લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a > 1$ અને $b < a$ થાય. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું બિંદુ છે જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે. ધારો કે $\Delta$ એ $P$ આગળના સ્પર્શક,$P$ આગળના અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

જો ${m_1}$ અને ${m_2}$ એ બિંદુ $(6, 2)$ માંથી પસાર થતા અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ ના સ્પર્શકોના ઢાળ હોય,તો:

$16x^2 - 9y^2 - 32x - 36y - 164 = 0$ ના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જો અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ હોય,તો તેના સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ શું થાય?

જો $5x + 9 = 0$ એ અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 144$ ની નિયામિકા (directrix) હોય,તો તેનું અનુરૂપ નાભિ (focus) શોધો.