एक चर बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी अतिप | vedclass

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Question

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। माना $(h, k)$ अतिपरवलय की जीवा $PQ$ का ध्रुव है। स्पर्श-जीवा $PQ$ का समीकरण $\fr

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$\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है। माना $(h, k)$ अतिपरवलय की जीवा $PQ$ का ध्रुव है। स्पर्श-जीवा $PQ$ का समीकरण $\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}=1$ है। मूल बिंदु को अतिपरवलय और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम जीवा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघातीय बनाते हैं: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{xh}{a^2}-\frac{yk}{b^2}\right)^2$. चूंकि जीवा $PQ$ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए। सरलीकरण करने पर: $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{h^2}{a^4}\right) + \left(-\frac{1}{b^2}-\frac{k^2}{b^4}\right) = 0$. $\Rightarrow \frac{h^2}{a^4} + \frac{k^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$. $(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

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