4}{x^2} - \frac{b^4}{y^2} = (a^2 + b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5 x^2-7 y^2-35=0$ ... $(i)$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$10 x-14 y \cdot y^{\prime}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime}=\frac{5 x}{7 y}$।
बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5 h}{7 k}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा $\sqrt{2} x-y+\lambda=0$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $\sqrt{2}$ है।
अतः,$\frac{5 h}{7 k} = \sqrt{2} \Rightarrow h = \frac{7 \sqrt{2} k}{5}$।
चूंकि $P(h, k)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$5 h^2-7 k^2-35=0$।
$h^2 = \frac{49 \times 2 k^2}{25} = \frac{98 k^2}{25}$ को अतिपरवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \left(\frac{98 k^2}{25}\right) - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2}{5} - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2 - 35 k^2}{5} = 35$ $\Rightarrow 63 k^2 = 175$ $\Rightarrow k^2 = \frac{175}{63} = \frac{25}{9}$।
चूंकि $P$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,$k$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = -\frac{5}{3}$।
तब $h^2 = \frac{98}{25} \times \frac{25}{9} = \frac{98}{9}$।
अंत में,$3 h^2 - 2 k = 3 \left(\frac{98}{9}\right) - 2 \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{98}{3} + \frac{10}{3} = \frac{108}{3} = 36$।

(A) अनंतस्पर्शी $2x + 3y = 0$ और $3x + 2y = 0$ के समांतर अतिपरवलय का समीकरण $(2x + 3y + c_1)(3x + 2y + c_2) = k$ है।
चूंकि केंद्र $(1, 2)$ है,रेखाएं $(1, 2)$ से गुजरती हैं।
पहली रेखा के लिए: $2(1) + 3(2) + c_1 = 0 \implies c_1 = -8$.
दूसरी रेखा के लिए: $3(1) + 2(2) + c_2 = 0 \implies c_2 = -7$.
अतः समीकरण $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = k$ है।
बिंदु $(5, 3)$ रखने पर:
$(2(5) + 3(3) - 8)(3(5) + 2(3) - 7) = k$
$(11)(14) = k \implies k = 154$.
अतः समीकरण $(2x + 3y - 8)(3x + 2y - 7) = 154$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ है।
दिए गए समीकरण $3x + 2\sqrt{2}y = -k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -13\sqrt{2}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $xy = 16$ है। $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ है। $(8, 2)$ पर,ढाल $m = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m} = 4$ है।
$(8, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = 4(x - 8)$ है,जो $y = 4x - 30$ में सरल हो जाता है।
अतिपरवलय के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,$y = 4x - 30$ को $xy = 16$ में प्रतिस्थापित करें:
$x(4x - 30) = 16 \implies 4x^2 - 30x - 16 = 0 \implies 2x^2 - 15x - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x + 1)(x - 8) = 0$.
मूल $x = 8$ (मूल बिंदु) और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।
$x = \alpha = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\beta = \frac{16}{\alpha} = \frac{16}{-1/2} = -32$ प्राप्त होता है।
हमें $|\beta| + \frac{1}{|\alpha|} = |-32| + \frac{1}{|-1/2|} = 32 + 2 = 34$ की गणना करनी है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $P$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ है।
दिया है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
अतः,दूसरा अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - ky^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{12/5} - \frac{y^2}{12/k} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{12}{5}$ और $b^2 = \frac{12}{k}$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
रेखा $5x - 2y - 6 = 0$ को $y = \frac{5}{2}x - 3$ के रूप में लिखने पर,$m = \frac{5}{2}$ और $c = -3$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(-3)^2 = \frac{12}{5} \times (\frac{5}{2})^2 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow 9 = 15 - \frac{12}{k}$ $\Rightarrow k = 2$.
अब,अतिपरवलय $5x^2 - 2y^2 = 12$ है। बिंदु $(\sqrt{6}, p)$ इस पर स्थित है,अतः $5(6) - 2p^2 = 12 \Rightarrow p^2 = 9$। चूँकि $p < 0$,इसलिए $p = -3$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{(12/5)x}{\sqrt{6}} + \frac{6y}{-3} = \frac{12}{5} + 6 \Rightarrow \sqrt{6}x - 5y = 21$।

(B) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 1$ है,जहाँ $a=1$ और $b=1$ है।
अतिपरवलय पर बिंदु $P(\theta)$ के निर्देशांक $(\sec \theta, \tan \theta)$ हैं।
$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ पर,बिंदु $P$ $(\sec \frac{\pi}{4}, \tan \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}, 1)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \sin \theta$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है।
$P(\sqrt{2}, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 1 = -\sqrt{2}(x - \sqrt{2})$ अर्थात $y = -\sqrt{2}x + 3$ है।
इसे अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$x^2 - (-\sqrt{2}x + 3)^2 = 1$
$x^2 - 6\sqrt{2}x + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि मूल $x_1 = \sqrt{2}$ है,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = 10$,इसलिए $x_2 = 5\sqrt{2}$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,$x_2 = \sec \theta_2 = 5\sqrt{2}$ है।
अतः $\tan^2 \theta_2 = \sec^2 \theta_2 - 1 = 50 - 1 = 49$,इसलिए $\tan \theta_2 = 7$ है।
इस प्रकार,$\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2 = 50 + 7 = 57$ है।

(B) अतिपरवलय $xy=4$ के लिए बिंदु $(2t, 2/t)$ पर अभिलंब का समीकरण $2t^4 - xt^3 + yt - 2 = 0$ है।
यह अभिलंब $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $2t^4 - at^3 + bt - 2 = 0$।
माना मूल $t_1, t_2, t_3, t_4$ हैं,जहाँ $\alpha_i = 2t_i$ और $\beta_i = 2/t_i$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\sum \alpha_i = a$,$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = -16$ और $\sum \beta_i = b$।
अतः,$\frac{\sum \alpha_i}{\sum \beta_i} (\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4) = \frac{a}{b} (-16) = -16 \frac{a}{b}$।

(D) अभिलंब का दिया गया समीकरण $lx + my = 1$ है,जिसे $y = -(\frac{l}{m})x + \frac{1}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = Mx + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $M = -\frac{l}{m}$ और $C = \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = Mx + C$ के अभिलंब होने की शर्त $C^2 = \frac{M^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 M^2 - b^2}$ है।
$M$ और $C$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{1}{m})^2 = \frac{(-\frac{l}{m})^2(a^2 + b^2)^2}{a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{\frac{l^2}{m^2}(a^2 + b^2)^2}{\frac{a^2 l^2 - b^2 m^2}{m^2}}$
$\frac{1}{m^2} = \frac{l^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 l^2 - b^2 m^2}$
$a^2 l^2 - b^2 m^2 = l^2 m^2(a^2 + b^2)^2$.

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के निदेशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
दिया गया निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है,इसलिए $a^2 - b^2 = 16$ $(i)$.
अतिपरवलय के केंद्र $(0,0)$ से उसके नाभिलंब की लंबवत दूरी $ae$ होती है।
दिया है $ae = \sqrt{34}$,इसलिए $c^2 = a^2 + b^2 = 34$ $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $(a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + 34$ $\Rightarrow 2a^2 = 50$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
$a^2 = 25$ को $(ii)$ में रखने पर: $25 + b^2 = 34$ $\Rightarrow b^2 = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
अतः,$a + b = 5 + 3 = 8$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,जहाँ $a^2e^2 = a^2+b^2$ है।
नाभियों को जोड़ने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
यह रेखा वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{a^2+b^2}$ के बराबर होगी।
$\frac{|-a^2b^2|}{\sqrt{b^4x_1^2 + a^4y_1^2}} = \sqrt{a^2+b^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x_1^2}{a^4} + \frac{y_1^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2+b^2}$ है।

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
माना $(h, k)$ अतिपरवलय की जीवा $PQ$ का ध्रुव है।
स्पर्श-जीवा $PQ$ का समीकरण $\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}=1$ है।
मूल बिंदु को अतिपरवलय और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम जीवा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघातीय बनाते हैं:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}\right)^2$.
चूंकि जीवा $PQ$ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
सरलीकरण करने पर: $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{h^2}{a^4}\right) + \left(-\frac{1}{b^2}-\frac{k^2}{b^4}\right) = 0$.
$\Rightarrow \frac{h^2}{a^4} + \frac{k^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(h, k)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ की अभिलंब जीवा के सिरों पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। स्पर्श रेखा का समीकरण $hx - ky = a^2$ है। इसे अभिलंब के समीकरण $x \cos \theta + y \cot \theta = 2a$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a^2(y^2 - x^2) = 4x^2y^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(h, k)$ अभिलंब जीवा के अंत बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए अभिलंब जीवा का समीकरण $ax \sec \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(h, k)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{hx}{a^2}-\frac{ky}{b^2}=1$ है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a \sec \theta}{h/a^2} = \frac{b \tan \theta}{-k/b^2} = a^2+b^2$
$\sec \theta = \frac{h(a^2+b^2)}{a^3}$ और $\tan \theta = \frac{-k(a^2+b^2)}{b^3}$ प्राप्त होता है।
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{a^6}{x^2}-\frac{b^6}{y^2}=(a^2+b^2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$(i) \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$
$(ii) \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$
$(i)$ से,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\sqrt{3}x \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) + y \left(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}\right) = 4\sqrt{3}$
$\frac{3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2}{4\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
$3x^2 - y^2 = 48$
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$.
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{48}{16} = 4$.
अतः,$4e^2 = 4(4) = 16$.