Hyperbola Questions in Hindi

(B) दी गई दो रेखाओं के समीकरण:
$x \sqrt{3}-y=k \sqrt{3} \quad ...(1)$
$\sqrt{3} k x+k y=\sqrt{3} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ से,$k = \frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $(2)$ से,$k = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$।
दोनों समीकरणों से $k$ के मानों की तुलना करने पर:
$\frac{x \sqrt{3}-y}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} x+y}$
$(x \sqrt{3}-y)(\sqrt{3} x+y) = (\sqrt{3})(\sqrt{3})$
$3x^{2} - y^{2} = 3$
$3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यह अतिपरवलय का मानक समीकरण है,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूंकि $2x+3y-6=0$ एक नाभीय जीवा है,यह नाभि $(ae, 0)$ से होकर गुजरती है।
नाभि के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(ae) + 3(0) - 6 = 0$
$2ae = 6$
$ae = 3$
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ दी गई है,इसलिए:
$a \times \frac{5}{4} = 3$
$a = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है।
$2a = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(D) दिए गए समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ और $xy=c^{2}$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y = \frac{c^{2}}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + (\frac{c^{2}}{x})^{2} = a^{2}$
$x^{2} + \frac{c^{4}}{x^{2}} = a^{2}$
$x^{4} - a^{2}x^{2} + c^{4} = 0$
यह $x$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। इसके मूल $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ हैं।
इसे मानक रूप $Ax^{4} + Bx^{3} + Cx^{2} + Dx + E = 0$ से तुलना करने पर,हमें $B=0$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -\frac{B}{A} = 0$ है।

(D) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
चूंकि उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है,इसलिए $2a(\sqrt{2}) = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 32$ और $b^2 = 32$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $= 2ae$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $= \frac{2a}{e}$ है।
दिया गया अनुपात $3: 2$ है,इसलिए $\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$।
इसे सरल करने पर $e^{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
$e^{2} = \frac{3}{2}$ रखने पर,$1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2}$।
$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $a: b = \sqrt{2}: 1$।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=4$ है।
$4$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=4$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$,अतः $4=4(e^{2}-1)$,जिससे $e^{2}-1=1$,अर्थात $e^{2}=2$ और $e=\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
फोकस के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ हैं।
फोकस $(2\sqrt{2}, 0)$ और निकटतम नियता $x = \sqrt{2}$ पर विचार करें।
उनके बीच की दूरी $|2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $3x^{2} - 3y^{2} = 25$ है,जिसे $x^{2} - y^{2} = \frac{25}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^{2} = \frac{25}{3}$ और $b^{2} = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ है,अर्थात $-x^{2} + y^{2} = \frac{25}{3}$।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{2} = \sqrt{1 + \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{25/3}{25/3}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण: $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1$.
$k^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y^{2}}{k^{2}} = \frac{x^{2}-36}{36}$
$k^{2} = \frac{36y^{2}}{x^{2}-36}$.
चूंकि $k^{2} > 0$,इसलिए $x^{2}-36 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^{2} > 36$ या $|x| > 6$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$. $(-3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (असत्य)
$B$. $(3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (असत्य)
$C$. $(10, 4) \Rightarrow x^{2} = 100 > 36$ (सत्य)
$D$. $(5, 2) \Rightarrow x^{2} = 25 < 36$ (असत्य)
अतः,बिंदु $(10, 4)$ अतिपरवलय पर स्थित हो सकता है।

(A) दिया गया है,$x-y=1$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ (ii)।
$(i)$ से $y=x-1$ का मान (ii) में रखने पर:
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{3}=1$
$12$ से गुणा करने पर:
$3x^{2}-4(x-1)^{2}=12$
$3x^{2}-4(x^{2}-2x+1)=12$
$3x^{2}-4x^{2}+8x-4=12$
$-x^{2}+8x-16=0$
$x^{2}-8x+16=0$
$(x-4)^{2}=0$
$x=4$।
$x=4$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$4-y=1 \Rightarrow y=3$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4,3)$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ है।
इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-4, 0)$ अतिपरवलय पर स्थित है क्योंकि $\frac{(-4)^{2}}{16} - \frac{0^{2}}{9} = 1$ है।
किसी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{9x}{16y}$ है।
$(-4, 0)$ पर,स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर $(x = -4)$ है,इसलिए अभिलंब एक क्षैतिज रेखा होगी।
अतः,अभिलंब का समीकरण $y = 0$ है।

(D) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शियों का समीकरण $3x \pm 5y = 0$ दिया गया है।
अतिपरवलय का समीकरण $(3x + 5y)(3x - 5y) = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
यह सरल होकर $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ बन जाता है।
चूँकि अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm 5, 0)$ हैं,इसलिए बिंदु $(5, 0)$ अतिपरवलय के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ में $(x, y) = (5, 0)$ रखने पर:
$9(5)^2 - 25(0)^2 = \lambda$
$9(25) = \lambda$
$\lambda = 225$
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $9x^2 - 25y^2 = 225$ है।

(A) बिंदुओं $(ct_1, c/t_1)$ और $(ct_2, c/t_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{\frac{c}{t_2} - \frac{c}{t_1}}{ct_2 - ct_1} = \frac{c(t_1 - t_2)}{t_1 t_2} \cdot \frac{1}{c(t_2 - t_1)} = -\frac{1}{t_1 t_2}$
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - \frac{c}{t_1} = -\frac{1}{t_1 t_2}(x - ct_1)$
दोनों पक्षों को $t_1 t_2$ से गुणा करने पर:
$t_1 t_2 y - ct_2 = -(x - ct_1)$
$t_1 t_2 y - ct_2 = -x + ct_1$
$x + t_1 t_2 y = c(t_1 + t_2)$

(A) माना $P(x, y)$ एक बिंदु है। दिया गया है $A(4, 0)$ और $B(-4, 0)$.
शर्त $PA - PB = 4$ के अनुसार.
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $3x^2 - y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{1} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 1$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{9m^2 - 1}$ है। चूँकि यह $(3, 2)$ से गुजरती है,$2 = 3m \pm \sqrt{9m^2 - 1}$.
$(2 - 3m)^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 4 - 12m + 9m^2 = 9m^2 - 1$ $\Rightarrow 12m = 5$ $\Rightarrow m = \frac{5}{12}$.
दूसरी स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है (क्योंकि बिंदु $(3, 2)$ रेखा $x = 3$ पर स्थित है)।
पहली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{12}(x - 3) \Rightarrow 5x - 12y + 9 = 0$ है।
बिंदु $(3, 2)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{3x}{9} - \frac{2y}{1} = 1 \Rightarrow x - 6y = 3$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(3, 2)$,$(3, 0)$ और $(-5, -4/3)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(0 - (-4/3)) + 3(-4/3 - 2) + (-5)(2 - 0)| = 8$ वर्ग इकाई।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ की उत्केंद्रता $e'$ इस प्रकार है:
$e' = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता $e$,$e'$ का व्युत्क्रम है,इसलिए:
$e = \frac{1}{e'} = \sqrt{2}$
अतिपरवलय के लिए $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$,अतः:
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2} \implies 1 + \frac{b^2}{a^2} = 2 \implies b^2 = a^2$
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $(5, 4)$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 3 = 6$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x = \frac{a}{2} (t + \frac{1}{t}) \dots (i)$
$y = \frac{a}{2} (t - \frac{1}{t}) \dots (ii)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$x^2 - y^2 = \frac{a^2}{4} (t + \frac{1}{t})^2 - \frac{a^2}{4} (t - \frac{1}{t})^2$
$= \frac{a^2}{4} [(t^2 + \frac{1}{t^2} + 2) - (t^2 + \frac{1}{t^2} - 2)]$
$= \frac{a^2}{4} [t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 - t^2 - \frac{1}{t^2} + 2]$
$= \frac{a^2}{4} (4) = a^2$
अतः,कार्तीय रूप $x^2 - y^2 = a^2$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ और $(ae, -b^2/a)$ हैं।
मान लीजिए कि केंद्र $(0,0)$ पर नाभिलंब द्वारा बनाया गया कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ है।
दिया गया है कि $2\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$,इसलिए $\tan \theta = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $b^2 = 36$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a^2e = 24$ है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,इसलिए $36 = a^2e^2 - a^2$ है। चूंकि $a^2e = 24$ है,$a^2 = \frac{24}{e}$ है।
$a^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$ प्राप्त होता है।
$12$ से विभाजित करने पर,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(2e+1)(e-2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e > 1$ है,इसलिए $e = 2$ है।
तब $a^2 = \frac{24}{2} = 12$ है।
अंत में,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ है।

(C) नाभियाँ $F_1(8,3)$ और $F_2(0,3)$ हैं। अतिपरवलय का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{8+0}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4,3)$। अतः,$\alpha = 4$ और $\beta = 3$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8 - 0 = 8$ है। $e = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $2a(\frac{4}{3}) = 8$,जिसका अर्थ है $a = 3$।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 3^2((\frac{4}{3})^2 - 1) = 9(\frac{16}{9} - 1) = 9(\frac{7}{9}) = 7$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ में,$p = a^2 = 9$ और $q = b^2 = 7$ है।
अतः,$p+q = 9+7 = 16$ है।
चूंकि $\alpha = 4$ और $\beta = 3$ है,इसलिए $\alpha^2 = 16$। अतः,$p+q = \alpha^2$।

(A) माना अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 26$ है,इसलिए $ae = 13$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{50}{13}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{25}{13}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{25e}{13}$।
$a$ का मान $ae = 13$ में रखने पर: $(\frac{25e}{13})e = 13 \implies e^2 = \frac{169}{25} \implies e = \frac{13}{5}$।
अब,$a = \frac{25}{13} \times \frac{13}{5} = 5$।
चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,हमारे पास $b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$ है,इसलिए $b = 12$।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
इसकी उत्केंद्रता $e'$ के लिए $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$।
अतः,$e' = \sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{13}{12}$।

(C) उत्केंद्रता $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ दी गई है। हर का परिमेयकरण करने पर,$e = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $(0,0)$ पर नाभिलंब द्वारा अंतरित कोण $\theta$ के लिए $\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ होता है।
$b^2 = a^2(e^2-1)$ का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{a^2(e^2-1)}{a^2e} = \frac{e^2-1}{e}$ प्राप्त होता है।
$e = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ दिया गया है,इसलिए $e^2 = \frac{7+3+2\sqrt{21}}{4} = \frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$.
अतः,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{\frac{5+\sqrt{21}}{2} - 1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}} = \frac{3+\sqrt{21}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{7})}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\theta = 120^{\circ}$।
इसलिए,$\sin \theta = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ,$b^2 = 4$,इसलिए $b = 2$ है।
चूँकि वृत्त अतिपरवलय के साथ संकेंद्रित है और इसकी नाभियों $(\pm c, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या केंद्र $(0, 0)$ से नाभियों की दूरी है।
अतः,$c = 4$ है।
संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर,$16 = a^2 + 4$,जिससे $a^2 = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 2 \sqrt{3}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ है।
इस संयुग्मी अतिपरवलय के लिए,अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $b = 2$ और अर्ध-संयुग्मी अक्ष $a = 2 \sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $e'$ संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता है। संयुग्मी अतिपरवलय के लिए $c'^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16$,इसलिए $c' = 4$ है।
उत्केंद्रता $e'$ का मान $c' = b e'$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$4 = 2 e'$,जिससे $e' = 2$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4, -2 \sqrt{3})$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$,जो सरल होकर $16(e^2 - 1) - 12 = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow 16e^2 - 28 = a^2(e^2 - 1) \quad (i)$ बनता है।
नियता $x = \frac{a}{e}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}} \Rightarrow a^2 = \frac{16e^2}{5} \quad (ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $16e^2 - 28 = \frac{16e^2}{5}(e^2 - 1)$।
$5$ से गुणा करने पर: $80e^2 - 140 = 16e^4 - 16e^2 \Rightarrow 16e^4 - 96e^2 + 140 = 0$।
$4$ से भाग देने पर: $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$।
$e^2$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2e^2 - 7)(2e^2 - 5) = 0$।
अतः,$e^2 = \frac{7}{2}$ या $e^2 = \frac{5}{2}$।
विकल्पों के अनुसार,$e^2 = \frac{7}{2}$ सही उत्तर है।

(D) : नाभियों के बीच की दूरी उसकी नियताओं के बीच की दूरी की तीन गुनी है।
$2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$ $\Rightarrow e^2 = 3$ $\Rightarrow e = \sqrt{3} \approx 1.732$
$B$: अनुप्रस्थ अक्ष,संयुग्मी अक्ष की दोगुनी है।
$2a = 2(2b)$ $\Rightarrow a = 2b$ $\Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
हम जानते हैं कि $a^2e^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.
$e^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$
$C$: अनंतस्पर्शियों की ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = 1$ है।
चूंकि $m_1 \cdot m_2 = -1$,यह एक आयताकार अतिपरवलय है।
$e = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $1.732 > 1.414 > 1.118$.
अतः,अवरोही क्रम $A, C, B$ है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ है।
इसके संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2 = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$ है।
दी गई रेखा $\frac{x}{2 e_1} + \frac{y}{2 e_2} = 1$ है।
$e_1$ और $e_2$ के मान रखने पर:
$\frac{ax}{2\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{by}{2\sqrt{a^2+b^2}} = 1$
$ax + by = 2\sqrt{a^2+b^2}$.
चूंकि यह रेखा मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र वाले वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए मूल बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|2\sqrt{a^2+b^2}|}{\sqrt{a^2+b^2}} = 2$.
अतः,त्रिज्या $2$ है।

(A) शंकु परिच्छेद का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
इस समीकरण के अतिपरवलय होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
माना $A = \frac{1}{7 - k}$ और $B = \frac{1}{5 - k}$ है।
अतिपरवलय के लिए,$A \times B < 0$ होना चाहिए।
$\left( \frac{1}{7 - k} \right) \left( \frac{1}{5 - k} \right) < 0$
हर को सरल बनाने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$\left( \frac{1}{k - 7} \right) \left( \frac{1}{k - 5} \right) < 0$
चिह्न योजना विधि का उपयोग करने पर,गुणनफल तब ऋणात्मक होता है जब $k$ का मान $5$ और $7$ के बीच हो।
अतः,$5 < k < 7$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=9$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ है। नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=16$ है। उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है। नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।
ये चार बिंदु $(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 5)$ एक समचतुर्भुज बनाते हैं जिसके विकर्णों की लंबाई $10$ और $10$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ वर्ग इकाई।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - 6y^2 = 30$ है,जिसे $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 6$ और $b^2 = 5$ है।
माना स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। चूँकि यह $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $3 = 2m + c$,अर्थात $c = 3 - 2m$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर,$(3 - 2m)^2 = 6m^2 - 5$ प्राप्त होता है।
$9 - 12m + 4m^2 = 6m^2 - 5$।
$2m^2 + 12m - 14 = 0$,जो सरल होकर $m^2 + 6m - 7 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(m + 7)(m - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -7$ हैं।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-7)}{1 + (1)(-7)} \right| = \left| \frac{8}{1 - 7} \right| = \left| \frac{8}{-6} \right| = \frac{4}{3}$।

(D) अतिपरवलय पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का अंतर उसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
दिया गया है $2a = 6$,इसलिए $a = 3$ है।
नाभिलंब के अंत बिंदुओं के निर्देशांक $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
चूंकि बिंदु $(\sqrt{13}, k)$ नाभिलंब का एक अंत बिंदु है,इसलिए $ae = \sqrt{13}$ है।
संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = ae = \sqrt{13}$,हमें $13 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$a = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$13 = 9 + b^2$,जिससे $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के अंत बिंदु का $y$-निर्देशांक $k = \pm \frac{b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$k = \pm \frac{4}{3}$।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ है।
वर्ग पूरा करके इसे फिर से लिखने पर:
$4(x-1)^2 - (y+1)^2 = 16$
$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1$.
यहाँ $h=1, k=-1, a=2, b=4$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 1 + 2 \sec \theta$ और $y = -1 + 4 \tan \theta$ हैं।
बिंदु $P(\frac{\pi}{4})$ के लिए:
$x_P = 1 + 2\sqrt{2}, y_P = 3$.
बिंदु $Q(\frac{3\pi}{4})$ के लिए:
$x_Q = 1 - 2\sqrt{2}, y_Q = -5$.
दूरी $PQ = \sqrt{(1+2\sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2})^2 + (3 - (-5))^2}$
$PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8)^2} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.

(A) माना अतिपरवलय का समीकरण $S(x, y) = \frac{x^2}{a^2} - y^2 - 1 = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(1,1)$ एक ही क्षेत्र में स्थित हैं,इसलिए $S(0,0)$ और $S(1,1)$ का मान समान चिह्न का होना चाहिए।
$S(0,0) = \frac{0^2}{a^2} - 0^2 - 1 = -1$.
चूंकि $S(0,0) < 0$,इसलिए $S(1,1) < 0$ होना चाहिए।
$S(1,1) = \frac{1^2}{a^2} - 1^2 - 1 = \frac{1}{a^2} - 2$.
$\frac{1}{a^2} - 2 < 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{a^2} < 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 > \frac{1}{2}$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$a$ का परिसर $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty\right)$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ है,जहाँ $a=3$ और $b=4$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x=3 \sec \theta$ और $y=4 \tan \theta$ हैं।
प्रत्येक बिंदु के लिए निर्देशांक:
$P_1\left(\frac{\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, 4)$
$P_2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, -4)$
$P_3\left(\frac{5\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, 4)$
$P_4\left(\frac{7\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, -4)$
ये बिंदु एक आयत बनाते हैं जिसके शीर्ष $(3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, -4)$ और $(3\sqrt{2}, -4)$ हैं।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
चूंकि $b^2 > a^2$ $(9 > 4)$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H = \frac{1}{e} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।
अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H$ और $e_C$ के बीच संबंध $\frac{1}{e_H^2} + \frac{1}{e_C^2} = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{5}{9} + \frac{1}{e_C^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{e_C^2} = \frac{4}{9}$।
अतः,$e_C = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि केंद्र $(0, 0)$ है,नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं और उत्केंद्रता $e = \frac{3}{2}$ है।
चूँकि नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 3$ है।
$e = \frac{3}{2}$ रखने पर,$a(\frac{3}{2}) = 3$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 2^2((\frac{3}{2})^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ अर्थात $5x^2 - 4y^2 = 20$ है।
रेखा $y = 2x - 1$ के साथ प्रतिच्छेदन की जाँच करने के लिए,$y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$5x^2 - 4(2x - 1)^2 = 20$
$5x^2 - 4(4x^2 - 4x + 1) = 20$
$-11x^2 + 16x - 24 = 0$ या $11x^2 - 16x + 24 = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = (-16)^2 - 4(11)(24) = 256 - 1056 = -800$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए रेखा अतिपरवलय को नहीं काटती है।

(D) दिया गया है कि शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $a = 3$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$ है।
$a=3$ प्रतिस्थापित करने पर,$3e = 4$,जिसका अर्थ है $e = \frac{4}{3}$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 3^2 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 9 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 16 - 9 = 7$।
अतः,$b = \sqrt{7}$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ है।
अतिपरवलय के प्राचलिक समीकरण $x = a \sec \theta$ और $y = b \tan \theta$ होते हैं।
$a=3$ और $b=\sqrt{7}$ रखने पर,हमें $x = 3 \sec \theta$ और $y = \sqrt{7} \tan \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $16 x^2 - 9 y^2 = 1$ है।
इसे $\frac{x^2}{(1/4)^2} - \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{16}$ और $b^2 = \frac{1}{9}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1$,$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1/9}{1/16} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$e_1 = \frac{5}{3}$।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{1/16}{1/9} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$e_2 = \frac{5}{4}$।
अब,$3 e_1 = 3 \times \frac{5}{3} = 5$।
साथ ही,$4 e_2 = 4 \times \frac{5}{4} = 5$।
इसलिए,$3 e_1 = 4 e_2$।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0$ है,जिसे $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक संयुग्मी अतिपरवलय है।
इस अतिपरवलय के लिए नियता का समीकरण $y = \frac{b}{e}$ होता है।
इसे दी गई नियता $\sqrt{5} y - \sqrt{8} = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b}{e} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$.
दिया गया है कि $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$,इसलिए $b = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}$.
संयुग्मी अतिपरवलय के लिए,$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{a^2}{(\sqrt{2})^2} \implies \frac{5}{4} = 1 + \frac{a^2}{2}$.
$\frac{a^2}{2} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{1}{a} = \sqrt{2}$.

(B) नाभि $S$ के निर्देशांक $(ae, 0)$ हैं और प्रथम चतुर्थांश में नाभिलंब का अंतिम बिंदु $L$ के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ हैं।
दिया गया है $S(8, y_1)$,अतः $ae = 8$ है।
दिया गया है $L(x_1, 4)$,अतः $b^2/a = 4$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^2 = a^2 + b^2$,जहाँ $c = ae = 8$ है।
$c = 8$ और $b^2 = 4a$ को $c^2 = a^2 + b^2$ में रखने पर:
$64 = a^2 + 4a$
$a^2 + 4a - 64 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 256}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 2\sqrt{17} - 2 = 2(\sqrt{17} - 1)$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 4(\sqrt{17} - 1)$ है।

(A) दिया गया है कि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{41}$ है,जिसका अर्थ है $ae = \sqrt{41}$।
संबंध $a^2e^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करने पर:
$(\sqrt{41})^2 = 4^2 + b^2$
$41 = 16 + b^2$
$b^2 = 41 - 16 = 25$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 25}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$।

(B) शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार $SP^2 = e^2 PM^2$,जहाँ $S$ नाभि है,$P(x,y)$ वक्र पर एक बिंदु है,$e$ उत्केंद्रता है और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
दी गई नाभि $S = (1,2)$,नियता $x+2y=0$,और $e = \sqrt{2}$ है।
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{2})^2 \frac{(x+2y)^2}{1^2+2^2}$
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 2 \frac{(x+2y)^2}{5}$
$5(x^2+y^2-2x-4y+5) = 2(x^2+4y^2+4xy)$
$5x^2+5y^2-10x-20y+25 = 2x^2+8y^2+8xy$
$3x^2-8xy-3y^2-10x-20y+25 = 0$

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 5x - 14 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 7)(x + 2) = 0$,अतः मूल $x_1 = 7$ और $x_2 = -2$ हैं।
चूँकि अक्ष की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,हम $b = 7$ लेते हैं।
दूसरे मूल का वर्ग अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष $a = (-2)^2 = 4$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,केंद्र से फोकस की दूरी $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ होती है।
मान रखने पर: $c = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$।
अतः,धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित फोकस $(\sqrt{65}, 0)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x^2-8x)-16(y^2-6y)=144$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2-8x+16)-16(y^2-6y+9)=144+144-144$
$9(x-4)^2-16(y-3)^2=144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x-4)^2}{16}-\frac{(y-3)^2}{9}=1$
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=16$ और $b^2=9$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
अतः,कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ इसकी सही व्याख्या है।

(B) नाभि और नियता के बीच की दूरी $a(e - 1/e) = a(5/4 - 4/5) = 9a/20$ है।
नाभि $(3,0)$ से नियता $4x - 3y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|12-0-3|}{5} = 9/5$ है।
अतः,$9a/20 = 9/5 \implies a = 4$ है।
अक्ष की ढाल $-3/4$ है। नाभि से शीर्ष की दूरी $ae - a = 4(5/4) - 4 = 1$ है।
शीर्ष $(3,0) + 1 \times (-4/5, 3/5) = (11/5, 3/5)$ प्राप्त होता है।

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभि $(ae, 0)$ पर है।
चूंकि नाभिलंब जीवा अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत है,इसका समीकरण $x = ae$ है।
अतिपरवलय के समीकरण में $x = ae$ रखने पर: $\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}$ $\Rightarrow y^2 = b^2(e^2 - 1)$.
चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $e^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}$ है,अतः $y^2 = b^2(\frac{b^2}{a^2}) = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$.
जीवा के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $O(0, 0)$ है। जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $OA$ की ढाल $\times$ $OB$ की ढाल $= -1$ है।
$OA$ की ढाल $= \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$। $OB$ की ढाल $= -\frac{b^2}{a^2e}$।
$(\frac{b^2}{a^2e}) \times (-\frac{b^2}{a^2e}) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$.
चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,हमारे पास $(a^2(e^2 - 1))^2 = a^4e^2 \Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ है।
$e^4 - 2e^2 + 1 = e^2 \Rightarrow e^4 - 3e^2 + 1 = 0$.
$u = e^2$ लेने पर,$u^2 - 3u + 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{4} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$।

(B) दिया गया है कि अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष बराबर हैं।
मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2a = 2b$,जिसका अर्थ है $a = b$ है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
$b = a$ को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $a^2 = a^2(e^2 - 1)$।
दोनों पक्षों को $a^2$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ है),हमें मिलता है $1 = e^2 - 1$।
अतः,$e^2 = 2$,जिससे $e = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है (क्योंकि अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e > 1$ होती है)।

(A) दिया गया है कि एक अतिपरवलय में,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई संयुग्मी अक्ष की लंबाई की दोगुनी है। मानक अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2 \times$ संयुग्मी अक्ष की लंबाई,इसलिए $2a = 2(2b)$,जिसका अर्थ है $a = 2b$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
$b^2 = \frac{a^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a^2}{4} = a^2(e^2 - 1)$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से भाग देने पर,$\frac{1}{4} = e^2 - 1$,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।
$a = 2b$ और $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ रखने पर,दूरी $\frac{2(2b)}{\sqrt{5}/2} = \frac{8b}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(D) दिया है,उत्केंद्रता $e = \frac{5}{3}$ और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 10$ है।
$2a(\frac{5}{3}) = 10 \Rightarrow a = 3$।
अतिपरवलय के लिए,$c^2 = a^2 + b^2$,जहाँ $c = ae$ है।
$(ae)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 5^2 = 3^2 + b^2$।
$25 = 9 + b^2 \Rightarrow b^2 = 16$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
$144$ से गुणा करने पर,$16x^2 - 9y^2 = 144$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 10$ है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है।
इससे हमें $ae = 5$ और $a = 4$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय में,$a, b,$ और $e$ के बीच का संबंध $(ae)^2 = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर,$25 = 16 + b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = 9$।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि अतिपरवलय का नाभिलंब उसके केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अतः,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ और $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $C = (0, 0)$ है।
$\angle LCL' = 90^{\circ}$ होने के कारण,$CL$ और $CL'$ की प्रवणता (slope) $m_1 = \frac{b^2}{a^2e}$ और $m_2 = -\frac{b^2}{a^2e}$ है।
चूंकि $CL \perp CL'$,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(\frac{b^2}{a^2e}\right) \times \left(-\frac{b^2}{a^2e}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{b^4}{a^4e^2} = 1$ $\Rightarrow b^4 = a^4e^2$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$[a^2(e^2 - 1)]^2 = a^4e^2$ $\Rightarrow (e^2 - 1)^2 = e^2$ $\Rightarrow e^2 - 1 = \pm e$।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 - e - 1 = 0$ लेने पर,$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। $F_1$ से गुजरने वाले नाभिलंब के सिरे $A(-ae, b^2/a)$ और $A'(-ae, -b^2/a)$ हैं।
नाभिलंब द्वारा दूसरी नाभि $F_2$ पर बनाया गया कोण $60^{\circ}$ है।
नाभि $F_2$,नाभिलंब के मध्य बिंदु $B(-ae, 0)$ और एक सिरे $A(-ae, b^2/a)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$F_2$ पर कोण $30^{\circ}$ है।
$\triangle ABF_2$ में,$AB = \frac{b^2}{a}$ और $BF_2 = 2ae$ है।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BF_2} = \frac{b^2}{2a^2e}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b^2}{2a^2e}$ और $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{e^2 - 1}{2e}$ प्राप्त होता है।
इससे $2e = \sqrt{3}(e^2 - 1)$,या $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $e = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$।
चूँकि $e > 1$,इसलिए $e = \sqrt{3}$ होगा।