Hyperbola Questions in Hindi

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $7x^2 - 9y^2 = 63$ है।
$63$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 7$,इसलिए $a = 3$ और $b = \sqrt{7}$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \frac{\sqrt{7}}{3}x$ और $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$ हैं।
ढाल $m_1 = \frac{\sqrt{7}}{3}$ और $m_2 = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2\alpha$ है,तो $\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ होगा।
अतः $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$।
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{1}{8}$।

(A) अनंतस्पर्शी $L_1 = 0$ और $L_2 = 0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 L_2 = k$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए अनंतस्पर्शी $L_1: 3x - 4y - 1 = 0$ और $L_2: 4x - 3y - 6 = 0$ हैं।
अतिपरवलय के अक्ष अनंतस्पर्शी के कोण समद्विभाजक होते हैं।
कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y - 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{4x - 3y - 6}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि हर समान हैं,हमारे पास $3x - 4y - 1 = \pm (4x - 3y - 6)$ है।
स्थिति $1$: $3x - 4y - 1 = 4x - 3y - 6 \implies x + y - 5 = 0$.
स्थिति $2$: $3x - 4y - 1 = -(4x - 3y - 6) \implies 3x - 4y - 1 = -4x + 3y + 6 \implies 7x - 7y - 7 = 0 \implies x - y - 1 = 0$.
अतः,अक्ष $x + y - 5 = 0$ और $x - y - 1 = 0$ हैं।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं।
माना अनंतस्पर्शियों के बीच का कोण $2\theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{b}{a}$।
दिया गया है कि अनंतस्पर्शियों के बीच का कोण $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,अर्थात $b = \frac{2}{3}a$।
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ को दिए गए समीकरण $a^2 - b^2 = 45$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 - \frac{4}{9}a^2 = 45$
$\frac{5}{9}a^2 = 45$
$a^2 = 45 \times \frac{9}{5} = 81$,इसलिए $a = 9$।
तब $b^2 = \frac{4}{9}(81) = 36$,इसलिए $b = 6$।
अतः,$ab = 9 \times 6 = 54$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-k y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2=3$ और $b^2=\frac{3}{k}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{6}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
वर्ग करने पर $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{3/k}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow k=3$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
रेखा $lx+my+n=0$ का $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष ध्रुव $\left(-\frac{a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)$ होता है।
$x+y-1=0$ के लिए,$l=1, m=1, n=-1$।
ध्रुव $\left(-\frac{3(1)}{-1}, \frac{1(1)}{-1}\right) = (3, -1)$ है।
चूँकि $k=3$ और $e=\frac{2}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $-1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}e}{2}$।
अतः,ध्रुव $\left(k, -\frac{\sqrt{3}e}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 20$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके अनंतस्पर्शी $\sqrt{5}x - 2y = 0$ और $\sqrt{5}x + 2y = 0$ हैं।
माना $(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है,अतः $5x_0^2 - 4y_0^2 = 20$।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से अनंतस्पर्शी पर डाले गए लंब की लंबाइयाँ $l_1 = \frac{|\sqrt{5}x_0 - 2y_0|}{3}$ और $l_2 = \frac{|\sqrt{5}x_0 + 2y_0|}{3}$ हैं।
अतः,$l_1 l_2 = \frac{|5x_0^2 - 4y_0^2|}{9} = \frac{20}{9}$।
इसलिए,$\frac{l_1^2 l_2^2}{100} = \frac{(20/9)^2}{100} = \frac{4}{81}$।

(D) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y - 36 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4(x^2 - 6x) - 9(y^2 + 4y) = 36$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए अचर पद को शून्य रखने पर: $\frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 0$।
इसे सरल करने पर,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी और उसकी किसी भी स्पर्शरेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा $ab$ होता है।
दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \sec \alpha$,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \sec^2 \alpha$.
चूँकि $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = \tan^2 \alpha$,जिसका अर्थ है $b = a \tan \alpha$.
अतः,क्षेत्रफल $ab = a(a \tan \alpha) = a^2 \tan \alpha$ होगा।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{4}=1$ है।
दिया है $\cos \theta = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{12}{5}$।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$ होता है।
यहाँ $b^2 = 4$,इसलिए $b = 2$।
अतः,$\frac{12}{5} = \left| \frac{4a}{a^2 - 4} \right|$।
हल करने पर,$3a^2 - 5a - 12 = 0$ या $3a^2 + 5a - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a^2 = \frac{16}{9}$ या $9$ है।

(D) सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ है।
इसे $(x-1)^2+(y-2)^2 = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का केंद्र $(1, 2)$ है।
सहायक वृत्त की त्रिज्या $a = \sqrt{2}$ है।
चूंकि अनंतस्पर्शी समकोण पर हैं,यह एक आयताकार अतिपरवलय है,इसलिए $e = \sqrt{2}$ और $a = b = \sqrt{2}$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{(y-2)^2}{2} = 1$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2-y^2-2x+4y-5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $x^2-2 y^2-8 x+8 y+4=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) + 4 - 16 + 8 = 0$
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 4$.
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए अचर पद को शून्य रखने पर:
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 0$.
इसका विस्तार करने पर:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) = 0$
$x^2-8 x+16 - 2 y^2+8 y-8 = 0$
$x^2-2 y^2-8 x+8 y+8 = 0$.

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{3}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ है।
इसका विस्तार करने पर,$2(x^2-6x+9) - 3(y^2-4y+4) = 6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y = 0$ हो जाता है।
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण अतिपरवलय के समीकरण से केवल एक अचर पद द्वारा भिन्न होता है।
माना अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + \lambda = 0$ है।
इसके रेखा युग्म को निरूपित करने के लिए,सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a=2, b=-3, h=0, g=-6, f=6, c=\lambda$ है।
प्रतिबंध $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$-6\lambda - 72 + 108 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\lambda = 6$ मिलता है।
अतः,अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + 6 = 0$ है।

(A) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $x+y+1=0$ और $x-y+4=0$ दिए गए हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर अतिपरवलय का केंद्र $(-2.5, 1.5)$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+1)(x-y+4) = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1,1)$ को समीकरण में रखने पर,$k = (1+1+1)(1-1+4) = 12$ प्राप्त होता है।
अतः समीकरण $(x+2.5)^2 - (y-1.5)^2 = 12$ है।
यहाँ $a^2 = 12$ और $b^2 = 12$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{3}$ और $b = 2\sqrt{3}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के अनंतस्पर्शी के समीकरण $bx - ay = 0$ और $bx + ay = 0$ हैं।
माना $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है।
$P$ से अनंतस्पर्शी $bx - ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PQ = \frac{|b(a \sec \theta) - a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta - \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$P$ से अनंतस्पर्शी $bx + ay = 0$ तक की लंबवत दूरी $PR = \frac{|b(a \sec \theta) + a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta + \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
इन दूरियों का गुणनफल $6$ दिया गया है:
$\frac{a^2 b^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{a^2 + b^2} = 6$
चूंकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ है।
$e = \sqrt{3}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ है।
समीकरण में $b^2 = 2a^2$ रखने पर:
$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$।
तब $b^2 = 2(9) = 18$,अतः $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह एक मानक गुण है कि अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा और उसके अनंतस्पर्शियों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल स्थिर होता है और $ab$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $a^2 \tan(\alpha)$ है,इसलिए $ab = a^2 \tan(\alpha)$,जिसका अर्थ है $b = a \tan(\alpha)$।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
$b = a \tan(\alpha)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e = \sqrt{1 + \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{a^2}} = \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$।

(B) अतिपरवलय $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y-4=0$ के अनंतस्पर्शी का समीकरण $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+\lambda=0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है,इसलिए इसका सारणिक शून्य होना चाहिए:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
यहाँ $a=2, b=2, c=\lambda, h=\frac{5}{2}, g=-\frac{11}{2}, f=-\frac{7}{2}$ है।
मान रखने पर:
$4\lambda + \frac{385}{4} - \frac{49}{2} - \frac{121}{2} - \frac{25\lambda}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर:
$16\lambda + 385 - 98 - 242 - 25\lambda = 0$.
$-9\lambda + 45 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
अतः,समीकरण $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+5=0$ प्राप्त होता है।

(B) अनंतस्पर्शियों के युग्म का समीकरण रेखाओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=0$.
चूंकि अतिपरवलय का समीकरण इसके अनंतस्पर्शियों के समीकरण से केवल एक स्थिरांक $\lambda$ द्वारा भिन्न होता है,हम लिख सकते हैं: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=\lambda$.
दिया गया है कि अतिपरवलय बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $(3(1)+4(1)-2)(2(1)+1+1)=\lambda$.
$(5)(4)=\lambda$,जिससे $\lambda=20$ प्राप्त होता है।
$\lambda=20$ को समीकरण में रखने पर: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=20$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $6x^2+3xy+3x+8xy+4y^2+4y-4x-2y-2=20$.
सरल करने पर: $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-2=20$.
अतः,समीकरण $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-22=0$ है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $16x^2 - 25y^2 = 400$ है,जिसे $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$,इसलिए $a = 5$ और $b = 4$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $y = \pm \frac{b}{a}x$,यानी $4x - 5y = 0$ और $4x + 5y = 0$ हैं।
माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $16x_1^2 - 25y_1^2 = 400$ है।
$P$ से अनंतस्पर्शी पर लंब की लंबाइयाँ $d_1 = \frac{|4x_1 - 5y_1|}{\sqrt{41}}$ और $d_2 = \frac{|4x_1 + 5y_1|}{\sqrt{41}}$ हैं।
गुणनफल $p = d_1 d_2 = \frac{|16x_1^2 - 25y_1^2|}{41} = \frac{400}{41}$ है।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{b}{a} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$p \tan \frac{\theta}{2} = \frac{400}{41} \times \frac{4}{5} = \frac{320}{41}$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y-91=0$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी,अतिपरवलय के समीकरण से एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं।
मान लीजिए कि अनंतस्पर्शी $(7 x+5 y+c_1)(2 x+4 y+c_2) = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y+k = 0$ हैं।
गुणनफल का विस्तार करने पर: $14 x^2+28 x y+7 x c_2+10 x y+20 y^2+5 y c_2+2 x c_1+4 y c_1+c_1 c_2 = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x(7 c_2+2 c_1)+y(5 c_2+4 c_1)+c_1 c_2$.
दिए गए अतिपरवलय समीकरण के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$7 c_2+2 c_1 = 1$
$5 c_2+4 c_1 = -7$
दिया गया है कि एक अनंतस्पर्शी $7 x+5 y-3=0$ है,इसलिए $c_1 = -3$ है।
पहले समीकरण में $c_1 = -3$ रखने पर: $7 c_2 + 2(-3) = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 - 6 = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 = 7$ $\Rightarrow c_2 = 1$.
अतः,दूसरा अनंतस्पर्शी $2 x+4 y+1=0$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ होते हैं।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$,इसलिए $a = 3$ और $b = 2$ है।
अनंतस्पर्शी $2x - 3y = 0$ और $2x + 3y = 0$ हैं।
माना $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,अतः $\frac{x_0^2}{9} - \frac{y_0^2}{4} = 1$ है।
$P$ से $2x - 3y = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|2x_0 - 3y_0|}{\sqrt{13}}$ है।
$P$ से $2x + 3y = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|2x_0 + 3y_0|}{\sqrt{13}}$ है।
उनका गुणनफल $d_1 d_2 = \frac{|4x_0^2 - 9y_0^2|}{13} = \frac{36}{13}$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) + \lambda = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बिंदु $(1,-2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$x=1$ और $y=-2$ रखने पर:
$(1-2+3)(2(1)-(-2)+1) + \lambda = 0$
$(2)(5) + \lambda = 0 \implies \lambda = -10$.
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) - 10 = 0$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+3)(2x-y+1) + 10 = 0$ होगा।
विस्तार करने पर: $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 3 + 10 = 0$,जो $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 13 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) दिया गया है,$x=35 \sec \theta$ और $y=35 \tan \theta$।
बिंदु $P = (35 \sec \theta, 35 \tan \theta)$।
$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 35 \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 35 \sec^2 \theta$
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{35 \sec^2 \theta}{35 \sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:
$y - 35 \tan \theta = \frac{1}{\sin \theta} (x - 35 \sec \theta)$
$y \sin \theta - 35 \tan \theta \sin \theta = x - 35 \sec \theta$
$y \sin \theta - 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = x - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(\sin^2 \theta - 1)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(-\cos^2 \theta)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x - 35 \cos \theta$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $P(x, y)$ है। अन्य दो शीर्ष $A(-5, 0)$ और $B(6, 0)$ हैं।
परिमाप भुजाओं की लंबाई का योग है: $PA + PB + AB = 20$.
दूरी $AB = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (0 - 0)^2} = 11$.
अतः,$PA + PB = 20 - 11 = 9$.
निर्देशांक रखने पर,$\sqrt{(x + 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 9$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $40x^2 - 81y^2 - 40x - 800 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ है।
$8r$ से गुणा करने पर:
$8 = r + 3r \cos \theta$
चूंकि $x = r \cos \theta$,इसलिए $r = 8 - 3x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 + 9x^2 - 48x$
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$।
यहाँ $A = 8$ और $C = -1$ है।
चूंकि $A$ और $C$ के चिह्न विपरीत हैं $(AC < 0)$,इसलिए यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) $f(x) = -3x^2+4x+1$ के लिए,अधिकतम मान $l$,$x = -b/(2a) = -4/(2 \times -3) = 2/3$ पर प्राप्त होता है।
$l = f(2/3) = -3(4/9) + 4(2/3) + 1 = 7/3$.
$g(x) = 3x^2+4x+1$ के लिए,न्यूनतम मान $m$,$x = -4/(2 \times 3) = -2/3$ पर प्राप्त होता है।
$m = g(-2/3) = 3(4/9) + 4(-2/3) + 1 = -1/3$.
नाभियाँ $(l, 0) = (7/3, 0)$ और $(7m, 0) = (-7/3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का केंद्र $(0, 0)$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 14/3$ है।
$e = 2$ दिया गया है,इसलिए $4a = 14/3 \implies a = 7/6$.
$b^2 = a^2(e^2-1) = (49/36)(3) = 49/12$.
अतिपरवलय का समीकरण $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ है।
$36x^2 - 12y^2 = 49$.

(B) प्रथम अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष $2a$ और संयुग्मी अक्ष $2b$ है। दिया गया है $2a = 2(2b)$,अतः $a = 2b$। उत्केंद्रता $x$ का मान $x^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ है।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ है। दिया गया है $2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$,जो सरल होकर $e^2 = 3$ देता है। अतः,$y^2 = 3$।
इसलिए,$y^2 - x^2 = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$,अतः $a = 3$. नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं और शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं।
माना नाभि $S(ae, 0)$ है और दूरस्थ शीर्ष $A'(-a, 0)$ है।
नाभिलंब की रेखा $x = ae$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $L(ae, \frac{b^2}{a})$ और $L'(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
सदिश $\vec{A'L} = (a(e+1), \frac{b^2}{a})$ और $\vec{A'L'} = (a(e+1), -\frac{b^2}{a})$ हैं।
चूँकि $\angle L A' L' = 90^\circ$ है,उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा।
$a^2(e+1)^2 - \frac{b^4}{a^2} = 0 \implies a^4(e+1)^2 = b^4$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ होने के कारण,$b^4 = a^4(e-1)^2(e+1)^2$.
अतः,$1 = (e-1)^2 \implies e = 2$.
$b^2 = 9(2^2-1) = 27$.

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{k-\frac{5}{2}} + \frac{y^2}{\frac{7}{3}-k} = 1$ है।
अतिपरवलय को दर्शाने के लिए,हर (denominators) के चिह्न विपरीत होने चाहिए,अर्थात उनका गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(k - \frac{5}{2})(\frac{7}{3} - k) < 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $(k - \frac{5}{2})(k - \frac{7}{3}) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{7}{3} < \frac{5}{2}$ है,इसलिए असमिका $(k - \frac{7}{3})(k - \frac{5}{2}) > 0$ तब सत्य होती है जब $k < \frac{7}{3}$ या $k > \frac{5}{2}$ हो।
अतः,$k$ के सभी मानों का समुच्चय $\left(-\infty, \frac{7}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}, \infty\right)$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
अतिपरवलय पर कोई भी बिंदु $(5 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $P(\theta) = (x_1, \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ के लिए,$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3 \tan \theta = \frac{3 \sqrt{5}}{2} \implies \tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$।
चूँकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,हमारे पास $\sec^2 \theta = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ है,इसलिए $\sec \theta = \frac{3}{2}$ (चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)।
अतः,$x_1 = 5 \sec \theta = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$।
साथ ही,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{\sec^2 \theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
अंत में,$2 x_1 + 9 \sin^2 \theta = 2(\frac{15}{2}) + 9(\frac{5}{9}) = 15 + 5 = 20$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ दिया गया है,जहाँ $a^2=16$ और $b^2=9$ है।
चूँकि बिंदु $P(5, y_1)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$x=5$ रखने पर:
$\frac{25}{16}-\frac{y_1^2}{9}=1$
$\Rightarrow \frac{y_1^2}{9}=\frac{25}{16}-1 = \frac{9}{16}$
$\Rightarrow y_1^2 = \frac{81}{16}$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{9}{4}$.
अतः,$P = (5, \pm \frac{9}{4})$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
धनात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S = (ae, 0) = (4 \times \frac{5}{4}, 0) = (5, 0)$.
अब,दूरी $SP = \sqrt{(5-5)^2 + (0 - (\pm \frac{9}{4}))^2} = \sqrt{0 + \frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$.

(C) दिए गए समीकरण प्राचलिक रूप $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ में हैं,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को दर्शाते हैं।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ है।
पहले अतिपरवलय के लिए,$a = 1$ और $b = \sqrt{2}$,इसलिए $e_1^2 = 1 + \frac{(\sqrt{2})^2}{1^2} = 1 + 2 = 3$।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,$a = \sqrt{2}$ और $b = 1$,इसलिए $e_2^2 = 1 + \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।
अतः,$\frac{e_2^2}{e_1^2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$।

(C) मूलबिंदु पर केंद्र और $X$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ दी गई है,इसलिए $a = 4$ और $a^2 = 16$ है।
अतिपरवलय $(5, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{25}{16} - \frac{4}{b^2} = 1$ है।
$\frac{4}{b^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,जिससे $b^2 = \frac{64}{9}$ प्राप्त होता है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e'$ का मान $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e' = \sqrt{1 + \frac{16}{64/9}} = \sqrt{1 + \frac{16 \times 9}{64}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

(B) प्रथम अतिपरवलय के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1$ है और नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e_1}$ है।
दिया गया है कि $2ae_1 = 2 \times \frac{2a}{e_1}$,जो $e_1^2 = 2$ में सरल हो जाता है। चूंकि $e_1 > 1$,इसलिए $e_1 = \sqrt{2}$ है।
दूसरे अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_2$ है और संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b_2$ है।
दिया गया है कि $2a_2 = 2(2b_2)$,इसलिए $a_2 = 2b_2$ या $b_2 = \frac{a_2}{2}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 + \frac{b_2^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{(a_2/2)^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,$e_1 e_2 = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,नाभीय दूरियाँ $SP = |ex - a|$ और $S^{\prime}P = |ex + a|$ होती हैं।
दी गई शर्त $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ के अनुसार,हम जानते हैं कि $|SP - S^{\prime}P| = 2a$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $SP + S^{\prime}P = 2(2a) = 4a$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,नाभीय दूरियों का योग $SP + S^{\prime}P = 2ex$ होता है।
अतः,$2ex = 4a$,जिसका अर्थ है $x = \frac{2a}{e}$।
बिंदु $P(\frac{\pi}{6})$ प्राचलिक रूप में $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ है।
यहाँ,$x = a \sec(\frac{\pi}{6}) = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
$x$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{2a}{e} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$।
अतः,$e = \sqrt{3}$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 1$ है। $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/2}{1}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
नाभि $S$ बिंदु $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ और $S(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{0 - 1}{\sqrt{\frac{3}{2}} - (-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ है।
रेखा $PS$ का समीकरण $y = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}(x - \sqrt{\frac{3}{2}})$ है।
$Y$-अंतःखंड $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OS| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3}{2(\sqrt{6} + 2)}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $S = 4x^2 - 3y^2 - 1 = 0$ है।
अतिपरवलय के आंतरिक भाग में बिंदु $(\alpha, \beta)$ होने के लिए शर्त $S_1 < 0$ है।
बिंदु $(\alpha, -1)$ को $S < 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4\alpha^2 - 3(-1)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 3 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 4 < 0$
$\alpha^2 < 1$
$-1 < \alpha < 1$
अतः,$\alpha \in (-1, 1)$।

(D) समीकरण $\frac{x^2}{\alpha+3} + \frac{y^2}{2-\alpha} = 1$ के अतिपरवलय होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि उनका गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(\alpha+3)(2-\alpha) < 0$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$(\alpha+3)(\alpha-2) > 0$
इस असमिका को हल करने पर,हमें मूल $\alpha = -3$ और $\alpha = 2$ प्राप्त होते हैं।
यह व्यंजक मूलों के बीच के अंतराल के बाहर धनात्मक है।
अतः,$\alpha \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$।

(D) अतिपरवलय की नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं।
$S$ से गुजरने वाले नाभिलंब के अंतिम बिंदु $A(ae, \frac{b^2}{a})$ और $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
$AB$ द्वारा $S'$ पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।
चूँकि त्रिभुज $\triangle AS'B$ समद्विबाहु है,रेखा $S'S$ कोण $\angle AS'B$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle AS'S = 30^{\circ}$।
$S'A$ की ढाल $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$\frac{b^2/a}{ae - (-ae)} = \frac{b^2}{2a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इससे $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2e}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$ मिलता है।
दोनों पदों की तुलना करने पर: $e^2 - 1 = \frac{2e}{\sqrt{3}}$,जो सरल होकर $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(\sqrt{3}e + 1)(e - \sqrt{3}) = 0$।
चूँकि उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए $e = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $5(x^2 - 2x) - 6(y^2 + 4y) = 34$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $5(x^2 - 2x + 1) - 6(y^2 + 4y + 4) = 34 + 5 - 24$
$5(x - 1)^2 - 6(y + 2)^2 = 15$
$15$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{3} - \frac{(y + 2)^2}{2.5} = 1$
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/2}{3}} = \sqrt{1 + \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$ है।
नाभियाँ $(h \pm ae, k)$ द्वारा प्राप्त होती हैं,जहाँ $(h, k) = (1, -2)$ है।
$ae = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{11}{6}} = \sqrt{\frac{33}{6}} = \sqrt{\frac{11}{2}}$ है।
अतः,नाभियाँ $\left(1 \pm \sqrt{\frac{11}{2}}, -2\right)$ हैं।

(C) अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
दिया गया है $e = \frac{5}{4}$,इसलिए $1 + \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$।
अतः,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{9}{16} a^2$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 9$ है।
$b^2 = \frac{9}{16} a^2$ को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{a} \left(\frac{9}{16} a^2\right) = 9$
$\frac{9}{8} a = 9 \Rightarrow a = 8$।
अब,$b^2 = \frac{9}{16} (8)^2 = \frac{9}{16} \times 64 = 36$,इसलिए $b = 6$।
अतः,$ab = 8 \times 6 = 48$।

(D) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया है कि उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
$2ae = 16$ में $e = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें $2a(\sqrt{2}) = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 12$ दी गई है,इसलिए $a = 6$ है।
चूंकि बिंदु $(8, 2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\frac{8^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$a = 6$ रखने पर:
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-4x+2y+c=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-2)^2 - (y-1)^2 = 3-c$ प्राप्त होता है।
माना $a^2 = 3-c$ है। समीकरण $\frac{(x-2)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{a^2} = 1$ हो जाता है।
इस आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है।
नाभि $x = 2 \pm ae = 2 \pm \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \pm \sqrt{2a^2}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई नाभि $S(2+2\sqrt{2}, k)$ से,$\sqrt{2a^2} = 2\sqrt{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^2 = 3-c$,इसलिए $4 = 3-c$,जिससे $c = -1$ प्राप्त होता है।
नियता $x = 2 \pm \frac{a}{e} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \pm \sqrt{2}$ है।
नाभि $x = 2+2\sqrt{2}$ के निकटतम नियता $x = 2+\sqrt{2}$ है,जो दी गई शर्त के अनुरूप है।
अतः,$c = -1$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=25$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
$e_1 e_2 = 1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{3}{5} e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं।
अतिपरवलय $(0, \pm 3)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप का है।
$(0, 3)$ से गुजरने के कारण,$b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow a^2 = 16$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ है।

(B) रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है।
रेखा बिंदु $(\frac{a}{e}, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,जिससे $2a = e$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$y = -2x + 1$,इसलिए $m = -2$ और $c = 1$ है।
अतः,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जो $4a^2 - b^2 = 1$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
स्पर्शरेखा की शर्त में $b^2$ का मान रखने पर: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$।
चूंकि $e = 2a$,हमारे पास $a = \frac{e}{2}$ है,इसलिए $a^2 = \frac{e^2}{4}$।
$a^2$ का मान रखने पर: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$।
$e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$।
$4$ से गुणा करने पर: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$।
$e^4 - 5e^2 + 4 = 0$।
$(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$।
अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है,इसलिए $e^2 = 4$,अतः $e = 2$।

(D) माना $f(e) = 2e^3 + 10e - 13$ है।
चूंकि $f(1) = 2(1)^3 + 10(1) - 13 = -1 < 0$ और $f(2) = 2(8) + 10(2) - 13 = 23 > 0$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,अंतराल $(1, 2)$ में एक मूल $e$ स्थित है।
चूंकि शांकव की उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए यह एक अतिपरवलय है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a_e = 13$ और $b_e = 5$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_e^2}{a_e^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm a_e e, 0) = (\pm 13 \times \frac{12}{13}, 0) = (\pm 12, 0)$ हैं।
चूंकि अतिपरवलय $(\pm 12, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{12^2}{a^2} - \frac{0}{b^2} = 1$,जिससे $a^2 = 144$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ है।
उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ दिया गया है,इसलिए $e \times e' = 1$ है।
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$ है।
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$ प्राप्त होता है।
$\frac{b^2}{144} = \frac{169}{144} - 1 = \frac{25}{144}$ है।
अतः,$b^2 = 25$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$.
$(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$.
$12$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 12$ और $b^2 = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \times 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ है।