${x^2} - 3{y^2} = 2x + 8$ ના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે,જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

ધારો કે $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને $H_2:-\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ એ બે અતિવલયો છે જેમની નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $15 \sqrt{2}$ અને $12 \sqrt{5}$ છે. ધારો કે તેમની ઉત્કેન્દ્રતા અનુક્રમે $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ અને $e_2$ છે. જો તેમની મુખ્ય અક્ષોની લંબાઈનો ગુણાકાર $100 \sqrt{10}$ હોય,તો $25 e_2^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

$(3,0)$ અને $(3\sqrt{2}, 2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

જેનું નાભિ $(1, 2)$,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{3}$ અને નિયામિકા $2x + y = 1$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $xy = a^2$ ના સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?