Hyperbola Questions in Hindi

(B) अतिपरवलय का समीकरण $H_{n} \Rightarrow \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3+n}{1+n}} = \sqrt{\frac{2n+4}{n+1}}$ है।
$e$ के परिमेय होने के लिए,$\frac{2n+4}{n+1}$ को एक परिमेय संख्या का वर्ग होना चाहिए।
$n=48$ रखने पर,$e = \sqrt{\frac{2(48)+4}{48+1}} = \sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{10}{7}$,जो कि परिमेय है।
अतः,$k = 48$ है। नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(48+3)}{\sqrt{48+1}} = \frac{102}{7}$ है।
इसलिए,$21l = 21 \times \frac{102}{7} = 306$।

(C) अतिपरवलय $\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{25 - 16m^2}$ है।
बिंदु $P(4, 1)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा के लिए,$1 = 4m \pm \sqrt{25 - 16m^2}$।
इसे हल करने पर,$4m^2 - m - 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $m_1 = 1$ और $m_2 = -3/4$ हैं।
बिंदु $Q$ के लिए ढाल $|m_1| = 1$ और $|m_2| = 3/4$ हैं।
धनात्मक $x$-अंतःखंड के लिए स्पर्श रेखाएं $y = x - 3$ और $y = \frac{3}{4}x - 4$ हैं,जहाँ $\alpha = 16/3$ और $\beta = 3$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(-4, -7)$ है।
$PQ^2 = (4 - (-4))^2 + (1 - (-7))^2 = 128$।
अतः,$\frac{PQ^2}{\alpha \beta} = \frac{128}{16} = 8$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$,इसलिए $ae = 2$। $e = \frac{3}{2}$ के साथ,हमें $a = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$B^2 = A^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करते हुए,$B^2 = \frac{16}{9}(\frac{9}{4} - 1) = \frac{16}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{9}$।
रेखा $2x + 3y = 6$ की ढाल $-\frac{2}{3}$ है। इस रेखा के लंबवत स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{A^2m^2 - B^2}$ है।
$y = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{4} - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{4 - \frac{20}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{3}{2}x \pm \frac{4}{3}$।
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,हम अंतःखंड के लिए ऋणात्मक चिह्न चुनते हैं: $y = \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}$।
$x$-अंतःखंड $a$ के लिए,$y=0$ रखें: $0 = \frac{3}{2}a - \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{8}{9}$।
$y$-अंतःखंड $b$ के लिए,$x=0$ रखें: $b = -\frac{4}{3}$।
अतः,$|6a| + |5b| = |6(\frac{8}{9})| + |5(-\frac{4}{3})| = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12$।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब नाभि $(ae, 0)$ से गुजरता है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $(0, 0)$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,केंद्र पर कोण $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $a^2 = 9$ है,इसलिए $a = 3$ है। अतः,$\frac{b^2}{9e} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b^2 = 3\sqrt{3}e$.
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{9} \Rightarrow b^2 = 9(e^2 - 1)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $9(e^2 - 1) = 3\sqrt{3}e \Rightarrow 3e^2 - \sqrt{3}e - 3 = 0$.
$e$ के लिए हल करने पर: $e = \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.
अतः $b^2 = 3\sqrt{3} \left( \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2}(1 + \sqrt{13})$.
तुलना करने पर $l=3, m=2, n=13$ प्राप्त होता है।
अतः,$l^2+m^2+n^2 = 3^2 + 2^2 + 13^2 = 9 + 4 + 169 = 182$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ है।
यहाँ,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(e^2-1)$,अतः $e^2=1+\frac{b^2}{a^2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$ है।
इस प्रकार,$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$ है।
दो नाभियों $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3} = 2\sqrt{13}$ है।
मान लीजिए $P = (\alpha, \beta)$ है। $\Delta PS_1S_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times \beta = 2\sqrt{13}$ है।
$2ae = 2\sqrt{13}$ रखने पर,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{13}) \times \beta = 2\sqrt{13}$,जिससे $\beta=2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{\beta^2}{4}=1$ है। $\beta=2$ रखने पर,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{4}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9}=2$ $\Rightarrow \alpha^2=18$ है।
मूल बिंदु से $P$ की दूरी का वर्ग $OP^2 = \alpha^2+\beta^2 = 18 + 2^2 = 18+4 = 22$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=25$ है। चूँकि $b > a$,नाभियाँ $y$-अक्ष पर हैं।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm 4)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e_H = \frac{15}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{2}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ के रूप में है।
$Be_H = 4 \implies B = \frac{8}{3}$ है।
$A^2 = B^2(e_H^2 - 1) = \frac{64}{9} \times (\frac{5}{4}) = \frac{80}{9}$ है।
बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरी $e_H y \pm B = \frac{3}{2} \times \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3} = 7 \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3}$ है।
छोटी नाभीय दूरी $7 \sqrt{\frac{2}{5}} - \frac{8}{3}$ है।

(C) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ दी गई हैं,इसलिए $ae = 5$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$ae = 5$ से,हमें $a = \frac{5}{e}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के सूत्र में $a$ का मान रखने पर: $\frac{2b^2}{5/e} = 5\sqrt{2} \Rightarrow b^2 = \frac{25\sqrt{2}e}{2}$।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{25\sqrt{2}e}{2} = \frac{25}{e^2}(1-e^2)$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{\sqrt{2}e}{2} = \frac{1-e^2}{e^2}$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 = 2 - 2e^2$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 + 2e^2 - 2 = 0$।
$e^2$ के लिए हल करने पर,हमें $a^2 = 50$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होते हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ का मान $e_1^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{b^2} = 1 + a^2$ होता है।
चूंकि $a^2 = 50$ है,इसलिए $e_1^2 = 1 + 50 = 51$।

(A) अतिपरवलय $H$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ मानिए,जहाँ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।
चूँकि $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित है और शीर्षों $(\pm a, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $a$ है। $C_1$ का क्षेत्रफल $36 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi a^2 = 36 \pi$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
$C_2$ एक नाभि $(ae, 0)$ पर केंद्रित है और शीर्ष $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है। नाभि और शीर्ष के बीच की दूरी $|ae - a| = a(e - 1)$ है। अतः,$C_2$ की त्रिज्या $r = a(e - 1)$ है।
$C_2$ का क्षेत्रफल $4 \pi$ दिया गया है,इसलिए $\pi r^2 = 4 \pi$,जिससे $r^2 = 4$,यानी $r = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 6$ रखने पर,$6(e - 1) = 2$,इसलिए $e - 1 = \frac{1}{3}$,जिससे $e = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 36 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 36 \left( \frac{7}{9} \right) = 28$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 28}{6} = \frac{28}{3}$ है।

(B) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 9$ और नियता $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ दी गई है।
अतः $a = \frac{4e}{\sqrt{13}}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होने के कारण,$\frac{9a}{2} = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow \frac{9}{2} = a(e^2 - 1) = \frac{4e}{\sqrt{13}}(e^2 - 1)$.
हल करने पर $e = \frac{\sqrt{13}}{2}$ और $a = 2$ प्राप्त होता है,जिससे $b^2 = 9$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
स्पर्शरेखा $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$ के लिए स्पर्शता की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ जाँचने पर $(-\sqrt{3})^2 = 4(3) - 9 = 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (4, 3\sqrt{3})$ है।
नाभीय दूरियों का गुणनफल $m = e^2x_0^2 - a^2 = \frac{13}{4}(16) - 4 = 48$.
अतः $4e^2 + m = 4(\frac{13}{4}) + 48 = 13 + 48 = 61$.

(B) अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है।
$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = 4\sqrt{3}$ है।
$a^2 = 2b^2$ रखने पर,$\frac{4b^2}{b} = 4b = 4\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ और $b^2 = 3$।
अतः $a^2 = 6$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{6} = 1$ है।
चूँकि बिंदु $(\alpha, 6)$,$H$ पर स्थित है,$\frac{36}{3} - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow 12 - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow \alpha^2 = 66$।
नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं।
नाभीय दूरियाँ $d_1, d_2 = |ey \pm b| = |\sqrt{3}(6) \pm \sqrt{3}| = 7\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ हैं।
$\beta = d_1 d_2 = 35 \cdot 3 = 105$।
अतः,$\alpha^2 + \beta = 66 + 105 = 171$।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$ के लिए,$a^2=3$ और $b^2=5$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ है।
नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0) = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}, 0) = (\sqrt{8}, 0)$ है।
वृत्त $C$ का केंद्र $A(\sqrt{6}, \sqrt{5})$ है और यह $S(\sqrt{8}, 0)$ से गुजरता है।
त्रिज्या $r$ दूरी $AS = \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{6})^2 + (0-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8+6-2\sqrt{48}+5} = \sqrt{19-8\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $SAB$ एक व्यास है,$B$ वह बिंदु है जिसके लिए $A$,$SB$ का मध्यबिंदु है। अतः,$B = 2A - S = (2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ है।
त्रिभुज $OSB$ के शीर्ष $O(0,0)$,$S(\sqrt{8}, 0)$,और $B(2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ हैं।
$\triangle OSB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times OS \times y_B = \frac{1}{2} \times \sqrt{8} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{40}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{40})^2 = 40$ है।

(B) दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ के लिए,$a^2=100$ और $b^2=75$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(h \pm ae_1, k) = (1 \pm 10 \times \frac{1}{2}, 1) = (1 \pm 5, 1)$ हैं,जो $F_1(6, 1)$ और $F_2(-4, 1)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1 = 10$ है।
अतिपरवलय $H$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2 = \frac{1}{e_1} = 2$ है।
अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae_2 = 10$ है,इसलिए $2a(2) = 10$,जिससे $a = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha = 2a = 5$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e_2^2-1) = a^2(2^2-1) = 3a^2$ है।
अतः,$b = a\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta = 2b = 5\sqrt{3}$ है।
इसलिए,$3\alpha^2 + 2\beta^2 = 3(5)^2 + 2(5\sqrt{3})^2 = 3(25) + 2(75) = 75 + 150 = 225$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_1 = 2 \sin \theta$,अतः $a_1 = \sin \theta$ है।
चूंकि अतिपरवलय सह-नाभीय है,इसकी नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं,इसलिए $a_1 e_1 = 1$ है।
अतः,$e_1 = \operatorname{cosec} \theta$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b_1^2 = a_1^2 (e_1^2 - 1) = \sin^2 \theta (\operatorname{cosec}^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ या $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{(x - \sqrt{2})^2}{4} - \frac{(y + \sqrt{2})^2}{2} = 1$ है।
यहाँ $a = 2, b = \sqrt{2}$ और उत्केंद्रता $e = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times a(e - 1) \times \frac{b^2}{a} = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} - 2) \times 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ के लिए,$b^2 = 16$ है।
दी गई स्पर्शरेखा $2x - y + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,$m = 2$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर: $1^2 = a^2(2)^2 - 16$.
$1 = 4a^2 - 16 \Rightarrow 4a^2 = 17 \Rightarrow a^2 = \frac{17}{4} \Rightarrow a = \frac{\sqrt{17}}{2}$.
अब,हम समकोण त्रिभुज के लिए भुजाओं की जाँच करते हैं (जहाँ दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर होता है):
$[A]$ $2a = \sqrt{17} \approx 4.12, 4, 1$. भुजाएँ: $\sqrt{17}, 4, 1$. $1^2 + 4^2 = 17 = (\sqrt{17})^2$. यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
$[B]$ $2a = \sqrt{17}, 8, 1$. भुजाएँ: $\sqrt{17}, 8, 1$. $1^2 + (\sqrt{17})^2 = 18 \neq 8^2 = 64$. समकोण त्रिभुज नहीं है।
$[C]$ $a = \frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2.06, 4, 1$. भुजाएँ: $2.06, 4, 1$. $1^2 + 2.06^2 \approx 5.24 \neq 4^2 = 16$. समकोण त्रिभुज नहीं है।
$[D]$ $a = \frac{\sqrt{17}}{2}, 4, 2$. भुजाएँ: $2.06, 4, 2$. $2^2 + 2.06^2 \approx 8.24 \neq 4^2 = 16$. समकोण त्रिभुज नहीं है।
अतः,विकल्प $B, C,$ और $D$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ नहीं हो सकती हैं।

(B) रेखा का समीकरण $y = -2x + 1$ है,इसलिए ढाल $m = -2$ है।
निकटतम नियता $x = \frac{a}{e}$ है। नियता और $x$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{a}{e}, 0)$ है।
चूंकि रेखा $(\frac{a}{e}, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = -2(\frac{a}{e}) + 1$,जिसका अर्थ है $\frac{2a}{e} = 1$,या $a = \frac{e}{2}$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $c = 1$ और $m = -2$ है,इसलिए $1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जो $1 = 4a^2 - b^2$ देता है।
$a^2 = \frac{e^2}{4}$ को समीकरण में रखने पर: $1 = 4(\frac{e^2}{4}) - b^2$,इसलिए $1 = e^2 - b^2$,जिसका अर्थ है $b^2 = e^2 - 1$।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$b^2 = e^2 - 1$ को इसमें रखने पर,हमें $e^2 - 1 = a^2(e^2 - 1)$ मिलता है।
चूंकि $e > 1$,इसलिए $e^2 - 1 \neq 0$,अतः $a^2 = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1$।
चूंकि $a = \frac{e}{2}$,इसलिए $1 = \frac{e}{2}$,अतः $e = 2$।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के लिए,$a_e^2 = 4$ और $b_e^2 = 1$ है। उत्केंद्रता $e_e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होती है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \frac{1}{e_e} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$e_h^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{4}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies a^2 = 3b^2$।
दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm \sqrt{3}, 0)$ है। अतिपरवलय $(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 = 3$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 = 3$ है। नाभि $(2, 0)$ है।
अतः,$(B, D)$ सही विकल्प है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
$(x_1, y_1) = (6, 3)$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{6} + \frac{b^2y}{3} = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अभिलंब $(9, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 9$ और $y = 0$ रखने पर:
$\frac{a^2(9)}{6} + \frac{b^2(0)}{3} = a^2 + b^2$
$\frac{3a^2}{2} = a^2 + b^2$
$\frac{a^2}{2} = b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
$a^2 = 2b^2$ रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{2b^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(D) रेखा $2x - y = 1$ की ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 2x \pm \sqrt{9(2)^2 - 4} = 2x \pm \sqrt{32} = 2x \pm 4\sqrt{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए सूत्र $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ है।
$c = 4\sqrt{2}$ के लिए,बिंदु $\left(\frac{9(2)}{4\sqrt{2}}, \frac{4}{4\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है,जो $(A)$ है।
$c = -4\sqrt{2}$ के लिए,बिंदु $\left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है,जो $(B)$ है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) संयुग्मी अक्ष के शीर्ष $L(0, b)$ और $M(0, -b)$ हैं। अतिपरवलय का शीर्ष $N(a, 0)$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $LM = 2b$ है।
$\triangle LMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2b) \times a = ab = 4\sqrt{3}$ है।
चूँकि $\angle LNM = 60^{\circ}$ है,कोण $\angle LNO = 30^{\circ}$ है (जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।
$\triangle LNO$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OL}{ON} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $a = b\sqrt{3}$ है।
$a = b\sqrt{3}$ को $ab = 4\sqrt{3}$ में रखने पर,हमें $b(b\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 2\sqrt{3}$ है।
$P$. संयुग्मी अक्ष की लंबाई $= 2b = 2(2) = 4$ है।
$Q$. उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$R$. नाभियों के बीच की दूरी $= 2ae = 2(2\sqrt{3})(\frac{2}{\sqrt{3}}) = 8$ है।
$S$. नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$P$ $\rightarrow 4, Q$ $\rightarrow 3, R$ $\rightarrow 1, S$ $\rightarrow 2$ है।

(A, D) $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसका ढाल $-1$ है। अतः,$P$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $1$ है।
स्पर्श रेखा बिंदु $(1, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $1$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - 0 = 1(x - 1)$,या $x - y = 1$ है।
$P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है। इसे $x - y = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{x_1}{a^2} = 1$ और $\frac{y_1}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x_1 = a^2$ और $y_1 = b^2$ है।
चूंकि $P(a^2, b^2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{(a^2)^2}{a^2} - \frac{(b^2)^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $a^2 - b^2 = 1$ हो जाता है।
$P(a^2, b^2)$ पर अभिलंब का ढाल $-1$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - b^2 = -1(x - a^2)$,या $x + y = a^2 + b^2$ है।
अभिलंब का $x$-अंतःखंड $x = a^2 + b^2$ है। स्पर्श रेखा $x - y = 1$ का $x$-अंतःखंड $x = 1$ है।
त्रिभुज स्पर्श रेखा,अभिलंब और $x$-अक्ष द्वारा बनता है। आधार $x$-अंतःखंडों के बीच की दूरी है: $(a^2 + b^2) - 1 = (a^2 - 1) + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$। ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $b^2$ है।
अतः,$\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2b^2) \times b^2 = b^4$। इसलिए $(D)$ सत्य है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$।
चूंकि $a > 1$,$0 < \frac{1}{a^2} < 1$,इसलिए $1 < 2 - \frac{1}{a^2} < 2$,जिसका अर्थ है कि $1 < e^2 < 2$,इसलिए $1 < e < \sqrt{2}$। अतः $(A)$ सत्य है।

(B) अतिपरवलय $H: x^2 - y^2 = 1$ के बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $xx_1 - yy_1 = 1$ है।
$y = 0$ रखने पर,$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\frac{1}{x_1}, 0)$ प्राप्त होता है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{x_1}{y_1}$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{y_1}{x_1}$ होगी।
अभिलंब केंद्र $N(x_2, 0)$ और $P(x_1, y_1)$ से गुजरता है,इसलिए $-\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_1 - 0}{x_1 - x_2}$।
इसे हल करने पर $x_2 - x_1 = x_1$ अर्थात $x_2 = 2x_1$ प्राप्त होता है। अतः $N = (2x_1, 0)$।
$\triangle PMN$ के शीर्ष $P(x_1, y_1)$,$M(\frac{1}{x_1}, 0)$,और $N(2x_1, 0)$ के लिए केंद्रक $(l, m)$ का मान $l = \frac{x_1 + \frac{1}{x_1} + 2x_1}{3} = x_1 + \frac{1}{3x_1}$ और $m = \frac{y_1}{3}$ होगा।
अवकलन करने पर:
$\frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$,जो विकल्प $(A)$ है।
चूँकि $y_1 = \sqrt{x_1^2 - 1}$,इसलिए $\frac{dm}{dx_1} = \frac{1}{3} \frac{dy_1}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2 - 1}}$,जो विकल्प $(B)$ है।
$\frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$,जो विकल्प $(D)$ है।
अतः,सही विकल्प $(A, B, D)$ हैं।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ के लिए,$a^2=100$ और $b^2=64$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{164} = 4\sqrt{41}$ है।
अतिपरवलय के गुणधर्म के अनुसार,$S_1P - SP = 2a = 20$ है। मान लीजिए $SP = r$ है। तो $S_1P = r+20$,इसलिए $\beta = r+20$ है।
$\triangle SPP_1$ में,$\angle SPP_1 = \frac{\alpha}{2}$ है।
$\triangle SPP_1$ में,$\delta = SP \sin(\angle SPP_1) = r \sin \frac{\alpha}{2}$ है।
$\triangle SPS_1$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,गणना करने पर $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{64}{9} \approx 7.11$ प्राप्त होता है।
अतः,महत्तम पूर्णांक $7$ है।

(C) नाभियाँ $F_1 = (1, 14)$ और $F_2 = (1, -12)$ हैं। अतिपरवलय का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{1+1}{2}, \frac{14-12}{2}) = (1, 1)$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(1-1)^2 + (14 - (-12))^2} = 26$,इसलिए $ae = 13$.
अतिपरवलय बिंदु $(1, 6)$ से गुजरता है। चूँकि अनुप्रस्थ अक्ष ऊर्ध्वाधर है,अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $P$ के लिए $|PF_1 - PF_2| = 2a$.
$PF_1 = 8$ और $PF_2 = 18$.
$2a = |8 - 18| = 10$,इसलिए $a = 5$.
$ae = 13$ होने के कारण,$5e = 13$,अर्थात $e = \frac{13}{5}$.
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
अतः,$b^2 = 144$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 144}{5} = \frac{288}{5}$.

(D) $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 15\sqrt{2}$ और $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ है।
$e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{5}{2}$ से,हमें $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = \frac{3}{2}a^2$.
नाभिलंब के समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2(\frac{3}{2}a^2)}{a} = 15\sqrt{2} \implies 3a = 15\sqrt{2} \implies a = 5\sqrt{2}$.
तब $b^2 = \frac{3}{2}(50) = 75$,इसलिए $b = 5\sqrt{3}$.
$H_1$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 10\sqrt{2}$ है।
$H_2: \frac{y^2}{B^2}-\frac{x^2}{A^2}=1$ के लिए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ है।
अनुप्रस्थ अक्षों का गुणनफल $(2a)(2B) = 100\sqrt{10}$ है।
$(10\sqrt{2})(2B) = 100\sqrt{10} \implies 20\sqrt{2}B = 100\sqrt{10} \implies B = 5\sqrt{5}$.
$\frac{2A^2}{B} = 12\sqrt{5}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2A^2}{5\sqrt{5}} = 12\sqrt{5} \implies 2A^2 = 60(5) = 300 \implies A^2 = 150$ प्राप्त होता है।
$H_2$ के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{A^2}{B^2} = 1 + \frac{150}{125} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ है।
अतः,$25e_2^2 = 25 \times \frac{11}{5} = 55$.

(C) दिया गया है कि नाभि $ae = \sqrt{10}$ और नियता $\frac{a}{e} = \frac{9}{\sqrt{10}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$a^2 = \sqrt{10} \times \frac{9}{\sqrt{10}} = 9$,अतः $a = 3$.
तब $e = \frac{\sqrt{10}}{a} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2 = (ae)^2 - a^2$.
मान रखने पर,$b^2 = 10 - 9 = 1$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$.
अब,$9(e^2 + l) = 9\left(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{10}{9} + \frac{2}{3}\right) = 10 + 6 = 16$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का गुणनफल $PS_1 \cdot PS_2 = b^2 + \frac{b^2}{a^2}x_1^2$ होता है। दिया गया है कि $PS_1 \cdot PS_2 = 32$ और $P(4, 2\sqrt{3})$,अतः $b^2 + \frac{b^2}{a^2}(16) = 32 \Rightarrow b^2(\frac{a^2+16}{a^2}) = 32$.
चूंकि बिंदु $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = \frac{12a^2}{16-a^2}$.
इन मानों को हल करने पर,$a^2 = 8$ और $b^2 = 12$ प्राप्त होता है।
$p = 2b = 4\sqrt{3} \Rightarrow p^2 = 48$.
$q = \frac{2b^2}{a} = 6\sqrt{2} \Rightarrow q^2 = 72$.
$p^2 + q^2 = 48 + 72 = 120$.

(A) अतिपरवलय का केंद्र नाभियों $(4,2)$ और $(8,2)$ का मध्यबिंदु है,जो $C = (6,2)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4$ है,इसलिए $ae = 2$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-6)^2}{a^2} - \frac{(y-2)^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b^2 = 4 - a^2$ है।
दिए गए समीकरण $3x^2 - y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ को मानक रूप में बदलने पर,केंद्र $(\frac{\alpha}{6}, \frac{\beta}{2}) = (6,2)$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = 36$ और $\beta = 4$ है।
समीकरण $3(x-6)^2 - (y-2)^2 = 104 - \gamma$ बन जाता है।
अतिपरवलय के गुणों के अनुसार,$104 - \gamma = 3$ लेने पर $\gamma = 101$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 36 + 4 + 101 = 141$ है।

(C) अतिपरवलय पर बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियों का योग $2ex = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$ होता है।
$x = 4$ दिया गया है,इसलिए $2e(4) = 8\sqrt{\frac{5}{3}}$,जिसका अर्थ है $e = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
चूंकि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{5}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{2}{3}a^2$ है।
बिंदु $P(4, 3)$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{2}{3}a^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{16}{a^2} - \frac{9}{(2/3)a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^2} - \frac{27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32 - 27}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow 2a^2 = 5$ $\Rightarrow a^2 = \frac{5}{2}$.
अतः $b^2 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(5/3)}{\sqrt{5/2}} = \frac{10}{3} \times \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.
$l^2 = \frac{4 \times 10}{9} = \frac{40}{9} \Rightarrow 9l^2 = 40$.
नाभीय दूरियों का गुणनफल $m = e^2x^2 - a^2 = \frac{5}{3}(16) - \frac{5}{2} = \frac{80}{3} - \frac{5}{2} = \frac{160 - 15}{6} = \frac{145}{6}$.
इस प्रकार,$6m = 145$.
अंततः,$9l^2 + 6m = 40 + 145 = 185$.

(C) मान लीजिए नाभियाँ $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं। दिया गया है $F_1 = P(-3, 0)$,इसलिए $ae = 3$.
नाभिलंब $F_2(ae, 0)$ से गुजरता है और इसके अंतिम बिंदु $L_1(ae, b^2/a)$ और $L_2(ae, -b^2/a)$ हैं।
कोण $\angle L_1 P L_2 = 90^\circ$ है। चूँकि त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कोण $\angle L_1 P F_2 = 45^\circ$ है।
$\triangle L_1 P F_2$ में,$\tan 45^\circ = \frac{L_1 F_2}{P F_2} = \frac{b^2/a}{2ae} = 1$.
अतः,$b^2 = 2a(ae) = 2a(3) = 6a$.
अतिपरवलय के गुण $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $6a = 9 - a^2$ मिलता है,इसलिए $a^2 + 6a - 9 = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,$a = -3 \pm 3\sqrt{2}$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3\sqrt{2} - 3$.
तब $a^2 = 27 - 18\sqrt{2}$ और $b^2 = 18\sqrt{2} - 18$.
$a^2b^2 = (27 - 18\sqrt{2})(18\sqrt{2} - 18) = 810\sqrt{2} - 1134$.
$\alpha\sqrt{2} - \beta$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 810$ और $\beta = 1134$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 810 + 1134 = 1944$.

(D) दी गई नाभि $S = (-5, 0)$ और नियता $x = -9/5$ है। चूंकि नाभि $x$-अक्ष पर है,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$ae = 5$ और $\frac{a}{e} = \frac{9}{5}$.
इनका गुणा करने पर: $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$.
तब $e = 5/3$. चूंकि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,$b^2 = 9(\frac{25}{9} - 1) = 16$,इसलिए $b = 4$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है।
अतिपरवलय पर बिंदु $(\alpha, 2\sqrt{5})$ के लिए: $\frac{\alpha^2}{9} - \frac{20}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9} = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \alpha^2 = \frac{81}{4}$.
बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरियाँ $r_1 = |ex - a|$ और $r_2 = |ex + a|$ हैं।
गुणनफल $p = |e^2x^2 - a^2| = |\frac{25}{9} \cdot \frac{81}{4} - 9| = |\frac{225}{4} - 9| = |\frac{225 - 36}{4}| = \frac{189}{4}$.
अतः,$4p = 4 \cdot \frac{189}{4} = 189$.

(A) दी गई रेखाएँ: $4x - 3y = 12\alpha$ और $4\alpha x + 3\alpha y = 12$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(4x - 3y)(4\alpha x + 3\alpha y) = 144\alpha \implies 16\alpha x^2 - 9\alpha y^2 = 144\alpha$.
$\alpha$ से विभाजित करने पर: $16x^2 - 9y^2 = 144 \implies \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$. यह अतिपरवलय $S$ है।
रेखा $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ की ढाल $m = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ है।
अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
यहाँ $a^2 = 9, b^2 = 16$, इसलिए $y = \frac{4\sqrt{2}}{3}x \pm 4$.
स्पर्श रेखा $(p, 0)$ और $(0, q)$ से गुजरती है, इसलिए $y = -\frac{q}{p}x + q$.
तुलना करने पर, $q = 4$ और $-\frac{q}{p} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \implies p = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
अतः, $pq = -6\sqrt{2}$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $3x^2 - y^2 = 8$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{3x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है,जो $-\frac{y}{3x}$ है।
अभिलंब रेखा $x + 3y = 10$ के समांतर है,जिसकी ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$।
$y = x$ को वक्र समीकरण में रखने पर: $3x^2 - x^2 = 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$।
इस प्रकार,बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(2, 2)$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y - 8 = 0$ है।
बिंदु $(-2, -2)$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y + 8 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x + 3y + 8 = 0$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ है। यहाँ,$a^{2}=3$ और $b^{2}=2$ है।
$y-x+5=0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण $y=x+c$ के रूप में होगा।
$y=mx+c$ से तुलना करने पर,हमें $m=1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
मान रखने पर,$c^{2}=3(1)^{2}-2 = 3-2 = 1$।
अतः,$c=\pm 1$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y=x+1$ या $y=x-1$ हैं,जिन्हें $x-y+1=0$ या $x-y-1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$x-y-1=0$ सही विकल्प है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$ae_h = 4$ और $e_h = 2$ है,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।

(B) माना $y=mx+c$ अतिपरवलय $9x^{2}-16y^{2}=144$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
अतिपरवलय को $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के रूप में लिखने पर,$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$ प्राप्त होता है।
$y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है,अतः $c^{2}=16m^{2}-9$ $(i)$।
$y=mx+c$ के वृत्त $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है,अतः $c^{2}=9(1+m^{2})$ (ii)।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $16m^{2}-9=9+9m^{2}$।
$7m^{2}=18$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{18}{7}$ $\Rightarrow m=\pm 3\sqrt{\frac{2}{7}}$।
$m^{2}=\frac{18}{7}$ का मान (ii) में रखने पर: $c^{2}=9(1+\frac{18}{7})=9(\frac{25}{7})=\frac{225}{7}$।
अतः,$c=\pm \frac{15}{\sqrt{7}}$।
इस प्रकार,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}=144$ है। $144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2}=9$ और $b^{2}=16$ है।
उत्केंद्रता $e$,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $16=9(e^{2}-1)$,जिससे $e^{2}-1=\frac{16}{9}$ प्राप्त होता है,अतः $e^{2}=\frac{25}{9}$,$e=\frac{5}{3}$।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की नियताएँ $x=\pm \frac{a}{e}$ होती हैं।
यहाँ,$a=3$ और $e=\frac{5}{3}$ है,इसलिए $x=\pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$।
अतः,$5x-9=0$ और $5x+9=0$।
संयुक्त समीकरण $(5x-9)(5x+9)=0$ है,जो $25x^{2}-81=0$ है।
इसकी तुलना $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=25, h=0, b=0, g=0, f=0, c=-81$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$g+f-c = 0+0-(-81) = 81$।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $a^2 = 9$।
अब,समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3\sqrt{2}, 2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{(3\sqrt{2})^2}{9} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$
$2 - \frac{4}{b^2} = 1$
$1 = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = 4$।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(A) दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 3y^{2} - 32x - 12y - 44 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} + 4y) = 44$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} + 4y + 4) = 44 + 16 - 12$
$16(x - 1)^{2} - 3(y + 2)^{2} = 48$
$48$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y + 2)^{2}}{16} = 1$
मानक रूप $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 3$ और $b^{2} = 16$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ पर बिंदु $P$ के प्राचलिक निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ हैं।
नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,जहाँ उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ अर्थात $a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$SP = |ae \sec \theta - a|$ और $S^{\prime}P = |ae \sec \theta + a|$ प्राप्त होता है।
अतः,$SP \cdot S^{\prime}P = |a^{2}e^{2} \sec ^{2} \theta - a^{2}|$.
$a^{2}e^{2} = a^{2} + b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$SP \cdot S^{\prime}P = |(a^{2} + b^{2}) \sec ^{2} \theta - a^{2}| = |a^{2}(\sec ^{2} \theta - 1) + b^{2} \sec ^{2} \theta| = a^{2} \tan ^{2} \theta + b^{2} \sec ^{2} \theta$.

(D) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = a^2$ होता है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष की लंबाई समान है।
अतः,उत्केंद्रता $e$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$
$x$ और $y$ पदों को समूहबद्ध करने पर: $9(x^{2} - 4x) - 16(y^{2} - 6y) = 252$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(x^{2} - 4x + 4) - 16(y^{2} - 6y + 9) = 252 + 36 - 144$
$9(x - 2)^{2} - 16(y - 3)^{2} = 144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^{2}}{16} - \frac{(y - 3)^{2}}{9} = 1$
अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
तुलना करने पर,केंद्र $(2, 3)$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $25x^2 - 9y^2 = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$।

(B) अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 6$ दी गई है,इसलिए $a = 3$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ दी गई है।
$a = 3$ का मान रखने पर: $\frac{2b^2}{3} = \frac{8}{3} \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4$ है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ होता है।
$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
$36$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 9y^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ है,जो $e = \sqrt{2}$ उत्केंद्रता वाला एक आयतीय अतिपरवलय है।
नाभियाँ $S(a\sqrt{2}, 0)$ और $S'(-a\sqrt{2}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय पर किसी बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,नाभीय दूरियाँ $SP = |\sqrt{2}x_1 - a|$ और $S'P = |\sqrt{2}x_1 + a|$ हैं।
अतः,$SP \cdot S'P = |2x_1^2 - a^2|$।
चूंकि $x_1^2 - y_1^2 = a^2$,इसलिए $x_1^2 = a^2 + y_1^2$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$SP \cdot S'P = x_1^2 + y_1^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण $16x^{2}-9y^{2}=144$ और $9x^{2}-16y^{2}=144$ हैं।
दोनों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ और $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ होती है।
पहले वक्र के लिए,$a^{2}=9$ और $b^{2}=16$,इसलिए $e_{1} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$।
दूसरे वक्र के लिए,$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$,इसलिए $e_{2} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$।
अब,$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$।

(A) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 3$ और $a^{2}e^{2} = 9$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}e^{2} - a^{2}$,अतः $a^{2} + b^{2} = 9$ (समीकरण $i$)।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = -2x + 4$ है,जहाँ $m = -2$ और $c = 4$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है।
मान रखने पर: $4^{2} = a^{2}(-2)^{2} - b^{2} \Rightarrow 4a^{2} - b^{2} = 16$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $5a^{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ में $a^{2} = 5$ रखने पर: $5 + b^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ है,जो $4x^{2} - 5y^{2} = 20$ के बराबर है।

(B) अतिपरवलय $xy = c^{2}$ पर एक बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(ct, c/t)$ हैं।
बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $xt^{3} - yt - ct^{4} + c = 0$ है।
यदि यह अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $t'$ पर मिलता है,तो निर्देशांक $(ct', c/t')$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$(ct', c/t')$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(ct')t^{3} - (c/t')t - ct^{4} + c = 0$.
$c$ से विभाजित करने पर ($c \neq 0$ मानते हुए): $t't^{3} - t/t' - t^{4} + 1 = 0$.
$t'$ से गुणा करने पर: $t'^{2}t^{3} - t - t't^{4} + t' = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t^{3}t'(t' - t) + (t' - t) = 0$.
$(t' - t)(t^{3}t' + 1) = 0$.
चूंकि $t \neq t'$,इसलिए $t^{3}t' + 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t^{3}t' = -1$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ है। यहाँ $a^2=20$ और $b^2=5$ है।
रेखा $4x+3y=7$ की ढाल $m_1 = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ है।
मान रखने पर: $y = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20(\frac{9}{16})-5} = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{45}{4}-5} = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2}$।
स्थिति $1$: $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = -\frac{5}{2} \implies \frac{x}{-10/3} + \frac{y}{5/2} = 1$। अंतःखंड $-\frac{10}{3}, \frac{5}{2}$ हैं।
स्थिति $2$: $y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \implies \frac{3}{4}x - y = \frac{5}{2} \implies \frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/2} = 1$। अंतःखंड $\frac{10}{3}, -\frac{5}{2}$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ दूसरी स्थिति से मेल खाता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ है।
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a=2$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
$a=2$ और $b=3$ रखने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{2} - \frac{y \tan \theta}{3} = 1$ है।
इसे $y = \left( \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} \right) x - \frac{3}{\tan \theta}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{3 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{3}{2 \sin \theta}$ है।
दी गई रेखा $3x-y+4=0$ है,जिसे $y=3x+4$ लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए $m_1 = m_2$।
$\frac{3}{2 \sin \theta} = 3 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।