Hyperbola Questions in Hindi

(C) माना $e$ और $e^{\prime}$ एक अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ होता है।
दिया गया है $e = \sqrt{3}$,अतः $e^2 = 3$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अतः,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है कि $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(C) दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 9$ को $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(3/4)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a=1, b=3/4$ है।
अतिपरवलय पर प्राचलिक बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ होते हैं।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$P_1 = (\sqrt{2}, \frac{3}{4})$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$P_2 = (2, \frac{3\sqrt{3}}{4})$.
दूरी $D = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 9\sqrt{3}}$.
कथन सत्य है।
कारण असत्य है क्योंकि अतिपरवलय के प्राचलिक समीकरण $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ होते हैं।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(D) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। केंद्र $(0, 0)$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
नाभिलंब द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $120^{\circ}$ है।
अतः,केंद्र और एक अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
इसलिए,$\tan(60^{\circ}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
चूंकि $\sqrt{3} = \frac{a^2(e^2 - 1)}{a^2e} = \frac{e^2 - 1}{e}$,हमें $e^2 - \sqrt{3}e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $A(\theta_1)$ और $B(\theta_2)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण है:
$\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)-\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
चूंकि जीवा नाभि $S(ae, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=ae$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{ae}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$e \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
संबंध $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$\sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
दिए गए समीकरण $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) = k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$k = \sqrt{a^2+b^2}$

(A) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4a^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि जीवा $x \cos \phi + y \sin \phi = P$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए रेखा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाने पर: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \left(\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{P}\right)^2$.
इसका विस्तार करने पर,$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - y^2 \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) - \frac{2xy \cos \phi \sin \phi}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है।
जीवा द्वारा मूल बिंदु पर समकोण बनाने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) = 0$.
$\frac{3}{4a^2} - \frac{1}{P^2} = 0$ $\Rightarrow P^2 = \frac{4a^2}{3}$ $\Rightarrow P = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
$P$ मूल बिंदु से जीवा पर लंब की लंबाई है,जो वृत्त की त्रिज्या को दर्शाती है। अतः,त्रिज्या $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ है।

(B) अतिपरवलय $S: 2x^2 - 3y^2 - 12 = 0$ के लिए मध्य बिंदु $M(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जहाँ $T = 2xh - 3yk - 12$ और $S_1 = 2h^2 - 3k^2 - 12$ है।
अतः,जीवा का समीकरण $2xh - 3yk = 2h^2 - 3k^2$ है।
दी गई जीवा $4x - 3y = 5$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{2h}{4} = \frac{-3k}{-3} = \frac{2h^2 - 3k^2}{5}$.
$\frac{2h}{4} = k$ से,$k = \frac{h}{2}$ प्राप्त होता है।
$k = \frac{h}{2}$ को $\frac{2h}{4} = \frac{2h^2 - 3(h/2)^2}{5}$ में रखने पर:
$\frac{h}{2} = \frac{2h^2 - \frac{3h^2}{4}}{5} = \frac{5h^2}{20} = \frac{h^2}{4}$.
अतः,$\frac{h}{2} = \frac{h^2}{4}$ $\Rightarrow 2h = h^2$ $\Rightarrow h(h - 2) = 0$.
चूंकि जीवा का अस्तित्व है,$h \neq 0$ है।
अतः,$h = 2$ और $k = 1$ है।
मध्य बिंदु $(2, 1)$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 16$,अतः $a = 3$ और $b = 4$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1) = (3 \sqrt{2}, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x(3 \sqrt{2})}{9} - \frac{y(4)}{16} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$ हो जाता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ है।
चूँकि बिंदु $Q(\alpha, \beta)$ नियता पर स्थित है,$\alpha = \frac{9}{5}$ है।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $x = \frac{9}{5}$ रखने पर: $\frac{(9/5) \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$.
$\frac{3 \sqrt{2}}{5} - \frac{y}{4} = 1 \implies \frac{y}{4} = \frac{3 \sqrt{2} - 5}{5}$.
अतः,$y = \beta = \frac{12 \sqrt{2} - 20}{5}$।

(C) नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0)$ है। दिया है $Q = (0, 1)$,अतः $S Q^2 = (ae)^2 + 1^2 = 26$,जिससे $a^2 e^2 = 25$,अर्थात $ae = 5$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$b^2 = 9$,अतः $e^2 = 1 + \frac{9}{a^2}$ है।
$e^2 = \frac{25}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{25}{a^2} = 1 + \frac{9}{a^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{16}{a^2} = 1$,अतः $a = 4$ है।
तब $e = \frac{5}{4}$ है। बिंदु $P$ का निर्देशांक $(4 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ है।
दूरी $SP = 6$ है। $SP^2 = (4 \sec \theta - 5)^2 + (3 \tan \theta - 0)^2 = 36$.
$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \tan^2 \theta = 36$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \sec^2 \theta - 9 = 36$.
$25 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta - 20 = 0$,जो सरल होकर $5 \sec^2 \theta - 8 \sec \theta - 4 = 0$ बनता है।
$(5 \sec \theta + 2)(\sec \theta - 2) = 0$.
चूंकि $|\sec \theta| \geq 1$,इसलिए $\sec \theta = 2$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ है,जिसे $2x + \sqrt{6}y - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 4$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 - 2yy_1 - 4 = 0$ होता है।
चूंकि यह रेखा और दी गई रेखा समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1}{2} = \frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = \frac{-4}{-2}$
$\frac{x_1}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 4$
$\frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = 2$ $\Rightarrow -2y_1 = 2\sqrt{6}$ $\Rightarrow y_1 = -\sqrt{6}$
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, -\sqrt{6})$ है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{9x}{x_1} + \frac{4y}{y_1} = 13$ होगा।
दी गई रेखा $x + y = -k$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{9/x_1}{1} = \frac{4/y_1}{1} = \frac{13}{-k}$.
इससे $x_1 = -\frac{9k}{13}$ और $y_1 = -\frac{4k}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{(-9k/13)^2}{9} - \frac{(-4k/13)^2}{4} = 1$.
$\frac{9k^2}{169} - \frac{4k^2}{169} = 1$.
$\frac{5k^2}{169} = 1$.
$k^2 = \frac{169}{5}$.
$k = \pm \frac{13}{\sqrt{5}}$.

(B) दिए गए समीकरण:
$x^2+y^2=4$
$xy=\sqrt{3}$
वृत्त के समीकरण में $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + \frac{3}{x^2} = 4$
$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$
$(x^2-3)(x^2-1) = 0$
अतः,$x^2=3$ या $x^2=1$.
चूंकि $\alpha > \beta > 0$,हमें $x^2=3$ और $y^2=1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \sqrt{3}$ और $\beta = 1$.
बिंदु $P = (\sqrt{3}, 1)$.
अतिपरवलय $xy=c^2$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xy_1 + yx_1 = 2c^2$ है।
यहाँ $c^2 = \sqrt{3}$,$x_1 = \sqrt{3}$,$y_1 = 1$.
अतः,$x(1) + y(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
$x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) होता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$b^2 = 4$ है।
अतः निर्देशक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 - 4$ है।
इसे दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 - 4 = 5$ प्राप्त होता है।
$a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ (चूंकि अतिपरवलय के लिए $a > 0$ होता है)।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $2x^2-y^2=4$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=2$ और $b^2=4$ है।
अतिपरवलय के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ है,जो $y=mx \pm \sqrt{2m^2-4}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा बिंदु $(1,1)$ से गुजरती है,हम $x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = m(1) \pm \sqrt{2m^2-4}$
$1-m = \pm \sqrt{2m^2-4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-m)^2 = 2m^2-4$
$1+m^2-2m = 2m^2-4$
$m^2+2m-5 = 0$
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

(A) अतिपरवलय $x^2-y^2=c^2$ पर बिंदु $P(c \sec \theta, c \tan \theta)$ मानिए।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \sec \theta - y \tan \theta = c$ है।
$X$-अंतःखंड $T = (c \cos \theta, 0)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $x \cos \theta + y \cot \theta = 2c \sec \theta$ है।
$Y$-अंतःखंड $N = (0, 2c \csc \theta)$ है।
$TN$ का मध्य बिंदु $(h, k) = (\frac{c}{2 \cos \theta}, c \csc \theta)$ है।
अतः $\cos \theta = \frac{c}{2h}$ और $\sin \theta = \frac{c}{k}$ है।
इस प्रकार,बिंदुपथ $\frac{c^2}{4x^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
दी गई स्पर्श रेखा $y = mx + 4$ है,इसलिए $c = 4$ है।
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ की तुलना करने पर,$16 = 25m^2 - 9$ प्राप्त होता है।
$25m^2 = 25 \Rightarrow m^2 = 1$,इसलिए $m = 1$ है।
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
स्पर्श बिंदु = $\left(\frac{25 \times 1}{4}, \frac{9}{4}\right) = \left(\frac{25}{4}, \frac{9}{4}\right)$.

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 4y^2 = 4$ है, जिसे $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a = 2$ और $b = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta) = (2 \sec \theta, \tan \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
बिंदुओं की गणना करने पर:
$P(\frac{\pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, 1)$
$Q(\frac{5 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, 1)$
$R(\frac{3 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, -1)$
$T(\frac{7 \pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, -1)$
ये बिंदु एक आयत बनाते हैं जिसके शीर्ष $(2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, -1),$ और $(2 \sqrt{2}, -1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
चौड़ाई $= |2 \sqrt{2} - (-2 \sqrt{2})| = 4 \sqrt{2}$
ऊंचाई $= |1 - (-1)| = 2$
क्षेत्रफल $= \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 4 \sqrt{2} \times 2 = 8 \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है। बिंदु $(h, k)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - k = m(x - h)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है,जहाँ $c = k - mh$ है।
अतः,$(k - mh)^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में लिखने पर: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 + b^2) = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2}$ है।
दिया गया है कि $m_1m_2 = k^2$,इसलिए $\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = k^2$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $y^2 + b^2 = k^2(x^2 - a^2)$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $3x^2 - y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
दी गई रेखा $y = 2x + 4$ है,इसलिए ढाल $m = 2$ है।
$m = 2, a^2 = 1, b^2 = 3$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$y = 2x \pm \sqrt{1(2)^2 - 3} = 2x \pm \sqrt{4 - 3} = 2x \pm 1$।
दो समानांतर स्पर्श रेखाएं $2x - y + 1 = 0$ और $2x - y - 1 = 0$ हैं।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(A) दिया गया अतिपरवलय $5 x^2-y^2=5$ है,जिसे $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{5}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=1$ और $b^2=5$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=m x \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2}$ है,जो $y=m x \pm \sqrt{m^2-5}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा $(2,8)$ से गुजरती है,इसलिए $8=2 m \pm \sqrt{m^2-5}$,या $(8-2 m)^2 = m^2-5$ है।
इसका विस्तार करने पर,$64+4 m^2-32 m = m^2-5$,जो $3 m^2-32 m+69=0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(3 m-23)(m-3)=0$,जिससे $m=3$ या $m=\frac{23}{3}$ प्राप्त होता है।
$m=3$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y=3 x \pm \sqrt{3^2-5} \Rightarrow y=3 x \pm 2$ है।
अतः,$3 x-y+2=0$ या $3 x-y-2=0$ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए बिंदु $\theta$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
बिंदु $P(\theta)$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है (समीकरण $1$)।
बिंदु $Q(\phi)$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ है।
चूंकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ होता है।
अतः,$Q$ पर अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ है (समीकरण $2$)।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए $x$ या $y$ का विलोपन करने पर:
समीकरण $1$ से,$ax \cos \theta = a^2+b^2 - by \cot \theta$.
समीकरण $2$ से,$ax \sin \theta = a^2+b^2 - by \tan \theta$.
क्रेमर के नियम या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने पर,हमें $y$-निर्देशांक $k$ प्राप्त होता है:
$k = \frac{(a^2+b^2)a(\cos \theta - \sin \theta)}{ab(\sin \theta - \cos \theta)} = \frac{-(a^2+b^2)}{b}$.
अतः,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $x+y+n=0$ है,जिसे $y=-x-n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y=mx+c$ से तुलना करने पर,हमें $m=-1$ और $c=-n$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का अभिलंब होने की शर्त $c^2 = \frac{(a^2+b^2)^2 m^2}{a^2-b^2 m^2}$ है।
यहाँ,$a^2=6$ और $b^2=2$ है।
मान रखने पर,हमें $(-n)^2 = \frac{(6+2)^2 (-1)^2}{6-2(-1)^2}$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{8^2 \times 1}{6-2} = \frac{64}{4} = 16$।
अतः,$n = \pm 4$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
बिंदु $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ है।
दिया है $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$। अतः,$\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$।
दो समीकरण:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,$(1)$ को $\sin \theta$ से और $(2)$ को $\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
अतः,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ पर अभिलंब $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ $(i)$ है।
$B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ पर अभिलंब $2x \cos \phi + 3y \cot \phi = 13$ (ii) है।
चूँकि $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ है। अतः,$\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
इन मानों को (ii) में रखने पर: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ (iii) प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं।
गणना करने पर,$3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$3y = -13$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\beta = -\frac{13}{3}$ है।

(C) रेखा का समीकरण $lx + my - 1 = 0$ है,इसलिए $n = -1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,रेखा $lx + my + n = 0$ के अभिलंब होने की शर्त $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{n^2}$ है।
$n = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(-1)^2} = (a^2 + b^2)^2$.

(D) एक आयताकार अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्षों के समानांतर होते हैं,इसलिए इसका समीकरण $(x - h)(y - k) = c$ के रूप में होता है।
चूंकि दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु अतिपरवलय का केंद्र होता है,इसलिए $(h, k) = (1, 1)$ है।
अतः,समीकरण $(x - 1)(y - 1) = c$ है।
चूंकि अतिपरवलय $(3, 2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $(3 - 1)(2 - 1) = c$ $\Rightarrow 2 \times 1 = c$ $\Rightarrow c = 2$।
$c = 2$ को समीकरण में रखने पर,हमें $(x - 1)(y - 1) = 2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$xy - x - y + 1 = 2$ मिलता है,जो सरल होकर $xy = x + y + 1$ हो जाता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{4/3} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 20$ और $b^2 = \frac{4}{3}$ है।
दी गई रेखा $x + 3y = 7$ की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का ढाल रूप $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
मान रखने पर: $y = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{20(-\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{1}{3}x \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
अतः दो समांतर स्पर्श रेखाएँ $x + 3y - 2\sqrt{2} = 0$ और $x + 3y + 2\sqrt{2} = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र से ज्ञात की जाती है।
$d = \frac{|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$।

(B) अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ और स्पर्श जीवा $x=9$ दी गई है।
$x=9$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$81-y^2=9$ $\Rightarrow y^2=72$ $\Rightarrow y = \pm 6\sqrt{2}$.
अतः,स्पर्श बिंदु $P_1(9, 6\sqrt{2})$ और $P_2(9, -6\sqrt{2})$ हैं।
$x^2-y^2=9$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
$P_1(9, 6\sqrt{2})$ पर ढाल $m_1 = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_1$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ है,जो सरल करने पर $3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ होता है।
$P_2(9, -6\sqrt{2})$ पर ढाल $m_2 = \frac{9}{-6\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_2$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ है,जो सरल करने पर $3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2+y^2=a^2$ और $xy=c^2$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x = \frac{c^2}{y}$ है।
पहले समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{c^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{c^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$c^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + c^4 = 0$
यह $y$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1, y_2, y_3, y_4$ हैं।
समीकरण $Ay^4 + By^3 + Cy^2 + Dy + E = 0$ के रूप में है,जहाँ $B=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{B}{A} = -\frac{0}{1} = 0$ होता है।
अतः,$y_1+y_2+y_3+y_4 = 0$।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
अतिपरवलय पर स्थित किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से इन अनंतस्पर्शी तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ होता है।
दिया गया है कि यह गुणनफल $\frac{36}{13}$ है,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ होता है।
$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दिया गया है,इसलिए $e^2 = \frac{13}{9}$।
अतः,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,जिसका अर्थ है $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,यानी $9b^2 = 4a^2$।
इससे,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,यानी $b = \frac{2}{3}a$।
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ को गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$।
$\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$।
अतः $b = \frac{2}{3}(3) = 2$।
इसलिए,$a - b = 3 - 2 = 1$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
नाभिलंब का समीकरण $x = ae = 4 \times \frac{5}{4} = 5$ है।
अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0$ है,जो $y = \pm \frac{3}{4}x$ में सरल हो जाता है।
प्रथम चतुर्थांश के लिए,हम $y = \frac{3}{4}x$ लेते हैं।
अनंतस्पर्शी के समीकरण में $x = 5$ रखने पर,$q = \frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{15}{4}$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $H: 9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को पुनः व्यवस्थित करने पर:
$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$
$9(x+4)^2 - 144 - 16(y+1)^2 + 16 = 16$
$9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = 144$
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = -1$ होता है।
$144$ से गुणा करने पर: $9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = -144$.
$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = -144$
$9x^2 + 72x + 144 - 16y^2 - 32y - 16 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 128 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 272 = 0$.

(D) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2 \sec^{-1}(e)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए:
$2 \sec^{-1}(e) = 30^{\circ}$
$\sec^{-1}(e) = 15^{\circ}$
$e = \sec(15^{\circ})$
चूंकि $\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ है,
अतः $e = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$।

(C) माना $(h, k)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ पर स्थित कोई बिंदु है।
अतः,$h^2 - k^2 = 8$ है।
अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के अनंतस्पर्शी $x + y = 0$ और $x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x + y = 0$ पर लंब की दूरी $d_1 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंब की दूरी $d_2 = \frac{|h - k|}{\sqrt{2}}$ है।
लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}} \times \frac{|h - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|h^2 - k^2|}{2}$ है।
$h^2 - k^2 = 8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d_1 d_2 = \frac{8}{2} = 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $9x^2-4y^2+36x+8y-4=0$ है।
वर्ग पूरा करके समीकरण को फिर से लिखने पर:
$9(x^2+4x+4) - 4(y^2-2y+1) = 36$.
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 36$.
अनंतस्पर्शी का संयुक्त समीकरण अचर पद को शून्य करके प्राप्त किया जा सकता है:
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 0$.
इसका अर्थ है $3(x+2) = \pm 2(y-1)$.
अतः,दो अनंतस्पर्शी $L_1: 3x - 2y + 8 = 0$ और $L_2: 3x + 2y + 4 = 0$ हैं।
बिंदु $(1,1)$ से $L_1$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|3(1) - 2(1) + 8|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ है।
बिंदु $(1,1)$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ है।
दूरियों का गुणनफल $d_1 \times d_2 = \frac{9}{\sqrt{13}} \times \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{81}{13}$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$ होता है।
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^2-y^2=16$ है,जिसे $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=16$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{गुणनफल} = \frac{16 \times 16}{16+16} = \frac{256}{32} = 8$.

(B) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ लिखा जा सकता है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 - 3 y y_1 = 3$ है।
$(\sqrt{3}, 0)$ रखने पर,$x(\sqrt{3}) - 3y(0) = 3$ प्राप्त होता है,जो $x = \sqrt{3}$ में सरल हो जाता है।
अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{3} - y^2 = 0$ अर्थात $x = \pm \sqrt{3}y$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$ और $(\sqrt{3}, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + \sqrt{3}(-1 - 0) + \sqrt{3}(0 - 1)| = \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2-3y^2=3$ है। $3$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2=3$ और $b^2=1$,इसलिए $a=\sqrt{3}$ और $b=1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ देते हैं।
माना ढाल $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) माना $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर कोई बिंदु है।
दिए गए अतिपरवलय की अनंतस्पर्शी रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ हैं।
माना $P_1$,बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
$P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
माना $P_2$,बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ से $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
$P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
अतः $P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) दिए गए अनंतस्पर्शी $L_1=0$ और $L_2=0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 \times L_2 + k = 0$ के रूप में होता है।
दिए गए अनंतस्पर्शी $(4x+3y-7)=0$ और $(x-2y-1)=0$ हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ ...$(i)$ है।
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(2,3)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x=2$ और $y=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$